CC BY
17Исследование процессов колебания стержней с учетом
поперечного изгиба
Анарова Ш.А1., Исмоилов Ш.М2. 1 Ташкентский университет информационных технологий 2Наманганский инженерно-строительный институт
Аннотация. Рассматриваются математическое моделирование процессов статики и динамики деформирования нагруженных стержней с учетом поперечного изгиба в линейных и геометрически нелинейных постановках. Дан обширный анализ исследований, проводимых в университетах и научных центрах по всему миру, обсуждается актуальность проблемы и области применения. Показана корректность математической постановки задачи. Определена кинетическая, потенциальная энергия, объемные и поверхностные силы для математических моделей процессов статической и динамической деформации с учетом поперечного изгиба нагруженных стержней в линейных и геометрически нелинейных постановках. На основе теории упругих деформаций и уточненной теории Власова-Джанелидзе-Кабулова, а также с использованием вариационного принципа Остроградского-Гамильтона разработана математическая модель статики и динамики перемещения точек стержня для поперечного изгиба в линейных и геометрически нелинейных постановках. Приведено уравнение математической модели с естественными начальными и граничными условиями в векторной форме. Разработан вычислительный алгоритм для расчета статики и динамики нагруженных стержней в линейных и геометрически нелинейных задач с использованием центральной конечной разности второго порядка точности. Рассматриваются процессы деформации, когда стержень жестко защемлены на двух торцах в линейных и геометрически нелинейных задач. Даны результаты расчетов в виде графиков. Изучены распространение продольные колебания, поперечные колебания и углы наклона по длине стержня в разных моментах времени. Анализированы и сравнены результаты линейных и геометрически нелинейных колебаний.
Ключевые слова: колебания, стержень, вариационный принцип Остроградский-Гамильтон, математическая модель, поперечный изгиб, перемещение, геометрически нелинейных, динамики нагруженных стержней, центральной конечной разности
Аргентина) [21, 25], разработаны нелинейные задачи свободных колебаний вращающихся композитных балок С.П. Тимошенко, разработана нелинейная задача балки С.П.Тимошенко на основе модифицированной теории парных напряжений (Технологический университет Амиркабира и Технологический университет Шарифа, Иран) [19-20, 23-24], изучено динамическое поведение бурильной колонны, усовершенствована и разработана экспериментальная установка (Лионский национальный институт прикладных наук, Франция) [26, 27], получено нелинейное решение вибрации для наклоненной балки С.П.Тимошенко под действием движущейся силы, разработаны математические модели колебания изгибно-крутильных, продольно-изгибных и продольно-крутильных волн на основе теории упругого деформирования А.П. Филипова в системе стержня (Институт проблем машиностроения Российской академии наук, РФ) [6-9].
В мире для решения задач деформационных процессов элементов конструкций типа стержней в строительстве, авиации, ракетостроении, кораблестроении,
машиностроении, нефтедобывающей отрасли проводятся исследования по следующим перспективным направлениям: разработка математических моделей и вычислительных алгоритмов, усовершенствование и создание программного обеспечения линейных и нелинейных деформационных процессов в балке С.П. Тимошенко, моделирование
Введение
В мире особое внимание уделяется разработке математической модели и автоматизированной системы расчета линейных и геометрически нелинейных задач элементов сооружений и конструкций при пространственном нагружении. В связи с этим создание автоматизированной системы оценивания напряженно-деформированного состояния конструкций типа стержней при исследовании деформационных процессов пространственно-нагруженных стержней на базе современных информационных технологий, а также их усовершенствование -одни из основных задач. В развитых странах мира, в том числе США, Франции, Канаде, Японии, Китае, ОАЭ, Иране, России, Украине, Казахстане и др. важное значение имеют разработка математических моделей, вычислительных алгоритмов и создание программного обеспечения расчета материалов конструкций типа стержня.
В результате исследований, проведенных в мире по математическому моделированию и усовершенствованию автоматизированних систем расчета вычислений статики и динамики, линейных и нелинейных деформационных процессов стержней при пространственном нагружении, получен ряд научных результатов, в том числе: усовершенствованы модели динамических функциональных свойств вращающихся балок (Механический
национальный технологический университет
напряженно-деформированного состояния элементов конструкций типа стержней, учитывающих деформационные процессы, геометрическую и физическую нелинейности, полное исследование интенсивных изгибно-крутильных, продольно-изгибных и продольно-крутильных колебаний, распространяющихся в стержнях [8, 9].
Постановка задачи
В этом статье предлагается математическое моделирование геометрически нелинейных задач стержней с учетом поперечного изгиба. В этом случае при пространственном деформировании стержней учитываются два компонента продольных перемещений и(х, г), а также одна компонента поперечных перемещений и3(х, г). Тогда перемещения точек стрежня принимают вид [10]:
м1(х, у, z,г) = и - za, и2 = 0, и3(х, у, I, г) = w, (1) где и, ^ - перемещения срединной линии
стержня; а - угол поворота сечения при чистом изгибе; и1, и3 - компоненты вектора
перемещений. Здесь искомые и, w, а являются функциями по пространственной переменной х и времени г, а на внешнюю нагрузку не ставятся ограничения.
Математическая модель
Используя вариационный принцип Остроградского-Гамильтона [5,10, 11, 29-30]:
2
(K -П + A)dt = 0
(2)
где К, П - кинетическая и потенциальная энергии; А - работа внешних объемных и поверхностных сил.
Выводим математическую модель нелинейных задач стержней при статическом и динамическом пространственном нагружениях.
При вычислении вариации кинетической энергии используем соотношение [5,10, 11]:
С с „ , С с( эи, r.du, du2 r.du2 эи3 r.du3 ^ IdKdt = I lip—- 5—- + p—- 5—- + p—- 5—- Idvdt
[ [ [ I dt dt dt dt dt dt I
Для определения вариации потенциальной энергии используем формулу [5, 10, 11]: 15Пйг=| | ^ <ти&ийуйг=| |(^11й?11 +ап5еп+с13&13)ск&,
г г V ¿=1 г V
где <ги, <г12, <г13 - элементы тензора напряжений; £11,еа,£[3 - элементы тензора
деформации.
Примем соотношения Коши [5,10, 11-13]:
е = Эц +1 Г Эи3 V е = + Э"3 + Э"3 э"3
11 Эх 21 Эх) 13 дz дх дх дz '
согласно (1), здесь = 0. Поэтому
Эz '
= Эи, 1 ( Эи3
ei = ~ЭХ+21 ~ЭХ
Эи, Эи3
e13 =—1 + —3 Эг Эх
Компоненты напряжений на основе закона Гука запишем в виде
*„ = ^ = £ ^3 = Оеп = О Г ^ +д~Эх Эх I Эz Эх
где E - модуль упругости, G = _
E
модуль
2(1 + т)
сдвига, т - коэффициент Пуассона.
Для вариации работы внешних сил применяем формулу [5,10, 11-13]:
3 3 3
15Мг = ^ 5щ йу +qi 8и1 й5 +^ 5щ й51 =
г V ^ = 1 5 ¿=1 5! ¿ = 1
= {(РуЗщ + ¥28и2 + Г3Зи3 )йу +
V
+| (д13и1 + д23и2 + д38и3 й + +1 (АЯщ + ¡¿и2 + ЪЯщЩ,
51
где ^ - составляющие объемных сил, отнесенные к единице объема, через qi -поверхностные силы, отнесенные к единице площади поверхности стержня; J -
соответственно торцовые силы.
Здесь и, а являются функциями
координаты х и времени г, поэтому производные по z равняются нулю. Если будем рассматривать симметричное сечение, то статические моменты равняются нулю. Тогда вариационное уравнение упрощается и принимает следующий вид [1-4, 17, 28]:
' Э2„ Э2„ 1
йхби —
dx5a+
[j[
t У х +[
-pF Э2+EF ЭХ2+f I+q
Э2а
Э2а
r'y " e1^ Эг + м (fl) I+м («i)
- + Gi F
r Эt2 l Эх2
+ —x
Эх
x E|F э^ J + эХ^ E lF эх1 + f31 + q3
dxdw
-EF+ ^Idu + (-EI —+M j) |5a+
Эх J l Эх 1
+1 -GF^(F^| + j3 |5w 1 Эх Эх l Эх J 1
[ [ [(-g| + ^u+((GzI+M(Г,))*
dyck
PF % Jdu - i "Г'- Эа 5+(PF15
dx
\dt +
= 0.
(3)
Из вариационного уравнения (3) получаем следующую систему уравнений с
2
t v
+
+
х
+
х
соответствующими начальными и граничными условиями.
Система уравнений колебания:
граничные условия при х=0 и х = I, можно решить ряд практических задач.
O u O u / Ч
-pF ъё+EF ъг + (fl+*) = 0,
г o2w „32w ow ( 02u | d2w (0uЛ ,
~pF Us+GF +EF у I тУ I+EF ^г I ^ I+(f3 + q) =
Ot Ox Ox ^ ox J Ox ^ Ox J
O2a O2a
-piy Ota+Ely Oaa-( m (/,)+M q) )=o.
= o,
Граничные условия:
Su
- EF ^ +j
Ox
- Eiy taa +M (j)
= o,
Sa
^t^Ow Ow (Ou Л _ -GF — + EF—I — I + j Ox Ox I Ox j
Sw
Начальные условия:
pF — |Su
, Ot)
= 0-1 PI. f Jda
0 IP*df S
= 0.
Здесь выполняя некоторые математических выкладки имеем:
O2uk д^к
l2
^-^zr+-(/ + 4 ) = 0,
Ot2 Ox2 EFaK '
+ ф2-1 + — (/3 + q ) = 0,
Ot2 2(1 + ^) OT ' EFa l2
I. O2ak I. O2ak
—y----
Fa2 Ot2 Fa2 Ox2 EFa2 Здесь
(M (/1)+M (q )) = 0.(4)
k-1 (lOuk-1 Л
ф-1 =-ф2 Ox2
a dx ,
\ /
Граничные условия:
Owk
+-
1 (l O2uk-1
Ox
a Ox
^k l2 _
+
Ox EFa 1
Su
= 0,
2 (1 + ^)
(iWk Л
v Ox J
-фк-1 +.
l2 _ j.
I.lO ak l
"V^+^r M (j) Fa Ox EFa
Здесь
k-1 0wk-1 ( Ouk-1
;2
EFa Sa
Sw
= 0,
= 0.
(5)
Ф2-1 =
Ox ^ Ox Начальные условия:
u
Ot
t0Su
= 0,
Owk Ot
t0Sw
=0,
Iy Oak
Fa2 Ot
t0Sa
=0.(6)
(1) получена система уравнений для задач геометрически нелинейных стержней при пространственном нагружении с учетом поперечного изгиба. Задавая конкретные
Вычислительный алгоритм
Решение дифференциальных уравнений движения (4) с соответствующими граничными (5) и начальными (6) условиями, полученными из вариационного принципа (2) в скалярном виде, достаточно сложно. Поэтому систему дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия представим в векторном виде.
Вводим векторы в виде [18, 28]: и = [й,Ф,а]Т,
Р = [(/1 + Ч1), (/з + Чз), (М(Д) + М«1Т, р#=#1, #3,М<р1Т,
Ф-1 =[0Ф2к-1,0]Г,= [0, $$2к"1,0]Т.
(7)
Систему уравнений (4), граничные (5) и начальные условия (6) с учетом введенных элементов матриц запишем в векторной форме:
М-
dt2
■ + А
-M
d2U
гдх2
OU
к
+ E<Pk~1+DF = 0, (8)
Ot
Et0SU
= 0,
(9)
■ dU
А——+ ЕФ1 +
. дх
DF(#)~*Eisu\ = 0. (10)
При этом М из системы уравнений (8) принимает следующий вид:
~mn 0 0
M = 0 m22 0
_ 0 0 m33
Элементы матрицы имеют значения:
1 1 !у
При этом матрица А в системе уравнений (8) имеет следующий вид:
А =
Элементы матрицы А из системы уравнений
(8) приобретают вид
=1 = & =
ап 1, 0-22 Е ' 033 •
Матрица Б в системе уравнений (8) имеет следующий вид:
a11 0 0
0 a22 0
0 0 a33
dn 0 0
D = 0 d22 0
гипотезы _ 0 0 d33
Элементы матрицы Б имеют значения:
d11 d22
l2
EFa'
l2
EFa
2
0
0.
к
O2wk
2
к
x
x
x
Матрица А из граничных условий (10) имеет
вид
йы = ^ [A&.o + BiU02i0 + 2tm~1u;0 + P0i0
a11 0 0 " - р1,о[
A = 0 a22 0 . 3) ' = ' + 1;
0 0 a33 _ 4) если условие ' > N — 2 не выполняется, то
Элементы матрицы А из граничных условий (10) имеют вид
а11 1, a22
G _
I.
Е " ЕаА Матрица Б из граничных условий (10) имеет следующий вид:
d11 0 0
D = 0 d22 0
0 0 d33
где
d11 d22
l2
l2
EFa' 33 EFa2
В начальном условии элементы матриц имеют противоположение знаки относительно элементов матрицы систем уравнений
(м„,. =—мс,у.).
Решается линейная задача, что дает первое приближение решения:
' (11)
M4Lr + A^ + DF = 0,
dt2
дх2
[-Md-d-}EtoSu\t = 0,
DF(#)~}ElSu\ = 0. В дальнейшем организуется
(12)
(13) процесс
итерации до выполнения условия
. ?
MAX U к
j
Uijk-1\<?,
здесь к - число итерации.
При построении вычислительного алгоритма для системы дифференциальных уравнений (11) с начальными (12) и граничными (13) условиями применяем центральные конечно-разностные соотношения с точностью второго порядка [14, 18, 28].
Делая некоторые математические выкладки, строим систему алгебраических уравнений в виде:
йи+1 = -^1-1,1 + Вйц - си=+и - и^ -Р=,г
Коэффициенты всех разрешающих уравнений принимают вид:
t AM -
С =
h
т2АМ~1
■-2 +
t AM
h2 '
, Fij = DT2M-1Fij,
Порядок решения, сформулированной задачи: 1) к = 1;
2) при i =1, ] =0 решается уравнение
перейти к пункту 2, иначе - к пункту 3;
5) при i =', ] =1 решается уравнение
Яц = -ли=-1Л + ви=л - си=+1Л - и°0 - Рио.
6) ' = ' + 1 ;
7) если условие ' >N—2 не выполняется, то перейти к пункту 5, иначе - к пункту 6;
8) при ' =^и =1 решается уравнение
UN-1,2 = A1UN-2,1 + BlU°N-l,l
И0 +
u N-1,0 +
0>к,1 - Р'м-1,1- 9) при '=1,7 = решается уравнение и=1+1 = -Аи0,1 + Виц - £и24 - Яи-1 - Рц. 10) ' = ' + 1 ;
11) если условие ' > N — 2 не выполняется, то перейти к пункту 9, иначе - к пункту 10;
12) при ' =N—17 =] решается уравнение
ЯМ-11 + 1 = А1ЯМ-21 + В1ЯМ-11
■ Рм-ц. 13) 7 =]+1;
UN-1,j-1 +
14) если условие ] > М не выполняется, то перейти к пункту 12, иначе - к пункту 8;
15) к = к + 1;
16) вычисление нелинейных членов;
17) перейти к пункту 1;
18) если условие \ик1 - ик-1\ < ? выполняется, то перейти к пункту 19, иначе - к пункту 12;
19) конец.
В статической постановке уравнение (8) и граничные условия (10) перепишем в виде д2ик . -к-1
A
дх2
+ ЕФ&
■диК
\A — + BUk+E$k-1
дх
+ 0Р = 0, (14)
+ 4Р(#)*Е15и\ = 0.
2 (15)
Решается линейная задача и тем самым составляется нулевое приближение решения: „ д2ик
дх2
+ DF = 0,
(16)
[Ади7 + Вик + ЪР{<р)\Е15и\_ = 0. (17)
При построении вычислительного алгоритма для системы дифференциальных уравнений (16) с граничными условиями (17) применяем центральные конечно-разностные соотношения с точностью второго порядка [18, 28].
Аи1-1 - ви= + си1+1 + Р= = о,
здесь
А = А;, в=Ц, с~ =42, Р= = оР.
I2' к-' I2' I
Рассмотрим граничных условий случай, когда два конца стержня жестко-защемленные.
В этом случае граничные условия имеют вид:
и\ =0, Щ =0,
12=0 дх\х=о
и\ ,=0, дг\ =0.
12=1 д2 12=1
(18)
Порядок решения сформированной задачи следующий:
1. При i = 0 решается уравнение
И1 = -(1 + С-1А)-1с-1/?0.
2. При i = 1 решается уравнение
и2 = С-1(ви1-Ро).
3. При i > 2 решается уравнение
й=+1 = с-1(-Аи=-1 + Ви= -Р=).
4. При i = N - 2 решается уравнение
4-1 = С-1(-А4-з + В^-2 - Рк-2).
В результате получаем первое приближение решения:
д2ик
А-
дх2
=-DF-ЕФ
к-1
В дальнейшем идет процесс итерации до выполнения условия
МАХ
к к-1 \Ui -Ъ \<
_ к-1 к-1 Для Ф2 и Ф2 , применяя центральные
конечно-разностные соотношения с точностью
до второго порядка [14, 18], имеем
Ф2
Oi+1 - 2 Щ + w=
1
+
Y2h
и
к-1
Ф2
■(w=
i+1
= —(Щ
-U=-1)] Vi-1)\[]h2(U
i-l)] Lh
■(U
i+1
Wi-1)~(Ui
2 u= + ui-1)
Ui-1).
Обсуждение результатов
Рассмотрим численное решение задачи. Для расчета стержня используются следующие значения параметров: модуль Юнга Е = 2х105 Па, коэффициент Пуассона у1 = 0.3 (для стали), длина l = 10 м , рассматриваемые поперечные сечения а = 0,02 м, Ь = 0,02 м, поверхностные нагрузки ql = 0,015 Н, q3 = 0,02Н,
M = 0,012Н-м.
Полученные результаты, приведенные ниже, соответствуют поставленным краевым задачам (18).
На Рис. 1-4 приведены результаты колебания стержней в виде графиков для продольного перемещения u, поперечных перемещений W, угла наклона сечений а для краевых задач, стержень на двух концах жестко защемленный.
На Рис. 1 приведены графики значений продольного перемещения u, изменяющиеся по времени t. Продольное перемещение U на каждой точке симметрично увеличивается от границы в сторону центра по длине стержня. Синусоида продольного перемещения образована по времени.
На Рис. 2 представлен график временного изменения в 20-й точке при разбиении длины
стержня на 40 частей. В остальных узлах также получаются синусоиды, но с меньшей амплитудой.
■ t=5 t=80
10 15 20 25 30 35 40
-t=60
• t=20 t=100
■ t=40 t=120
Рис. 1. Изменение продольного перемещения u х10 по длине стержня
2,5 2 1,5 1
0,5 0
-0,5
г л л л \
л А \
I
\l \/ U J \/ \/
00 20 30 0 40 0 50 0 60 » 7 0 80
Рис. 2. Изменение продольного перемещения и на одной точке стержня по времени t
• t=20 t=40
■t=100............
.................
■ t=60 t=140
■ t=80 t=160
Рис. 3. Изменение поперечного перемещения wх104 по длине стержня
На Рис. 3 приведены графики изменения поперечного перемещения W по времени t. Поперечное перемещение w на каждой точке симметрично увеличивается от границы в сторону центра по длине стержня.
u
3,5
3
2,5
2
1,5
0,5
I
0
0
5
?
к-1
и
3,5
3
w
25
20
15
10
5
0
5
15
25
35
0
10
20
30
40
20 15 10 5 0 -5 -10
u, w, a
. \ V * .•V 'О
0 10 N.. 0 20 х/ "3 Ку 4 » ч,6 0 \ю 0у 8С
Рис. 4. Изменение поперечного перемещения W на одной точке стержня по времени t
Рис. 7. Изменение продольного 104 • u и поперечного перемещений 104 • w, угла наклона при чистом изгибе 104 • а на одной точке стержня по времени г
05 1 01 52 02 53 03 54
• у
V • • ж ж
•'У
——1=5 1=20 1=40 1=6
Рис. 5. Изменение угла наклона ах 104 по длине стержня
На Рис. 5 приведены графики значений угла наклона а, изменяющиеся по времени г. Наибольшая амплитуда достигается в середине стержня. Она сначала убывает, а потом возрастает, достигнув практически состояния покоя. На эти изменения отводится 120 шагов времени.
Амплитуда синусоидального изменения угла наклона составила примерно 2, а интервал изменения - (-3,8; 0,0).
, w, a l=100, t = 80
20 15 10 5
52 02 53 03 54
05 1 01
Рис. 6. Изменение продольного 104•и и поперечного перемещения 104 • w, угла наклона при чистом изгибе 104 •а на одной точке стержня по времени г
3,5 3 2,5 2 1,5 1
0,5 0
-0,5
* 1
1 * * 1* * f • • « « ' ;7 \ 1 • 1 1*1 1» /
у « у7 • • 1 • A/ • А1
01 00 200 3 00 40 05 00 60 0 00 80
Рис. 8. Сравнение линейного и нелинейного результатов продольного перемещения и
На Рис. 8-10 проведено сравнение линейного и нелинейного результатов стержней. Установлено, что учет нелинейных членов ведет к существенному уточнению динамической модели стержней, т.е. к понижению амплитуд поперечных колебаний и увеличению их частот в сравнении с линейными случаями.
25 20 15 10 5 0 -5
9
\ \ /•* % \ ,-J
01 0 2 0 30 0 40 0 50 0 60 0 7 0 80
Рис. 9. Сравнение линейного и нелинейного результатов поперечного перемещения w
w
25
25
20
5
0
5
t
0
w
u
-5
a
u
0
2
3
4
w
0
5
w
u
На Рис. 6. приведены изменения продольного и, поперечного w перемещений и угла наклона а по длине стержня. Каждый параметр имеет свою синусоиду по времени.
0,5 0
-1,5
-2 -2,5 -3 -3,5 -4 -4,5
1
01 0 20 30 0 » /500í •6C 0M 7 »7180
/ I- L A •* ir ml
Рис. 10. Сравнение линейного и нелинейного результатов угла наклона а
Заключение
Полученные результаты согласуются с результатами исследований по нелинейной динамике стержней, когда сравнение перемещений упругих элементов в линейной постановке дает отличия с нелинейной постановкой задачи. Это говорит о том, что исследуемая здесь конструкция стержней с рассматриваемыми геометрическими и физическими параметрами существенно не линейна. Поэтому линейное моделирование этой проблемы приведет к первому (завышенному) приближению решений. Кроме того, он отразит многообразия сложных колебательных процессов, возникающих на кратных частотах, которые останутся за рамками линейных динамических моделей.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Анарова Ш.А., Юлдашев Т. Математическая модель нелинейных уравнений колебаний стержней при динамическом нагружении. Узб. журнал «Проблемы информатики и энергетики». - Ташкент, 2014. № 6. С. 36-42.
[2] Анарова Ш.А., Юлдашев Т. Математические модели пространственно-нагруженных стержней с учетом функции кручения и поперечных сдвигов. ТАТУ хабарлари. 2014. № 4 (32). С. 7686.
[3] Анарова Ш.А., Сафаров Ш.Ш. Математическое обеспечение напряженно-деформированного состояния стержней при пространственном нагружении. Проблемы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 2016. № 4. -С. 20-34.
[4] Анарова Ш.А., Юлдашев Т. Вывод дифференциальных уравнений колебания стержней при геометрически нелинейной постановке // Проблемы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, 2018. № 2. С. 72-105.
[5] Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и деформационной пластичности: Пер.с.англ. — М.: Мир, 1987. — 542 с.
[6] Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.Л. Нелинейные изгибные стационарные волны в балке Тимошенко. Нелинейный мир. 2008. Т. 6, № 5-6. С. 348-358.
[7] Ерофеев В.И., Орехова О. И. Дисперсия изгибной крутильной волны, распространяющейся в балке. Приволжский научный журнал. 2011. № 3.-С 2026.
[8] Ерофеев В.И. Изгибно-крутильные, продольно-изгибные и продольно-крутильные волны в стержнях. Вестник научно-технического развития. - 2012. № 5 (57). -С. 3-18.
[9] Зинченко А.С. Распространение продольно-изгибных и продольно- крутильных волн в стержне. Научный поиск. 2012. № 2 (6). С. 38-40.
[10] Кабулов В.К. Алгоритмизация в теории упругости и деформационной теории пластичности. - Ташкент: Фан, 1966. - 391 с.
[11] Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.
[12] Назиров Ш.А. Трехмерные нелинейные математические модели механики деформируемого твердого тела. Вопр. вычисл. и прикл. математики: Сб. науч. тр. Ташкент, Центр РПП и АПК, 2012. вып.128. С.14-46.
[13] Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. M. -Л: Гостехиздат, 1948. - 211 с.
[14] Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 532 с.
[15] Умбеткулова А.Б., Хаджиева Л.А., Маменников В.В. Об анализе нелинейных колебаний буровых штанг с конечными деформациями. Известия НАН РК. 2012. № 1. С. 10-14.
[16] Хаджиева Л.А., Умбеткулова А.Б. Об аппроксимации нелинейных колебаний сжато-скрученной буровой штанги при конечных деформациях. Известия НАНРК. Серия физико-математическая. 2014. № 1 (293). -С. 69-75.
[17] Anarova Sh.A., Nuraliev F.M., Dadenova G. Mathematical model of spatially loaded bars with account of torsion function and transverse shears. International Journal of Technical Research and Applications e-ISSN: 2320-8163, www.ijtra.com Volume 4, Issue 1 (January-February, 2016). P. 2232.
[18] Anarova Sh.A. Algorithm of solution of geometrically nonlinear problem of rods with arbitrary mechanical geometrical characteristics. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Volume 4, Issue 11 (November, 2017). P. 4796-4815.
[19] Arvin H., Bakhtiari-Nejad F. Nonlinear modal analysis of a rotating beam. International Journal of Non-linear Mechanics. 2011. P. 1-15.
[20] Asghari M., Kahrobaiyan M.H., Ahmatian M.T. A nonlinear Timoshenko beam formulation based on the modified couple stress theory // International journal of Engineering Science. 2010. Vol. 48. -P. 1749-1761.
[21] Zhu W., Chung J. Nonlinear lateral vibrations of a deploying Euler-Bernoulli beam with a spinning motion. International Journal of Mechanical Sciences. - 2015. - Vol. 90. -P. 200-212.
[22] Li Z., Li J. Fundamental equations for dynamic analysis of rod and pipe string in oil-gas wells and application in static buckling analysis. Journal of Canadian Petroleum Technology. 2002. Vol. 41(5).P. 44-53.
[23] Mamandi A. Kargarnovin M.H. Farsi S. Nonlinear Vibration Solution for an Inclined Timoshenko Beam unde the Action of a Moving Force with Constant. Nonconstant Velocity. Journal of mathematical Sciences. 2014. Vol. 201(3) -Р. 363-383.
a
0,5
-1
нелин.
[24] Mamandi A., Kargarnovin M.H. Nonlinear dynamic analysis of an inclined Timoshenko beam & subjected to a moving mass. forse with beam's weight included. shock and Vibration. 2011. Vol. 18(6). -P. 875-891.
[25] Piovan M.T., Sampaio R.A study on the dynamics of rotating beams with functionally graded properties // Journal of Sound and Vibration. 2009. Vol. 327. P. 134-143.
[26] Hijmissen J.W., W.T. van Horssen. On aspect of damping for a vertical beam with tuned mass damper at the top. Nonlinear dynamics. 2007. Vol. 50(1).P. 169-190.
[27] Hijmissen J.W., Van Horssen W.T. On transverse vibrations of a vertical Timoshenko beam. Journal of sound and vibration. 2008. Vol. 314. -P. 161-179.
[28] Anarova Sh.A., Nuraliyev F.M., Usmonov B.Sh., Chulliyev Sh.I. Numerical solution of the problem of spatially loaded rods in linear and geometrically nonlinear statements. International Journal of Engineering & Technology, 7 (4) (2018) 4563-4569.
[29] Nuraliev, F., Anarova, S., Amanov, O., Jumaev, S., & Abdirozikov, O. (2020). Mathematical model and computational experiments for the calculation of three-layer plates of complex configuration. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 1546). Institute of Physics Publishing. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1546/1/012094
[30] Anarova, S., & Ismoilov, S. (2019). Mathematical simulation of stress-strain state of loaded rods with account of transverse bending. In Journal of Physics:
Conference Series (Vol. 1260). Institute of Physics Publishing. https://doi.org/10.1088/1742-
6596/1260/10/102002
Шахзода Аманбаевна
Анарова - доктор технических наук, профессор кафедры аудиовизуальных технологий Ташкентского университета
информационных технологий. E-mail:
shahzodaanarova@ gmail.com
Шохмардон Мухаммаджонович Исмоилов - докторант Наманганский инженерно-строительный институт
E-mail: shohsoft@ gmail.com
Статья поступила 12.07.2020.
Investigation of the Vibration Processes of Rods Taking into Account Transverse Bending
Sh. A. Anarova 1., Sh. M. Ismoilov 2 1Tashkent University of Information Technologies 2Namangan Civil Engineering Institute
Abstract. Mathematical modeling of the processes of statics and dynamics of deformation of loaded rods taking into account transverse bending in linear and geometrically nonlinear formulations is considered. An extensive analysis of research carried out in universities and research centers around the world is given, the relevance of the problem and the field of application are discussed. The correctness of the mathematical formulation of the problem is shown. The kinetic, potential energy, volumetric and surface forces are determined for mathematical models of static and dynamic deformation processes taking into account the transverse bending of loaded rods in linear and geometrically nonlinear formulations. On the basis of the theory of elastic deformations and the refined theory of Vlasov-Dzhanelidze-Kabulov, as well as using the Ostrogradsky-Hamilton variational principle, a mathematical model of the statics and dynamics of movement of the points of the rod for transverse bending in linear and geometrically nonlinear formulations has been developed. The equation of the mathematical model with natural initial and boundary conditions in vector form is given. A computational algorithm is developed for calculating the statics and dynamics of loaded rods in linear and geometrically nonlinear problems using the central finite difference of the second order of accuracy. Deformation processes are considered when the rod is rigidly clamped at two ends in linear and geometrically nonlinear problems. The results of calculations are given in the form of graphs. The propagation of longitudinal vibrations, transverse vibrations and angles of inclination along the length of the rod at different points in time are studied. The results of linear and geometrically nonlinear oscillations are analyzed and compared.
Key words: vibrations, bar, Ostrogradsky-Hamilton variational principle, mathematical model, transverse bending, displacement, geometrically nonlinear, dynamics of loaded rods, central finite difference
References
[1] Anarova Sh.A., Yuldashev T. Matematicheskaya model nelineynix uravneniy kolebaniy sterjney pri dinamicheskom nagrujenii. Uzb. jurnal «Problembi informatiki i energetiki». Tashkent, 2014. № 6. S. 36-42.
[2] Anarova Sh.A., Yuldashev T. Matematicheskie modeli prostranstvenno-nagrujennix sterjney s
uchetom funksii krucheniya i poperechnix sdvigov. TATU xabarlari. 2014. № 4 (32). -S. 76-86.
[3] Anarova Sh.A., Safarov Sh.Sh. Matematicheskoe obespechenie napryajenno-deformirovannogo sostoyaniya sterjney pri prostranstvennom nagrujenii. Problemi vichislitelnoy i prikladnoy matematiki. Tashkent, 2016. № 4. S. 20-34.
[4] Anarova Sh.A., Yuldashev T. Vivod differensialnix uravneniy kolebaniya sterjney pri geometricheski nelineynoy postanovke. Problemi vichislitelnoy i
prikladnoy matematiki. Tashkent, 2018. № 2. S. 72105.
[5] Vasidzu K. Variatsionnie metodi v teorii uprugosti i deformasionnoy plastichnosti: Per. s. angl. M.: Mir, 1987. - 542 s.
[6] Yrofeev V.I., Kajaev V.V., Semerikova N.L. Nelineynie izgibnie statsionarnie volnbi v balke Timoshenko. Nelineyniy mir. 2008. T. 6, № 5-6. S. 348-358.
[7] Yrofeev V.I., Orexova O. I. Dispersiya izgibnoy krutilnoy volni, rasprostranyayusheysya v balke. Privoljskiy nauchniy jurnal. 2011. № 3. S 20-26.
[8] Yrofeev V.I. Izgibno-krutilnie, prodolno-izgibnie i prodolno-krutilnie volni v sterjnyax. Vestnik nauchno-texnicheskogo razvitiya. 2012. № 5 (57). S. 3-18.
[9] Zinchenko A.S. Rasprostranenie prodolno-izgibnix i prodolno- krutilnix voln v sterjne. Nauchniy poisk. 2012. № 2 (6). S. 38-40.
[10] Kabulov V.K. Algoritmizasiya v teorii uprugosti i deformatsionnoy teorii plastichnosti. Tashkent: Fan, 1966. - 391 s.
[11] Mixlin S.G. Variasionnie metodi v matematicheskoy fizike. M.: Nauka, 1970. - 512 s.
[12] Nazirov Sh.A. Trexmernie nelineynie matematicheskie modeli mexaniki deformiruemogo tverdogo tela. Vopr. vichisl. i prikl. matematiki: Sb. nauch. tr. Tashkent, Sentr RPP i APK, 2012. vip.128. S.14-46.
[13] Novojilov V.V. Osnovi nelineynoy teorii uprugosti. M. -L: Gostexizdat, 1948. - 211 s.
[14] Samarskiy A.A. Vvedenie v teoriyu raznostnix sxem. M.: Nauka, 1971. - 532 s.
[15] Umbetkulova A.B., Xadjieva L.A., Mamennikov V.V. Ob analize nelineynix kolebaniy burovix shtang s konechnimi deformatsiyami. Izvestiya NAN RK. 2012. № 1. 10-14.
[16] Xadjieva L.A, Umbetkulova A.B. Ob approksimatsii nelineynix kolebaniy sjato-skruchennoy burovoy shtangi pri konechnix deformasiyax. Izvestiya NANRK. Seriya fiziko-matematicheskaya. 2014. № 1 (293). S. 69-75.
[17] Anarova Sh.A., Nuraliev F.M., Dadenova G. Mathematical model of spatially loaded bars with account of torsion function and transverse shears. International Journal of Technical Research and Applications e-ISSN: 2320-8163, www.ijtra.com Volume 4, Issue 1 (January-February, 2016). P. 2232.
[18] Anarova Sh.A. Algorithm of solution of geometrically nonlinear problem of rods with arbitrary mechanical geometrical characteristics. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Volume 4, Issue 11 (November, 2017). P. 4796-4815.
[19] Arvin H., Bakhtiari-Nejad F. Nonlinear modal analysis of a rotating beam. International Journal of Non-linear Mechanics. 2011. P. 1-15.
[20] Asghari M., Kahrobaiyan M.H., Ahmatian M.T. A nonlinear Timoshenko beam formulation based on the modified couple stress theory // International journal of Engineering Science. 2010. Vol. 48. P. 1749-1761.
[21] Zhu W., Chung J. Nonlinear lateral vibrations of a deploying Euler-Bernoulli beam with a spinning motion. International Journal of Mechanical Sciences. 2015. Vol. 90. P. 200-212.
[22] Li Z., Li J. Fundamental equations for dynamic analysis of rod and pipe string in oil-gas wells and
application in static buckling analysis. Journal of Canadian Petroleum Technology. 2002. Vol. 41(5). P. 44-53.
[23] Mamandi A. Kargarnovin M.H. Farsi S. Nonlinear Vibration Solution for an Inclined Timoshenko Beam unde the Action of a Moving Force with Constant. Nonconstant Velocity. Journal of mathematical Sciences. 2014. Vol. 201(3) P. 363-383.
[24] Mamandi A., Kargarnovin M.H. Nonlinear dynamic analysis of an inclined Timoshenko beam & subjected to a moving mass. forse with beam's weight included. shock and Vibration. 2011. Vol. 18(6). P. 875-891.
[25] Piovan M.T., Sampaio R.A study on the dynamics of rotating beams with functionally graded properties. Journal of Sound and Vibration. 2009. Vol. 327. P. 134-143.
[26] Hijmissen J.W., W.T. van Horssen. On aspect of damping for a vertical beam with tuned mass damper at the top. Nonlinear dynamics. 2007. Vol. 50(1). P. 169-190.
[27] Hijmissen J.W., Van Horssen W.T. On transverse vibrations of a vertical Timoshenko beam. Journal of sound and vibration. 2008. Vol. 314. P. 161-179.
[28] Anarova Sh.A., Nuraliyev F.M., Usmonov B.Sh., Chulliyev Sh.I. Numerical solution of the problem of spatially loaded rods in linear and geometrically nonlinear statements. International Journal of Engineering & Technology, 7 (4) (2018) 4563-4569.
[29] Nuraliev, F., Anarova, S., Amanov, O., Jumaev, S., & Abdirozikov, O. (2020). Mathematical model and computational experiments for the calculation of three-layer plates of complex configuration. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 1546). Institute of Physics Publishing. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1546/1/012094
[30] Anarova, S., & Ismoilov, S. (2019). Mathematical simulation of stress-strain state of loaded rods with account of transverse bending. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 1260). Institute of Physics Publishing. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1260/10/102002
Shahzoda Amanbayevna Anarova, DSc, professor, Department of Audiovisual Technologies, Tashkent
University of Information Technologies named after Muhammad al-Khwarizmi.
E-mail:
shahzodaanarova@ gmail.com
Shokhimardon Mukhammadjonovich Ismoilov - Doctoral student, Namangan Engineering-
Construction Institute,
Namangan, Uzbekistan
E-mail: shohsoft@ gmail.com
The paper has been received on 12/07/2020.
