РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННОГО КРИТЕРИЯ КРИТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.04 Б01: 10.22227/1997-0935.2021.3.306-316

Решение задач об изгибе балки на основе вариационного критерия критических уровней энергии

Л.Ю. Ступишин1, М.Л. Мошкевич2

1 Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

(НИУ МГСУ); г. Москва, Россия; 2 Юго-Западный государственный университет (ЮЗГУ); г. Курск, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Рассмотрено развитие вариационных постановок задач строительной механики на примере задач изгиба балок. Существующие вариационные подходы, нелинейная теория изгиба балок, как и классические методы сопротивления материалов, не в состоянии объяснить ряд вопросов, связанных с несовпадением результатов теории и экспериментов, например, в задачах чистого и поперечного изгиба балок. Для их решения используются вариационные формулировки и критерии критических уровней внутренней потенциальной энергии деформации, развиваемые авторами.

Материалы и методы. Для внутренней потенциальной энергии деформируемого тела записывается условие стационарности на критических уровнях, позволяющее получить уравнения состояния, описывающие самонапряжение конструкции. Показано, что математическая модель состояния конструкции на критических уровнях потенциальной энергии деформации приводит к задаче на собственные значения. Обсуждаются величины, характеризующие постановку задач при формулировании в обобщенных усилиях и обобщенных перемещениях.

Результаты. На примерах задач чистого изгиба и прямого поперечного изгиба простых балок сосредоточенной силой показаны постановка задачи и методика ее решения. Приведены эпюры прогибов, изгибающих моментов и даны величины амплитудных значений в середине пролета. Определено, что для простых балок в задачах чистого изгиба и поперечного изгиба максимальные величины моментов достигаются в середине пролета балки, как и в эксперименте. сч сч Выводы. Проведено обсуждение полученных результатов и сравнение с данными, приведенными в теории гибких

(у стержней. Отмечено, что опасное сечение в двух подходах, имеющих разную физическую природу, располагается

- - в середине пролета балки. Показаны границы расхождения результатов для перемещений, моментов внутренних

^ усилий и напряжений. Результаты, получаемые по линейной теории сопротивления материалов, приводят к суще-

О з ственному запасу прочности. Рассмотрены перспективы развития теории критических уровней внутренней потенци-

с $ альной энергии деформации и возможности приложения методики в задачах строительной механики.

Ю <0 КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: балки, чистый изгиб, поперечный изгиб, критические уровни энергии, вариационные методы,

<0 т самонапряжение, прочность

Е

5 з ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: СтупишинЛ.Ю., Мошкевич М.Л. Решение задач об изгибе балки на основе вариационного

|2 критерия критических уровней энергии // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. Вып. 3. С. 306-316. Р01: 10.22227/1997-

0935.2021.3.306-316

. > аГ о

О % —■

о о

Problems of beam bending solution on the basis of variation criterion

«? ^ of critical energy levels

.E о

Leonid Yu. Stupishin1, Mariya L. Moshkevich

2

CO ° 1

ot 2 1 Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU);

Moscow, Russian Federation;

£ O 2 Southwest State University (SWSU); Kursk, Russian Federation

c _

LT> O

g | ABSTRACT

rj § Introduction. The article is devoted to the development of variational formulations of structural mechanics problems using en the example of the problems of bending beams. The existing variational approaches, the nonlinear theory of bending of beams, 2 2= as well as the classical methods of resistance of materials, are not able to explain a number of issues related to the discrepen g ancy between the results of theory and experiments, for example, in problems of pure and transverse bending of beams. To — 2 solve these issues, variational formulations and the criterion of critical levels of the internal potential energy of deformation,

• developed by the authors, are used.

O jj Materials and methods. For the internal potential energy of a deformed body, the stationarity condition at critical levels is

O written, which makes it possible to obtain equations of state that describe the self-stress of the structure. It is shown that

S a mathematical model of the state of a structure at critical levels of potential energy of deformation leads to an eigenvalue

S ¡¡J problem. The quantities characterizing the formulation of problems when formulating in generalized efforts and generalized

¡E £ displacements are discussed.

jjj jg Results. Using the examples of problems of pure bending and direct transverse bending of simple beams by a concentrated

tQ > force, the formulation of the problem and the method of its solution are shown. The diagrams of deflections and bending moments are given, and the magnitudes of the amplitude values in the middle of the span are given. It is shown that for

© Л.Ю. Ступишин, М.Л. Мошкевич, 2021 Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

вариационного критерия критических уровней энергии

simple beams in problems of pure bending and transverse bending, the maximum values of the moments are achieved in the middle of the beam span, as in the experiment.

Conclusion. The results are discussed and compared with the data obtained in the theory of flexible rods. It is noted that the dangerous section in two approaches having different physical nature is located in the middle of the beam span. The boundaries of discrepancy between the results for displacements, moments of internal forces and stresses are shown. It is noted that the results obtained according to the linear theory of strength of materials lead to a significant margin of safety. The prospects for the development of the theory of critical levels of internal potential energy of deformation, and the possibility of applying the technique to problems of structural mechanics are discussed.

KEYWORDS: beams, pure bending, transverse bending, critical levels of energy, variational methods, self-stress, strength

FOR CITATION: Stupishin L.Yu., Moshkevich M.L. Problems of beam bending solution on the basis of variation criterion of critical energy levels. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(3):306-316. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.3.306-316 (rus.).

ВВЕДЕНИЕ

Первое письменное исследование задачи об изгибе балки найдено в записках Леонардо да Винчи. В результате проведенного эксперимента он установил, что в двухопорной балке постоянного поперечного сечения «более всего изогнута» та часть, которая располагается на наибольшем удалении от опор [1]. Работы Бернулли, Эйлера и их последователей развили теорию изгиба балок, которая вошла в учебники по сопротивлению материалов и считается классической.

Интерес к изучению математической модели балки не ослабевает и в настоящее время [2, 3], поскольку формулировка задачи отражает наиболее общие закономерности закона сохранения энергии. Нелинейным задачам изгиба гибких стержней посвящены учебники В.А. Светлицкого, П. А. Жилина и многих других исследователей, где делаются попытки уточнить классические модели изгиба стержней. Причиной такого интереса отчасти является тот факт, что общность постановки задачи служит развитию теории вариационного исчисления [4], решению нелинейных дифференциальных задач [5-8] и других областей математики.

Вместе с тем физическая модель — общая для большого количества технических приложений и позволяет развивать теорию динамических задач [9-11], композитных конструкций [12, 13], метод конечных элементов [14-16], конструктивно нелинейных задач и задач контакта балок с упругим основанием [1719], и прочие направления строительной механики.

Самой популярной в технических приложениях стала формулировка задачи, предложенная С.П. Тимошенко, в рамках которой активно изучаются динамические задачи [20-26], строится теория расчета композитных балок [27-29], теория метода конечных элементов [30], балок на упругом основании [31, 32] и др.

Несмотря на хорошую изученность моделей изгиба балки, многие важные для технических приложений вопросы остаются не объясненными. Например, в модели чистого изгиба простой балки все сечения являются равноопасными, хотя в эксперименте дефекты, характеризующие разрушение балки, появляются посередине участка чистого изгиба. В за-

даче плоского поперечного изгиба простой балки сосредоточенной силой опасное сечение, согласно классической теории, расположено под точкой приложения нагрузки. Однако эксперимент показывает, что это не так, а разрушение балки начинается в сечениях, расположенных ближе к середине пролета.

К сожалению, нелинейная теория балок так же, как и классическая теория, не дает ответа на эти вопросы. Результаты, получаемые с использованием нелинейной теории (см., например, учебное пособие П. А. Жилина), позволяют лишь получить асимптотические приближения значений усилий и прогибов к точному решению, исходя из предположений об отсутствии жесткости балки (модель гибкой нити) или условия бесконечной жесткости балки.

Теория критических уровней потенциальной энергии деформации, развиваемая авторами, дала возможность на основе вариационного критерия критических уровней энергии получить результат [33], объясняющий положение места разрыва образца, растягиваемого сосредоточенными силами. В то время как согласно классической теории сопротивления материалов, все сечения при осевом растяжении образца равноопасны.

Настоящая статья посвящена развитию методики исследования деформируемых тел на критических уровнях энергии на примере задач изгиба балок, уточнению уравнений состояния изгибаемых систем на основе теории критических уровней внутренней потенциальной энергии деформации (далее энергии деформации) твердых деформируемых тел, позволяющему объяснить некоторые отличия классической теории изгиба балок и результатов экспериментов.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Понятие критического состояния систем широко используется в науке и технике. Как правило, достижение критического состояния означает, что параметры системы достигли своих предельных значений, после превышения которых система либо перестает существовать, либо качественно меняет закономерности своего поведения.

Примерами в механике твердого деформируемого тела служат потеря устойчивости первоначальной формы равновесия конструкции, явление резо-

< п

tT

iH О Г

0 w

t CO

1 z y i

J CD

U

r i

n °

» 3

0 Ш

01

о n

CO CO

n NJ Ш 0

•) mi

<D

0>

№ DO

" T

s □

s У с о <D Ж WW

нанса. Вполне вероятно, что потеря прочности конструкцией — также проявление неустойчивости процесса деформирования материала.

Математическая модель указанных видов критического состояния деформируемых твердых тел может быть получена из рассмотрения потенциальной энергии деформации системы без учета внешних воздействий [33]. Пусть внутренняя потенциальная энергия деформации системы представлена инвариантом, описывающим задачу в виде [34, 35]:

и = }Ь(х, .')Сх,

при краевых условиях

= й, ЦЬ) = я.

(1)

(2)

Ь.-.-Ф'2 +

сь..

Сх

Ф2

Сх ^ шт. (3)

N N О О N N

(О (О

¡г <и и 3 > (Л

с и

и (О <0 ф

I!

Ф О)

о ё

о |

8 «

2 ■ ^ от*

от Е

Е о

о

^ с ю °

£ 1 сэ ЕЕ

О) ^ т- ^

£

ОТ °

■8 £

Е!

О И №

при изопериметрическом условии

и

■■ |ф2( х)Сх — 1,

и краевых условиях

Ф(а) = Ф(Ь) = 0.

(4)

(5)

Ь — А 0Ф2 + Ь.. (Ф' )2 +

Ь + СЬ«1

.. Сх

Ф2

и уравнение Эйлера - Лагранжа:

дц _ с - 0

ЭФ Сх ЭФ' Тогда уравнение Якоби запишется как:

2А оФ + 2Ф[ Сх (('Ф' ) - (6)

Введя обозначения, получим:

АФ" + ВФ' + СФ = 0,

где выражения коэффициентов однородного дифференциального уравнения имеют вид:

СЬк,к,

А - Ь«' ■в - ссг

сь..

С — А 0 + Ь.. +--

0 « Сх

(7)

Используя подстановку Ф

У(х) —■

приведем уравнение (6) к нормальному виду у" + ю(х)у = 0.

Здесь

( )—_ с _ 1 г вт_ 1С г в

Ю = А 41 а] 2 Сх I А

(8)

(9)

Набор критических уровней энергии, соответствующий равенству нулю второй вариации функционала, определяется записью в сопряженном виде [36]:

Обратим внимание на то, что В = А', как следует из уравнения (7).

В задачах (4)-(6) мы получили формулировку условий самонапряжения деформируемой системы исходя из условия стационарности внутренней потенциальной энергии деформации системы. Наличие дискретного спектра определяется величиной ю(х) [37]. Спектр однородной задачи (8) дискретен, если:

для ю(х) < 0, х > 0, ю'(х) х 0;

при х ^ да, ю(х) ^ - да;

ю"(х) сохраняет знак для больших величин х;

интеграл | |ю(х)| 2 Сх сходится.

0

Нетрудно показать, что приведенные выше условия выполняются и для других фазовых переменных задач строительной механики. Сопряженная задача для обобщенных перемещений будет иметь вид:

Здесь индексы означают дифференцирование по соответствующей переменной; Ф(х) — обобщенные усилия, переменная, сопряженная обобщенным перемещением £(х).

Лагранжиан задачи (3)-(5) имеет вид:

(У*) +Ю* (х) У* — 0, .(с) — .(С) — 0.

: |.2(х)С;

Ьс — 1,

(10)

Знак * означает переменную, сопряженную у(х).

Таким образом, на критических уровнях энергии для всех фазовых переменных справедлива постановка задачи в виде задачи на собственные значения при соответствующих краевых условиях вида и условии нормировки (условии полноты собственных функций задачи).

Чтобы иметь представление о величине и физическом смысле коэффициентов (7) в уравнении (9), рассмотрим лагранжиан (1) потенциальной энергии деформации тела в виде разложения в ряд Тейлора, ограничившись линейной частью ряда:

1

+— 2

ЭЬ0 2 Э2 Ь0„2 . д2 Ь0 Э.'2

ЭЬ0 „ _ Э2Ь0 _ д2Ь0

^0 2 . д Ь0 . 2 . д Ь0 ./ 2 + Эх2х + д.2 . + -" . +

д.2

+2-

. + 2 —I х.' + 2—^

дхд. дхд.

вариационного критерия критических уровней энергии

Тогда коэффициенты уравнения (7) будут иметь

вид:

А = = 2

д2Ьо в = = 2 С Э2Ь0

Э^'2 ' сСх ^' ск Э^''

с = , +2^ + ± 2 -Э2 Ь°

д* = ф

с = х 0 +

Э^2

= Ф'' А = 2

э2 и

- = 2

ЭФ'

2 э^'

, ЭФ

=х0+ Ж

(11)

мента конструкции на рассматриваемом уровне деформирования, что позволяет сделать вывод (ввиду произвольности множителя Лагранжа X), что коэффициент равен жесткости системы в начальный момент деформирования:

Х + К0

Э^2 ск Э^'

В квазистационарных задачах лагранжиан имеет смысл потенциальной энергии деформации в точке. Тогда можно записать для начальной точки кривой состояния системы:

ю =

К0

где К0 — начальная жесткость системы.

В динамических задачах, если выражение (11) записать в обобщенных перемещениях, после разделения переменных, имеем:

Э2 Ьо

3^'2

- = т( х),

Постоянная величина А имеет смысл скорости изменения жесткости в точке элемента конструкции. Она связывает скорости изменения обобщенных перемещений и скорости изменения обобщенных усилий по координате в рассматриваемой точке на определенном этапе деформирования.

В классической механике твердого деформируемого тела изменение скоростей обобщенных усилий и обобщенных перемещений по пространственной координате считают пренебрежимо малым, что связано с гипотезой о малом изменении жесткости по координате. Поэтому постоянную величину можно считать равной жесткости системы в начальный момент деформирования.

Влияние изменения жесткости системы по координате наиболее глубоко изучено в теории анизотропных тел. При этой постановке задач в большинстве случаев основываются на гипотезе «размазывания» жесткости по объему и, таким образом, сводят задачу к изотропной. Другие виды задач — это задачи тел с изменяющейся геометрией поперечного сечения вдоль координаты или задачи с изменением механических характеристик тела вдоль координаты (включая задачи о коррозии материала и появлении разного рода неоднородностей в материале). Мы хотим обратить внимание на тот факт, что скорость изменения жесткости в точке тела влияет на поле деформаций и в изотропных телах, поэтому должна учитываться в постановке и решении задач о деформировании изотропных конструкций. Подтверждением этому утверждению служит использование стандартизованных размеров образцов, применяемых в лабораторных испытаниях, а также баз тензодат-чиков (резисторных) и тензометров. Иначе невозможно обеспечить повторяемость и достоверность сличительных испытаний.

Смешанная производная в выражениях В и С (6) равна нулю на экстремалях. Второе слагаемое в коэффициенте С имеет смысл упругой жесткости эле-

где т(х) — погонная масса элемента конструкции;

^Ь0 = к (х),

где к(х) — погонная жесткость элемента конструкции.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Покажем реализацию полученных результатов на простых задачах сопротивления материалов, где можно будет увидеть причины расхождения классической теории с экспериментальными результатами.

Чистый изгиб простой балки. Для решения задачи плоского чистого изгиба балки (см. рис. 1) мы имеем две группы операторов. Первая позволяет определить функции влияния нагрузки на обобщенные усилия и перемещения:

Ьг(м>) = (К1м>")" = 0,

при краевых условиях

^"(0) = -Мсг, Е1м>"(1) = -Мс1

(12)

(13)

< П

о Г и 3

О сл

И СО

У 1

о со

и ¡5

Г I

о 2 О?

о п

где Е1 — жесткость балки; м> — вертикальные перемещения точек оси изогнутой балки; Мсг — критическая (предельная) величина моментов, приложенных по концам балки в предположении ее работы в упругой стадии.

Несложно видеть, что это — уравнения классической теории изгиба балок, полученные в предположении об ее недеформируемой схеме. Другими словами, результат решения данных уравнений — это эквивалентное заданной нагрузке воздействие на изгибаемую балку в виде перемещений или внутренних усилий (шаблон, имитирующий нагрузку).

Решение уравнения (12) имеет вид:

w0 = С1 + С2х + С3х2 + С4х3.

Краевые условия можно записать как: ^(0) = 0; м>0(1) = 0;

<(0) = МС,1Ы; w"(l) = -М^Ы.

со со

2 ¡6 > 6

• ) и

®

О)

№ ОН

■ £

И □ (Я У

С о

Ф Ж

, Ы

о

сч N о о

N N

fifi ¡É ai

U 3 > (Л С И

ta со

<ö щ

í!

<u tu

O %

со "

со E

— -b^

e §

CL °

^ d

LO °

s i

о ЕЕ

o ^

Z £ £

со °

r

Si

О (Я

Подставив функцию прогибов в краевые условия, получаем значения постоянных величин:

С1 = 0; С4 = 0; С2 = Мсг//2Е/; С3 = -МсДЕ/.

Функция влияния нагрузки на прогибы недефор-мируемой балки приобретает вид

wQ = хМсг1/2Е/ - х2Мс/2Е/. (14)

Эпюра прогибов WQ представлена на рис. 1. Эпюра моментов М0 постоянна вдоль пролета балки, что соответствует результатам классической теории.

Mcr

Mcr

EJ

гл

l I 2

/77

777

, MJ2 I 8EJ

Mcr

, MJ2 I 8EJ

/1'234Mer

.............................................. 7 ................................................

2'234MCT

Эпюра w0 Epure w0

Эпюра M0 Epure M0

Эпюра wc Epure wc

Эпюра Mc Epure Mc

Эпюра M Epure M

Mcr

L2(w) = w" + kw = 0.

(15)

и собственных функций существуют явные решения для некоторых типов граничных условий.

Например, в случае свободно опертой балки с граничными условиями w(0) = w(/) = 0 имеем набор собственных значений:

щ2 П 2

^п = кп = ~П = 1' 2' 3' ... (16)

I

Нормированные собственные функции имеют вид:

wn( x)=sin ( x*Jk )■

(17)

С точки зрения критических уровней энергии, собственные моды изгиба балки показывают, что какой бы ни была нагрузка, на критических уровнях энергии форма оси изогнутой балки описывается только собственными модами вида (17). По сути, это есть моды деформирования балки, изменяющиеся подобным образом от одного критического уровня деформаций к другому, соответствующие состояниям самонапряжения на критических уровнях энергии.

С другой стороны, уравнение прогибов самонапряжения (17) можно представить нормированным на амплитудное значение для первого критического уровня как:

w,(x) . (nx N = sin I — l

(18)

Выразим амплитудное значение прогиба через предельный изгибающий момент в середине балки, который определяется как в классической теории (10):

Рис. 1. Расчетная схема и эпюры прогибов и критических моментов

Fig. 1. Design scheme and diagrams of deflections and critical moments

Результат решения задачи — найдены эквивалентные внутренние усилия, уравновешивающие внешнюю нагрузку на недеформируемую балку.

Вторая группа уравнений представляет собой критерий критических уровней энергии для поставленной задачи [33]. Вариационная постановка задачи изгиба имеет вид (10), где первое выражение — уравнение оси изогнутой балки, которая находится в состоянии самонапряжения как при воздействии малых вариаций внешних воздействий, так и в момент на-гружения заданной величиной нагрузки. Уравнение однородное, поскольку внешняя нагрузка уравновешена внутренними усилиями, определяемыми в соответствии с задачей (12), (13). В роли обобщенных перемещений здесь выступают прогибы балки

MJ¿

8EJ

(19)

Тогда уравнение прогибов самонапряжения для первой моды изгиба п = 1 имеет вид:

Mcrl2 . f nx

Wie( x) = —c— sin| — .

8EJ

(20)

Уравнение распределения изгибающих моментов самонапряжения балки вдоль ее пролета будет иметь вид:

? / Mcrn2 . f

nx

M ( x) = EJwlC ( x) = sin J =

= 1'234Mcr sin I y I.

(21)

Решение уравнения (14) хорошо известно [38], а в отдельных случаях для собственных значений

Эпюра моментов самонапряжения показана на рис. 1. Величина момента самонапряжения превышает величину момента в опасном сечении, вычисленного для недеформируемой балки приблизительно на 23 %. Указанная разница идет в запас прочности, поскольку при одинаковой величине предельного значения момента в опасном сечении

x

l

w

W =

A

вариационного критерия критических уровней энергии

следует увеличить изгибающие моменты, нагружающие балку, до величины, приведенной в выражении (21).

Эпюра моментов самонапряжения показывает, что распределение усилий в балке не является постоянной величиной вдоль пролета, а имеет максимальное значение посередине пролета, что соответствует экспериментальным данным, а также теории стержней большой гибкости [2].

Плоский поперечный изгиб. Пусть поперечная сосредоточенная внешняя нагрузка на балку расположена на расстоянии 1/3 от левой опоры балки.

В случае прямого поперечного изгиба балки, согласно классической теории сопротивления материалов, опасное сечение рассчитывается по эпюре моментов М и находится под внешней сосредоточенной силой. Если сила приложена не в середине балки (как в нашем случае), то сечение, в котором начинается разрушение, наблюдаемое в эксперименте, не совпадает с положением опасного сечения.

Начнем с определения функции распределения прогибов для недеформируемой схемы балки. На рис. 2 показаны эпюры моментов М ^ и прогибов w0 для случая действия сосредоточенной силы, определенные для недеформируемой схемы.

2Fcr / 3

F / 3

L cr ' ^

Эпюра MF Epure MF

Эпюра w0 Epure w0 Эпюра wc Epure wc

Эпюра Mc Epure Mc

функции влияния на прогибы балки заданной нагрузки устанавливается по зависимости между моментами и прогибами балки типа (12):

V( X) = JJ

M ( x) EJ

dxdx.

(22)

Выражение (22) может быть представлено в более удобном для расчетов виде:

i Mdx

Ф = Ф о - J-, w = w0 +

EJ

J фсЪ:.

(23)

Здесь интегрирование по координате ведется по участкам, а х{ — текущая координата на участке. Несложно видеть, что функция прогибов недефор-мируемой балки при воздействии сосредоточенной нагрузки будет кубической параболой. На эпюре прогибов показаны прогибы под силой и в середине пролета балки.

0 < x < a, woi =

Fa2b2 f

6EJl

xx 2- + — ab

V

3 >

x

a 2b

a < x < l, wo2 =

Fa2b2'

6EJl

/ — x l — x 2-+--

(l — x )

ab2

3

. (24)

Заметим, что в классической теории изгиба балок имеют место и другие способы представления функции прогибов простой балки: функции Эрмита, балочные функции и т. д. Важно, что все они приведут к одинаковым значениям прогибов в интересующих нас точках, показанных на эпюре w0.

Для случая самонапряжения балки (16), (17) получаем величину прогиба в середине, исходя из того, что прогибы в месте расположения силы должны совпадать для двух рассматриваемых случаев: неде-формируемой балки и самонапряжения:

wc ( x) =

F„ 4l3

243EJ sin(n /3)

nx

0,2736Fcr 0,3545Fcr

Рис. 2. Изгиб балки, сосредоточенной силой Fig. 2. Bending of a beam by concentrated force

Для построения функции прогибов балки, рассчитываемой по недеформируемой схеме, используем решение уравнения оси изогнутой балки. Вид

Mc ( x) =

F„ 4l П

243 sin(n /3) 6

< П

tT

iH

О Г s 2

0 м

t СО

1 z y i

J CD

U i

r i

n °

С 3

о СС 0?

о n

sin | — |. (25)

Тогда уравнение моментов для состояния самонапряжения балки, изогнутой силой, примет вид:

Mc (x) = F*41П2 sin f™J. (26) cW 243sin(n/3) ^ l J

Величина момента под силой:

F 41П2 F l

Mc (x) = ^-+ = 0,2736FC (27)

c 243 9

Величина момента в середине пролета балки:

со со

n M

с 66

• ) ü

®

0>

+ = 0,3545Fcrr. (28)

Мы получили, что опасное сечение в середине пролета балки, как и в эксперименте, и в монографии [2]. Итоговая эпюра отражает два состояния балки:

№ ОН ■ т

(Л У С о ® Ж WW

сч N о о

N N (О (О

¡г <и и 3 > (Л

с и

и со «О ф

I!

Ф О)

о ё

(Л

ел

Е о

о

• с

ю о

£ 1 о ЕЕ

О) ^ т- ^

ел ел

«г?

■8 Г Е!

О (Л

равновесие внешней нагрузки и внутренних усилии, и состояние самонапряжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Предложенная методика исследования систем с распределенными параметрами на критических уровнях энергии дает возможность получить уравнение оси изогнутой балки, находящейся в условиях самонапряжения на критических уровнях энергии. Математическая модель в виде задачи на собственные значения позволяет выбрать функции распределения моментов вдоль оси балки в виде собственных функций однородной задачи типа (8), (15), а собственные значения — найти прогибы в характерных точках пролета.

Полученные результаты показывают, что наибольшие величины моментов (опасные сечения) находятся в середине пролета балки, что подтверждается экспериментами и теорией гибких стержней [2].

Следует заметить, что в подавляющем большинстве задач сопротивления материалов и строительной механики целью является не построение эпюры с максимальной точностью (выбор функции, аппроксимирующей уравнение оси изогнутой балки), а определение расположения опасных сечений и максимальные значения внутренних усилий (деформаций) в них. Практикующие расчетчики, опираясь на опыт, принимают положение опасного сечения в середине пролета, объясняя, что разница моментов в пролете невелика. Правоту их утверждений легко проверить, построив линии влияния моментов в середине пролета балки, и, как в выбранном выше примере, на расстоянии трети пролета от левой опоры. Любые сочетания нагрузок, включая статические подвижные, дадут максимальное (опасное) значение момента в сечении, расположенном в середине пролета. Проведенное исследование подтверждает их правоту, как и утверждение Леонардо, основанное на эксперименте.

Сравнение результатов, полученных в работе [2] по теории стержней большой гибкости, с линейной теорией сопротивления материалов подробно выполнено Е.П. Поповым.

В теории стержней большой гибкости получено точное решение уравнения кривизны балки

12 ^ = -р2в1п ^ = ^ + 5, в = П21е1 ,

ds

вытекающее из математического выражения кривизны отрезка кривой

1

касательной к оси балки и начальным расположением оси; 5 — угол наклона силы к оси балки; р — радиус кривизны балки.

Для сравнения выбиралось решение приближенного уравнения продольно-поперечного изгиба балок, полученного по линейной теории

EJw" + Ы™ = М(х).

(29)

Р (Т^2)

где I — длина пролета балки; 5 — отрезок криволинейного участка балки; 9 — угол наклона между

Чтобы не повторять выполненный анализ расхождения результатов, мы отсылаем читателя к первоисточнику [2], отметив, что разница в определении прогибов достигает 32 %, а в определении напряжений около 15 %. Причем полученное расхождение результатов относится в запас прочности проектов, рассчитанных по линейной теории.

Несложно видеть аналогию уравнений (29) и (15), исходящих из разных предпосылок и описывающих разные физические явления. Однако соответствующий задаче (10), (15) выбор нормировочных множителей для собственных функций задачи о самонапряжении балки при изгибе позволяет получать результаты, хорошо коррелирующиеся с известными данными.

В решенных нами задачах нормировочный множитель выбирался по уравнениям (19) и (25), соответственно, в предположении малости прогибов, когда, как и в линейной теории сопротивления материалов, продольными усилиями в балке можно пренебречь. Даже в этом случае момент самонапряжения в выражении (28) для сечения, расположен-

П 4/П2

г- 1 гСГ СГ

ного в середине пролета балки МС =-=

243 8т(л / 3)

= 0,1876ПСГ/, отличается от опасного момента, найденного по классической теории в сечении, расположенном на расстоянии трети пролета от левой опоры П I

Мср = = 0,111иу, почти в 1,69 раз. Это говорит

о том, что для достижения предельной величины момента самонапряжения в сечении, расположенном в трети пролета балки от левой опоры, такой же, как предельная величина момента в середине пролета, действующую нагрузку следует увеличить в указанное количество раз. Таким образом, имеется значительный запас прочности у конструкции, спроектированной по классической теории.

Результаты исследования можно кратко сформулировать в следующем виде:

1. Получены уравнения состояния системы с распределенными параметрами на критических уровнях внутренней потенциальной энергии деформации, которые описывают состояние самонапряжения (самоуравновешенности) системы.

2. На их основе представлены математические модели задач чистого изгиба и прямого поперечного изгиба балки сосредоточенной силой.

3. Решение задач изгиба балок, находящихся на критическом уровне энергии в состоянии самонапряжения, хорошо согласуется с известными клас-

п

IV

вариационного критерия критических уровней энергии

сическими результатами сопротивления материалов и теорией гибких стержней Е.П. Попова.

4. Получено, что классическая теория сопротивления материалов дает запас прочности по изгибающим моментам в задаче чистого изгиба в размере 23 %. В задаче поперечного изгиба силой, расположенной в одной трети пролета от одной из опор, запас прочности по моментам составляет 59 %.

Дальнейшие уточнения могут быть получены для стадии изгиба, когда необходимо учитывать влияние продольных усилий, возникающих в балке, а также влияние сдвиговых деформаций. Для этого уточняется нормировочный множитель к в уравнениях (15).

Предлагаемая методика может быть распространена на двумерные и трехмерные объекты строительной механики с целью определения опасных сечений и точек конструкции, в которых рационально выбирать характерные точки для использования в практике проектирования, а также построения матричных алгоритмов расчета конструкций и метода конечных элементов.

С практической точки зрения положение характерных сечений может применяться при мониторинге строительных конструкций ответственных зданий и сооружений, для оценки состояния несущих конструкций в процессе эксплуатации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малинин Н.Н. Кто есть кто в сопротивлении материалов / под ред. В. Л. Данилова. М. : Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 244 с.

2. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М. : Наука, 1986. 294 с.

3. Павилайнен Г. П. Математическая модель задачи изгиба пластически анизотропной балки // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2015. Т. 2. № 4. С. 633-638.

4. Wang J., Ma R., Wen J. S-shaped connected component for nonlinear fourth-order problem of elastic beam equation // Journal of Function Spaces. 2017. Vol. 2017. Pp. 1-8. DOI: 10.1155/2017/1069491

5. He C., Wu X., Wang T., He H. Geometrically nonlinear analysis for elastic beam using point interpolation meshless method // Shock and Vibration. 2019. Vol. 2019. Pp. 1-10. DOI: 10.1155/2019/9065365

6. Wang D., Zhang J., Guo J., Fan R. A closed-form nonlinear model for spatial Timoshenko beam flexure hinge with circular cross-section // Chinese Journal of Aeronautics. 2019. Vol. 32. Issue 11. Pp. 25262537. DOI: 10.1016/j.cja.2019.01.025

7. Li X., Huang W., Jawed M.K. A discrete differential geometry-based approach to numerical simulation of Timoshenko beam // Extreme Mechanics Letters. 2020. Vol. 35. P. 100622. DOI: 10.1016/j. eml.2019.100622

8. Alavi S.E., Sadighi M., Pazhooh M.D., Ganghoffer J.-F. Development of size-dependent consistent couple stress theory of Timoshenko beams // Applied Mathematical Modelling. 2020. Vol. 79. Pp. 685712. DOI: 10.1016/j.apm.2019.10.058

9. He W., Wei Y. Dynamic response of double elastic cantilever beam attributed to variable uniformly distributed load // Mathematical Problems in Engineering. 2019. Vol. 2019. Pp. 1-17. DOI: 10.1155/2019/2657271

10. ZhaoX.-N., YangX.-D. Elastic wave properties of an adaptive electromechanical metamaterial beam // Shock and Vibration. 2020. Vol. 2020. Pp.1-14. DOI: 10.1155/2020/8834856

11. Wang D., Zhang J., Wang Y., Zhang S. Attractor of beam equation with structural damping under nonlinear boundary conditions // Mathematical Problems in Engineering. 2015. Vol. 2015. Pp. 1-10. DOI: 10.1155/2015/857920

12. Guan Y., YuanH., Ge Z., Huang Y., Li S., SunR. Flexural properties of ECC-concrete composite beam // Advances in Civil Engineering. 2018. Vol. 2018. Pp. 1-7. < n

DOI: 10.1155/2018/3138759 t C

n H

13. He Y., Jin X. Vibration properties of a steel- k |

PMMA composite beam // Shock and Vibration. 2015. g

Vol. 2015. Pp. 1-7. DOI: 10.1155/2015/639164 g I

W C

14. Hao M., Chen A.-J. Dropping impact charac- C y teristics analysis of a cubic nonlinear packaging system M I with a cantilever beam type elastic critical component t z with concentrated tip mass // Shock and Vibration. 2015. J? 1 Vol. 2015. Pp. 1-10. DOI: 10.1155/2015/602984 0 7

r —

15. Lai Z., Jiang L., Zhou W., Chai X. Impro- § S

l 3

ved finite beam element method to analyze the natural 0 ?

vibration of steel-concrete composite truss beam // Ci

Shock and Vibration. 2017. Vol. 2017. Pp. 1-12. § )

r s ?

DOI: 10.1155/2017/5323246 u S

16. Hui Y., De Pietro G., Giunta G., Belouettar S., z

§ 2

Hu H., Carrera E. et al. Geometrically nonlinear analysis ^ 0

of beam structures via hierarchical one-dimensional finite d —

a cn

elements // Mathematical Problems in Engineering. 2018. c g

Vol. 2018. Pp. 1-22. DOI: 10.1155/2018/4821385 t °

CD o

17. Machalova J., Netuka H. Solution of contact U i problems for nonlinear Gao beam and obstacle // Journal ? ) of Applied Mathematics. 2015. Vol. 2015. Pp. 1-12. < • DOI: 10.1155/2015/420649 | o

18. She H., Li C., Tang Q., Wen B. Nonlinear < 1 vibration analysis of a rotating disk-beam system 1 C subjected to dry friction // Shock and Vibration. 2020. I f Vol. 2020. Pp. 1-19. DOI: 10.1155/2020/7604174 »1

19. Li J., Zhu Y., Ye S., MaX. Internal force analy- g g sis and field test of lattice beam based on winkler theory c c for elastic foundation beam // Mathematical Prob- 0 0 lems in Engineering. 2019. Vol. 2019. Pp. 1-13. 1 1 DOI: 10.1155/2019/5130654

сч N о о

N N (О (О

¡г <и

U 3 > (Л С И

и со «О ф

I!

<D dj

о ё

(Л

ел

Е о

CL ° • с

ю о

S g

о ЕЕ

а> ^

W W

■8 Е!

О (Я

20. Esen I. Dynamic response of functional graded Timoshenko beams in a thermal environment subjected to an accelerating load // European Journal of Mechanics — A/Solids. 2019. Vol. 78. P. 103841. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2019.103841

21. Bai R., Hajjar J.F., Liu S.-W., Chan S.-L. A mixed-field Timoshenko beam-column element for direct analysis of tapered I-sections members // Journal of Constructional Steel Research. 2020. Vol. 172. P. 106157. DOI: 10.1016/j.jcsr.2020.106157

22. Zhao X., Chen B., Li Y.H., Zhu W.D., Nkiegaing F.J., Shao Y.B. Forced vibration analysis of Timoshenko double-beam system under compressive axial load by means of Green's functions // Journal of Sound and Vibration. 2020. Vol. 464. Pp. 115001. DOI: 10.1016/j.jsv.2019.115001

23. Fu P., Yuan J., ZhangX., Kang G., Wang P., Kan Q. Forced vibration analysis of blade after selective laser shock processing based on Timoshenko's beam theory // Composite Structures. 2020. Vol. 243. P. 112249. DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112249

24. Fan W., Zhu W.D., Zhu H. Dynamic analysis of a rotating planar Timoshenko beam using an accurate global spatial discretization method // Journal of Sound and Vibration. 2019. Vol. 457. Pp. 261-279. DOI: 10.1016/j.jsv.2019.05.003

25. Yanga X.-D., Wanga S.-W., Zhanga W., Yangb T.-Z., Lim C.W. Model formulation and modal analysis of a rotating elastic uniform Timoshenko beam with setting angle // European Journal of Mechanics — A/Solids. 2018. Vol. 72. Pp. 209-222. DOI: 10.1016/j. euromechsol.2018.05.014

26. LiX.Y., WangX.H., Chen Y.Y., Tan Y., CaoH.J. Bending, buckling and free vibration of an axially loaded Timoshenko beam with transition parameter: Direction of axial force // International Journal of Mechanical Sciences. 2020. Vol. 176. P. 105545. DOI: 10.1016/j. ijmecsci.2020.105545

27. Qin H., Yan Y., Liu H., Liu J., Zhang Y.-W, Liu Y. Modified Timoshenko beam model for bending behaviors of layered materials and structures // Extreme Mechanics Letters. 2020. Vol. 39. P. 100799. DOI: 10.1016/j.eml.2020.100799

Поступила в редакцию 5 февраля 2021 г. Принята в доработанном виде 12 марта 2021 г. Одобрена для публикации 13 марта 2021 г.

Об авторах : Леонид Юлианович Ступишин — кандидат технических наук, профессор, профессор кафедры строительной и теоретической механики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; StupishinLyu@mgsu.ru;

Мария Леонидовна Мошкевич — кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры экспертизы и управления недвижимостью, горного дела; Юго-Западный государственный университет (ЮЗГУ); 305040, г Курск, ул. 50 лет Октября, д. 94; РИНЦ ГО: 616600; mmoshkevich@yandex.ru.

28. Chowdhury S.R., Reddy J.N. Geometrically exact micropolar Timoshenko beam and its application in modelling sandwich beams made of architected lattice core // Composite Structures. 2019. Vol. 226. P. 111228. DOI: 10.1016/j.compstruct.2019.111228

29. Huang S., Qiao P. Nonlinear stability analysis of thin-walled I-section laminated composite curved beams with elastic end restraints // Engineering Structures. 2021. Vol. 226. P. 111336. DOI: 10.1016/j.eng-struct.2020.111336

30. JoglekarD.M. Analysis of nonlinear frequency mixing in Timoshenko beams with a breathing crack using wavelet spectral finite element method // Journal of Sound and Vibration. 2020. Vol. 488. P. 115532. DOI: 10.1016/j.jsv.2020.115532

31. Deng H., Chen K., Cheng W., Zhao S. Vibration and buckling analysis of double-functionally graded Timoshenko beam system on Winkler-Pasternak elastic foundation // Composite Structures. 2017. Vol. 160. Pp. 152-168. DOI: 10.1016/j.compstruct.2016.10.027

32. Esen I. Dynamic response of a functionally graded Timoshenko beam on two-parameter elastic foundations due to a variable velocity moving mass // International Journal of Mechanical Sciences. 2019. Vol. 153-154. Pp. 21-35. DOI: 10.1016/j.ijmecsci. 2019.01.033

33. Ступишин Л.Ю. Вариационный критерий критических уровней внутренней энергии деформируемого тела // Промышленное и гражданское строительство. 2011. № 8. С. 21-22.

34. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М. : Наука, 1974. 432 с.

35. Голдстейн Г. Классическая механика. М. : Наука, 1975. 415 с.

36. Михлин С.Г. Вариционные методы в математической физике. М. : Наука, 1970. 512 с.

37. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М. : Наука, 1979. 400 с.

38. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1971. 576 с.

вариационного критерия критических уровней энергии

REFERENCES

1. Malinin N.N. Who's Who in the Strength of Materials. Moscow, MGTU N.E. Bauman's publishing house, 2000; 248. (rus.).

2. Popov E.P. Theory and calculation of flexible elastic rods. Moscow, Nauka, 1986; 294. (rus.).

3. Pavilaynen G.P. Mathematical model for the bending of plastically anisotropic beams. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy. 2015; 2(4):633-638. (rus.).

4. Wang J., Ma R., Wen J. S-shaped connected component for nonlinear fourth-order problem of elastic beam equation. Journal of Function Spaces. 2017; 2017:1-8. DOI: 10.1155/2017/1069491

5. He C., Wu X., Wang T., He H. Geometrically nonlinear analysis for elastic beam using point interpolation meshless method. Shock and Vibration. 2019; 2019:1-10. DOI: 10.1155/2019/9065365

6. Wang D., Zhang J., Guo J., Fan R. A closed-form nonlinear model for spatial Timoshenko beam flexure hinge with circular cross-section. Chinese Journal of Aeronautics. 2019; 32(11):2526-2537. DOI: 10.1016/j.cja.2019.01.025

7. Li X., Huang W., Jawed M.K. A discrete differential geometry-based approach to numerical simulation of Timoshenko beam. Extreme Mechanics Letters. 2020; 35:100622. DOI: 10.1016/j.eml.2019.100622

8. Alavi S.E., Sadighi M., Pazhooh M.D., Gang-hoffer J.-F. Development of size-dependent consistent couple stress theory of Timoshenko beams. Applied Mathematical Modelling. 2020; 79:685-712. DOI: 10.1016/j.apm.2019.10.058

9. He W., Wei Y. Dynamic response of double elastic cantilever beam attributed to variable uniformly distributed load. Mathematical Problems in Engineering. 2019; 2019:1-17. DOI: 10.1155/2019/2657271

10. Zhao X.-N., Yang X.-D. Elastic wave properties of an adaptive electromechanical metamaterial beam. Shock and Vibration. 2020; 2020:1-14. DOI: 10.1155/2020/8834856

11. Wang D., Zhang J., Wang Y., Zhang S. Attractor of beam equation with structural damping under nonlinear boundary conditions. Mathematical Problems in Engineering. 2015; 2015:1-10. DOI: 10.1155/2015/857920

12. Guan Y., Yuan H., Ge Z., Huang Y., Li S., Sun R. Flexural properties of ECC-concrete composite beam. Advances in Civil Engineering. 2018; 2018:1-7. DOI: 10.1155/2018/3138759

13. He Y., Jin X. Vibration properties of a steel-PMMA composite beam. Shock and Vibration. 2015; 2015:1-7. DOI: 10.1155/2015/639164

14. Hao M., Chen A.-J. Dropping impact characteristics analysis of a cubic nonlinear packaging system with a cantilever beam type elastic critical component

with concentrated tip mass. Shock and Vibration. 2015; 2015:1-10. DOI: 10.1155/2015/602984

15. Lai Z., Jiang L., Zhou W., Chai X. Improved finite beam element method to analyze the natural vibration of steel-concrete composite truss beam. Shock and Vibration. 2017; 2017:1-12. DOI: 10.1155/2017/5323246

16. Hui Y., De Pietro G., Giunta G., Belouettar S., Hu H., Carrera E. et al. Geometrically Nonlinear Analysis of Beam Structures via Hierarchical One-Dimensional Finite Elements. Mathematical Problems in Engineering. 2018; 2018:1-22. DOI: 10.1155/2018/4821385

17. Machalova J., Netuka H. Solution of contact problems for nonlinear gao beam and obstacle. Journal of Applied Mathematics. 2015; 2015:1-12. DOI: 10.1155/2015/420649

18. She H., Li C., Tang Q., Wen B. Nonlinear vibration analysis of a rotating disk-beam system subjected to dry friction. Shock and Vibration. 2020; 2020:119. DOI: 10.1155/2020/7604174

19. Li J., Zhu Y., Ye S., Ma X. Internal force analysis and field test of lattice beam based on Winkler theory for elastic foundation beam. Mathe- ^ n matical Problems in Engineering. 2019; 2019:1-13. s £ DOI: 10.1155/2019/5130654 I? H

20. Esen I. Dynamic response of functional graded K Timoshenko beams in a thermal environment subjected G 3 to an accelerating load. European Journal of Mecha- U ° nics — A/Solids. 2019; 78:103841. DOI: 10.1016/j.eu- • . romechsol.2019.103841 f SS

21. Bai R., Hajjar J.F., Liu S.-W., Chan S.-L. | z A mixed-field Timoshenko beam-column element for J 9 direct analysis of tapered I-sections members. Journal ° — of Constructional Steel Research. 2020; 172:106157. l 3 DOI: 10.1016/j.jcsr.2020.106157 o(

22. Zhao X., Chen B., Li Y.H., Zhu W.D., Nkie- o f gaing F.J., Shao Y.B. Forced vibration analysis of Ti- s z moshenko double-beam system under compressive axial E s load by means of Green's functions. Journal of Sound o z and Vibration. 2020; 464:115001. DOI: 10.1016/j. ^ 0 jsv.2019.115001 Z 6

23. Fu P., Yuan J., Zhang X., Kang G., Wang P., E 0 Kan Q. Forced vibration analysis of blade after selec- t ( tive laser shock processing based on Timoshenko's t l beam theory. Composite Structures. 2020; 243:112249. Z => DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112249 * 7

24. Fan W., Zhu W.D., Zhu H. Dynamic analysis l ° of a rotating planar Timoshenko beam using an accurate m S global spatial discretization method. Journal of Sound ® . and Vibration. 2019; 457:261-279. DOI: 10.1016/j. . B jsv.2019.05.003 s □

25. Yanga X.-D., Wanga S.-W., Zhanga W., u £ Yangb T.-Z., Lim C.W. Model formulation and modal 7 7

WW

analysis of a rotating elastic uniform Timoshenko beam 0 0 with setting angle. European Journal of Mechanics — 00

tv N o o

N N WW

¡É ai

u 3 > in C M

ta o

Í!

<D <D

O %

A/Solids. 2018; 72:209-222. DOI: 10.1016/j.euromech-sol.2018.05.014

26. Li X.Y., Wang X.H., Chen Y.Y., Tan Y., Cao H.J. Bending, buckling and free vibration of an axially loaded Timoshenko beam with transition parameter: Direction of axial force. International Journal of Mechanical Sciences. 2020; 176:105545. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2020.105545

27. Qin H., Yan Y., Liu H., Liu J., Zhang Y.-W., Liu Y. Modified Timoshenko beam model for bending behaviors of layered materials and structures. Extreme Mechanics Letters. 2020; 39:100799. DOI: 10.1016/j. eml.2020.100799

28. Chowdhury S.R., Reddy J.N. Geometrically exact micropolar Timoshenko beam and its application in modelling sandwich beams made of architected lattice core. Composite Structures. 2019; 226:111228. DOI: 10.1016/j.compstruct.2019.111228

29. Huang S., Qiao P. Nonlinear stability analysis of thin-walled I-section laminated composite curved beams with elastic end restraints. Engineering Structures. 2021; 226:111336. DOI: 10.1016/j.eng-struct.2020.111336

30. Joglekar D.M. Analysis of nonlinear frequency mixing in Timoshenko beams with a breathing crack using wavelet spectral finite element method.

Received February 5, 2021.

Adopted in revised form on March 12, 2021.

Approved for publication on March 13, 2021.

B i o n o t e s : Leonid Yu. Stupishin — Candidate of Technical Sciences, Professor, Professor of the Department of Structural and Theoretical Mechanics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; StupishinLyu@mgsu.ru;

Mariya L. Moshkevich — Candidate of economic Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Expertise and Real Estate Management, Mining; Southwest State University (SWSU); 94, 50 Let Oktyabrya st., Kursk, Russian Federation; ID RISC: 616600; mmoshkevich@yandex.ru.

Journal of Sound and Vibration. 2020; 488:115532. DOI: 10.1016/j.jsv.2020.115532

31. Deng H., Chen K., Cheng W., Zhao S. Vibration and buckling analysis of double-functionally graded Timoshenko beam system on Winkler-Pasternak elastic foundation. Composite Structures. 2017; 160:152-168. DOI: 10.1016/j.compstruct.2016.10.027

32. Esen I. Dynamic response of a functionally graded Timoshenko beam on two-parameter elastic foundations due to a variable velocity moving mass. International Journal of Mechanical Sciences. 2019; 153-154:21-35. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2019.01.033

33. Stupishin L.Yu. Variation criterion of critical levels of deformable body internal energy. Industrial and Civil Engineering. 2011; 8:21-22. (rus.).

34. Arnold V.I. Mathematical methods of classical mechanics. Moscow, Nauka Publ., 1974; 432. (rus.).

35. Goldsteyn G. Classical mechanics. Moscow, Nauka Publ., 1975; 415. (rus.).

36. Mikhlin S.G. Variational methods in mathematical physics. Moscow, Nauka Publ., 1970; 512. (rus.).

37. Kostuchenko A.G., Sargsyan I.S. Distribution of eigenvalues (self-adjoint ordinary differential operators). Moscow, Nauka, 1979; 400. (rus.).

38. Kamke E. Ordinary Differential Equations Handbook. Moscow, Nauka Publ., 1971; 576. (rus.).

M M

E o

dl °

• c

LO °

s i

o EE

CD ^

M M

r

o iñ