CC BY
37
Расчет двухслойной составной балки, _ , С. 1685-1692
свободно лежащей на упругом основании
УДК 624.072.2 DOI: 10.22227/1997-0935.2020.12.1685-1692
Расчет двухслойной составной балки, свободно лежащей
на упругом основании
В.В. Филатов, Б.Ф. Кужин, Тхи Линь Куен Хоанг
Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
(НИУ МГСУ); г. Москва, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. Предложена методика расчета двухслойных составных балок, лежащих на упругом основании. В качестве основания принята однопараметрическая модель Винклера. Работа двухслойных балок описывается теорией составных стержней А.Р. Ржаницына с абсолютно жесткими поперечными и упругоподатливыми продольными связями между слоями. Привлечение теории составных стержней позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) многослойных фундаментных балок, включающих слой пониженной теплопроводности, перфорированных балок.
Материалы и методы. Получение решения для данных задач в аналитическом виде представляет известные сложности, а зачастую не представляется возможным. Предлагается применить численный метод, метод последовательных аппроксимаций (МПА), разработанный на кафедре строительной и теоретической механики МГСУ профессором РФ. Габбасовым МПА зарекомендовал себя как эффективный и высокоточный метод при расчете балок, плит и оболочек на статические, динамические нагрузки, при расчетах на устойчивость. По сравнению с разностными уравнениями «классического» метода конечных разностей (МКР) разностная форма МПА обладает рядом преимуществ. Рассматриваемая методика позволяет учитывать различные виды краевых условий без привлечения законтурных точек. В качестве нагрузок существует возможность учитывать сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, кусочно-распределенные нагрузки. Описывается алгоритм решения задачи. Система исходных дифференциальных уравнений решается с привлечением разностных аналогов. Приводятся типовые разностные уравнения для регулярных и краевых точек.
Результаты. В качестве иллюстрации предлагаемого подхода приведен пример расчета составной, свободно ле- й Т жащей на упругом основании балки. Качество получаемых результатов контролируется выполнением численного з I исследования сходимости решения на нескольких вложенных одна в другую сетках. к
Выводы. Предлагаемая методика может быть использована в инженерной практике проектных организаций 3 ^ и в учебном процессе высших учебных заведений строительного профиля. ^ г
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: многослойные конструкции, теория составных стержней А.Р Ржаницына, расчет балок • • на упругом основании, метод конечных разностей, метод последовательных аппроксимаций О 555
п <5
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Филатов В.В., Кужин Б.Ф., Тхи Линь Куен Хоанг. Расчет двухслойной составной балки,
The analysis of a free two-layer composite beam on the elastic foundation
< n
ф е
y
свободно лежащей на упругом основании // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. Вып. 12. С. 1685-1692. DOI: 10.22227/1997- j 9
.................. ° -
^ I
n 0
S 3
o S
0935.2020.12.1685-1692 U -
n 0
s 3
oi
n) (f) t —
c Я1
3
Q.
Vladimir V. Filatov, Bulat F. Kuzhin, Thi Linh Quyen Hoang n 0
Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); d 6
Moscow, Russian Federation
r 6 c R
__i o
C o
ABSTRACT U i
Introduction. This article offers a methodology for the analysis of a two-layer composite beam on an elastic foundation o )
that represents a one-parameter Winkler model. The behaviour of two-layer beams is described by A.R. Rzhanitsyn in his ^ •
theory of composite rods that have rigid transverse and elastic-yielding longitudinal connections between layers. The theory O 0
of composite rods allows to study the stress-strain state (SSS) of multilayer foundation beams, having a layer featuring low c g
thermal conductivity, and perforated beams. e 5
Materials and methods. However, analytical solutions to these problems involve certain difficulties; therefore, they are 1 Q
often inapplicable. We propose to apply a numerical method, a method of successive approximations (MSA), developed by Q W
professor R.F. Gabbasov at the Department of structural and theoretical mechanics of the Moscow State University of Civil jf ^
Engineering. MSA has proven to be an effective and highly accurate method designated for analyzing static/dynamic loads, u C
applied to beams, slabs and shells, and for making stability calculations. The difference-based variation of the MSA method q * has a number of advantages over difference equations of the "classical" finite difference method (FDM). The proposed methodology allows to take into account various types of boundary conditions without involving contour points. Concentrated forces, concentrated moments, and piecewise distributed loads can be taken into account as loading types.
The article describes a problem solving algorithm. The system of initial differential equations is solved using difference ana- N N logs. Typical difference equations for regular and boundary points are provided.
10 10
10 10 о о
о о
© В.В. Филатов, Б.Ф. Кужин, Тхи Линь Куен Хоанг, 2020
Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
1685
Results. The analysis of a composite free-lying beam on an elastic foundation illustrates the proposed approach. The quality of the analysis results is controlled by performing a numerical study of the solution convergence using several nested meshes.
Conclusions. The proposed method can be used in the engineering practice of design organizations and the educational process of higher educational institutions training civil engineering specialists.
KEYWORDS: multilayer structures, A.R. Rzhanitsyn's theory of composite rods, analysis of beams on elastic foundation, finite difference method, method of successive approximations
FOR CITATION: Filatov V.V., Kuzhin B.F., Thi Linh Quyen Hoang. The analysis of a free two-layer composite beam on the elastic foundation. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2020; 15(12):1685-1692. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.12.1685-1692 (rus.).
О о
N N О О N N
NN г г
К <D U 3
> (Л
с и 2
U in
in Щ
¡1 <D ф
О ё
(Л
ю
.Е о cl"
^ с Ю о
S «
о Е
СП ^ т-
Z £ £
ОТ °
■S
О tn
ВВЕДЕНИЕ
Широкое применение в технике и строительстве, в частности, многослойных конструкций требует развития и совершенствования методов их расчета. При всем многообразии существующих расчетных методик, они являются достаточно сложными для использования в инженерной практике. Выгодно выделяется среди них теория составных стержней и пластин А.Р. Ржаницына [1]. В рамках этой теории слои, составляющие поперечное сечение конструкции, объединяются в пакет, посредством абсолютно жестких поперечных и упруго податливых продольных связей. Благодаря абсолютной жесткости поперечных связей, все слои обладают одинаковой формой изогнутой оси при деформировании конструкции. Способность продольных связей, заполняющих шов между слоями, сопротивляться взаимному сдвигу слоев, определяется коэффициентом жесткости шва на сдвиг. Проиллюстрировать влияние изменения значения этого коэффициента на работу составной конструкции можно следующим образом. При стремлении значения сдвиговой жесткости шва к бесконечности, составная конструкция пытается работать как монолитная, а при стремлении к нулю — как система, лишенная связей сдвига. При расчете строительных конструкций сдвиговая жесткость может быть определена в результате натурных или численных экспериментов, а для некоторых случаев по формулам [1].
Теория составных стержней используется при моделировании работы: многослойных деревянных [2-4], железобетонных конструкций [5-8], перфорированных металлических балок [9-11], каркасов зданий и сооружений и их элементов при расчете на статические и динамические нагрузки [12, 13]. Обзор работ по данной тематике, вышедших в свет до 1986 г., приведен в монографии [1]; обзор, не претендующий на полноту, вышедших после 1986 г., — в [14]. Не так много исследований посвящено расчету составных конструкций на упругом основании. Из недавно опубликованных можно привести работы [15, 16]. В них получено аналитическое решение для двухслойной составной балки, составленной из одинаковых слоев, контактирующей с винклеровским основанием. В первом случае была рассмотрена балка бесконечной длины, загруженная сосредото-
ченной силой, во втором случае — полубесконечная составная балка, загруженная сосредоточенным моментом.
Задачи по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) составных балок конечных размеров, загруженных произвольной нагрузкой, с учетом различных краевых условий и отпора упругого основания, могут быть решены с привлечением численных методов. В числе методов, успешно применяемых в расчете конструкций на действие статических и динамических нагрузок на устойчивость, упомянем конечно-разностные методы: метод конечных разностей (МКР) в его классической форме [17-19], обобщенные уравнения МКР [20-24], метод последовательных аппроксимаций (МПА) [25-29]. В трудах [17-20, 25, 26, 29] учтена совместная работа конструкции и упругого основания, а в [26] мы уже обращались к вопросам расчета двухслойных составных балок на винклеровском основании, где решение построено с использованием разностной формы МПА [25]. Однако в указанной работе не рассмотрены балки, свободно лежащие на упругом основании. Кроме того, как и в исследованиях [15, 16], расчет был реализован для случая симметричного поперечного сечения. Обобщению методики расчета двухслойных составных балок несимметричного поперечного сечения при произвольных краевых условиях (в том числе свободных от закрепления краев) на произвольную нагрузку, контактирующих с упругим основанием, посвящена настоящая статья.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Запишем систему дифференциальных уравнений, описывающих работу двухслойной составной балки на винклеровском основании [14]:
а2 м
dx
- = -(q - ky);
d2y = - — (M - Tc); dx2 LEIv '
d 2T
dx2
Mc LEI
--T
1
1
E F
v i+1 i+1
E,F
j2 LEI
(1) (2) (3)
где М — суммарный изгибающий момент в сечении составной балки, лишенной связей сдвига; д —
1686
Расчет двухслойной составной балки, свободно лежащей на упругом основании
С. 1685-1692
внешняя распределенная нагрузка; к — коэффициент отпора упругого основания; у — прогиб (вертикальное перемещение сечения балки); х — координата, отсчитываемая вдоль оси балки; Т — суммарное сдвигающее усилие в шве, накапливаемое по длине стержня от его начала до рассматриваемого сечения; с — расстояние между осями ветвей; £ — коэффициент жесткости шва на сдвиг; Е. — модуль упругости материала /-ой ветви; ¥. — площадь поперечного сечения /-ой ветви; I. — момент инерции /-ой ветви.
Приближенное решение системы дифференциальных уравнений (1)-(3) может быть получено с привлечением разностных уравнений МПА [25]. Запишем их ниже, полагая, что к и £ являются постоянными величинами, а Т, у и их первые производные — неразрывными функциями.
п М-1 - 2 л М , + л Мм + ДМ, + тР =
2 г п , 1 п л
-2 " +10 д,
12
Ч I-
Чг-
-k (-1 +10 y + у1+1)- 5Aq,
Уг-1 - 2 y + У t+1 =
T 12
a ((-1 +10 л Mt + ЛМ,+1 )-
-02 ((-1 + 10T + T+1) - 5a AMt - Tap
(4)
; (5)
T - 2T + T =
1t-1 211 T -'t+1
t 12
a (( +10лм + лм+1 )-- аз ((-1 + 10t + t+1) - 5 a AMt - ta2 P
(6)
1
SEI
(
a SEI a1C;
E F t+1
E.F,
(7)
T2 г -i
+ \+l-k (+yl+^yy;)) (8)
"тУ - У t + У t+1 =
t 12
а (5П m
л m++
-tm;)-
- a2 (5t + t+1 +tt') -tt '- t + t+1 =
a2 (5Пm + лm+1 +tm/)-
- a3 (5t + t+1 +tt')
(9)
12
(10)
, ¿у ¿М ¿Т где у = —; М' =-; Т' = —.
¿X ¿X ¿X
Разностные уравнения для краевой точки можно получить «зеркальным» отображением (8)-(10) с изменением знака у первых производных искомых величин.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В качестве примера рассмотрим расчет двухслойной составной балки конечной длины, свободно лежащей на упругом основании.
В середине пролета она загружена сосредоточенной силой Р (рис. 1).
Т J-1-L^-
¡/2
¡/2
Уравнения (4)-(6) записаны на равномерной прямолинейной сетке с шагом т (расстояние между соседними узлами расчетной сетки). В этих уравнениях:
где ДМ, = ЛМ, - ПМ, — сосредоточенный момент, приложенный в точке /; Р/ — сосредоточенная сила, приложенная в точке /; Дд, = Лд1 - Пд1 — скачок в значении равномерно распределенной нагрузки. Верхние индексы «л» и «п» обозначают, что данное значение взято бесконечно близко слева или справа от расчетной точки. Уравнения (4)-(6) записываются для всех регулярных точек, т.е. для всех, кроме краевых.
Уравнения для аппроксимации (1)-(3) в краевых точках покажем на примере крайней левой точки [10]:
-т пМ,'- пМ, + лМ^ =
Рис. 1. Расчетная схема балки с обозначением шага расчетной сетки т
Fig. 1. The beam design scheme where т indicates mesh spacing
Поперечное сечение составной конструкции изображено на рис. 2, где введены следующие обозначения: b , b — ширина нижней и верхней
н.в^ в.в А А
ветвей соответственно; h , h — высота нижней
н.в в.в
и верхней ветвей; h — высота поперечного сечения планок, соединяющих ветви составного стержня; В — шаг соединяющих планок, вдоль оси балки.
< п
8 8 i Н
G Г
S 3
0 сл
n СО
1 2
У ->■
J со
^ I
n ° о 2
2 i n
co co
С о
Рис. 2. Поперечное сечение составного стержня Fig. 2. The cross-section of a composite rod
Если допустить, что ветви и соединяющие планки составной балки выполнены из одного ма-
.N.!0 2 2 о о 2 2 О О
1687
Табл. 1. Результаты расчета на двух вложенных расчетных сетках Table 1. Calculation results involving two nested meshes
х, м / m y, м / m M, кНм / kHm
т = l/6 = 2 м / m т = l/12 = 1 м / m т = l/6 = 2 м / m т = l/12 = 1 м / m
0 1,533 • 10-4 1,515 • 10-4 0 0
2 1,71 • 10-3 1,71 • 10-3 2,668 2,656
4 3,359 • 10-3 3,349 • 10-3 19,057 19,058
6 4,455 • 10-3 4,509 • 10-3 61,986 62,031
о о
N N
О О
N N
N СЧ
г г
к ai
u з
> (Л
С И
ta in
uñ щ
Ü
<u <u
О ё
CO " со EE - -b^
.E § cl"
^ с ю о
s ц
0 E
СП ^
T- ^
Z £ £
от °
1 ¡
í!
o (ñ
териала Е = Е2 = Еп = Е, то для определения величины коэффициента жесткости шва можно воспользоваться формулой (3.8) [1]:
12/П Е
12/,/ 2
'B2 + /п (( + /2 )/Bc
Be1
12/,/J B
+ 4/п (I, + /2 )Be + /п/e2
(11)
Зададимся следующими исходными данными: А = И = 0,2 м; Ь = 0,4 м; Ь = 0,2 м; с = 0,4 м;
н.в в.в ' 7 н.в ' 7 в.в 7 7 7 7
В = 1 м; Е = 2,7 • 104 МПа. Длина балки I = 12 м.
Коэффициент постели по модели Винклера кг = 5 • 106 Н/м3. При ширине подошвы нижнего слоя коэффициент отпора упругого основания к = к/Ьяв = = 2 МПа. нв
Внешняя нагрузка Р = 60 кН. Перед началом расчета на ось балки наносится расчетная сетка. Узлы сетки с шагом т условно показаны на рис. 1. Для внутренних узлов сетки записываются уравнения (4)-(6). Для двух внешних — (8)-(10). Последние записываются с учетом условий на свободном краю балки [1]: М = 0; М' = 0; Т = 0. В табл. 1 приведены результаты расчета, полу-
I „
ченные на двух вложенных сетках при т = — = 2 м
I , 6
и т = — = 1 м. 12
Выполним интегральную проверку равновесия действующих на балку сил. Это условие можно записать в следующем виде:
Р - Ю у = 0, (12)
где 0.у — площадь эпюры прогибов, величина которой может быть определена с помощью формулы численного интегрирования Симпсона. При шаге расчетной сетки т, для участка эпюры длиной 2т ее удобно представить так:
п у = з ((+4 y,+y¡+i )■
(13)
Причем поперечное сечение монолитной балки рассмотрим в двух вариантах. В первом случае, как две ветви, лишенные связей сдвига между собой. Во втором случае ветви абсолютно жестко связаны между собой и их взаимный сдвиг исключен. Это позволит качественно оценить результаты, полученные численно по теории А.Р. Ржаницына. В табл. 2 во втором столбце приведены результаты для балки, лишенной связей сдвига, в третьем — получены по описываемой выше методике для составной балки, и в последнем — для балки, ветви которой связаны абсолютно жестко. Как и следовало ожидать, наши результаты оказались между пограничными значениями, но ближе к монолитной балке. Авторы работы [15] указывают: «При i/E > 1 работа составной балки приближается к работе монолитной балки».
Табл. 2. Сводная таблица результатов расчета балок монолитной, составной и лишенной связей сдвига системы
Table 2. The consolidated table of calculation results for monolithic, composite and shear-free beams
Составная балка
Система, по теории
лишенная А.Р. Ржаницына Монолитная
Показатель связей Composite балка
Indicator сдвига beam made Monolithic
Shear-free pursuant to the beam
system A.R. Rzhanitsyn's
theory
y ,м / m ^ max' 7,07 • 10-3 4,51 • 10-3 4,11 • 10-3
M ,кНм / kNm max 31,991 62,031 65,070
При шаге т = 1/6 значение отпора упругого основания составляет 60,319 кН (относительная погрешность 0,53 %), а при т = 1/12 — 59,957 кН (0,07 %).
Воспользовавшись известными выражениями метода начальных параметров, можно определить значения максимального изгибающего момента и максимального прогиба для монолитной балки.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
Предложенная методика позволяет достаточно просто исследовать НДС двухслойных составных балок конечной длины, контактирующих с упругим основанием. В качестве внешних нагрузок возможно учитывать: сосредоточенные силы; сосредоточенные моменты; кусочно-постоянные нагрузки, распределенные на отдельных участках балки по ее длине. Без привлечения законтурных точек моделируются краевые условия: шарнирное опирание,
1688
Расчет двухслойной составной балки, свободно лежащей на упругом основании
С. 1685-1692
жесткая заделка, упруго-податливая опора, свободный от закреплений край.
В качестве перспективных направлений развития методики можно указать следующее.
Для однопараметрической модели упругого основания алгоритм расчета может быть обобщен на случай переменного по длине конструкции коэффициента отпора к.
В работе [29] рассмотрен расчет двухслойной составной балки на упругом основании, описываемой двухпараметрической моделью В.З. Власова, Н.Н. Леонтьева Однако приведенные уравнения позволяют учитывать только равномерно распределенную по всей длине конструкции нагрузку.
Целесообразно предусмотреть возможность учета разрывных нагрузок, таких как: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, кусочно-постоянные распределенные нагрузки.
Представляет интерес распространение рассматриваемой методики на расчет конструкций с привлечением других, не рассмотренных в исследованиях [14, 25, 29] моделей упругого основания.
Еще одним интересным направлением является применение теории составных стержней (ТСС) к определению НДС системы «здание - фундамент -основание». Подобный подход, но без привлечения ТСС, реализован в труде [30].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. М. : Стройиздат, 1986. 316 с.
2. Краснощеков Ю.В. Применение модели составного стержня для расчета деревоплиты из склеенных досок // Вестник Сибирского государственного автомобильно-дорожного университета. 2009. № 4 (14). С. 28-32.
3. Linkov V.I. The effect of humidity on the operation of wooden beams of a composite section on compliant couplings without the use of glue // E3S Web of Conferences. 2019. Vol. 91. P. 02033. DOI: 10.1051/ e3sconf/20199102033
4. Линьков Н.В. Расчет деревянных балок составного сечения на соединениях с применением композиционного материала по теории составных стержней А.Р. Ржаницына // Промышленное и гражданское строительство. 2013. № 4. С. 20-22.
5. Король Е.А. Трехслойные ограждающие железобетонные конструкции из легких бетонов и особенности их расчета. М. : Изд-во АСВ, 2001. 255 с.
6. Колчунов В.И., Марьенков Н.Г., Омельчен-ко Е.В., Тугай Т.В., Бухтиярова А.С. Методика определения жесткости плосконапряженных и стержневых железобетонных составных конструкций при сейсмических воздействиях // Промышленное и гражданское строительство. 2014. № 2. С. 12-15.
7. Фардиев Р.Ф., Ашрапов А.Х. Применение теории составных стержней к определению характера распределения напряжений в поперечном сечении усиленного внецентренно сжатого элемента // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2015. № 4 (34). С. 363-369.
8. Балушкин А.Л. Применение модели составного стержня для прогнозирования предельных состояний эксплуатируемых железобетонных конструкций // Вестник гражданских инженеров. 2011. № 1 (26). С. 44-49.
9. Притыкин А.И. Применение теории составных стержней к определению деформаций перфо-
рированных балок // Вестник МГСУ. 2009. № 4. С. 177-181.
10. Притыкин А.И., Лаврова А.С. Прогибы перфорированных балок с круглыми вырезами // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2015. № 3. С. 94-102.
11. Pritykin A.I. The castellated beams deflections calculated with theory of composed bars // Mechanics. 2015. Vol. 21. Issue 5. DOI: 10.5755/j01. mech.21.5.12181
12. Mansour A.E.-D., Filatov V., Gandzhuntsev M., Ryasny N. Numerical verification of composite rods theory on multi-story buildings analysis // E3S Web of Conferences. 2017. Vol. 33. P. 02077. DOI: 10.1051/ e3sconf/20183302077
13. Filatov V.V., Ryasny N. A numerical algorithm for solving a two-layered composite beam subjected to vibrational loads // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2018. Vol. 365. P. 042065. DOI: 10.1088/1757-899X/365/4/042065
14. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Численный метод расчета составных стержней и пластин с абсолютно жесткими поперечными связями. М. : Изд-во АСВ, 2014. 200 c.
15. Леонтьев А.Н., Леонтьева А.Г. Расчет бесконечно длинной составной балки, расположенной на упругом основании // Вестник МГСУ. 2010. № 4-3. С. 167-172.
16. Атаров Н.М., Леонтьев А.Н., Леонтьева А.Г. Изгиб составной балки, расположенной на упругом основании // Вестник МГСУ. 2011. № 4. С. 212.
17. ЮрьевА.Г., РубановВ.Г., Горшков А.С. Расчет многослойных плит на упругом основании // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2007. № 1. С. 51-59.
18. Андреев В.И., Барменкова Е.В., Матвеева А.В. Расчет плит переменной жесткости на упругом основании методом конечных разностей // Вестник МГСУ. 2014. № 12. С. 31-39. DOI: 10.22227/ 1997-0935.2014.12.31-39
< П
i Н
%
G Г
о n
1 2
У ->■
J со I
n
2 3 о
2 i n
Q.
CO co
n 2 0
2 6 r 6
c9
• ) Ц
® w
л ' (Л DO ■ T
s У с о <D *
NN 2 2 о о 2 2 О О
1689
о о
N N
О О
N N
СЧ СЧ
г г
К <D
U 3
> (Л
С И
U m
ю щ
il
<и <и
О ё
<л ю
s о
^ с ю о
S «
о Е с5 °
СП ^ т-
Z £
S
от °
* А ^
iE 35
О (П
19. Демченко Д.Б., Маяцкая И.А., Полисма-ков А.И. Численная реализация задачи об изгибе балки-полосы на упругом основании методом конечных разностей // Молодой исследователь Дона. 2017. № 2 (5). С. 81-94.
20. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Применение обобщенных уравнений метода конечных разностей к расчету плит на упругом основании // Вестник МГСУ. 2012. № 4. С. 102-107. DOI: 10.22227/19970935.2012.4.102-107
21. Gabbasov R.F., Filatov V.V., Ovarova N.B., Mansour A.M. Dissection method applications for complex shaped membranes and plates // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 444-449. DOI: 10.1016/j.pro-eng.2016.08.150
22. Gabbasov R., Gandzhuntsev M., Filatov V., Muniev D., Mansour A.E.-D. A numerical solution for plain problems of theory of elasticity // MATEC Web of Conferences. 2017. Vol. 106. P. 04015. DOI: 10.1051/ matecconf/201710604015
23. Uvarova N.B., Gabbasov R.F. Calculation of plates in a geometrically nonlinear setting with the use of generalized equations of finite difference method // MATEC Web of Conferences. 2018. Vol. 196. P. 01024. DOI: 10.1051/matecconf/201819601024
24. Mansour A.E.-D. Generalized finite difference approach verification on circular plates // IOP Conference Series: Materials Science and Engineer-
Поступила в редакцию 9 декабря 2020 г. Принята в доработанном виде 18 декабря 2020 г. Одобрена для публикации 21 декабря 2020 г.
Об авторах: Владимир Владимирович Филатов — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры строительной и теоретической механики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129997, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; SPIN-код: 4433-9609; stroitmeh@mgsu.ru;
Булат Фаргатович Кужин — аспирант кафедры строительной и теоретической механики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129997, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ГО: 890867; stroitmeh@mgsu.ru;
Тхи Линь Куен Хоанг — аспирант кафедры строительной и теоретической механики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129997, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; stroitmeh@mgsu.ru.
ing. 2018. Vol. 365. P. 042030. DOI: 10.1088/1757-899X/365/4/042030
25. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2008. 277 с.
26. Филатов В.В. К расчету составных балок на упругом основании // Вестник МГСУ. 2009. № 4. С. 73-76.
27. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В., Александровский М.В. Применение уравнений МПА к решению задач устойчивости основных конструктивных элементов зданий и сооружений текстильной промышленности // Известия высших учебных заведений. Технология текстильной промышленности. 2017. № 3 (369). С. 208-212.
28. Mansour A.M., Gabbasov R., Filatov V. A numerical solution for geometrically nonlinear bending plates problems subjected to local-loads // MATEC Web of Conferences. 2017. Vol. 117. P. 00115. DOI: 10.1051/matecconf/201711700115
29. Филатов В.В. О расчете составных балок на упругом основании с двумя коэффициентами постели // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 3. С. 38-40.
30. Андреев В.И., Барменкова Е.В. Моделирование реальной системы «Здание - фундамент - основание» двухслойной балкой переменной жесткости на упругом основании // Вестник МГСУ. 2012. № 6. С. 37-41. DOI: 10.22227/1997-0935.2012.6.37-41
REFERENCES
1. Rzhanitsyn A.R. Composite rods and plates. Moscow, Stroyizdat Publ., 1986; 316. (rus.).
2. Krasnoshchyokov U.V. Application of the composite rod model for the calculation of wood boards from glued boards. The Russian Automobile and Highway Industry Journal. 2009; 4(14):28-32. (rus.).
3. Linkov V.I. The effect of humidity on the operation of wooden beams of a composite section on
compliant couplings without the use of glue. E3S Web of Conferences. 2019; 91:02033. DOI: 10.1051/e3s-conf/20199102033
4. Linkov N.V. Calculation of wooden beams of composite section, connections of which are made of a composite material according to the theory of built-up bars of A.R. Rzhanitsyn. Industrial and Civil Engineering. 2013; 4:20-22. (rus.).
1690
Расчет двухслойной составной балки, _ , С. 1685-1692
свободно лежащей на упругом основании
5. Korol E.A. Three-layer enclosing reinforced concrete structures made of light concrete and features of their calculation. Moscow, ASV Publishing house, 2001; 255. (rus.).
6. Kolchunov V.I., Mar'enkov N.G., Omel'chenko E.V., Tugaj T.V., Buhtiyarova A.S. Methods for determining the stiffness of planar stressed and frame reinforced concrete composite structures under seismic actions. Industrial and Civil Engineering. 2014. 2:12-15. (rus.).
7. Fardiev R.F., Ashrapov A.H. Application of the theory of compound bars for the assessment of stress pattern in the cross section of a strengthened beam column. News of the Kazan State University of Architecture and Engineering. 2015; 4:363-369. (rus.).
8. Balushkin A.L. Usage of built-up bar model for forecasting ultimate conditions of exploited reinforced concrete structures. Bulletin of Civil Engineers. 2011; 1(26):44-49. (rus.).
9. Pritykin A.I. Application of the theory of composite rods to the determination of deformations of perforated beams. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2009; 4:177-181. (rus.).
10. Pritykin A.I., Lavrova A.S. Deflections of perforated beams with circular openings. Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Arkhitekturno-Stroitel'nogo Univer-siteta. Journal of Construction and Architecture. 2015; 3:94-102. (rus.).
11. Pritykin A.I. The castellated beams deflections calculated with theory of composed bars. Mechanics. 2015; 21(5). DOI: 10.5755/j01.mech.21.5.12181
12. Mansour A.E.-D., Filatov V., Gandzhunt-sev M., Ryasny N. Numerical verification of composite rods theory on multi-story buildings analysis. E3S Web of Conferences. 2017; 33:02077. DOI: 10.1051/ e3sconf/20183302077
13. Filatov V.V., Ryasny N. A numerical algorithm for solving a two-layered composite beam subjected to vibrational loads. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2018; 365:042065. DOI: 10.1088/1757-899X/365/4/042065
14. Gabbasov R.F., Filatov V.V. Numerical method for calculating composite rods and plates with absolutely rigid cross-links. Moscow, ASV publishing house, 2014; 200. (rus.).
15. Leontiev A.N., Leontieva I.G. Analysis of an infinite composite beam located on elastic foundation. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010; 4-3:167-172. (rus.).
16. Atarov N.M., Leontiev A.N., Leontieva I.G. Analysis of an composite beam located on elastic foundation. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011; 4:212. (rus.).
17. Yur'ev A.G., Rubanov V.G., Gorshkov A.S. Calculation of multilayer plates on an elastic base. Bulletin of BSTU named after V.G. Shukhov. 2007; 1:51-59. (rus.).
18. Andreev V.I., Barmenkova E.V., Matve-eva A.V. Calculation of plates with variable rigidity on elastic basis by finite difference method. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014; 12:31-39. DOI: 10.22227/19970935.2014.12.31-39 (rus.).
19. Demchenko D.B., Mayatskaya I.A., Polisma-kov A.I. Numerical realization of bending problem for the beam-strip on an elastic foundation using the method of finite differences. Young Don Researcher. 2017; 2:81-84. (rus.).
20. Gabbasov R.F., Uvarova N.B. Application of generalized equations of the finite difference method as part of the analysis of slabs resting on elastic foundations. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012; 4:102-107. DOI: 10.22227/1997-0935.2012.4.102-107 (rus.).
21. Gabbasov R.F., Filatov V.V., Ovarova N.B., Mansour A.M. Dissection method applications for ^ ™ complex shaped membranes and plates. Procedia En- ¡£ T gineering. 2016; 153:444-449. DOI: 10.1016/j.pro- | | eng.2016.08.150 3 g
22. Gabbasov R., Gandzhuntsev M., Filatov V., W r
c
Muniev D., Mansour A.E.-D. A numerical solution for . • plain problems of theory of elasticity. MATEC Web of ° SS Conferences. 2017; 106:04015. DOI: 10.1051/matec- ! 1 conf/201710604015 JO 9
23. Uvarova N.B., Gabbasov R.F. Calculation of n 0
a 9
plates in a geometrically nonlinear setting with the use o 5 of generalized equations of finite difference meth- 0 pr
od. MATEC Web of Conferences. 2018; 196:01024. §t
DOI: 10.1051/matecconf/201819601024 u S
t co
24. Mansour A.E.-D. Generalized finite difference O 0
n 3
approach verification on circular plates. IOP Confer- m 0
d —
ence Series: Materials Science and Engineering. 2018; 0 6 365:042030. DOI: 10.1088/1757-899X/365/4/042030 o 0
25. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. C o
t n
Numerical construction of discontinuous solutions to r n
0 )
structural mechanics problems. Moscow, ASV publi- • 00
shing house, 2008; 277. (rus.). o O
26. Filatov V.V. About calculation of composite 3 1 beams on an elastic base. Vestnik MGSU [Proceed- 1 I ings of Moscow State University of Civil Engineering]. I f 2009; 4:73-76. (rus.). jjfj
27. Gabbasov R.F., Filatov V.V., Aleksan- I £ drovsky M.V. The application of successive ap- , , proximations method on solving stability problems g 0 of main structural elements of textile industry struc- g g tures and buildings. Proceedings of Higher Educa-
1691
O g
"S
I
ES
ü (0
tion Institutions. Textile Industry Technology. 2017; 3(369):208-212. (rus.).
28. Mansour A.M., Gabbasov R., Filatov V. A numerical solution for geometrically nonlinear bending plates problems subjected to local-loads. MATEC Web of Conferences. 2017; 117:00115. DOI: 10.1051/matec-conf/201711700115
29. Filatov V.V. On the calculation of composite beams on two-parameter elastic foundations. Structural
Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2010; 3:38-40. (rus.).
30. Andreev V.I., Barmenkova E.V. Modeling of the real system «structure-foundation-bedding» through the employment of a model of a two-layer beam of variable rigidity resting on the. VestnikMGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012; 6:37-41. DOI: 10.22227/1997-0935.2012.6. 37-41 (rus.).
o o
N N
o o
N N
ci ci
r r
H <D U 3 > in C M
to in
in Q
il <D <u
Received December 9, 2020.
Adopted in revised form on December 18, 2020.
Approved for publication on December 21, 2020.
Bionotes: Vladimir V. Filatov — Doctor of Technical Sciences, Associated Professor, Professor of the Department of Structural and Theoretical Mechanics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; SPIN-code: 4433-9609; stroitmeh@mgsu.ru;
Bulat F. Kuzhin — postgraduate student of the Department of Structural and Theoretical Mechanics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 890867; stroitmeh@mgsu.ru;
Thi Linh Quyen Hoang — postgraduate student of the Department of Structural and Theoretical Mechanics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; stroitmeh@mgsu.ru.
in
.E o cl"
• c LT> o
s «
o E
CD ^
TZ £ £
CO °
1692
