CC BY
42
УДК 623.61
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-386-391
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ЖИВУЧЕСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ОБЩЕВОЙСКОВОГО СОЕДИНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ДЕСТРУКТИВНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПРОТИВНИКА
А.В. Киселев
В статье рассмотрены основные показатели математической модели используемые для оценки живучести системы управления общевойскового соединения в условиях деструктивных воздействии противника по состоянию системы и по результатам выполнения задания. Проведено их описание и порядок расчета. Полученные данные позволяют оценить живучесть СУ и определить мероприятии и организационно-технических предложений по ее повышению.
Ключевые слова: система управления, деструктивные воздействия, запас живучести, условная функция живучести, функция выживаемости, безусловная функция живучести.
В современных условиях роль управления, опирающегося на достижение интеллектуального превосходства над противником, не просто возрастает, но и становится решающим фактором достижения успеха в бою. В условиях научно-технического прогресса, век информатизации, автоматизации и сложных динамических систем, войска с меньшими поражающими возможностями, но с высокоэффективной системой управления (СУ) способны одержать победу над более мощным противником, уступающим в противоборстве систем управления.
Многократно возросла сложность управленческой деятельности командира в бою, повысилась уязвимость СУ от воздействия средств поражения, радиоэлектронного подавления, воздушных и аэромобильных десантов и диверсионно-разведывательных групп противника. Поэтому живучесть СУ стала важнейшим фактором, определяющим ход и исход боевых действий. Чем выше живучесть СУ, тем выше уровень управления и как результат вероятность успешного выполнения поставленных боевых задач. Система управления войсками представляет собой не простую совокупность большого количества контуров управления, по которым осуществляется двухсторонний процесс обмена информации, а сложную динамичную совокупность функционально связанных между собой органов управления (ОУ), пунктов управления (ПУ) и средств управления, предназначенных для реализации требований, предъявляемых к управлению войсками [1,2].
Известно, что в общеметодологическом плане под живучестью войск (сил), военной техники понимается их способность сохранять или быстро восстанавливать свою боеспособность (способность выполнять задачи в соответствии с предназначением при ведении военных действий) в условиях активного противодействия противника [3,4].
Цель моделирования. Главным методом для исследования процессов функционирования системы является моделирование. Задача моделирования будет заключаться в разработке модели оценки живучести системы управления общевойскового соединения в условиях деструктивных воздействии противника на основе логико- вероятностного метода, для последующего исследования на ее основе возможных вариантов функционирования СУ в условиях воздействия противником [5].
Показатели живучести. Рассмотрены известные нам показателей живучести. Среди них есть и вероятностные, и детерминированные. С целью систематизации проведем их классификацию по двум признакам. По первому признаку разделим все показатели на две группы: показатели, используемые для оценки живучести по состоянию системы и по результатам выполнения задания. Показатели первой группы оценивают свойство системы сохранять работоспособность после деструктивного воздействия (ДВ). Показатели второй группы оценивают способность не только противостоять ДВ, но и в дальнейшем, несмотря на ДВ, успешно выполнить установленное задание. По второму признаку показатели подразделяются на аддитивные и минимаксные. Они отличаются друг от друга по способу сведения векторного показателя к скалярному. К числу аддитивных относятся и вероятностные показатели, основанные на формуле полной вероятности.
Показатели живучести, используемые для оценки живучести по состоянию системы. Обозначим через Ап событие, состоящее в п-кратном появлении ДВ, а через F - функцию работоспособности системы, принимающую значение 1, если система работоспособна, и 0, если неработоспособна. Тогда условный закон уязвимости
Q(n) = Р (Б = 0 / Ап) (1)
есть вероятность потери работоспособности системы при условии п-кратного ДВ.
Выживаемость системы при п-кратном ДВ
(п) =1 - Q (п) = Р (Б = 1 / Ап) (2)
Запас живучести ^-живучесть)
а = С- 1 (3)
есть критическое число дефектов, уменьшенное на единицу.
Дефект - это единица измерения ущерба, нанесенного системе неблагоприятным воздействием. Это может быть один элемент, удаленный из системы управления в результате ДВ. Критическим называют минимальное число дефектов, появление которых приводит к потере работоспособности.
Запас живучести (т-живучесть)
т = тах(Цт; (4)
есть максимальное число дефектов, которое еще может выдержать система без потери работоспособности.
Среднее число ДВ, приводящих к потере работоспособности
б) = Е»=(^(п) (5)
есть математическое ожидание числа ДВ, задаваемого распределением (1).
Средний запас живучести
5 =оо-1 (6)
Эта величина не отрицательна, так как га > 1. Это следует из (5), поскольку R (0) =1. Показатели (1), (2), (5) и (6) являются вероятностными, (3) и (4) - детерминированными.
К детерминированным показателям относится и показатель К;^. Пусть некоторая система состоит из п объектов, 8 - номер варианта системы. При однократном неблагоприятном воздействии на 1-й объект возникает ущерб величины С^. Объекты нумеруются для каждого варианта в порядке убывания ущерба Ся1> Ся2> ... > Сп . Установим пороговое допустимое значение ущерба А и предположим, что при многократном ДВ воздействию подвергаются различные объекты, и в первую очередь объекты с наибольшим ущербом. Причем ущерб для системы в целом получается сложением ущербов на отдельных объектах. Тогда К^ определяется по формуле
к.
К£ = пип(С8)>К8,С8 = £с?, (7)
¡=1
К - количество потерянных элементов в результате ДВ в структуре 8.
Пусть теперь система, имеющая базовую структуру 8о, выполняет некоторое задание в течение времени t. В результате ДВ в системе может возникнуть новая структура 81, из множества работоспособных структур 8Р= {81, 1=1,...,№} или неработоспособных структур 8НР = {81 , 1 = №+1,..., После п-кратного ДВ система с новой структурой должна приступить к выполнению установленного задания и выполнить его за время 1
Также можно существенно усилить модельное представление о живучести, вводя следующие дополнительные характеристики:
г - кратность ДВ - количество одновременно поражаемых элементов или узлов за одно ДВ. В этом случае по результату одного ДВ в системе наблюдается одновременно г дефектов. Такой подход характерен для территориально-распределённых систем, в которых разовое ДВ вызывает множественные;
L - стойкость элемента структуры к поражающему воздействию. Это целое число НВ, которое выдерживает элемент без потери работоспособности. В более общем случае, следует замещать детерминированный L-критерий стойкости функцией стойкости, которая может иметь вероятностную или нечётко-множественную природу. Мы говорим о стойкости, когда живучесть элемента системы обеспечивается внешними системами обеспечения живучести, например, за счёт мероприятий охраны и обороны, системы ПВО, фортификационные сооружения и т.д.). Для рассматриваемых здесь моделей L = 0.
Оценка живучести по результатам выполнения задания проводится с помощью следующих показателей.
Условная функция живучести
G О/) = ВД = P(t/Si)P(t/S0) (8)
есть отношение вероятностей выполнения задания системой, определенных для двух случаев: для базовой и новой структур. При этом не исключается, что для новой структуры Si задание будет сформулировано иначе, чем для S0. Однако при этом должно выполняться условие Gi(t) <1. При наличии восстановления могут рассматриваться и неработоспособные структуры (i> Np) так, как и для них может быть P(t/Si)> 0. В отсутствие восстановления P (t /Si) = 0 при i> Np. Функция выживаемости системы при n-кратном воздействии (событие An):
G (VAn) = G(t, n) = X Pn(k)Gk (t) (9)
к=1
есть усредненная по всем возможным структурам функция живучести, Рп(к) - вероятность возникновения структуры Sk после п-кратного ДВ. Безусловная функция живучести
(t) = Я?=1Р(АП^/АП) = 2k=lP(Sk) Gk(t) (10)
есть усредненная по всем возможным событиям Ап функция выживаемости системы. Вероятность Р^к) в формуле (10) определяется по формуле
от
Р^к) = £ Р(А„)Р„(к) (11)
П = 1
Показатели (9) и (10) относятся к классу аддитивных и обеспечивают свертку векторного показателя (Скф, к=1,..^} в скалярный. При отсутствии уверенной информации о вероятностях Рп(к) и Р^к) они могут заменяться на весовые коэффициенты ак и Рк, назначаемые экспертно. Если же и это сделать затруднительно, то необходимо переходить к минимаксным показателям.
Последовательность G(t,n) является убывающей функцией п и изменяется от 1 при п = 0 до 0 при п^-да. Поэтому среднее число ДВ, приводящее к невыполнению задания, определяется по формуле
оо от
со = ^ п^а т -1) п)) = ^ G(t, и) (12)
П=1 П=1
При t = 0 или = 0 (элементы идеально надежны) формулы (9) и (12) переходят соответственно в (2) и (5). В самом деле, при t = 0 функция Gk (0) =1 для к и Gk (0) =1 для к> N. Из (9) имеем
00
G(0/An) = ^Pn(k ) = R(n)
к=1
а из (10) получим безусловную функцию живучести при нулевой длительности задания
G(0) = R P (An)R(n)
n=l
Показатели (8) - (12) можно обобщить и на случай ветвящихся и многополюсных структур. Для этого в (8) вероятность выполнения задания надо заменить на некоторый показатель качества E(S). Так, для системы с ветвящейся структурой функционирования в интервале времени t может быть выражено функционалом
E(t, S) = ф (P(t/S)), (13)
где P (t/S) = {Pm(t/S), m=0,...M} - распределение числа неработоспособных ветвей в момент времени t при условии, что в начальный момент система имела структуру S. Тогда условная функция живучести определяется формулой
E(t, S) = ф (P(t/S)), (14)
При М = 1 получим E(t/S) = P(t/S), и формула (14) переходит в (8). Другие показатели находим по формулам (9) - (12).
Порядок расчета. При описании элементов полагаем, что каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: ео - элемент работоспособен и включен в работу; е1 -элемент работоспособен и отключен от системы по различным причинам; е2 - элемент нерабо-
тоспособен. Перехода из состояния в состояние определяются четырьмя группами факторов: естественными отказами элементов, восстановлением работоспособности, отключениями при срабатывании средств аварийной защиты и реконфигурации, действиями внешних возмущений. Связи между элементами определены и стационарны во времени, так что в любой момент времени состояние элемента можно установить по состоянию работоспособности этого элемента и состоянию других элементов. Признаки работоспособности системы неизменны во времени и позволяют однозначно определить состояние системы по совокупности состояний ее элементов. Рассмотрим основные этапы методики анализа живучести системы на основе логико-вероятностной модели.
Описание состояний элементов. Для каждого элемента вводятся две логические переменные: Х1 - индикатор работоспособности 1-го элемента (Х1 = 1, если он работоспособен, и Х1 = 0 в противоположном случае), у1 - индикатор состояния работоспособного элемента (у1 = 1, если элемент работает, у1 = 0 в противоположном случае). Для отражения воздействия возмущений на элементы вводятся также индикаторы z1j и гг = У]г1]-, где z1j = 1, если возмущение _)-го типа действует на 1-й элемент, zij = 0 в противоположном случае. Теперь можно выразить индикаторы трех состояний элемента:
ию = 1[е0] = х^; ии = 1[ех] = ху^; и12 = 1[е2] =XiVxizi (15)
Составление логических зависимостей. На основе предварительного анализа динамических моделей физических процессов с учетом действий средств аварийной защиты, реконфигураций и управления составляются логические уравнения относительно неизвестных состояний работоспособных элементов:
У1 = (Хк, У), 2к, к = 1,...Л; )е М1), 1 = 1,...Л _ (16)
где N - число элементов в системе, М1 - множество элементов, смежных с 1-м элементом. Совокупность выражений типа (16) образует замкнутую систему логических уравнений, представляемую в векторной форме в виде
Y = ^ (ХД,2) (17) Достоинством этой записи является то, что при описании состояния работоспособного
элемента используется лишь непосредственное его окружение и нет необходимости рассматривать всю систему. В дальнейшем из этих частных и достаточно простых зависимостей удается найти с помощью математических методов явную зависимость состояния работоспособного элемента от работоспособности остальных элементов и характеристик ДВ.
Работоспособность системы определяется работоспособностью ее элементов и зависимостями (17). Для многих систем основным. является состояние сравнительно небольшой группы выходных элементов. Однако из-за наличия опосредованных связей, отраженных в (17), работоспособность системы определяется состоянием и всех других элементов. Для однофунк-циональной системы логическая функция работоспособности (ФРС) записывается в виде
F = f (X, ^ 2) (18)
В многофункциональной системе зависимость вида (18) составляется для каждой функции отдельно. Если требуется одновременное выполнение всех функций, то
F = &(1) £ (X, ^ 2) (19)
где £ - логическая функция - индикатор выполнения 1 -й функции системы. Излагаемый здесь метод описания состояний системы не требует комбинаторного перебора всех состояний элементов, а функции £1 находятся формально из систем логических уравнений.
Решение систем логических уравнений. Система уравнений (17) является линейной и может быть приведена к виду:
У1 = а1 V апу1 V а^у2 V ... V а^у^ аи = 0 (20)
где а1 и а^ - коэффициенты, выражаемые явно через Х1 и zi. Существуют различные способы решения систем логических уравнений, в том числе метод определителей, метод подстановки, матричный метод и др. С методом определителей и его применением к задачам надежности можно ознакомиться в работе [6]. Решение (20) вида
Y = gY (X, 2) (21) следует подставить в (18) или (19) и получить явное выражение
F = £ (X, gY (X, 2), 2) = g (X, 2) (22)
Заметим, что решение системы логических уравнений надо проводить многократно: один раз для базовой структуры 80, когда все zij = 0, и еще столько раз, сколько различных видов возмущений. В конечном счете, перебирая все виды возмущений при однократном и мно-
гократных ДВ, удается получить полный набор работоспособных структур в системе. Функция (22) допускает, таким образом, анализ d- и m-живучести путем перебора вектора состояний элементов.
Основные расчетные соотношения. С помощью многошаговой процедуры замещения логических переменных в смешанных формах, составленных для базовой структуры S0 и других работоспособных структур Si, находят вероятности P(t/So) и P(t/Si), а затем по формуле (8) -условную функцию живучести Gi(t). Далее по формулам (9) - (12) -функцию выживаемости, безусловную функцию живучести, среднее число ДВ.
Вывод. Предлагаемая модель позволяет оценить живучесть СУ и получить данные для определения мероприятии и организационно-технических предложений по ее повышению.
Список литературы
1. Макаров А.П., Мойсеенко М.П., Литвиненко В.И. Тактика: батальон, рота взвод, отделение: учебное пособие. М.: КНОРУС, 2021. 678 с.
2. Боевой устав по подготовке и ведению общевойскового боя: Часть 2 (рота, батальон). М.: Военное издательство, 2019.
3. Военно-энциклопедический словарь. М.: Воениздат, 2007.
4. Ожегов С.И. Словарь русского языка. М.: Русский язык, 2004.
5. Боговик А.В., Игнатов В.В. Теория управления в системах военного назначения: Учебник- СПБ.: ВАС, 2008. 460 с.
6. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. М.: Радио и связь, 1984. 238 с.
Киселев Андрей Васильевич, аспирант, адъюнкт, kiselev261084@mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи Министерства обороны Российской Федерации
A MATHEMATICAL MODEL FOR ESTIMATING THE VIVIDITY OF A PUBLIC CONNECTION CONTROL SYSTEM UNDER THE CONDITIONS OF DESTRUCTIVE EFFECTS OF THE ENEMY
A.V. Kiselev
The article discusses the main indicators of the mathematical model used to assess the sur-vivability of the control system of a combined-arms formation in conditions of destructive effects of the enemy according to the state of the system and according to the results of the assignment. Their description and calculation procedure are carried out. The data obtained make it possible to assess the survivability of the control system and determine the measures and organizational and technical proposals for its improvement.
Key words: control system, destructive effects, survivability margin, conditional survivability function, survival function, unconditional survivability function.
Kiselev Andrey Vasilyevich, postgraduate, kiselev261084@mail.ru, Russia, Sankt- Petersburg, Federal State-Funded Military Educational Institution of Higher Professional Education Military Academy of communications
