CC BY
33
УДК 621.983; 539.374
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф.,
(4872) 35-14-82, [email protected],
М.В. Суков, канд. техн. наук (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, МИК)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ ОБРАТНОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
Изложена математическая модель операции обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропного материала. Предполагается, что операция реализуется в условиях плоского деформированного состояния. Приведены основные уравнения и соотношения для анализа кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний трубной заготовки, силовых режимов и предельных возможностей деформирования.
Ключевые слова: анизотропия, обратное выдавливание, анизотропия, напряжение, деформация, сила, разрушение, повреждаемость, труба, пуансон, матрица.
В различных механизмах и машинах широко применяются детали типа полых цилиндров, имеющих внутренние полости. Детали такого типа могут быть получены обратным выдавливанием трубной заготовки [1, 2]. Заготовки, как правило, обладают анизотропией механических свойств, которая зависит от режимов их изготовления. Анизотропия механических свойств оказывав влияние на технологические параметры процессов обработки металлов давлением [1, 2].
Рассмотрим процесс обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении начально анизотропного упрочняющегося материала коническим пуансоном с углом конусности а и степенью деформации в = 1 - Sl| ¿о (рис. 1), где ¿о и ¿1 - толщины трубчатой заготовки и полуфабриката соответственно.
Допустим, что процесс обратного выдавливания протекает в условиях плоской деформации, т.е. отношение диаметра к толщине стенки
О3^о ^ 20 [2].
Пусть координаты х, у, г совпадают с главными осями анизотропии. Выбираем такое состояние плоской деформации, чтобы главная ось анизотропии у была нормальна к плоскости течения.
Принимается, что материал трубной заготовки подчиняется условию пластичности Мизеса - Хилла [1, 2]
Н(ах - ау )2 + Р(ау - аг )2 + ^(аг - ах )2 + 2Мт2х = Ь (1) где Н, G, Н, М - параметры анизотропии.
Рис. 1. Схема кинематики процесса обратного выдавливания
Условие несжимаемости материала позволяет установить связь между скоростью течения материала на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации
Уо*о = У^. (2)
Откуда следует, что
У> = V V0=^=к •
¿0 У1 ¿0
(3)
Пусть материальная частица на входе в очаг деформации занимает начальное положение, определяемое координатами 2 = го, х = 0, на выходе из очага деформации - положение г = гу, х = I. Принимаем, что линия тока - прямая линия, проходящая под углом в к оси х. Угол в можно считывать по формуле
¿0 - ¿1
I
(4)
Из уравнения видно, что при ¿0 = ¿0, і = ¿1 tgв = tga; в = а; при ¿0 = 0, ¿1 = 0 tgP = 0, в = 0. Угол в изменяется от 0 при г = 0 до а при
I = ¿0 , если X = 0 , и I = ¿1, если X = I.
Уравнение линии тока, проходящей через точку с координатами х, г, будет иметь вид
1 = ¿0- х^в;
г
¿0 - хtgа ¿0
= -; tgв =
—; і = —(*0 - хtgа). (5)
¿0 - хtgа ¿0
Из условия постоянства расхода можно принять, что
Ух
V г0 У0 —, I
(6)
где У о - скорость движения пуансона; Ух - скорость течения по оси Ох. Отсюда скорость Ух определяется по формуле
Ух = -У0Ь • (7)
¿0 - xtga
Скорость Ух не зависит от координаты г, т.е. продольная скорость металла в некотором сечении принимается постоянной.
Из условия несжимаемости при плоской деформации имеем
дУх дУг л /оч
—- + —2 = 0, (8)
дх дг
где У2 - скорость течения по оси Ог.
Подставив выражение (7) в формулу (8), получим
дУг Уо^Ы
(9)
дг (¿о - xtga)2
Интегрируя выражение (9), имеем
У: =- Уо^*а + / (х),
(¿о - xtga)
из условия, что при г = о Уг = о, определяем функцию / (х) = о.
Выражение для определения скорости течения Уг может быть записано в следующем виде:
^ =- Уо^2. (ю)
(¿о - xtga)
Рассмотрим вопрос об определении интенсивности деформаций в очаге пластической деформации. Имея кинематику течения материала, можно найти компоненты тензора скоростей деформаций в системе координат Охуг:
дУх Уо^а . с дУ2 Уоsоtga .
с = ^с. = - . с
Ьх /•, О ’ Ьг 9 ’
(¿о - xtga) дг (¿о - xtga)
Ся = !(£^ + = - Уо*о^2» ; (П)
2 дг дх (¿о - xtga)
С У = С ху = С уг = °.
Определим распределение интенсивностей скоростей деформаций вдоль следующих траекторий течения материала: вдоль границы течения материала по пуансону ¿у < г < ¿о; о < х < 1; го = ¿о. вдоль гра-
ницы течения материала по матрице г = о. о < х < 1; го = о. вдоль траектории, проходящей через точку го = ¿о/2; х = о; вдоль траектории, проходящей через точку го = — к; х = о; о <к <п .
п
Средняя величина интенсивности скорости деформации по очагу деформации по этим п траекториям определим следующим образом:
С/
оср + С/1ср + ... +
тер
9/ср~ п +1
Учитывая, что Сг = -Сх и введя обозначения
(12)
о
хг ■
получим выражение для определения интенсивности скорости деформации в следующем виде:
,1/2
С/ =
2( Кх + КхКу + Ку ) (Ку + 1)
3Ку (1 + (у + Кх)
—С2
г, ^гх
(13)
Подставив соотношения (11) для определения компонент тензора скоростей деформаций в выражение (13), найдем
\2(Кх + КхЯу + Ку) [ () +1) 2 г ^2 a ^2
С
\
3К
у
X-
?У
Уо ¿о^
I1 + Ку + Кх ) ^гх (¿о - xtgay
X
(14)
(¿о - xtgaУ
Накопленная интенсивность деформации вдоль к -й траектории определяется по выражению с учетом добавки деформации, связанной с изменением поворота траектории при входе в очаг деформации следующим образом [3]:
t
г/ = №/& + Аг/.
о
Для определения этой добавки запишем выражение для приращения интенсивности деформации при чистом сдвиге, когда
С х = С у =С г =С ху = С уг = о; С гх * о;
' ~ \1/2
2(Кх + КхКу + Ку)
3К
у
V Кгх
йг
гх
1 yz = ——, получим 2 Vx
\Rx + RxRy + Ry 1 ztga
3RyRzx Sq — xtga
Учитывая, что ds zx =
dsi =
Таким образом, величина накопленной интенсивности деформации вдоль траектории к будет определяться по формуле в очаге деформации
егк =к/к — +Ле;
0 Ух
или
sik
2(
+ RxRy +
R)
3R
У
Ry + 1
2 Zq 2 +-------------0 tg a
Rx + Ry + 1 Rzx Sq
1/2
X
X ln-
s0
■ + Asi.
¿0 - xtga
Чтобы определить , происходящую через точку с координатами х, г, заменим го через х, г :
1/2
2 г ztg 2а , ¿о
sik
í2(Rx+RxRy+Ry
3R
У
Ry +1
---+ ■
Rx + Ry + 1 Rzx (Sq — xtga)
2
X X ln-
+
(Rx^Rv+Ry)
ztga
3RyRzx
Sq — xtga
(15)
(5q - xíga)
Если нужно определить накопленную интенсивность деформации в заготовке после деформации, то следует к рассчитанной величине добавить второй член по выражению (14) на выходе из очага деформации. Это позволит оценить механические свойства заготовки с использованием кривой упрочнения
СТ7 =СТ/0 + AsF . (16)
Средняя величина интенсивности деформации в очаге деформации £jcp определяется по формуле
si0cp + si1cp + ... + s'
sicp
-incp
n + 1
(17)
Используя формулы (12), (16) и (17), можно рассчитать среднюю величину
1 icp = ^i = const в очаге деформации.
3 £
icp
Учитывая приведенные выше отношения, выражения для определения компонент тензора деформаций е х и е гх могут быть записаны так:
е х=ь ^= 1_1п —V;
о о ух о^о — х8а) ^— х*ёа
йх
е _ г? Ж _ х? ^ _ 1[Ха 1п ^ -
ьгх ^гхш ^гх ТГ . ш •
о о ^х ^ — х^а *о
Уравнения связи между скоростями деформаций и напряжениями запишем в виде:
2 с, (ЯхЯу + Яу +1)4х сх— су _ ■
ху
3 ?, Яу (Кх + Ку +1)
_ 2 с, (ЯхЯу + Яу +1)?х ; 'у (Ях + Яу
с г с х
(18)
2 с, (ЯхЯу + Яу +1)(Яу +1)?- ;
3 ?, Яу (Ях + Яу +1) ’
2 с, (ЯуЯх + Яу + Ях) ?
тгх _ Т7 ^ ^ ?гх •
3 ?, ЯгхЯу
Для определения напряжений в очаге деформации располагаем указанными выше уравнениями теории пластического течения анизотропного материала (18) и уравнениями равновесия [5]:
^ + дТх- _ о; ^ _ о; ^ + дс^ _ о. (19)
дх д- ду дх д-
Достаточно найти напряжение с х, остальные напряжения с у, с г
определяются из уравнений (18). Рассмотрим 1-е уравнение равновесия
из системы (19), предварительно вычислив производную по г от каса-
тельного напряжения тгх. Это напряжение определяется выбранной кинематикой течения материала по 4-й формуле соотношений (18):
дт-х 2 с, (Яу + Ях + ЯхЯу) д
с, у х х у
дг 3 ?, ЯуЯ2х дг
Учитывая выражение (2о), найдем
(?-х) •
дтгх _ 2 с, (Яу + Ях + ЯхЯу) уо^8 а (2о)
3 ?, ЯуЯгх (^о — х^а)3
Подставив выражение (2о) в 1-е уравнение системы (19), получим
дсх _ 2с1(Яу + Ях + ЯхЯу) VоSоtg2а (21)
дх 3 ?, ЯуЯгх (^о — х^а)3
Для интегрирования этого уравнения нужно сформулировать граничные условия. В соотношении с выбранной кинематикой течения на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации происходит резкое изменение направления течения материала от вертикального до наклонного к осевой под углом в, что связано с разрывом тангенциальной составляющей скорости течения. Это изменение направления течения учитывается путем коррекции напряжения на границе очага деформации по методу баланса мощностей:
где AP¡ = Да/ AF¡, AF¡ = AF cos в, V¡ =, AP¡ = APx-^,
sin в cos в
Да/Д» = тж AFVz;
Sin в
Да/ = Tszx^; APx = AP/ cos в; Даx AF = Да/ AF/ cos в;
Даx = tszx sin в cos в . (22)
Заметим, что угол в на входе в очаг деформации определяется по формуле tgв = — tga, а при выходе из очага деформации
s0
tgP = — tga.
*1
Отметим особенности полученного решения по распределению напряжений в очаге деформации. Они связаны с выбранной кинематикой течения материала в коническом канале, учитываемой возникающие добавки напряжений в связи с изменением направления течения при поступлении материала в очаг деформации и выходе из него. Не учтены граничные условия в напряжениях на контактных поверхностях пуансона и матрицы. Эти условия обычно задаются в виде закона трения Кулона Т£М _ ЦмаиМ и Т£П _ ЦПаиП. При оценке силовых режимов необходимо учитывать эти условия.
Определение силы процесса обратного выдавливания осуществляется следующие образом. Рассчитывается на входе напряжение с х (г)
с учетом изменением направления течения материала на входе в очаге деформации и выходе из него. Находится составляющаяся сила на ось x Pxl , связанная преодолением силы трения на пуансоне, если задан закон трения Кулона
/x
Pxl = n[D - (1 + ms)s0]]ПапПdx . (23)
О
Сила, действующая на стенку заготовки от контакта с матрицей
/x
Px2 = Л ^МапМdF2 = nD3 Í ^МаnMdx . (24)
F2 0
Эта сила должна быть учтена при определении силы процесса.
Таким образом, сила операции выдавливания
s0
р = п(D3 - so) |аx(z)dz + Px1 + ^, (25)
0
Величину апп определим по формуле преобразования компонент напряжений при переходе от одной системы координат к другой:
апп = аz cos2 а + аx sin2 а + тzx sin 2а. (26)
При обратном выдавливании предельные степени деформации трубной заготовки могут ограничиться допустимым изменением толщины стенки заготовки. Следовательно, предельные возможности формоизменения могут быть оценены из условия, что максимальная величина осевого напряжения а x, передающегося на стенку, не превышала величины напряжения аxnp [3]:
а x — а xnp ; а xnp =а sxf (а),
где аsx - сопротивление материала пластическому деформированию в условиях плоского деформированного состояния при заданной величине изменения начальной толщины стенки заготовки, f (а) - функция, определяемая экспериментально и зависящая от угла конусности пуансона а.
Другой критерий деформируемости связывается со степенью использования ресурса пластичности:
V = J--•
а
\ai У
а = Т (а х +а у +а z )•
Интегрирование в выражение ведется по траектории течения материала. До деформации у = 0. Разрушение будет иметь место при у = 1. Величина х назначается с учетом условия эксплуатации изделия [4, 5]. Среднее напряжение находится по формуле
1
3
Приведенные выше соотношения и уравнения могут быть использованы при анализе кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояния заготовки, силовых режимов предельных возможностей формообразования операции обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных материалов, реализуемой в условиях плоского деформированного состояния.
Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Список литературы
1. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 332 с.
2. Яковлев С.П., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. 136 с.
3. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1968. 283 с.
4. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: УГТУ, 2001. 836 с.
5. Богатов А. А. Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург: УГТУ, 2002. 329 с.
S.S. Yakovlev, M.V. Sukov
THE MATHEMATICAL MODES OF THE REVERSE EXTRUSION OF PIPE SHELLS FROM THE ANISOTROPIC MATERIAL
The mathematical model of the reverse extrusion of pipe shells from the anisotropic material is given. It was supposed that the operation implemented in plane deforming conditions. Basic relationships for the analysis of material flowing kinematics, pipe detail stressed and deformed states, power circumstances and extreme deformation levels are proposed.
Key words: anisotropy, reverse extrusion, stress, deformation, force, failure, damageability, pipe, punch, die.
Получено 16.12.10
