Математическаямодель осесимметричного деформирования толстостенных трубных заготовок из анизотропного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №11-01-97516.

Список литературы

1. Рыбин Ю.И., Рудской А.И., Золотов А.М. Математическое моделирование и проектирование технологических процессов обработки металлов давлением. СПб.: Наука, 2004. 644 с.

2. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики // Библиотека журнала «Свет геотехники». Запорожье: ООО «ИПО «Запорожье». 2009. Вып. 9. 400 с.

3. Данченко В.Н., Миленин А.А., Головко А.Н. Производство профилей из алюминиевых сплавов. Теория и технология. Днепропетровск.: ДНВП «Системные технологии», 2001. 448 с.

4. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. JI.: Машиностроение, 1983. 212 с.

A.N. Pasko, D.A. Alekseev

FINITE-ELEMENT APPROACH TO MODELING THE PROCESSES OF HYDRO-MECHANICAL FORMING

A mathematical model of deformation of elastic-plastic workpiece material liquid with a rigid tool on the based the finite element method was developed.

Key words: finite element method, elastoplastic material, rigid tool, pressure.

Получено 17.08.11

УДК 621.983; 539.374

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru. К.С. Ремнев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

Описана математическая модель операции обратного выдавливания толстостенных трубных заготовок из материала, обладающего цилиндрической анизотропией механических свойств. Оценены силовые режимы обратного выдавливания анизотропных толстостенных трубных заготовок.

Ключевые слова: анизотропия, осесимметричное деформирование, напряжение, деформация, сила, разрушение, повреждаемость, толстостенная труба, пуансон, матрица.

В различных механизмах и машинах широко применяются детали типа полых цилиндров, имеющих внутренние полости. Детали такого типа

могут быть получены обратным выдавливанием трубной заготовки [1]. Заготовки, как правило, обладают анизотропией механических свойств, которая зависит от режимов их изготовления. Анизотропия механических свойств оказывают влияние на технологические параметры процессов обработки металлов давлением [1-3].

Рассмотрим процесс обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении начально анизотропного упрочняющегося материала коническим пуансоном с углом конусности а и степенью деформации £ = 1-^/7^ (рис. 1), где и ^ - площади поперечного сечения трубчатой заготовки и полуфабриката соответственно. Принимается, что материал трубной заготовки обладает цилиндрической анизотропией механических свойств, жесткопластический, подчиняется условию пластичности Мизеса - Хилла и ассоциированному закону пластического течения [3].

Рис. 1. Схема к анализу процесса обратного выдавливания

Течение материала принимается осесимметричным. Анализ процесса обратного выдавливания реализуется в цилиндрической системе координат. Принимается, что на контактных границах заготовки и рабочего инструмента реализуется закон трения Кулона. Течение материала принимается установившемся.

Условие несжимаемости материала позволяет установить связь между скоростью течения материала на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации:

у _ лС^з~2‘уо) -■ _ у гПР3 _ Т*рз-2щ) -■ ,^

^ 4 4 4 4

откуда следует, что

гь = *х(в3~* о =к зоСОз-« о) У\ ■5о(£)з-5о)

Пусть материальная частица на входе в очаг деформации занимает начальное положение, определяемое координатами ро = Б3/2- г = 0. На выходе из очага деформации занимает положение р^ = И3 - ^. Принимаем, что линия тока - прямая линия, проходящая под углом |3 к оси г. Угол Р изменяется от 0 при ро=-£)3/2 до а при ро =£)3/2-.У0, если х = 0, то же имеет место при Р1 — Б3 /2 и р! = Б3 /2 - ^, если z = /.

В целях упрощения можно принять линейное изменение tg$ от О

до tga при изменении от 0 до ^0, когда г = 0 :

tg$ = tga—.

8О

Компоненты осевой У2 и радиальной Ур скоростей течения могут быть определены по выражениям

тг _ ту ^0 (-^з 2Р) ~ 2D3S(jZtga

(£>з + 2р)(^о - ztga)

= ^ st(D3 + 2p)-2D3s0zlgatgf¡ _ (4)

(В3 + 2р)(^о - ztga)

0 (И3 - 2р)^а

где tg$ = ^-.

2(.?о - ztga)

Скорости деформации рассчитываются по формулам

$* = ^;$р=^;$е = ^;2^г=^+^. (5)

дг к Эр р к Эг Эр

Приведем окончательные выражения для определения компонент скоростей деформаций \2, ^, полученных с учетом выражений

(3) и (4), условия несжимаемости материала =-Ъ,2 -^е:

к _ _ОТЛ ^ос^оО02Р “

Sz — Л — а > (6)

ог (£>3 + 2р)О0 - ztga)

* УР ^0 Мвз + 2Р) “ 2П3г^а](В3 - 2р)/&а

Ь0 = — =--------------------------------------^-------»

Р Р 2(В3 + 2р)(5,о - ztga)

(7)

к _ _ У&№*Р3 [^О-^з 2ztga{D3 + р)]

Р Эр 2{Г>3 + 2р)р {sQ-ztga)ъ

где

2 2 2

и = 5о^(х[8(5о - ztga) + (Б3 - 4р Х-уо^з + б^ор - 4D3ztga)tga];

V = 2(5о - 2^ёа)^(Р3 + 2р)2.

Величина интенсивности скоростей деформаций ^ вычисляется по выражению [3]

= л/2(^г + ^0 + ^^е)к[(! + ^)^0 + +

+ ^0 ~ ^0^0 )2 +

рг

Я

рг

1/2

/^1з^яе(1 + яе + я2),

(10)

н н м

где Я2 = —; —; Я02 = —;^, О, Н, М - параметры анизотропии.

С ^ к ^

Выражение (10) позволяет определить распределение интенсивностей скоростей деформаций вдоль ряда п траекторий течения материала.

Среднюю величину интенсивности скорости деформации по очагу деформации по этим п траекториям находим так:

£ _ ^/'0ср ^йср + ••• + \incp

Ыср ~ •

п + 1

(П)

Накопленная интенсивность деформации вдоль £-ой траектории определяется по выражению без учета добавки деформации, связанной с изменением поворота траектории при входе в очаг деформации следующим образом:

к

(• и

% : у №*к у ’

0 0 % 0 угк

где к = 1,2,..., п (траектории течения материала).

Для определения этой добавки запишем выражение для приращения интенсивности деформации при чистом сдвиге, когда

=кв=$2 =^в =^0р =°> $рг*0>

следующим образом:

\1/2

&% =

/ 9

2Ле

Ргк

я

рг

Учтём, что

1*р* 1

Лєр2 =—— = -tg$, р 2 V., 2

тогда будет иметь

_ |2(Дг + Де + Дг%) ПГ ЗД2 рЛр,

Ае^ = (12)

Таким образом, величина накопленной интенсивности деформации вдоль траектории к в очаге деформации будет определяться по формуле

є _ у |2(Дг + Дд + ДгДе)

'* Д V ЗДг

’ &Р*- (13)

Если нужно определить накопленную интенсивность деформации в заготовке после деформации, то следует к рассчитанной величине добавить второе слагаемое, которое определяется также по выражению (13) на выходе из очага деформации. Это позволит оценить механические свойства заготовки с использованием кривой упрочнения

^1=^Ю+в^сР’ (14)

куда входит величин средней интенсивности деформации в очаге деформации, по формуле

_ е/0ф + ^йср + ••• + Щпср п + 1

Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций для рассматриваемых условий деформирования примут вид

а _а 2с,- (ДгДе + Дг + Яв)(Я-с,- -2 0 31,. Д2Де(1 + Де + Д2)

_ 2 <5і (^^0 ^б)(^0 ~~

°в'ср_п; д2(і+де+дг) ’

_ 2 аг- (^г^е + + ЯбХЗДр “ .

“з^7 д0(1 + де + яг) ’

(16)

^р

2 аг- (і?2і?е + + і?е) -

рг л Ь Г, о ^р2 ’

** СИ !

где Ор, ад, о2, Хр2 - нормальные и касательное напряжения, являющиеся функциями риг.

Запишем систему уравнений (16) через среднее напряжение а:

2 а,- (RzRq + Rz + Rq) [(Де + 2Д2)£0 + Rz(Rq + 2)£р]

а2=а-

^ ^ 2 сг-(7?27?0 + + 7?0) [^0(^ 2)^2 + (/?2 + 27?0)^р]

0е'0_з^ Д9(1 + Д0 + Д2) ЗД^ ’

о д 2 а,- (ДгДе + Дг + Де) [Де(2Дг + 1)5е + Дг(2Де + 1)1г)].

р з§,- де(1+дв+д2) ЗД2

_ 2 аг (^г^0 + + ^р) е

р* ” ч ? /? /? ^Р2 ■

Введя обозначения

.. =1^1. Л _ ^^0 + + ^0 . л ^г^0 + ^ + ^0 .

^ 3|, ’ Дв(1 + Д2 + Де)’ рг Др2Дг

„ , ч (^0 + 2^)^0 + ^С^0 + 2)^р

^(Р^) =---------------

/ ч + 2)^г + (Лг + 2^0 )^р

™’г)=-------------------------шг------;

р (п _ч _ ^0(2^ + 1)^0 + + !)^) . 17 /0 _ £

^р(Р^)----------------—----------------» ^рг(Р»*)-Ър*>

соотношения (17) запишем в следующем виде:

с2=а- 2щАР2 (р, г) ; о0 = о - 2щ^0 (р, г) ;

Ор — (У — 2\х,1АРр (р, г) , Тр2 — 2\\,}Ар2Рр2 (р, £).

Для определения напряжений в очаге деформации располагаем указанными выше уравнениями теории пластического течения анизотропного материала (16) и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат [4]

Эор ^ Этр7 ^ °р ~ а0 = 0. Эа0 = 0 Этрг ^ Эа7 | %> = 0 ^

Эр дг р Э0 Эр дг р

Подставив выражения (18) в уравнения равновесия (19), имеем да 0 А Э(Ц/^р(р,^)) 1 ^ А Э(ц.г-/^р2(р,^)) ^ ^ ^ ^0(р,г) — Рр(р,г) ^ ^

— 2 А — I-1 Ар2 — Ь 2А\Х,^ — и ,

Эр Эр к Эг р

К К К (20)

(18)

дст 2 <d(Hjfz(p,z)) 2j Э(Ц^рг(р,г» n,Fpz(p,z) _ 3z 3z pz Эр pz p

Представим приведенные выше уравнения в виде конечных разностей. С этой целью рассмотрим схему разбивки очага деформации координатными линиями р = const и z = const:

Gm,n ~am-\,n „ №іт,п^(Рт,п’2т,п) ^im-lnFp(Pm-l,n’zm-l,n)

---??------------2 A----?---------------------------------------------+

Pm,n~Pm-l,n Pm,n~Pm—\,n

^ A ^im>n+l^pz(9m,n+l’zm,n+\)~^im^pz(9m,n’zm,n)

+ 2Ap z b

zm,n+\ ~ zm,n

_ . ^дІРт,п’2т,п^ ~ Fa(Pm,n’zm,n) л ,~Л\

№im,n--------------- —-------------------------------=°; (21)

Vm^n

ам,и+1 ~ am,w M-iw>w+i^z(Piw,yi+bziyi,w+l)~M-iw|>w-^(P»i>»»ziii,yi) |

zm,n+l ~ zm,n zm,n+1 — zm,n

№im+1 и^Р2^Рm+\,n’zm+\,n) ~^im nFpz(Pm,n>zm,n)

+ 2Apz 2 2 I-

Pm+\,n ~ Pm,n 2Д ^im,nFpz (Pm,n ■>zm,n) _

P m,n

Разрешив каждое из уравнений системы (21) относительно среднего напряжения, получим выражения для определения величины среднего напряжения стп:

по р - линии (z = const)

Gт,п = ®т-\,п + — ^//^-l5/7^p(Pw-l,W’zw-l,«)]—

Л . ^гт,и+1^рг(Р»/,и+Ь2т,й+і) ~\^im,nFpz^Pm,n^zm,n)

~ Zy*pz (Pw,n — Pm-І,») —

zw,«+l — zm,n

гуА.. ^б(Рm,n’zm,n) ~ Fp(Pm,n>zm,n) ґл ч.

гч»г,и \Рт,п Рт-\,п) ’ vzzJ

Р?я,и

по z - линии (р = const)

^т,п ~ ®т,п+1 — 2^\^imn+\Fz^.Pm,n+hzm,n+\) ~ \^ітп^гІРт,П’гт,пУ^

М-im+\ nFpz(Pm+l,n’zm+l,n) ~ №im n^pziPт,п’zm,n)

+ 2Apz (zm,n+1 — zm,n)

Pm+\,n — P m,n

Vim,nFpz(Pm,n>zm,n)

+ 2Apz Kzm,n+1 zm,n)• (z->)

P?W,W

Для интегрирования этих уравнений нужно сформулировать граничные условия. В соответствии с выбранной кинематикой течения на входе в очаг деформации и выходе из него происходит резкое изменение направления течения от вертикального до наклонного к осевой под углом Р, что связано с разрывом тангенциальной составляющей скорости течения Vp.

Это изменение направления течения учитывается путем коррекции напряжения на границе очага деформации по методу баланса мощностей

где

AP,V, = TspzAFVp, (24)

APj = AGlAFl; AF¡ = AFcosp ; = AP¡ = APZ (25)

sinp cosp

На основании соотношений (24) и (25) следует, что

Ag/AFcosBPq

кр=т,ргЛFVp (26)

sm р к к

и

• (2^)

Используя выражения (25) и (27), найдем АР2 = АР/совР ; Аа2АР = Ао/АТ/собР ; Асг = т5р28трсо8р. (28)

Заметим, что угол Р на входе в очаг деформации определяется по формуле

8О

а при выходе из очага деформации - так:

а ■51

tg$ = —tga.

•*1

Соотношение (28) является граничным условием для определения а2 при г = 1. Определяется величина среднего напряжения о по выражениям (22) и (23). Компоненты напряжений о2,<Зр, а0 и Тр2определяются из уравнений (16).

Отметим особенности полученного решения по распределению напряжений в очаге деформации. Они связаны с выбранной кинематикой течения материала в коническом канале, учитывают возникающие добавки напряжений в связи с изменением направления течения при поступлении материала в очаг деформации и выходе из него. Не учтены граничные условия в напряжениях на контактных поверхностях пуансона и матрицы. Эти условия обычно задаются в виде закона Кулона ЧМ=^М<5пМ и =^П°пП> где И - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона. При оценке силовых режимов необходимо учитывать эти условия.

Определение силы процесса обратного выдавливания осуществляется следующим образом. Рассчитывается на входе напряжение az(p) с учетом изменения направления течения материала на входе в очаг деформации и выходе из него. Осевая составляющая силы определяется по выражению

D3¡ 2

Pz0=2n foz(p,0)pdp.

D3 / 2—sq

С учетом составляющей трения осевая сила Pz определяется следующим образом:

Pz = ^zO "I" Pzl "I" Pz2 * где Pzi и Pz2 - составляющие на ось z силы трения на матрице и пуансоне

I

Pzl ъВз [м -М®п^2 ?

О

1 dz

Pz2 =тг[(2р + ф)цяа„--------cosa. (29)

q cosa

Вдоль границы течение материала по пуансону р определяется по формуле

р = D3 / 2 - ¿o + ztga,

а ¿/р = dz.tgOL.

Подставив р и dp в уравнение (29) получим

I

Pz 2 = ti [ (D3 — 2sq + 2ztga + dztga)\i jjc ndz.

0

Величина ап на контактной поверхности с пуансоном определяется по формулам преобразования компонент напряжений при переходе от одной системы координат к другой:

2 2 <5пп = Gp cos a + oz sin a + Tpz sin 2a.

Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов операции обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных материалов.

На рис. 2 приведены графические зависимости изменения относительной силы Р = Р/[n(D3 -sq^qGj-o] от Угла конусности пуансона a при

обратном выдавливании трубных заготовок из стали 08 кп и латуни Л63. Здесь кривая 1 соответствует 8 = 0,1; кривая 2 - 8 = 0,2; кривая 3 - 8 = 0,3; кривая - 4; 8 = 0,4; кривая 5 - е = 0,5.

Механические характеристики исследуемых материалов приведены в таблице [3]. Расчеты выполнены при =20 мм; £>3=100 мм; |х77 = 0,1;

М'М = °>05 •

Механические характеристики исследуемых материалов

Материал МПа в, МПа п *0

Сталь 08 кп 268,66 1,226 0,478 0,817 0,783 2,999

Латунь Л63 214,94 5,199 0,575 0,666 0,750 2,479

Алюминиевый сплав АМгбМ 29,20 2,368 0,440 0,67 0,540 2,805

2 ".

: о

ь

П

-ь

1.0 п.')

10 1: ¿0

Рис. 2. Графические зависимости изменения Р от а при обратном выдавливании трубных заготовок из стали 08 кп (а) и латуни Л63 (б)

Анализ графиков и результатов расчета показывает, что с увеличением степени деформации е относительная величина силы Р возрастает. Интенсивность роста тем выше, чем больше степень деформации 8.

Выявлены оптимальные углы конусности пуансона в пределах 10...25°, соответствующие наименьшей величине силы. Величина оптимальных углов конусности пуансона а с увеличением степени деформации 8 смещается в сторону больших углов.

Графические зависимости изменения относительной величины силы Р от коэффициента трения на пуансоне (Ця/^м) ПРИ фиксированном коэффициенте трения на матрице ([I^ = 0,05 ) и угле конусности пуансона

а = 20° для исследуемых материалов приведены на рис. 3 и 4. Здесь введены обозначения: кривая 1 соответствует е = 0,1; кривая 2 - е = 0,2; кривая

3 - е = 0,3; кривая 4 - г = 0,4; кривая 5 - 8 = 0,5.

1.0

0.0

4

^^

ч *-

— \

— ■ \

1-

\'П/ 4

■■'.■■Л*

- Г-Н

Рис. 3. Графические зависимости

изменения Р от Ця/Р-М

при обратном выдавливании трубных заготовок из стали 08 кп: кривая 1 - 8 = 0,1; кривая

2 - 8 = 0,2; кривая 3 - 8 = 0,3; кривая 4 - 8 = 0,4; кривая 5 - г = 0,5

Рис. 4. Графические зависимости

изменения Р от Ря^М-М

при обратном выдавливании трубных заготовок из латуни Л63: кривая 1 - 8 = 0,3; кривая 2 - 8 = 0,5; кривая 3 - 8 =0,7; кривая 4 - г = 0,8; кривая 5 - г = 0,9

Анализ результатов расчетов и графических зависимостей показал, что изменение условий трения на контактной поверхности пуансона существенно влияет на относительную величину силы Р. С ростом коэффициента трения на пуансоне (при ^ = 0,05) величина относительной силы Р возрастает.

Этот эффект проявляется существеннее на малых углах конусности пуансона а и больших величинах степени деформации 8. При углах конусности пуансона а = 10° (8 = 0,3) увеличение коэффициента трения на пуансоне в 4 раза по сравнению с коэффициентом трения на матрице приводит к изменению относительной величины силы Р более чем 2 раза, а

при углах конусности пуансона а = 30° увеличение коэффициента трения на пуансоне - к незначительному (около 10 %) изменению относительной величины силы Р (рис. 5).

Полученные результаты качественно согласуются с экспериментальными данными, описанными в работе [3].

Таким образом, приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов операции обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных материалов.

JL _±

\j_

L \ 1 , 3 ■ MJ7, V 1

Рис. 5. Графические зависимости изменения Р от (1/7 /|1д/ (латунь JI63):

кривая 1 - ос = 10°; кривая 2 - а = 15°; кривая 3 - а = 20°; кривая 4 - а = 30° (е = 0,3)

Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.

Список литературы

1. Яковлев С.П., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. 136 с.

2. Гречников Ф.В. Деформирование анизотропных материалов. М.: Машиностроение, 1998. 446 с.

3. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 332 с.

4. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1968. 283 с.

S.S. Yakovlev, K.S. Remnev

THE MATHEMATICAL MODEL OF THICK-WALLED PIPED DETAILS AXISYMMETRIC DEFORMING FROM ANISOTROPIC MATERIAL.

The mathematical model of thick-walled piped details reverse extrusion from material possessing cylindrical anisotropy of mechanical properties is described. The power circumstances of reverse extrusion of anisotropic thick-walled piped details are estimated.

Key words: anisotropy, axisymmertical deforming, stress, deformation, power, failure, damageability, thick-walled pipe, punch, die.

Получено 04.08.11