CC BY
19
УДК 621.983; 539.374
А.Н. Исаева, асп., (4872) 35-14-82,
mpf -tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82,
mpf -tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ ОБРАТНОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК
Предложен подход к математическому моделированию операции обратного выдавливания толстостенных трубных заготовок из материала, обладающего цилиндрической анизотропией механических свойств. Приведены соотношения для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов операции обратного выдавливания толстостенных анизотропных трубных заготовок.
Ключевые слова: анизотропия, пластичность, выдавливание, кинематика течения, напряжение, деформация, сила, труба.
Рассмотрим процесс обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении начально анизотропного упрочняющегося материала коническим пуансоном с углом конусности а и степенью деформации в = 1 - ^ / ^0 (рис. 1), где и - площади поперечного сечения трубчатой заготовки и полуфабриката соответственно. Принимается, что материал трубной заготовки обладает цилиндрической анизотропией механических свойств, жесткопластический, подчиняется условию пластичности Мизеса-Хилла и ассоциированному закону пластического течения [1-3].
Течение материала принимается осесимметричным. Анализ процесса обратного выдавливания реализуется в цилиндрической системе координат. Принимается, что на контактных границах заготовки и рабочего инструмента реализуется закон трения Кулона. Течение материала принимается установившееся.
Условие несжимаемости материала позволяет установить связь между скоростью течения материала на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации
Рис. 1. Схема к анализу процесса обратного выдавливания
пр£ п( Бз - 2 ^о)2. = пР! п( Бз - 2 ^1)21
4 4 4 4
Откуда следует, что
VQ = V, *1(°з - ^ ; ^ = £1(Рз - = к (2)
£0(Рз - ^0) V1 £0(Рз - ^0) Пусть материальная частица на входе в очаг деформации занимает начальное положение, определяемое координатами Р0 = Рз /2 - £0, z = 0 . На выходе из очага деформации занимает положение Р1 = Рз - ¿1. Принимаем, что линия тока - прямая линия, проходящая под углом в к оси z. Угол в изменяется от 0 при р0 = Рз/2 до а при Р0 = Рз/2 - ¿0, если z = 0, тоже имеет место при р1 = Рз /2 и р1 = Рз /2 - ¿1, если z = I.
В целях упрощения можно принять линейное изменение tgв от величины от 0 до tgа при изменении ¿0 от 0 до ¿0, когда z = 0:
£
tgв = tga:^. £0
Компоненты осевой Vz и радиальной Vр скоростей течения могут быть определены по выражениям:
£0(Рз + 2Р) - 2Рз£0^а (3)
Р z = к0-; (3)
(Рз + 2Р)(£0 - ^а)
Рр= р0 £0(рз + 2р) - 2рз£0tgв , (4)
02
(Рз + 2Р)(£0 - ^а)
, в (Рз - 2P)tgа где tgв-
2(£0 - ^а)
Скорости деформации рассчитываются по выражениям:
^ ~ ; ЯР _ ; Я9 ; 2Sрz „ + „ дz др р дz др
Приведем окончательные выражения для определения компонент скоростей деформаций ?z, Яр, Я9, Ярz, полученных с учетом выражений
(3) и (4), условия несжимаемости материала Яр = z - Я9 :
я дVz &а£0(£02р- Рз^а) (6)
я z = "Т- = 2У0-3; (6)
дz (Рз + 2р)(£0 - ztga)3
я VР V0£0 ЫРз + 2р) - 2Рз^а 1(Рз - 2Р)tga (7)
= — =--з-; (7)
р р 2(Рз + 2р)(£0 - ztga)3
(9)
^ _ д¥р _ [¿0Р3 - 2^а(Р3 + р)] (8)
р 5р 2(£>3 + 2р)р О0-г^а)3
V и
-У О —
2 V
и = 5о^а[80о + (£>3 -4р2)(*01)3 + 6*0Р - 4£>3г^а)^сх];
Г = 2(50--^а)4(1)3 + 2р)2.
Величина интенсивности скоростей деформаций ^ вычисляется по выражению [3]:
%=к2[а++ад*]2
+
2/ \2 2 I1/2
, ч2 2Де(1 ++
V-
/
/л/Зд/^ЛвО + Лв + ад, (Ю)
где К- = Н/С; -Н ¡Р \ Яр- -МI¥\¥, О, Н, М - параметры анизотропии.
Выражение (10) позволяет определить распределение интенсивно-стей скоростей деформаций вдоль ряда (я) траекторий течения материала.
Среднюю величину интенсивности скорости деформации по очагу деформации по этим п траекториям
^ ^>Юср + ср + ••• + %тср ,Л 1Ч
^/ф =-:-• (11)
и +1
Накопленная интенсивность деформации вдоль &-ой траектории определяется по выражению без учета добавки деформации, связанной с изменением поворота траектории при входе в очаг деформации следующим образом
0 0 % 0 где к = 1,2,..., п (траектории течения материала).
Для определения этой добавки запишем выражение для определения приращения интенсивности деформации при чистом сдвиге, когда
следующим образом
А%
¡2(Я: + Яв + Я:Яв)
зя.
( 9 2Де
Р=к КР=
1/2
Учтём, что
Де
Р к
Р-
2 V.
тогда будет иметь
12(Я. + Яе + Я-Яе) ГТ
ЗЯ-
2 Я,
(12)
Р-
Таким образом, величина накопленной интенсивности деформации вдоль траектории к будет определиться по формуле в очаге деформации
' , |2(^ + Ле + Л-/ге) ГТ
2=0
к*
+
2Л
(13)
Если нужно определить накопленную интенсивность деформации в заготовке после деформации, то следует к рассчитанной величине добавить второе слагаемое, которое определяется также по выражению (13) на выходе из очага деформации. Это позволит оценить механические свойства заготовки с использованием кривой упрочнения
а/ = а/0 + > (14)
куда входит величин средней интенсивности деформации в очаге деформации по формуле
г1ср
£/0 ср + 8/1 ср
+ ...+ 8
тер
п +1
(15)
Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций для рассматриваемых условий деформирования примет вид:
2 а,- (Я-Яе + Д. + Яе)(Я^: - Яв^е).
ае
ав
3 Я-Яе(1 + Яе + Я2)
2 о; + Я; + -
Я.(\ + Яв + Я.)
(16)
а-
2 Ст/ (Я:Яв + я: + ^Х^р - Ъ), Яв(1 + Яв + Я.)
•р-
где ар, а-, тр- - нормальные и касательное напряжения, являющиеся функциями р и 2.
Запишем систему уравнений (16) через среднее напряжение а:
36
а z = а-
2 а, (+ Rz + R9) [(R9 + 2Rz )?9 + Rz (R9 + 2)?р 1 _
3 ? R9 (1 + R9+ Rz) 3RZ '
2 а, (RzR9 + Rz + R9)[R9(^ + 2)?z +(^ + 2R9 )Яр1
а9 = а----z-^-я.; (17)
9 3 Я R9 (1 + R9+ Rz) 3Rz
а =а 2 а, (RzR9+ Rz + R9)[R9(2Rz +1)?9 + Rz(2R9 +1)?z)1 а г. = а
р 3 ? R9 (1 + R9+ Rz) 3R2
т = 2 а, (RzR9+ Rz + R9) ? 3 RрzRz
Введя обозначения
10! , , А = RzRe+Rz±Re •
' 3 Я,' Я9 (1 + Rz + Я9)' рz RрzRz '
(Я9+ 2 Я, )?9+ Я, (Я9+ 2)?р
Fz (р, z) =--;
^ 3Rz
Я9 (Я, + 2)? z + (+ 2 Я9 )?р F9 (р,Z) =-^-;
Fр(р,z) = я9(2Rz + Ц*^(2я9 +1)Яz) ; Fрz(р,z) = ^,
3Rz
соотношения (17) запишутся в следующем виде:
аz = а-2М^(р,z); а9 =а-2М^(Р,z);
ар = а - (р,z); ^ = 2щAрzFрz (Р,z).
Для определения напряжений в очаге деформации располагаем указанными выше уравнениями теории пластического течения анизотропного материала (16) и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат [41:
дар дтР7 ар - а9 да а дтР7 да т zр
_Р + -9 = 0; д°9 = 0; —^ + + ^ = 0. (19)
др дz р д9 др дz р
Подставив выражения (18) в уравнения равновесия (19), имеем
(18)
да 3^ z)) ^ д(Р, z^ Л „ F9 (Р, z) - Fр (Р, z)
--2 А---+ 2 ApZ---+ 2 А^---
др др дz р
да-2 А д (Р,z)) + 2 Apz + 2 Apz (р,Z ) = 0. (20)
дz дz др р
Представим приведенные выше уравнения в виде конечных разностей. С этой целью рассмотрим схему разбивки очага деформации координатными линиями р = const и z = const:
am,n -am-1,n 2 A ^im,nFp (pm,n> zm,n) im-1,nFp(pm-1,n> zm-1,n )
2 A +
pm,n pm -1,n pm, n pm -1,n
^im,n+1Fpz (pm,n+1, zm,n+1) - ^im,nFpz (pm,n, zm,n )
+ 2 Apz ' ' +
zm,n+1 - zm,n
_ F0 (p m,n, zm,n ) - Fp (p m,n, zm,n ) Л + 2A^im,n---=0; (21)
P
m,n
am,n+1 -a m,n +1Fz (pm,n+1'zm,n+l) nFz (pm,n 'zm,n ) --2 A--+
zm,n+1 - zm,n zm,n+1 - zm,n
№im+1 nFpz(pm+1,n, zm+1,n) - №im nFpz(pm,n,zm,n) +2 Apz " " +
pm+1,n - pm,n
~ , ^im nFpz (pm,n, zm,n )
+ 2Apz m,n '---— = 0 .
pz p
m,n
Разрешив каждое из уравнений системы (21) относительно среднего напряжения, получим выражения для определения величины среднего напряжения amn: по p - линии (z = const)
1 „F (p ,z
'm,n ®m -1,n + 2 A[^im,nFp (pm,n, zm,n ) Mim -1,nFp (pm -1,n, zm -1,n )]
^im,n+1Fpz (pm,n+1, zm,n+1)-^im,nFpz (pm,n, zm,n ) - 2Apz (pm,n - pm-1,n ) -
zm,n+1 - zm,n
F0(pm,n,zm,n) - Fp(pm,n,zm,n.
- 2A^im,n-(pm,n -pm-1,n); (22)
pm,n
по z - линии (p = const)
®m,n = ®m,n+1 - 2n+1 Fz(pm,n+1,zm,n+1) - №im nFz(pm,n,zm,n)] +
№im+1 nFpz(pm+1,n,zm+1,n) - №im nFpz(pm,n,zm,n) + 2Apz (zm,n+1 - zm,n ) +
pm +1,n - pm,n
2 A ^im,nFpz(pm,n,zm,n)( ) (23)
+ 2Apz (zm,n+1 - zm,n ); (23)
pm,n
Для интегрирования этих уравнений нужно сформулировать граничные условия. В соответствии с выбранной кинематикой течения на входе в очаг деформации и выходе из него происходит резкое изменение направления течения от вертикального до наклонного к осевой под
углом ß, что связано с разрывом тангенциальной составляющей скорости течения Fp.
Это изменение направления течения учитывается путем коррекции напряжения на границе очага деформации по методу баланса мощностей
дад = T,pz AFTp, (24)
где
VP 1
AP/ = Ag/AF/ ; Щ = AF cos в ; V/ =; AP/ = APZ--. (25)
sin в cos в
На основании соотношений (24) и (25) следует, что
Ag/AF cos в Vp
—-—p = iSpZ AFVp (26)
sin в spz P
и
Aa/ =Tszxtge . (27)
Используя выражения (25) и (27), найдем
APZ = AP/ cos p ; AazAF = Aa/AF/ cos в ; Aaz =Tspz sinp cosp. (28)
Заметим, что угол в на входе в очаг деформации определяется по формуле
о S'0
tge^—0 tga, s0
а при выходе из очага деформации так
о s 1
tge = — tga. sl
Соотношение (28) является граничным условием для определения az при z = l. Определяется величина среднего напряжения а по
выражениям (22) и (23). Компоненты напряжений az,ар, а9 и Tpz определяются из уравнений (16).
Отметим особенности полученного решения по распределению напряжений в очаге деформации. Они связаны с выбранной кинематикой течения материала в коническом канале, учитывают возникающие добавки напряжений в связи с изменением направления течения при поступлении материала в очаг деформации и выходе из него. Не учтены граничные условия в напряжениях на контактных поверхностях пуансона и матрицы. Эти условия обычно задаются в виде закона Кулона
тkM = ММапМ и тШ = МПапП, где МП и Мм - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона. При оценке силовых режимов необходимо учитывать эти условия.
Определение силы процесса обратного выдавливания осуществляется следующим образом. Рассчитывается на входе напряжение az (р)с
учетом изменения направления течения материала на входе в очаг деформации и выходе из него. Осевая составляющая силы определяется по выражению
D3/2
Pz0 = 2п ja z (p, 0)pdp. (29)
D3/2 - s0
С учетом составляющей трения осевая сила Pz определяется следующим образом:
Pz = Pz 0 + Pz1 + Pz 2, (30)
где Pzi и Pz2 - составляющие на ось z силы трения на матрице и пуансоне, которые определяется следующим образом:
l
Pzi =nD3 j^ м a ndz; (31)
0
l dz
Pz2 =nj (2р + dp)^nan-cosa . (32)
0 cos a
Вдоль границы течения материала по пуансону р определяется по формуле:
р = D3 /2 - S0 + ztga ,
а dp = dz.tga .
Подставив p и dp в уравнение (33) получим: l
Pz2 = nj(D3 - 2S0 + 2ztga + dztganandz . 0
Величина an на контактной поверхности с пуансоном определяется по формулам преобразования компонент напряжений при переходе от одной системы координат к другой
ann = ap cos2 a + az sin2 a + Tpz sin2a . (33)
Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов операции обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных материалов.
Список литературы
1. Яковлев С.П., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. 136 с.
2. Гречников Ф.В. Деформирование анизотропных материалов. М.: Машиностроение, 1998. 446 с.
3. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 332 с.
4. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1968. 283 с.
A.N. Isayeva, S.S. Yakovlev
MATHEMATICAL MODELLING OF OPERATION RETURN EXPRESSION OF THICK-WALLED ANISOTROPIC TRUMPET PREPARATIONS
The approach to mathematical modeling of operation of return expression of thick-walled trumpet preparations from a material possessing cylindrical anisotropy of mechanical properties is offered. Ratios for an assessment of kinematics of a current of the material strained and deformed conditions, power modes of operation of return expression of thick-walled anisotropic trumpet preparations are given.
Key words: anisotropy, plasticity, expression, current kinematics, tension, deformation, force, pipe.
Получено 19.06.12
УДК 531.1
Л.А. Булатов, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32, tm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
В.Д. Бертяев, канд. техн. наук, проф., (4872)35-18-32, vit@tula.net (Россия, Тула, ТулГУ),
А.Е. Киреева, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32, kirealena@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ШАРНИРНО-РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Представлена математическая модель, описывающая кинематическое поведение шарнирно-рычажного механизма, которая позволяет определить законы движения всех звеньев механизма, координаты узловых точек, а также скорости и ускорения звеньев и узловых точек.
Ключевые слова: кинематика, шарнирный механизм, математическая модель.
Плоские шарнирные механизмы широко распространены в современном машиностроении в связи с присущими им достоинствами: высокой технологичностью изготовления, возможностью выполнения шарнирных соединений на подшипниках качения, небольшим износом соприкасающихся поверхностей, долговечностью и ремонтоспособностью. Шарнир-
