CC BY
28
Список литера туры!
1. Фатеев В.И., Кисурина Н.А. Термоупругие напряжения в полом осесимметричном пуансоне // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулГУ, 2000. С. 46-51.
2. Фатеев В.И. Термо упругие напряжения в полом осесимметричном пуансоне для горячей штамповки // Изв. ТулГУ. Сер. Дифференциаь-ные уравнения и прикладные задачи. Вып.1. 2004. С. 188-197.
V. Phateev
Moving water-cooled cylindrical hollow punch’s thermal fields computation
Method of moving cylindrical hollow punch’s thermal fields computing is proposed. The method is taking into account the punch’s velocity and depth of it’s plunging into the warmed-up workpiece.
Получено 19.01.09
УДК 539.374; 621.983
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
А.В. Черняев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, [email protected] (Росси, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ОБРАТНОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Приведена математическая модель операции обратного выдавливания в режиме кратковременной ползучести толстостенных трубных заготовок из орто-тропного материала, обладающего цилиндрической анизотропией механических свойств. Оценены силовые режимы операции обратного выдавливания анизотропных трубных у готовок.
Ключевые слова: обратное выдавливание, аниутропный материаз, кратковременная поззучесть.
В различных механизмах и машинах широко применяются детали типа полых цилиндров, имеющих внутренние полости. Детали такого типа могут быть получены обратным выдавливанием трубной заготовки [1]. Заготовки, как правило, обладают анизотропией механических свойств, обусловленной маркой материала, технологическими режимами ее получения, оказывающей как положительное, так и отрицательное влияние на устойчивое протекание технологических процессов обработки металлов давлением при различных температурно-скоростных режимах деформирования [2,3].
Рассмотрим деформирование анизотропного материала в условия ползучего течения [2,4]. Упругими составляющими деформации пренебрегаем.
Уравнение состояния, описывающие поведение материала в условия ползучести, записываются в виде
В
\п
ае 0
(1)
где 4е и ае - эквивалентные скорость деформации и напряжение при пол-
п
и
В _
константы материала, зависящие от
зучем течении материаа; температуры испытаний.
Рассмотрим процесс обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении начаьно анизотропного упрочняющегося материала коническим пуансоном с углом конусности а и степенью деформации Є_1 (рис. 1), где ^0 и - площади поперечного сече-
ния трубной заготовки и полуфабриката соответственно.
Материал заготовки принимается ортотропным, обладающим цилиндрической анизотропией механических свойств, подчиняющийся уравнению состояния (1) и ассоциированному закон течения [2].Течение материала принимается осесимметричным. Анализ процесса обратного выдавливания реализуется в цилиндрической системе координат. Принимается, что на контактных границах заготовки и рабочего инструмента реализуется закон трения Кулона. Течение материала принимается установившимся.
Рис. 1. Схема к анализу процесса обратного выдавливания
Кинематика течения материала. Условие несжимаемости материла позволяет установить связь между скоростью течения материла на входе в очаг деформации и выходе из очага деформации
Уоі
ч(Рд ~2^0)
4
2
]
¥1[
4
ЧРд ~2
2
]
(2)
4
откуда следует, что
У = *1(РС ~Л'1)
0 1 *0(Од-)• У0 = = К (3)
’ У ^з-) '
Пусть материаьна частица на входе в очаг деформации занимает начальное положение, определяемое координатами Р0 = Рз / 2 - *о, г = 0, а на выходе из очага деформации - координатами Р1 = Рз - *0. Принимаем, что линия тока - прямая линия, проходяща под углом Р к оси г. Угол Р изменяется от 0 при Р0 = Рз12 до а при Р0 = Рз12 - *0, если г = 0, то же имеет место при Р1 = Рз12 и Р1 = Рз /2 - *1, если г = I.
В целях упрощения можно принять линейное изменение tgР
от 0 до о&а пи изменении *0 от 0 до *0, когда г = 0:
^Р=а —.
* 0
Компоненты осевой Уг и радиаьной Ур скоростей течения могут быть определены по выражениям
у = ^ *0(Рз + 2Р) - 2Рз*0г^а . (4)
(Рз + 2р)(*0 - гtgа)
Ур = У0 *0(РС +2Р)- 2РС*0^а^р
(Рд + 2Р)(* 0 а) ,
где 2(*0-л?а) .
Скорости деформации рассчитываются так:
дУ дУР УР 8УР 8У
Р _дК2 Р - Р 2Р - Р+^-2
— ^^ ^Р д ^0 А<-=рг я я
д ; др ; Р ; д2 др . (6)
Приведем окончательные выражения для определения компонент
скоростей деформаций р2, Рр, р0, Рр2, полученных с учетом выражений
Я — —Р — р
(4) и (5), пи условиях несжимаемости материла р 2 :
Р —ду^—2У №о(^2р—1)с2[?а)
2 ^ 0 3
д2 (Рс +2р)(яо а) ; (7)
УР
Р _ У0*0 [*0(РС + 2Р) - 2Рсгі8а](РС - 2Р)ґ^а
Р Р 2(РС + 2р)(*0 - гtgа)
3
дУр — У050?аРс [50Рс — 221?а(Рс + Р)]
(5
и, и
Р <Эр 2(Рс +2р)р (50 - 21?а)3 . (9)
+
Рр2 2 У0 у
2 У , (10)
где
2 2 2 и — 50^?а[8(50 - 21?а) 2Р3 + (Р3 — 4р )(50Р3 + б^0р - 4Р32г?а>?а];
У — 2(^0 -21?а)4(Р3 +2р)2.
Распределение эквивалентной скорости деформаций вдоль траекторий течения материал. Величина эквивалентной скорости деформаций ре вычисляется по выражению [2]
Ре — 2(Кг + Й0+Й2Й0) {й0[(1 + Я2 )Р+ Я2р2 ]2
+ Й2«е[(1 + Я)Р + ЯР]2 +
-ч 1/2
+ Я(„2—Я0Р 1=+2ЯЙ1+Я+№1 ,
Яр2
/4ъ4я2щ(1+Я5 + Я2), (11)
н н м
где Я2 — —; Я0— —; Яр2 — —; ^, О, Н, М - параметры анизотропии.
О ^ F
Выражение (11) позволяет определить распределение эквивалент-
ной скорости деформаций вдоль рада (п) траекторий течения материла.
Среднюю величину эквивалентной скорости деформации найдём по очагу деформации по п траекториям:
ре0 ср +рв1ср + ... + репср
п + 1
Распределение эквивалентной деформации вдоль траекторий течения материала. Накоплена эквивалентная деформация вдоль к-й траектории определяется по выражению без учета добавки деформации, связанной с изменением поворота траектории пи входе в очаг деформации следующим образом:
1 1к (И1 1 Л7
Век — \РеА — [е^ — [ Л
ек ек ек У ек У
0 0 У1к 0 У2к
где к = 1,2,..., п (траектории течения материла).
Для определения этой добавки запишем выражение приращения эквивалентной деформации при чистом сдвиге, когда
РР =р0 —р2 =р20 =40р = 0, РР2 *0, следующим образом:
Ає
ек
2(Яг +Я9 +ЯгЯ9) ( 9 \ 2Ає2 ргк
V 3 Я 2 Ярг V У
1/2
Учтём, что
Ає
Рк
рг
2 V
гк
тогда будем иметь
АЄ =
2{я2 + і?9 + RzRQ)
3 я.
2Я
-&Р
(13)
рг
Таким обраом, величина накопленной эквиваентной деформации вдоль траектории к будет определяться в очаге деформации по формуле
I
_ _ V РекАг
'Єк ^ V г
г=0 угк
2(я2 + я9 + ягя9 9
3Яг
1
2я
^&Рк •
(14)
рг
Если нужно определить накопленную эквивалентную деформацию в заготовке после изменения геометрических параметров, то следует к рассчитанной величине добавить второе слагаемое, которое определяется также по выражению (14) на выходе из очага деформации. Это позволит оценить механические свойства заготовки с использованием кривой ползучести (1).
Определение напряжений в очаге деформации. Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций для рассматриваемых условий деформирования принимают вид
2 сте (ЯгЯе +я2 + Яе)(Я2^ ~ЯеРе) .
ст.
ст9
ст9 стр
стр стг =
3 ЯгЯ9(1 + Я9 + Яг)
2 СТ (ЯгЯ9+Яг + Я9)(^-ЯгРр)
3 Ре Яг (1 + Я9 + Яг ) ;
2 сте (ЯгЯ9+Яг +Я9)(Я9Рр-Рг)
(15)
трг =
3 Ре Я9(1 + Я9 + Яг)
2 СТСТ(ЯгЯ9 + Яг + Я9) с
3 Ре
ЯргЯг
>рг-.
где Стр, сте, ст2, хр2 - нормаьные и касательное напряжения, являющиеся
функциями р и 2.
Запишем систему уравнений через среднее напряжение ст:
2 сте (Я2Яе + Я2 + Яе) [(Я + 2яг)Ре +яг (Я + 2)Рр]
ст.
ст
3 Ре Яе(1 + Я9 + Яг)
3Я,
1
a _a 2 gg (RzRq + R- +Re)[MRz + 2)pz + (Rz + 2R0)pp]
a0_a 3 Pe Re(1 + Re+Rz) 3Rz ; (16)
ap_a-
2 a (RzRe + Rz + Re) [Re (2Rz + 1)Pe+R- (2Re+1)P-)];
3 Re(1 +R0+Rz) 3Rz
_ 1 ae (RzR0 +Rz + R0)s
I
pz 3 S R R Ъ pz '
e -tvpzivz
3 Pe RpzR
Введя обозначения
.. _IOe ; A _ RzRe + Rz + Re ; A _ RzR0 + Rz + Re
щ 3 Pe Re(1 + R- +Re) Apz RpzRz
_ ч (Re+ 2 R- )Pe+Rz (Re + 2)Pp Fz(pz) _-------------3R-------------;
R0( Rz +2)PZ + (Rz +2 Re)Pp.
Fe (p-z) _-----------3R------------’
R0(2 Rz +1)Pe+Rz (2 Re +1)Pz )•
Fp (p,z) _--------------3R------’ Fpz (p,z) _ ppz,
соотношения (16) запишем в следующем виде:
a- _ a - 2^;AF- (p,z) ; O0_ a - 2д, AFe (p,z) ;
ap _ a - ^^FpOpz); Ipz _ 2MpzFpz(P,z) 17)
Для определения напряжений в очаге деформации восползуемся уравнениями теории течения анизотропного материала (15) и уравнениями равновесия в цилиндрической системе координат:
d°p 3ipz ap—ae 0ae dxpz daz tzp „
—- +—— + —-----------= 0 —e = 0 ——+— + — _ 0
dp dz p ; 50 ; dp dz p . (18)
Подставив выражения (17) в уравнения равновесия (18), имеем
da 0 ,d(^iFp( ^z)) , 0 , (iFp-( ^z)) , 0 . F0(p ,z)-Fp( ^z) Л
2 A + 2 Ap - + 2 A Ui — 0
d d z dz i ;
--2Ad(»'Fz( p,z)) + 2Ap- 5(^'Fp-(p,z)) +2Apz niFpz(p ,z)_0. (19)
Л Л W** Л w**
dz dz w cp w p
Представим приведенны выше уравнения в виде конечных разностей. С этой целью рассмотрим схему разбивки очага деформации координатными линями p _ const и z _ const (рис. 2):
am,n ~am-1,n _ 2a nFp (pm,n, zm,n) ~ -iim-1,nFp (pm-1,n, zm-1,n) +
p m,n - p m-1,n p m, n - p m-1,n
Mim,n+Fpz(pm,n+1,zm,n+1) _ M-im,nFpz (pm,n, zm,n)
+ 2 Ap z - +
zm,n+1 zm,n
о А F0(pm,n, zm,n) Fp(pm,n,zm,n) л
+ 2 A ш „---------2----2-----K-----2-----2— _ 0
im,n
pm
n
M-/m n +1 Fz (pm,n+1, zm,n+1) -limnFz (pm,n, zm, n )
2 A 2 2 +
z
m, n+1 m, n
z
m,n+1 m,n
^im+1 nFpz (pm +1,n, zm +1,n) Mim nFpz (pm,n,zm,n)
+2 Apz ' ' +
m,n
m,n+1
m,n
m-l,n
m m-1 20 ID
7------
0.И+1
О.и
K
0.2
0.0-
/■
/
/■
Рис. 2. Схема к расчёту напряжений
Р л реши каждое из уравнений системы (20) относительно среднего напряжения, получим выражения для определения величины среднего напряжения amn:
по p -линии (- _ const) am,n ~am-1,n + 2A[M-im nFp(pm,n,zm,n) — ^'i'm-1 nFp(pm-1,n,zm-1,n)]
2A
^im n+1Fpz (pm,n+1, zm,n+1) №im nFpz (pm,n, zm,n )
m, n pz m, n m,n
pz
-2 AR
zm, n+1 zm, n
F0(pm,n, zm,n ) - Fp(pm,n, zm,n )
i m, n
(pm,n pm-1,n)
(pm,n - pm-1,n); (21)
m, n
по - -линии ( p _ const) am, n _ am, n+1 - 2 A[^im n +1 Fz (pm, n+1, zm, n+1) - №imnFz (pm,n, zm, n )] +
^im +1 n Fpz (pm+1,n, zm+1,n ) - M-im n Fpz (pm,n,zm,n )
+ 2 A,
p-
+ 2 Ap
pm+1, n pm,n ^im nFpz (pm,n,zm,n)
m,n pzVFm,n^m,n. f ^
z (zm,n+1 - zm,n )
m, n
(zm, n+1 zm, n ) +
(22)
Для интегрирования этих уравнений нужно сформулировать граничные условия. В соответствии с выбранной кинематикой течения на входе в очаг деформации и выходе из него происходит резкое изменение направления течения от вертикального до наклонного к осевой под углом Р, что связано с разрывом тангенциаьной составляющей скорости течения Ур.
Это изменение направления течения учитывается путем коррекции напряжения на границе очага деформации по метод баланса мощностей
ЛРУ7 А^Ур, (23)
где
• • Vp . 1
Ар = Act/AFl • Щ = AF cosp • Vi = ^~ • APl = APz--------------------------------. (24)
sin p cos p
На основании соотношений (23) и (24) следует, что
Act/AF cos pVp
sin p
= Tpz AFVp (25)
и
Act/ = Wgp. (26)
Используя выражения (24) и (26), найдем
APz = АР/ cos p. Actz AF = Act/AF/ cos p. Actz = xspz sinpcos p. (27)
Заметим, что угол p на входе в очаг деформации определяется по формуле
tgp = — tga s° ,
а при выходе из очага деформации так:
о Si
tgp = — tga S1 .
Соотношение (27) является граничным условием для определения стz при z = l. Определяется величина среднего напряжения ст по выражениям (21) и (22). Компоненты напряжений ctz, Стр, стд и ipz определяются
из уравнений (15).
Отметим особенности полученного решения по распределению напряжений в очаге деформации. Они связаны с выбранной кинематикой течения материала в коническом канале, учитывают возникающие добавки напряжений в связи с изменением направления течения при поступлении материала в очаг деформации и выходе из него. Не учтены граничные условия в напряжениях на контактных поверхностях пуансона и матрицы. Эти условия обычно задаются в виде закона Кулона %тм = ДмСТм и т = ^пСТпП, где \Хп и 1^м - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона. При оценке силовых режимов необходимо учитывать эти условия.
Силовые режимы обратного выдавливания. Определение силы процесса обратного выдавливания осуществляется следующим обраом. Рассчитывается напряжение ctz (р)с учетом изменения направления течения материла на входе в очаг деформации и выходе из него. Осева со-
ставляющая силы определяется по выражению
Dc/2
У-
Pz 0 = 2л fz (Р^РФ
Dc/2— . (28)
С учетом составляющей трения осева сила Pz находится следующим образом:
Pz = Pz 0 +Pz1 + Pz 2, (29)
где Pz1 и Pz2 - составляющие на ось z силы трени на матрице и пуансоне:
l
Pz1 = D|jlij CTndz
0 ; (30)
l dz
Pz 2 = ^f(2p + dp)^j стп-----cos a
0 cosa . (31)
Вдоль грашщы течения материаа по пуансону р определяется по формуле:
р = Dз / 2 - S0 + ztga,
а dp = dztga.
Подставив ри dp в уравнение (31) получим
l
Pz2 = ^f (D3 - 2s0 + 2ztga + dztga)^nCTndz. (32)
0
Велиина стп на контактной поверхности с пуансоном определяется по формулам преобразования компонент напряжений при переходе от одной системы коордиат к другой:
2 2
стпп = Стр cos a + ctz sin a + Tpz sin 2a. (33)
Приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки киематики течения материаа напряженного и деформиованного состояний силовых режимов операци обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропны: материлов в режиме кратковременной ползучести.
На рис. 3 приедены графиеские зависимости изменени относительной силы Р = Р/[^(Dз - S0)s0CTe0l от угла конусности пуансона a при обратном выдавлиании трубных заготовок из сплавов ВТ6С и АМг6. Здесь кривая 1 соответствует s = 0,1; кривая 2 - s = 0,2; крива 3 - s = 0,3; кривая - 4; s =0,4; крива 5 - s =0,5.
а б
(V = 0,001 мм/с; цм = 0,1; цп =0,2) (V = 0,005 мм/с; цм = 0,1; цп =0,2)
Рис. 3. Графические зависимости изменения относительной силы Р отугла конусности пуансона а при обратном выдавливании трубных заготовок из сплавов ВТ6С (а) и АМг6 (б)
Механические характеристики исследуемых материалов приведены в табл. 1 [2]. Расчеты выполнены при ^0 = 4 мм; Вз =40 мм; цп = 0,2;
Цм =0,1.
Таблица 1
Механические характеристики исследуемых материалов
Материа Т ,°С ®в0 В п Я Я Ррг
ВТ6С 930 38,0 7.89Е-4 2,03 0,85 0,77 2,9
АМгб 450 26,8 2.67Е-3 3,81 0,75 0,71 2,9
Анаиз графиков и результатов расчета покаывает, что с увеличением степени деформации г относительна величина силы Р возрастает. Интенсивность роста тем выше, чем болыле степень деформации г.
Выявлены оптимальные углы конусности пуансона в пределах 20...25°, соответствующие наименьшей силы. Величина оптимаьных углов конусности пуансона а с увеличением степени деформации г смещается в сторону больших углов.
На рис. 4 представлены графические зависимости изменения относительной силы Р от степени деформации г при раличных значения скорости перемещения пуансона V. Здесь крива 1 соответствует V = 0,0005 мм/с; крива 2 - V =0,001 мм/с; крива 3 - V = 0,003 мм/с;
кривая 4 - V = 0,005 мм/с. Из графиков видно, что с увеличением V относительная величина силы Р возрастает. При больших значениях г с увеличением скорости перемещения пуансона, Р возрастает интенсивнее.
е---»- 8--»-
аб
(а = 30°; Цм = 0,1; Цп=0,2) _
Рис. 4. Графические зависимости изменения относительной силы Р от в при обратном выдавливании трубных заготовок из сплавов
ВТ6С (а) и АМгЛ (б)
Граф тес кие зависимости изменения относительной величины силы Р от коэффициента трения на пуансоне цп/цм при фиксированном коэффициенте трения на матрице цм =0,1 )и угле конусности пуансона
а = 30° для исследуемых материаов приедены на рис. 5. Здесь введены обозначения: крива 1 соответствует в = 0,1; крива 2 - г = 0,2; крива 3 -г =0,3; крива 4 - в =0,4; крива5 - в =0,5.
Анализ результатов расчетов и графических зависимостей покаал, что изменение условий трения на контактной поверхности пуансона существенно влияет на относительную величину силы Р . С ростом коэффициента трения на пуансоне цп (при цм = 0,1) величина относительной силы
Р возрастает. Этот эффект проявляется существеннее при больших величинах степени деформации г. Так, при г = 0,1 увеличение отношения цп ПЦм от 1 до 4 приводит к росту Р на 20 %, при г = 0,5 - на 50 %.
Таким обраом, приведенные выше соотношения могут быть использованы для оценки кинематики течения материаа, напряженного и деформированного состояний, силовых режимов операции обратного выдавливания трубных заготовок из анизотропных материаов в режиме кратковременной ползучести.
а
(V = 0,001 мм/c; а = 30°)
б
(V = 0,005 мм/c; а = 30°)
Рис. 5. Графические зависимости изменения относительной силы P от цп/цм при обратном выдавливании трубных заготовок из сплавов
ВТ6С(а) и АМгб (б)
Работа выполнена
и № 07-08-12123.
по грантам РФФИ №07-01-00041
Список литературы
1. Яковлев С.П., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М. : Машиностроение, 1986. 136 с.
2. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных металлов / С.П. Яковлев [и др.]. М. : Машиностроение-1, Изд-во ТулГУ, 2004. 427 с.
3. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев : Квант. 1997. 332 с.
4. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М. : Машиностроение, 1986. 216 с.
5. Yakovlev, A. Chernyaev
The mathematical model of the reverse extrusion process for the thickwalled piped details of the anisotropic materials in the mode of short-durated creeping
The mathematical model of the reverse extrusion process in the mode of short-durated creping conditions for thickwalled piped details producedfrom orthotropic material possessing cylindrical anisotropy of mechanical properties are given. Power circumstances and the extreme deformation levels of the reverse extrusion process of thick-walled anisotropic piped details are estimated.
Получено 19.01.09
