CC BY
10
УДК: 303.02 ББК: 60.506
Зибров П.Ф., Зиброва О.Г.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБОБЩЕННОЙ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПО ПОКАЗАТЕЛЯМ
НЕРЕАЛИЗОВАННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
Zibrov P.F., Zibrova O.G.
MATHEMATICAL MODEL OF THE GENERALIZED PROBABILISTIC ASSESSMENT MULTIPARAMETER FUNCTIONING OBJECTS ON INDICATORS UNREALIZED POTENTIAL
Ключевые слова: многопараметрические объекты, отображение множеств, нормированные показатели нереализованных: возможностей, оптимизация ресурсов, обобщенная вероятностная оценка функционирования многопараметрических объектов.
Keywords: multivariable objects, display sets, the normalized indicators of lost opportunities, resource optimization, generalized probabilistic assessment of the operation of multi-parameter objects.
Аннотация: в теоретико--вероятностном подходе к получению обобщенных оценок функционирования многопараметрических объектов предложено использовать нормированные показатели отклонения текущих измеряемых статистических характеристик от регламентированных, нормативных. Показано, что дискретные статистические данные в результате нормирования приводят к непрерыжныш случайным величинам, которые подчиняются нормальному закону распределения. Математическая модель исследуемых объектов на основе n-мерного нормального распределения систем случайных показателей нереализованных возможностей позволяет получать количественные оценки как всего объекта в целом, так и отдельных составляющих его частей.
Abstract: the probability-theoretic approach to obtaining generalized assessments of the functioning of multiparameter facilities proposed to use normalized indicators of the current deviation of the measured statistical characteristics of the regulated and regulatory. It is shown that the discrete statistics, as a result of the valuation result in continuous random variables that obey the normal distribution law. Mathematical model of the objects based on the n-dimensional normal distribution systems of random parameters are not implemented features allows to obtain quantitative estimates of how the entire facility as a whole, and the individual components of its parts.
Состояние любого материального, информационного, социально-экономического или технического объекта характеризуется системой показателей, представляющих множество Ь или многомерный вектор (XhX2...Xt). Исходя из закономерностей функционирования указанных объектов существуют их нормативные характеристики, которые образуют множество Ж или т-мерный вектор Каждое из мно-
жеств может содержать подмножества размерностей 11, и соответственно т1,т2,...т при этом ^+^++^=1;, т1+т2++щ=т [1].
Отображение А множеств С на Ж обозначим как (1)
X А Ж =У, (1)
где У представляет множество или п-мерный вектор (У1, У2, ..., Уп) показателей отклонений от нормативно-номинальных или нормированных нереализованных возможностей, то есть результативность функционирования исследуемого объекта.
Информационные, образовательные, технические, социальные, педагогические, эконо-
мические и другие процессы и явления можно охарактеризовать большим числом как дискретных, так и непрерывных параметров, представляющих собой многомерные векторы. Поэтому особое значение приобретают задачи изучения взаимосвязей между компонентами этих векторов и получения количественных характеристик статистических данных.
Математическое моделирование оценки функционирования указанных объектов использует набор характерных статистических данных, которые подлежат систематизации и обработке с целью выявления характера и структуры взаимосвязей между компонентами п-мерного вектора (У1,У2.Уп) и соответствующих количественных показателей. Подобные задачи решают методами многомерного статистического анализа [1], включающего пять групп.
1. Корреляция. Нахождение коэффициентов корреляции, характеризующих зависимость между выбранной случайной величиной и множеством других, входящих в систему.
2. Аналоги одномерных статистических
Зибров П. Ф., Зиброва О.Г.
методов. Основаны на изучении одномерных совокупностей.
3. Выбор системы координат. Отыскание нормализованной линейной комбинации случайных величин, когда дисперсия максимальна или минимальна (нахождение главных компонент), что достигается поворотом осей вдоль собственных векторов, последнее приводит ковариационную матрицу к диагональному виду.
4. Детализация проблемы. Множества случайных величин разбивают на подмножества, для которых проверяются гипотезы об их независимости внутри подмножеств.
5. Зависимые наблюдения. При наблюдении за случайными величинами, изменяющимися во времени используют временные ряды, что приводит к изучению внутрирядной корреляции и стохастически разностным уравнениям.
Соответствующий вектор ....., Yn)
включает п оценочных значений, представляющих нормированные непрерывные величины, обусловленные статистическими данными по результатам тестирования исходного объекта в конкретной предметной области. Полученный статистический материал подлежит систематизации и обработке с целью выявления количественных показателей и характера взаимосвязей между компонентами указанного вектора. Подобные задачи решаются методами многомерного статистического анализа, которые позволяют обоснованно выбирать математическую модель, наилучшим образом соответствующую исходным данным. Они характеризуют реальное поведение исследуемой совокупности входящих в оценку параметров объекта и позволяют судить о надежности и точности выводов, сделанных на основании полученного статистического материала [3].
Расчет оценок состояния исследуемого объекта наиболее эффективен при использовании вероятностных математических моделей и статистических методик [1]. Возникающие случайные возмущения в системе оказывают воздействия на результативность процесса и оцениваются как дискретными, так и непрерывными величинами, имеющими статистическую природу. Они определяются математическими ожиданиями, дисперсиями, среднеквадратичными отклонениями и взаимной корреляцией. Статистическое математическое ожидание характеризует средневзвешенное состояние изучаемого объекта, а дисперсия соответственно рассеивание или разброс отклонений количественных значений параметров от соответствующего математического ожидания, корреляционные моменты устанавливают взаимное влияние
статистических показателей. В проектируемой математической модели используются вторые вариационные моменты, вычисляемые относительно нормативных значений контролируемых параметров, то есть оценивается состояние объекта относительно требуемого оптимума. Подобный подход приводит к количественным характеристикам отклонений исследуемой системы от заранее обусловленного и принятого за эталонное.
При расчетах нереализованности оптимальных показателей состояния исследуемых систем используются непрерывные величины Yк.
^ = (2)
где Yk - нормированная случайная величина, характеризующая показатель нереализованных возможностей, представляющих второй вариационный момент относительно Zk, Zk -регламентированное значение оптимального
состояния системы, к =1,2,.....,п, Xk - случайная
величина в системе статистических данных об объекте.
Для непрерывных случайных величин начальный момент первого порядка или математическое ожидание показателя Yk находят из соотношения
«иН^УкКУк (3)
Второй це нтральный момент, характеризующий разброс или взаимосвязь значений статистических параметров уг и уу между собой, имеет вид
ми=ЯГ^1 _ тьХУз~ щЖУьУ^Уь^Уу (4)
Здесь f (уу) - плотность вероятности системы (Уг-,
Следовательно, для количественной оценки эффективности управленческих мероприятий на основе количественных показателей состояния исследуемого объекта требуется адаптация математического инструментария к указанному классу задач, в которых оперируют множествами непрерывных случайных величин
(Уь Y2,....Yn).
Числовыми характеристиками для указанной системы являются [4,5]:
- п математических ожиданий т1, т2, .......т
- п дисперсий Э2,.....Ц,;
- п-(п-1) корреляционных моментов Ку, где # ]=1,2,....д
Корреляционные моменты характеризуют взаимную попарную корреляцию величин, входящих в систему и имеют вид
Ку = м
о
0
I 7}
¥. =У( -щ, (5)
Следует отметить, что дисперсия каждой
о
о
из случайных величин Yi есть частный случай корреляционного момента величины Yi на саму себя.
Действительно:
Д=КП=
0 0 У,
(6)
Все корреляционные моменты и дисперсии представляют в виде корреляционной матрицы.
К =
К11 К12 К 21 К 22
К К
1и
\Кн1
К
п 2
К
(7)
пп
где к = К...
V ]•
Вместо этой матрицы используют так же и нормированную матрицу из коэффициентов корреляции.
пп /
(8)
Г '11 г '12 .. к 1п
г '21 Г 22 .. к 2п
Г
\п1
' п 2
где г =.
К
ст1ст]
причем /•, =/;2 = ... = /;„, =1.
здесь и оу - средние квадратичные отклонения Yг■, У,- .
Если система непрерывных случайных величин (¥¥2 ¥п) характеризует некоторую систему в п-мерном пространстве показателей, то она может быть описана нормальным законом распределения плотности вероятности, который задается соотношением [1]:
(9)
[211)2
здесь |С| - определитель матрицы С, С = |е..| ~ матрица, обратная корреляционной матрице К = ||К..||.
Элементы матрицы с _ 4 ] ^^ ^у ,
У " №
где
|К|
определитель корреляционной матри-
цы, а М-- - миноры этого определителя, при-
V
чем 1(^1 = —.
11 1*1
Отметим, что плотность вероятности (8) п-мерном Евклидовом пространстве постоянна на элл ипсоидах.
сц^-т^-щ) =*2 (10)
с центром в точках
т1И = пц + - т})
и средними квадратными отклонениями =
Эффективность функционирования объекта или процесса находят из соотношения
8э=1-Р((ВД ..., Уп) с D). (11)
Если составляющие вектора (¥1;¥2,... ¥п) не коррелированные, то есть г^О.
В частном случае, когда составляющие У и YJ независимы при ^ то гij=0, и вероятность того, что показатели нереализованных возможностей попадут в заданную область D ак<Ук< /Зк, с гранями параллельными координатными плоскостями, определяется из соотношения [4,5]
Р(УЬУ2, . УО^Щ^Ф - Ф (12)
Здесь - интегралы
вероятности от соответствующих параметров.
Когда область интегрирования В представляет шар с радиусом Я пропорциональным £7, то
Р(^У2,... У,) с В,) = 1 - еТ, (13)
где Ь=| и при Ь=1 Р((У1,У2, ......, Уп) с В1)=0,393,
при И=2 Р((У1,У2,......, Уп>В2)=0,865,
при И=3 Р((У1,У2,......, Уп)еВ3)=0,998.
В заключение можно сделать вывод о том, что разработанная математическая модель позволяет оценивать количественные характеристики исследуемых материальных и информационных объектов. Апробация подобной вероятностно-статистической модели осуществлена в образовательном процессе при оценке компетентности обучаемых с учетом количественных показателей взаимного влияния (корреляции)
составляющих вектора (УЬУ2, ....., Уп) друг на
друга по величине определителя корреляционной матрицы | или определителя матрицы из корреляционных коэффициентов [5].
V
Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева № 1, том 2, 2016
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зибров, П.Ф., Зиброва О.Г. Математическая модель оценки компетентности обучаемых на основе случайного вектора n-мерного пространства нереализованных возможностей. Татищевские чтения: Актуальные проблемы науки и практики. Том 3, С. 255-260.
2. Зибров, П.Ф., Зиброва О.Г. Математическая модель оценки экономико-образовательных процессов по вероятностным показателям нереализованных возможностей сформированности компетенции // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2015. - № 1(33). - С. 111-117.
3. Зибров, П.Ф., Кузнецова О.А. Математическая модель интервальной оценки компетентности как двумерного вектора распределения по статистическим данным. Сборник материалов методического семинара часть 1. Сборник подготовлен при грантовой поддержке РФФИ, проект №14-0620557. - Тольятти, 2014.
4. Зибров, П.Ф. Механизм вероятностной оценки природоохранных технологий и состояния экосистем по показателям нереализованных возможностей. Сб. трудов первого международного экологического конгресса «Экология и безопасность жизнедеятельности промышленно-транспортных комплексов» ELPIT. - Тольятти, 2007.
5. Зибров, П.Ф., Зиброва О.Г., Зибров А.П. Моделирование объектов и процессов формирования систем управления промышленным предприятием. Материалы IX Международной научно-практической конференции «Татищевские чтения: актуальные проблемы науки и практики». - Тольятти, 2012.
6. Зибров, П.Ф. Вероятностный подход к оценке характеристик состояния экосистем по показателям нереализованных возможностей // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - Том 16 № 1(6). - С. 1756-1761.
