Математическая модель оценки экономико-образовательных процессов по вероятностным показателям нереализованных возможностей сформированности компетенции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 303.02

ББК: 60.506

ЗибровП.Ф., Зиброва О.Г.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ЭКОНОМИКО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ВЕРОЯТНОСТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ НЕРЕАЛИЗОВАННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ

Zibrov P.F., Zibrova O.G.

MATHEMATICAL MODEL OF AN ESTIMATION OF THE ECONOMIC-EDUCATIONAL PROCESSES PROBABILISTIC INDICATORS OF UNREALIZED POSSIBILITIES OF FORMATION OF COMPETENCE

Ключевые слова: компетенция, компетентность, многомерное нормальное распределение, показатели нереализованных возможностей.

Keywords: competence, competency, multivariate normal distribution, the performance of unrealized possibilities.

Аннотация: в основу современных экономико-образовательных систем положено внедрение компетентностно-ориентированного обучения в вузе. Оценка компетентности студентов в вузе является важнейшей характеристикой экономической эффективности подготовки конкурентоспособных специалистов.

Abstract: the basis of modern economic and educational systems emphasize the implementation of competence-oriented education. Assessment of competence of students is an essential characteristic of economic efficiency in the training of competitive specialists.

Компетенция - это предметная область, в которой индивид хорошо осведомлен и в которой он проявляет готовность к выполнению профессиональной деятельности. Компетентность - это ситуативная категория, так как она выражается в готовности к осуществлению деятельности в конкретных профессиональных ситуациях. Компетентность - интегральная характеристика личности, распадающаяся на спектр отдельных компетентностей, включает в себя когнитивные, мотивационно-ценностные, эмоционально-волевые компоненты [1] .

Показатели или факторы компетенции оцениваются по шести признакам: знание, понимание, применение, анализ, синтез и оценка.

ФГОС ВО (уровень бакалавриата) выделяет компетенции: общекультурные (ОК), общепрофессиональные (ОПК), профессиональные (ПК) и профессионально-прикладные (ППК).

Для указанного набора компетенций будем рассматривать вектор компетентности Х=(Х1,ХггХ3,Х^) четырехмерного пространства. Каждая его компонента включает

шесть оценочных значений, обусловленных набором многомерных статистических данных, по результатам опроса и тестирования специалистов конкретной предметной области. При этом статистический материал подлежит систематизации и обработке с целью выявления характера и структуры взаимосвязей между компонентами вектора Х=(Х1гХг, Х3, Эти задачи решаются методами многомерного статистического анализа.

Многомерные статистические методы позволяют обоснованно выбрать математическую модель, которая наилучшим образом соответствует исходным статистическим данным, характеризующим реальное поведение исследуемой совокупности входящих в экономико-образовательную систему оценить надежность и точность выводов, сделанных на основании ограниченного статистического материала.

Оценка изменения динамического состояния исследуемого объекта наиболее эффективна при использовании вероятностных математических моделей и статистических методик. Возникающие возмущения в сис-

Зибров П.Ф., Зиброва О.Г.

теме оказывают случайные воздействия на результаты образовательного процесса и оцениваются как дискретными, так и непрерывными параметрами, имеющими статистическую природу Они определяются математическим ожиданием, дисперсией, среднеквадратичным отклонением и взаимной корреляцией. Статистическое математическое ожидание характеризует средневзвешенное состояние изучаемого объекта, а дисперсия - рассеивание или разброс отклонений количественных значений параметров от математического ожидания, корреляционные моменты устанавливают оценку взаимного влияния статистических показателей. В разрабатываемой математической модели используется второй вариационный момент, вычисляемый относительно нормативных значений контролируемых параметров, то есть оценивается состояние объекта относительно требуемого оптимума. Подобный подход приводит к количественным характеристикам отклонения экономико-образовательной системы от заранее обусловленного и принятого за эталонное.

Процедура расчета предполагает сбор информации о наличии или отсутствии выбранного характерного признака, а также его сравнение с имеющимся эталоном, согласно выбранных критериев. Получение количественных показателей при этом осуществляется по двум направлениям:

- математическое моделирование процессов и явлений на основе существующих, известных математических образов и отношений между ними, не противоречащих результатам опыта;

- познание и описание математических закономерностей на основе количественно-прогностических отношений;

Первое - влияет на эффективность хозяйственной и экономической деятельности, второе - позволяет совершенствовать и оптимизировать принципы переработки информации о количественных оценках состояния явлений и процессов.

Успешность решения подобных задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов и их воздействия на хозяйственную деятельность, обуславливая распределение и взаимную увязку имеющихся ресурсов, представляю-

щих оборудование, деньги, рабочую силу, электроресурсы, и другие факторы. Оптимальность их влияния определяется естественными ограничениями на потребление ресурсов. Таким образом, при математическом моделировании экономических процессов необходимо выполнять следующие действия:

- смоделировать механизм оценки эффективности используемых технологий, сформулировать цель решения поставленных задач методами теории вероятностей и математической статистики;

- разработать критерии и количественные оценки, определить составляющие достижения поставленной цели;

- выбрать приоритетные численные показатели оценок;

- построить вероятностно-статистическую математическую модель исследуемого процесса, устанавливающую функциональные зависимости между показателями и результатами;

- осуществить исследование анализируемого объекта с помощью математической модели соответствующим методом;

- проверить соответствие полученных результатов реально существующим показателям;

- использовать полученную модель в планировании и прогностических расчетах.

Следовательно, для повышения эффективности управленческих мероприятий, на основе количественных оценок состояния, экономию-образовательной системы требуется адаптация математического инструментария к указанному классу задач, в которых оперируют множествами непрерывных и дискретных случайных величин (Х1,Х2,.....,Хп).

Числовыми характеристиками для указанной системы являются:

- п математических ожиданий

Х1 ' х2 '

т

X '

- п дисперсий А^, В^ ;

- п • (п — 1) корреляционных моментов Ку, где I Ф у = 1,2,..., п .

Корреляционные моменты характеризуют попарную корреляцию всех величин, входящих в систему и имеют вид

Ку = М

0 0 XX,.

0 0 X' = х1 - т1 Xу = Xу - ШГ

Следует отметить, что дисперсия каждой из случайных величин X. есть частный случай корреляционного момента случайной величины Xi на саму себя.

Действительно:

= К,, = М

0 00

X0'2 =М X' X'

Все корреляционные моменты и дисперсии представляют в виде корреляционной матрицы.

К =

(Ки К12

К к

К21 К 22

\Кп1 К п 2

О

К 2п

К

где К = К .

пп У

Вместо этой матрицы используют также и нормированную матрицу из коэффициентов корреляции.

,, ,, Л

г '11 г... 12 г 1п

г '21 г... 22 г 2п

г, п1 г... п2 г пп

К

, где Г]

а.а

' у

причем Гп = Г22 = ... = Гпп = 1

Если система непрерывных случайных величин (X1, X2Xn) характеризует некоторую систему в и-мерном пространстве показателей, то она может быть описана нормальным законом распределения плотности вероятности, который задается соотношением:

1(х1 > Х2 Хп )

. [С -1ЕЕ ('](х'-тх )(хУ-тУ))

V „ 2 ¡=1 ]=1

п

Ж) 2

,(1)

здесь С - определитель матрицы С,

С =

с

- матрица, обратная корреляцион-

ной матрице К

К

Элементы матрицы с'

( ) К

где

К

определитель корреляционной

матрицы, а М - миноры этого определи-

теля, причем 1

С=Й

Из выражения (1) в качестве примера можно получить закон нормального распределения плотности случайных величин при

п = 2, то есть на плоскости для (X ,У ).

Корреляционная матрица при этом

принимает вид /

К

а2 а а г л

X х у ху

а а г

V х у ху

а

у У

Отсюда

К = а2а2 (1 - г2), С =

|| х у \ ху р II

а2а2 (1 - г -

х у ху

С =

1

- г

а

_ _ ху

(1 - г2) аа (1 - г2)

ху х у ху

аа

V х у

ху _

(1 - г2) а2 (1 - г2)

ху у ху

ху / У

Подстановкой элементов определителя матрицы в (5) получают выражение для нормального закона на плоскости.

1

I (х, у ) =

1 (х-тх) 2>ху\х-тх)\у-ту} \у-ту}

2(4) [. а2 ахау + а1,

2жа а . 1 - г'

х у \ ху

(2)

Из соотношения (2) следует, что нормальный закон на плоскости зависит от пяти параметров, имеющих следующий вероятностный смысл:

- т , т - математические ожида-

ния;

-а,а - средние квадратичные отклонения;

-гху - коэффициент корреляции величин X и У.

К

г =

ху

ху

а а

ху

Коэффициент корреляции обращается в ноль для независимых случайных вели-

1

е

чин. Если коэффициент г не равен нулю

ху

то случайные величины являются некоррелированными.

Если г Ф 0, то случайные величины

(Х,У) зависимы и условные законы распределения плотности вероятности обозначают

как /(у / х) и /(х / у).

Указанные условные плотности вероятности нормального закона характеризуются с центрами рассеивания

ту/х = ту + гху — (х - тх X

тх / у = тх + гху

(у - ту ) •

и средними квадратичными отклонениями

^у / х = —уд/ (! - гху

х / у х

,

га •

В [2, 3] подробно изложен механизм вероятностной оценки распределения дискретных величин по показателям нереализованных возможностей для одномерного случая.

Когда имеет место система двух случайных величин, то первые начальные моменты являются математическими ожиданиями величин X и У системы, то есть ■■а10 = М [XУ0 ] = М [X ],

т.,

т„

= а01 = М [X 0У1 ] = М [У ]

Совокупность математических ожиданий т и т представляет характеристику

положения системы. Геометрически это координаты точки на плоскости, вокруг которой рассеяны значения системы (Х,, У). Два вторых центральных момента системы представляют дисперсии величин Х и У

М

0 0 0

X2 У0 II М X2

Зибров П.Ф., Зиброва О.Г.

= о[У ]

0 0 0

X0 У2 М У2

Ао.2 = М

Они характеризуют рассеивание случайных точек в направлении осей О>0 •

Второй смешанный центральный момент имеет специальное обозначение " 0 0 " ХУ

]ии= К = М

<11 ху

=м [(x - тх ).(у - ту)] •

и представляет корреляцию между случайными величинами Х, У

Для дискретных и непрерывных случайных величин корреляционный момент имеет вид

К у =И(.

(х. - тх >•

Ку = Я(х

х - т

)-(у. - ту У р.,

)-(у - ту )• /(х, у)<Ьау.

Он наряду с рассеиванием величин Х и У характеризует связь между ними, а для независимых случайных величин равен нулю, то есть К = 0.

' ху

Если К Ф 0, то между случайными

величинами есть вероятностная зависимость.

При расчетах характеристик нереали-зованности оптимальных показателей состояния исследуемых систем используется величина 5

5к =^к - 1к),

где Xk - случайная величина, 1к - регламентированное значение оптимального состояния системы, к = 1,2,..., п •

Для дискретных и непрерывных случайных величин начальный момент первого порядка показателя 5к принимает вид

п

а1 (5к) = ^(хк -1к)р,к;

а1 (5к )= {(х - ^ У к (х Vх •

зо

1

зо

Второй вариационный момент, характеризующий разброс значений статистиче-

ских параметров относительно Zk

n

V2 ißк- Zk )2Pik;

i=1

Vi ißk )= j(x - zk ifkix )dx •

Здесь Ргк - вероятность р(Хк = % )= Р1к, /к (х) - распределение плотности вероятности случайной величины X4..

В системах двух случайных величин (X ,У) с показателями оптимальности , 2у) указанные характеристики имеют

вид

10 iß) = £ ix - Zx P , «01 (Sy) = £ fo - Z, P,

i=1 J=1

да да

«10 (ßx ) = j ix - Zx )f1 ix)dx» «20 {ßy ) == j {y - Zy )f2 (y,

—да —да

n n

V20 (ßx )=£ £ (xi - Zx )2 pv,

i=17=1

v(s,)=££(y, -Z,)2P, ,

i=1 j=1

V11 (ßxy)=Ky {s,)=£ £ (x, - Zx fc -Z, p,

¡=1 ]=1 да да

ми ру )=Ку (р )=Я(х - ^ )(у - гу)/ (х, у .

-да-да

Здесь Ру = Р^ = х ,7 = уу), /(х, у) -функция распределения плотности вероятности системы непрерывных случайных величин.

После перехода от системы непрерывных двух случайных величин (X,У) к системе (р,р), для которой справедлив нормальный закон распределения на плоскости, можно рассчитать вероятность оптимального функционирования системы в заданной области Б изменения параметров (X,7)

4s»s Фи f (ssr Ws=-—V-т jj

d 2жад^1 - r, D

1 Г (Sj-«10 )2 2r12 {si- «10 ){sy-«n) l{s,-«af dxdy 1 2{1-r12.) I q2 qq q22 I

где: q

: q1 = VV20 ; q2 = -\IV02 ;

; r12 =

V11

q1q2

Конечный количественный результат определяется заданной областью Б, в которой изменяются составляющие системы

(Рх Л).

Например, для прямоугольной области Б со сторонами, параллельными координатным осям и нормальном законе распределения системы (р) их вероятность

P((ßx ,Sy ^ D) =

ф

S „ - m, Л ( S - ш.

s а Iii s

ß Sx

q

(Sx )

-ф

x \ x / у

C(Sx )

ф

S - m.

sx

q

V yv y/

f

-ф

S - m.

risyr

q

V y\ У у

где « < Рх < р, у<5у < V.

Аналогично, вероятность попадания значений системы (р) в эллипс рассеивания Би отношение полуосей которого

т, равна

t = ■

q (S

yv У)

t

p((Sx ,Sy )e Bt )= 1 - e ^ •

Если t = 1, эллипс рассеивания выраж-дается в круг и случайные величины Sx ,Sy не коррелированы

1

Р(рх ,8у )с Б, ) = 1 - е 2 = 0,393, при X = 2 Р((р р )е Б2 )= 0,865.

Таким образом, полученные соотношения позволяют на практике рассчитывать вероятностные количественные характеристики оценки приближения исследуемой системы к оптимальному состоянию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Зибров, П.Ф., Кузнецова, О.А. Математическая модель интервальной оценки компетентности как двумерного вектора распределения по статистическим данным. Сборник материалов методического семинара часть 1. Сборник подготовлен при грантовой поддержке РФФИ проект №14-06-20557, Тольятти 18-19 декабря 2014 г

2. Зибров, П.Ф. Механизм вероятностной оценки природоохранных технологий и со-

e

-да

у

у

Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева № 3 (34) 2015

стояния экосистем по показателям нереализованных возможностей. Сб.трудов первого международного экологического конгресса «Экология и безопасность жизнедеятельности про-мышленно-транспортных комплексов» ELPIT• - Тольятти, 2007.

3. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г., Зибров, А.П. Моделирование объектов и процессов формирования систем управления промышленным предприятием. Материалы IX Международной научно-практической конференции «Татищевские чтения: актуальные проблемы науки и практики». - Тольятти, 2012.

4 Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Концепция формирования экономического образа мышления студентов вузов. - Тольятти: ТГУ 2003 • - 138 с.

Зибров, П.Ф. Вероятностный подход к оценке характеристик состояние экосистем по показателям нереализованных возможностей // Известия Самарского научного центра РАН -2014 - Т 16^ № 1(6) - С 1756-1761 •