CC BY
17
УДК: 303.02 ББК: 60.506
Зибров П.Ф., Зиброва О.Г.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ВЗАИМОСВЯЗИ СОСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПО ОБОБЩЕННЫМ ЧИСЛОВЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Zibrov P.F., Zibrova O.G. QUANTITATIVE EVALUATION OF CORRELATION RELATIONSHIPS OF THE COMPONENTS OF THE STATISTICAL DATA SYSTEM ON GENERALIZED
NUMERICAL CHARACTERISTICS
Ключевые слова: многопараметрические системы статистических данных, вероятностные количественные характеристики - как множество нереализованных возможностей n-мерных объектов, корреляционные моменты, коэффициенты корреляции, математические ожидания, дисперсии и средние квадратичные отклонения компонент многомерных систем, матрица и ее определитель из коэффициентов корреляции, промежутки сильной и слабой взаимосвязи между составляющими систем случайных величин.
Keywords: multiparametric systems of statistical data, probabilistic quantitative characteristics - as a set of unrealized possibilities of n-dimensional objects, correlation moments, correlation coefficients, mathematical expectations, variances and mean square deviations of components of multidimensional systems, matrix and its determinant from correlation coefficients, intervals of strong And the weak relationship between the components of systems of random variables.
Аннотация: для оценки динамического состояния многопараметрических объектов и процессов используется математическая модель, устанавливающая взаимосвязь между компонентами нереализованных возможностей в n-мерных системах. В качестве комплексного числового показателя степени указанной взаимосвязи используется величина определителя матрицы из коэффициентов корреляции. На основе статистических экспериментальных данных формирования профессиональных компетенций ПК-4 и ПК-8 подготовки бакалавров экономического направления представлена методика нахождения количественных показателей по обобщенным числовым характеристикам исходного статистического материала.
Abstract: to assess the dynamic state of multiparameter objects and processes, a mathematical model is used that establishes the relationship between the components of unrealized possibilities in n-dimensional systems. As a complex numerical index of the degree of this relationship, the value of the determinant of the matrix from the correlation coefficients is used. Based on the statistical experimental data on the formation of the professional competencies of PK-4 and PK-8 in the preparation of bachelors in economic direction, a methodology is presentedfor finding quantitative indicators on the generalized numerical characteristics of the original statistical material.
Динамическое состояние многопараметрических систем оценивают по количественным характеристикам согласно вероятностных математических моделей и вычислительных методик. Случайные воздействия на исследуемые объекты обусловлены как внутренними, так и внешними причинами, которые подчинены статистическим закономерностям.
В задачах повышения эффективности функционирования и управления указанными системами требуется математический
инструментарий, который может быть применён к широкому классу подобных объектов исследования, где множества случайных характеристик представляют в виде п-мерного вектора Х= (Х1, X2,...Xn).
Следовательно, изучаемые процессы или объекты представляют множество X, заданное вектором X2,...Xn). Нормативные оценки для X; образуют [1] множество N или п-мерный вектор (7/,72,Взаи-мосвязь между ними рассматривается как
отображение <А (£ на АС):
£*АМ =у, ("1)
где, "У - п-мерный нормированный вектор нереализованных возможностей (З^, • • •, Уп), т0 есть множество отклонений от требуемых установленных показателей.
Изучение возможных взаимосвязей между составляющими вектора У ={У 1з У2, ..., Уп) и полученными числовыми характеристиками всей системы осуществляется по статистическим данным.
Выявление зависимости между компонентами вектора (5^1, У2, ..., Уп) достигается с помощью коэффициентов корреляции. Компоненты вектора (УУ2, ..., Уп), представляющие п оценочных нормированного величин, получают по результатам тестирования рассматриваемого объекта (Хь Х2,.. .Х) [2].
Количественными показателями, характеризующими состояние систем, являются: математические ожидания, дисперсии, среднеквадратичные отклонения и корреляционные моменты. Математические ожидания представляют средневзвешенное положение системы, дисперсии - рассеивание или разброс отклонений параметров от соответствующих математических ожиданий. Корреляционные моменты являются количественными оценками взаимного влияния статистических показателей друг на друга. Для расчета показателей нереализованных возможностей используются соотношения для нормированных величин Ук [3]
Компонента у; - количественная характеристика нереализованных возможностей от Zj, Zj - заданные нормативные значения оптимального состояния системы, - - статистические данные экспериментально найденных
случайных величин /=1,2,....., п, 7=1,2,....., п.
Корреляционные моменты и дисперсии записываются в виде корреляционной матрицы
К к12 ... кО
к =
кк т
V Кп1
к
к
к
, где К = К
Математические ожидания величин У,-для системы п-нормированных величин (З^, У2, • • •, есть первые начальные моменты
(4)
т =
м у J,
]=1,2,...п.
Математические ожидания ,ш,„)
определяют положение системы и геометрически являются координатами точки в п-мерном пространстве, вокруг которой рассеяны значения системы (УУ г, ..., Уп). Центральные моменты второго порядка представляют дисперсии величин У,-
т.
здесь у = у -
и характеризуют рассеивание случайных точек в направлении осей О, .
Вторые смешанные центральные моменты имеют специальное обозначение
& = Кп = м
0 0 у,У,
-М [(У - т, УУ, - т,, ). (5)
Ку характеризуют корреляцию между составляющими У{, и У у
Для дискретных случайных величин корреляционный момент имеет вид [5]
кп = £ £ {ук - т, )(у- т, )• рш,
к Ь
есть ве-что
гДе Ркн роятность того
Так как корреляционный момент характеризует связь между Ук и Уп , то, когда случайные величины независимы, он равен нулю, то есть Ку=0, если Ку=£0, то между случайными величинами есть вероятностная зависимость.
Как правило, в корреляционном анализе применяют нормированную матрицу из коэффициентов корреляции [6].
0
( Г ' 11 г ' 21 г 12 г 22 Г Л 1п Г 2п , где К г = 1 У
г V п1 г п Г пп у
(6)
при этом ги = Ггг = ■■■ = тпп = 1 И О < г;,-< 1 для нормированных нереализованных возможностей, а сг; и гт. - средние квадратичные отклонения У,, У, ег; = ч^^Г
Количественной характеристикой взаимосвязи между всеми компонентами вектора (УьУг,... Уп) выступает определитель^! матрицы (6).
Он имеет вид
(7)
Когда составляющие (Уь У2, ..., Уп) некоррелированы или независимы, то Я| = 1. Действительно,
Д
и
1 0... 0
О 1... о
0 0... 1
=0.
Если = 1, то определитель |Д| = О,
что соответствует эквивалентности У и У,, и
1
1 =0.
я =
1. 1.
1...
Из вышеизложенного следует, что О < |й| <1 и значения |Д| дают комплексную количественную оценку взаимного влияния друг на друга всех составляющих системы и устанавливают вероятностную оценку их значимости [5].
В [6] показано, что при оценке нереализованных возможностей исследуемых статистических систем:
1) 0 < г, - <1, 0 < |/Г| < 1; - между компонентами вектора (Уь У2, ..., Уп) имеет место взаимосвязь;
2) Т:: = 1, |Я| = 0, между случайными величинами У и у существует функциональная линейная зависимость;
3) г^ = П, |Д| = 1, - случайные величины У , Уj некоррелированы и могут быть независимыми, в целом компоненты вектора систем (Уь У2, • •., Уп) некоррелированы;
4) коэффициенты корреляции г1 и г-{ совпадают, то есть г- = г,-;;
5) по коэффициентам корреляции г- сила связи оценивается по шкале Шедока [6]:
- связь отсутствует;
• 0< гц < 0,2,или0,95 < < 1
• 0,2 < Гц < 0,5, или 0,75 < | < 0,95 - связь слабая;
• 0,5 < Гу < 0,75, или 0,5 < |Я| < 0,75 - связь средняя;
• 0,75 < ^ < 0,95 ,или 0,2 < |Я| < 0,5 - связь тесная;
• 0,95 < Гц < 1, или 0< |Н|< 0,2 - связь очень тесная.
Исследование статистической взаимосвязи между компонентами векторов
характеризующих нереализованные возможности формирования ПК-4 и ПК-8, проводилось по параметрам для оценки уровня профессиональной компетенции студентов квалификации бакалавр по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика» [7]. Профессиональные компетентности ПК-4 и ПК-8, заданные векторами
,
оценивались по составляющим: способность строить стандартные теоретические и экономические модели на основе описания экономических процессов и явлений; анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-4); применять для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-8). В основе каждой оценки использованы таксономии Блума, в качестве диагностических средств были выбраны: тесты достижения уровней знания и понимания; представление и защита итоговой работы по дисциплине, которая включала в себя обработку, анализ и расчет эконометри-ческих показателей с помощью пакета «Анализ данных»; построение эконометрических моделей и их использование для построения прогнозов. Результаты диагностики нереализованных возможностей при формировании компетентности в двух группах по 20 студентов в каждой представлены в таблице 1.
Таблица 1 - Результаты диагностики нереализованных возможностей при формировании
компетентности в двух группах по 20 студентов
Номер студента в списке Компетенция Знание Понимание Применение Анализ Синтез Оценка
Уи Уъ Уъ У*1 Уъ Уы
1 ПК-4 0,39 0,39 0,42 0,77 0,8 0,83
ПК-8 0,37 0,4 0,41 0,75 0,8 0,8
2 ПК-4 0,36 0,36 0,4 0,74 0,77 0,8
ПК-8 0,36 0,36 0,4 0,74 0,77 0,8
3 ПК-4 0,47 0,5 0,57 0,82 0,81 0,84
ПК-8 0,43 0,48 0,55 0,83 0,81 0,83
4 ПК-4 0,46 0,49 0,5 0,78 0,79 0,8
ПК-8 0,43 0,48 0,48 0,77 0,8 0,81
5 ПК-4 0,28 0,331 0,31 0,56 0,6 0,57
ПК-8 0,3 0,3 0,31 0,57 0,6 0,6
6 ПК-4 0,31 0,46 0,47 0,7 0,71 0,81
ПК-8 0,32 0,45 0,5 0,72 0,71 0,8
7 ПК-4 0,26 0,35 0,56 0,77 0,79 0,82
ПК-8 0,28 0,35 0,58 0,8 0,8 0,8
8 ПК-4 0,43 0,51 0,57 0,82 0,83 0,83
ПК-8 0,44 0,5 0,54 0,82 0,82 0,84
9 ПК-4 0,26 0,25 0,33 0,66 0,77 0,79
ПК-8 0,25 0,26 0,83 0,69 0,76 0,8
10 ПК-4 0,56 0,7 0,73 0,88 0,86 0,88
ПК-8 0,51 0,68 0,73 0,89 0,89 0,87
11 ПК-4 0,31 0,3 0,32 0,66 0,68 0,82
ПК-8 0,36 0,37 0,38 0,69 0,71 0,83
12 ПК-4 0,62 0,7 0,72 0,88 0,89 0,88
ПК-8 0,6 0,7 0,7 0,89 0,9 0,88
13 ПК-4 0 0,02 0,12 0,31 0,42 0,37
ПК-8 0,28 0,3 0,32 0,41 0,47 0,45
14 ПК-4 0 0 0,03 0,31 0,38 0,35
ПК-8 0,35 0,34 0,37 0,56 0,55 0,57
15 ПК-4 0 0 0,05 0,13 0,21 0,28
ПК-8 0,27 0,3 0,32 0,46 0,47 0,42
16 ПК-4 0 0 0,03 0,22 0,18 0,32
ПК-8 0,11 0,11 0,17 0,32 0,33 0,4
17 ПК-4 0 0,07 0,15 0,38 0,35 0,46
ПК-8 0,25 0,28 0,3 0,56 0,5 0,47
18 ПК-4 0 0,05 0,05 0,22 0,28 0,24
ПК-8 0,08 0,1 0,1 0,33 0,28 0,35
19 ПК-4 0 0 0,02 0,13 0,18 0,28
ПК-8 0,36 0,38 0,41 0,68 0,66 0,5
20 ПК-4 0 0 0,01 0,34 0,36 0,39
ПК-8 0,04 0,09 0,15 0,56 0,55 0,61
Для нахождения моментов и коэффициентов корреляции вычислены математические ожидания компонентов векторов Ух и У2 т1- и т2 ■ и средние квадратичные от-
Таблица 2 - Математические ожидания компонентов векторов Ух и У2 т1,- ит2,- и средние квадратичные отклонения ,-и £г ■ } = 1,2,3,4,5,6.
Показа- Компетен- Знание Понимание Примене- Анализ Синтез Оценка
тели ции ние
т± т2 т3 т4 ™5 т€
ти ПК-4 0,2535 0,2945 0,3185 0,5545 0,5830 0,6155
т2} ПК-8 0,3195 0,3615 0,4045 0,6552 0,659 0,6735
Л. ¿-1 ¿-4
ПК-4 0,1970 0,1844 0,2402 0,2561 0,2498 0,2429
52/ ПК-8 0,1337 0,1592 0,1625 0,1698 0,1766 0,1791
клонения 5г1,и ) = 1,2,3,4,5,6. Они представлены в таблице 2.
ПК-4: ту1 = 0,4366; ^ = 0,2284 ПК-8: -ту= 0,5122; = 0,1635
Дальнейшее вычисление корреляционных моментов и коэффициентов корреляции гг- = 1,2,...,20, связано с несколькими
сотнями тысяч вычислительных операций, что сопряжено с существенными затратами времени и ресурсов. Поэтому в качестве экспери-
ментального метода рассмотрен статистический материал из найденных математических ожиданий и средних квадратичных отклонений, являющихся числовыми характеристиками исходных статистических данных. Определены ту1 и ту2, 3у1 и 5у2, а также
т,
Дтц = т1;
■ ту1 =
Дйу = и1; - = - 5у2. (таблицы 3,4).
Таблица 3 - гау1 и т„2,и а также Дтп
и= ти
■ту1,
, = пи
■ т
У 2
I, ] Лmi Дт; Д т} ДтгДт?- Дт3Дт^ Дт4Дт;- Дт5Дт^ Дт6Дт;-
1 -0,1831 -0,1927 0,0353 0,0274 0,0225 -0,0227 -0,0282 -0,0345
2 -0,1421 -0,1507 0,0276 0,0214 0,0176 -0,0178 -0,0221 -0,0270
3 -0,1170 -0,1077 0,0197 0,0153 0,126 -0,0127 -0,0158 -0,0193
4 -0,1179 0,1430 -0,0262 -0,0203 -0,0167 0,0169 0,0209 0,0256
5 0,1464 0,1468 -0,0269 -0,0209 -0,0172 0,0173 0,0215 0,0263
6 0,1789 0,1613 -0,0295 -0,0229 -0,0189 0,0190 0,0236 0,0289
£ 0 0 0 0 0 0
2
с.1 = 1
Дггге Дттг,- = О
Таблица 4 - =
% - 8у2
I, ] Д^ Ч &Si Ад; &S2йSj ДЙ-3Д<5} До4Д<5}
1 -0,0314 -0,0298 0,00094 0,00131 -0,0003 5 -0,00082 -0,00064 -0,00043
2 -0,0440 -0,0043 0,00014 0,00019 -0,00005 -0,00012 -0,00009 -0,00006
3 0,0118 -0,0010 0,000033 0,00004 -0,00001 -0,00003 -0,00002 -0,00001
4 0,0277 0,0063 -0,00020 -0,0003 0,000007 0,00018 0,00013 0,00009
5 0,0214 0,0131 -0,00041 -0,00054 0,00015 0,00036 0,00028 0,00019
6 0,0145 0,0156 -0,00049 -0,0007 0,00018 0,00043 0,00033 0,00022
X 0 0 0 0 0 0
Для вычисления найдены аналогично:
Их суммарные значения оказались равными нулю, что свидетельствует о том, что т, не коррелированны так же как и,-, то
есть между ними отсутствует попарная связь. Учитывая тот факт, что соответству-
ющие числовые характеристики т ,■ и о,- не
коррелированны, то статистические данные исходного материала также будут не коррелированными, то есть между компонентами векторов Уи У2 нет связи, что соответствует расчетам, приведенным в [5].
Из представленного материала следует, что предложенный метод использования обобщенного числовых характеристик изначальных статистических данных позволяет существенно снизить затраты ресурсов на вычислительные операции.
из таблиц 3,4
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель оценки экономико-образовательных процессов по вероятностным показателям нереализованных возможностей сформированное™ компетенции // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2015. -№ 1 (33). - С. 111-117.
2. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель оценки компетентности обучаемых на основе случайного вектора n-мерного пространства нереализованных возможностей // Татищевские чтения: Актуальные проблемы науки и практики. - 2015. - Том 3. - С. 255260.
3. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель обобщенной оценки функционирования параметрических объектов по показателям нереализованных возможностей // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2016. - № 3 (35). - С. 98-105.
4. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Вероятностная оценка взаимного влияния компонентов систем компетенций в образовательном процессе // Татищевские чтения: Актуальные проблемы социально-экономического развития. - 2016. - Том 4. - С. 204-209.
5. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Обобщенные вероятностные показатели нереализованных возможностей многопараметрических систем // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2016. - № 3. Том 2. - С. 32-38.
6. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель оценки взаимосвязи между нереализованными возможностями статистических параметров многопараметрических систем // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2017. - № 1. Том 1. - С. 41-48.
7. Зибров, П.Ф., Кузнецова, О.А. Математическая модель интервальной оценки компетентности как двумерного вектора распределения по статическим данным. Практика использования естественнонаучных методов в прикладных социально-гуманитарных исследованиях: сборник материалов методического семинара. - Тольятти, 2014. - С 160-172.
Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева № 2, том 2, 2017
