Математическая модель оценки связи между нереализованными возможностями статистических параметров многомерных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 303.02

ББК: 60.506

ЗибровП.Ф., Зиброва О.Г.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СВЯЗИ МЕЖДУ НЕРЕАЛИЗОВАННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

Zibrov P.F., Zibrova O.G.

GENERALIZED PROBABILISTIC INDICES UNREALIZED POTENTIAL MULTIPARAMETER SYSTEM

Ключевые слова: многопараметрические объекты, как множества количественных характеристик нереализованных возможностей, вероятностные показатели многопараметрических объектов, коэффициенты корреляции, корреляционная матрица и ее определитель.

Keywords: multiparameter objects as a set of quantitative characteristics of unrealized potential, probability indicators multiparameter objects, correlation coefficients, correlation matrix and its determinant.

Аннотация: в расчетах количественных показателей предлагается использовать нормированные показатели отклонения статистических данных от нормативно установленных. Представленная математическая модель позволяет находить как количественные характеристики в целом указанных систем, а также взаимное влияние друг на друга отдельных составляющих.

Abstract: in the calculation of quantitative indicators is proposed to use standardized indicators of deviation from the standard of statistical data set. This mathematical model allows us to find the quantitative characteristics of these systems as a whole, as well as the mutual influence on each other's individual components.

Изменения динамического состояния многопараметрического объекта изучают с помощью вероятностных математических моделей и статистических методик. Случайные возмущения в системе обусловлены воздействием как внутренних, так и внешних процессов и оцениваются дискретными или непрерывными параметрами, подчиненными статистическим закономерностям. Они определяются математическим ожиданием, дисперсией, среднеквадратичным отклонением и взаимной корреляцией. Так, математическое ожидание характеризует средневзвешенное состояние изучаемого объекта, дисперсия - рассеивание или разброс отклонений количественных значений параметров от математического ожидания. Корреляционные моменты устанавливают оценку взаимного влияния статистических показателей. В представленной математической модели использован второй вариационный момент, который вычисляется относительно регламентированных значений контролируемых параметров, что позволяет оценивать состояние объекта относительно заданного оптимума. Предложенный подход дает возможность оценивать количественные характеристики отклонения изучаемой системы от принятого за эталонное.

Проводимое исследование предполагает получение информации о наличии или отсут-

ствии выбранного признака, а также сравнение с имеющимся эталоном, среди выбранных критериев. Расчет количественных показателей при этом включает следующее [1]:

- математическое моделирование явлений и процессов на основе существующих математических образов и взаимосвязей между ними, не противоречащих результатам опыта;

- выявление на основе количественно-прогностических отношений математических закономерностей.

Это позволяет оптимизировать хозяйственно-экономическую деятельность и совершенствовать технологии переработки информации об оценках динамики явлений и процессов.

Продуктивность указанных задач обусловлена эффективностью использования материально-информационных ресурсов и принятия управленческих решений.

Оптимизация расходования ресурсов определяется естественными ограничениями задаваемыми в аналитическом виде. Математическое моделирование многопараметрических процессов предполагает следующие действия:

- моделирование механизма оценки эффективности используемых процессов методами теории вероятностей и математической статистики;

- определение составляющих достижения поставленной цели на основе разработан-

ных количественных критериев;

- выбор приоритетных численных показателей оценок;

- построение вероятностно-статистической математической модели изучаемого процесса, устанавливающей функциональные зависимости между исходными показателями и результатами;

- исследование анализируемых объектов с помощью математической модели;

- проверка адекватности полученных теоретических результатов экспериментальным данным;

- внедрение созданной модели в прогностические расчеты.

Следовательно, для управления повышением эффективности исследуемых многопараметрических систем требуется разработка математического инструментария к широкому классу задач, в которых оперируют множествами непрерывных и дискретных случайных величин

Характеризовать систему исследуемого процесса или объекта можно статистическими числовыми данными представляющими множество --, заданное вектором (Хь Х2,...Хл). Нормативные или требуемые показатели соответствующих процессов образуют множество - Г или т-мерный вектор ^^з...^^). Взаимосвязь между указанными множествами задают отображением ¿Я £.■ на

где У - п-мерный нормированный вектор (Уь У2, ..., уп), то есть множество нереализованных возможностей устанавливающих отклонение от нормативных показателей.

Изучаемые статистические процессы определяются как дискретными, так и непрерывными параметрами, сгруппированными в многомерные векторы. Важно при этом изучение возможных взаимосвязей между их составляющими и получение количественных характеристик всей системы по результатам экспериментов.

Математические модели рассматриваемых объектов оперируют набором статистических экспериментальных данных и позволяют устанавливать зависимости между компонентами вектора (У ь У2, ..., У г), с помощью коэффициентов корреляции. Компоненты вектора (5^, У2, ..., -п) представляют л оценочных нормированных величин, полученных по результатам тестирования рассматриваемого объекта (Хь Х2,...,Хп) [2].

Внешние возмущения случайной природы влияют на систему и оказывают воздействие на ее количественные показатели, такие как: математические ожидания, дисперсии, среднеквадратичные отклонения и корреляционные моменты. Совокупности математических ожиданий характеризует средневзвешенное положение системы, дисперсии - рассеивание или разброс отклонений параметров от соответствующих математических ожиданий. Считается, что корреляционные моменты дают представление о взаимном влиянии статистических показателей друг на друга. При расчете оценок нереализованных возможностей целесообразно использовать вторые вариационные моменты относительно нормативных значений контролируемых параметров, то есть относительно установленного оптимума, путем введения непрерывных нормированных величин

ЫЗ]

(1)

Здесь компонента - количественная характеристика нереализованных возможностей - заданные нормативные значения оптимального состояния системы, Хк - экспериментально найденные случайные величины статистических данных к=1,2,.....,л.

Корреляционные моменты и дисперсии представляют в виде корреляционной матрицы

К =

К11 К12 К 21 К 22

\Кп1 К п 2

К К

1п

К

(2)

пп

где К — К...

Для системы п-случайных величин (Кь Уъ ..., Уп), первые начальные моменты являются математическими ожиданиями величин то есть

т, = а':ю = М \к ~ (3)

к=1,2,...п.

Совокупность математических ожиданий (гге^т^тп) представляет характеристику

положения системы. Геометрически это координаты точки в п-мерном пространстве, вокруг которой рассеяны значения системы (УУ2, ..., - л). Центральные моменты второго порядка представляют дисперсии величин У^

=D IVJ,

здесь ук=¥к-тк

Они характеризуют рассеивание случайных точек в направление осей 0к.

Вторые смешанные центральные моменты имеют специальное обозначение

Mu=Ktj=M

о о

Y, Yj

■ т,

tj-mjJ 4)

Ку представляют корреляцию между значениями величин У{, У^.

Для дискретных случайных величин корреляционный момент имеет вид [4]

m

Р:

величина р-}- = Р(У{ = у о У}- = у,) есть вероятность ТОГО, ЧТО УII = У и У}I = У]

Наряду с рассеиванием величин У^^ь корреляционный момент характеризует связь между ними, если случайные величины независимы, то он равен нулю, то есть Кц=0

Если Кц^О. то между случайными величинами есть вероятностная зависимость.

В корреляционном анализе применяют нормированную матрицу из коэффициентов корреляции [5].

R=

\ г , г,

V «1 n 2

nn J

К

где Г..

CJCJ

' 1

(5)

причем

, для нормированных нереализованных возможностей, а и сгр- - средние квадратичные отклонения У,-, У), ^ = оу = г

Для количественной характеристики взаимосвязи между компонентами вектора (У1,У2,...УП) можно использовать определитель матрицы из коэффициентов корреляции.

Он имеет вид

Когда составляющие (Yi, Y2, ..., Yn) некоррелированы или независимы,

то r-j = 0 и |Д| = 1. Действительно

Если t\j = 1, что соответствует эквивалентности Y, иУ; , то определитель IRI = 0.

В этом случае | R \ =

Следовательно, 0 < |Л| < 1, то есть значения |Я| дают комплексную количественную оценку взаимного влияния всех составляющих системы друг на друга и устанавливают вероятностную оценку их значимости [6].

Согласно положений корреляционного анализа в задачах оценки нереализованных возможностей исследуемых статистических систем, можно констатировать:

О < |Я| < 1;

1) 0 < <1, и \н\ ^ 1; - между компонентами вектора (УУ2, ..., Уп) имеет место взаимосвязь;

чайными величинами Уг- и У;- - существует функциональная линейная зависимость;

3) Г;_, = 0., |Д| = 1, - случайные

величины Уг- , У; некоррелированы и могут быть независимыми, в целом компоненты вектора систем (У], У2, ..., Уп) - некоррелированы;

4) коэффициенты корреляции Тц и г,-совпадают, то есть = Тц;

5) в общем случае коэффициенты корреляции устанавливают степень линейной зависимости между переменными Уг- и У;, нелинейную взаимосвязь определить не удается;

6) по коэффициентам корреляции г^- сила

связи оценивается по шкале Шедока [7]: 0 < т^ < 0,2 , — связь отсутствует;

о

=

k

h

k h

Г Г

11 12

1n

ГГ

21 22

Г

2n

0,5 < Тц <0,75, — связь средняя; "г ■ . ^ - ь Тт

0,5 < |Я| < 0,75 0,75 < |Я| < 0,95 0,95 < |Я| < 1

0,95 < < 1, — связь очень тесная.

По величине для IДI можно составить аналогичную таблицу при этом:

;

;

;

;

- :ел:Ь :Т"Т:ТЕ;.'Т7.

Из представленного материала следует, что количественная величина определителя |Д| дает возможность судить об усилении или снижении взаимного влияния У, и У) друг на друга как компонент вектора (Уь У2, ..., под воздействием целенаправленных или случайных воздействий на исследуемый процесс или объект.

Экспериментальные исследования проводились по результатам зачетной сессии трех групп студентов второго курса, обучающихся по направлению практического бакалавриата 08.03.01 «Строительство» на основе балльно-рейтинговой технологии оценки знаний дисциплины «Высшая математика».

Этапы обучения включают четыре модуля, каждый из которых оценивается по 25 баллов и итогового компьютерного тестирования в 100 баллов. Студент в течение семестра может набрать сумму X от нуля до двухсот баллов.

Итоговая оценка выставляется по установленной шкале из расчета от 0,52 . В каждом модуле предусмотрена сдача теоретических коллоквиумов, выполнение «индивидуальных домашних заданий» (ИДЗ), контрольных работы по темам ИДЗ.

Статистический материал задается таблицами набранных баллов каждым студентом на сайте «Образовательного портала Хь Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7,» здесь Хь Х2, Х3, Х4 базы данных по каждому студенту Хк=(хк1, х^,... хкп,), хкд - число баллов ¿-того студента группы за к-ый модуль.

4

= 11*5: II Хя = ЕХй ' Х* = 11*6* II ре-

А--1

зультат тестирования ¿-того студента группы, Х7 = | \х711| - итоговый результат студента за семестр х7: = (дг51; + хб;)0,5, ¿=1,2,3,..., п.

Результаты диагностики вычисленных нереализованных возможностей студентов сведены в таблицы 1, 2, 3 где

№ П

с2

! ¿3

га 4

Г11

4,2

'1,3

- вычисленная величина нереализованных возможностей ¿-тым студентом в каждой из групп «а», «в», «с».

Таблица 1 - Показатели нереализованных возможностей. Группа «а» по дисциплине «Высшая математика» семестр 3

№ уа2 Уаз Уа 4 Пд Угл Угл

1. 0,71 1,00 0,71 0,58 0,75 1,00 0,86

2. 0,64 0,64 0,71 0,58 0,64 0,43 0,53

3. 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,25 0,56

4. 0,16 0,13 0,03 0,10 0,11 0,44 0,23

5. 0,41 0,08 0,06 0,13 0,17 0,11 0,12

6. 1,00 0,85 0,64 0,77 0,82 0,44 0,61

7. 1,00 1,00 0,77 0,85 0,91 1,00 0,94

8. 0,16 0,08 0,58 0,46 0,32 0,69 0,46

9. 0,08 0,52 0,27 0,27 0,29 0,25 0,25

10. 1,00 1,00 0,77 0,77 0,89 0,69 0,77

11. 0,00 0,01 0,00 0,06 0,02 0,03 0,01

12. 0,08 0,46 0,23 0,23 0,25 0,25 0,24

13. 0,06 0,03 0,08 0,16 0,08 0,00 0,02

14. 0,10 0,06 0,41 0,23 0,20 0,44 0,29

15. 1,00 1,00 0,85 0,77 0,91 0,69 0,79

16. 0,16 0,06 0,31 0,31 0,21 0,44 0,30

17. 0,58 1,00 0,77 0,71 0,77 0,69 0,72

Таблица 2 - Показатели нереализованных возможностей. Группа «в» по дисциплине «Высшая математика» семестр 3

№ Ъ УЕ 4 У2,7.

1. 0,85 1,00 0,85 0,92 0,91 0,44 0,64

2. 0,41 0,16 0,77 0,23 0,39 0,25 0,25

3. 0,41 0,52 0,52 0,46 0,48 0,25 0,35

4. 0,23 0,08 0,19 0,13 0,16 0,44 0,27

5. 0,23 0,06 0,27 0,23 0,20 0,25 0,21

6. 0,31 0,41 0,16 0,31 0,30 0,44 0,36

7. 0,41 0,27 0,58 0,58 0,46 0,69 0,56

8. 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,69 0,83

9. 0,58 0,58 0,64 0,77 0,64 1,00 0,81

10. 0,46 0,27 0,58 0,58 0,47 0,44 0,45

11. 0,13 0,10 0,08 0,27 0,15 0,69 0,36

12. 0,19 0,13 0,23 0,19 0,19 0,44 0,29

13. 0,10 0,04 0,06 0,16 0,09 0,25 0,15

14. 0,36 0,10 0,41 0,31 0,30 0,45 0,36

15. 0,27 0,19 0,23 0,36 0,26 0,44 0,34

16. 0,08 0,03 0,03 0,08 0,06, 0,25 0,13

17. 0,27 0,08 0,46 0,41 0,31 0,44 0,35

18. 0,06 0,16 0,52 0,46 0,03 1,00 0,64

Таблица 3 - Показатели нереализованных возможностей. Группа «с» по дисциплине «Высшая математика» семестр 3_

№ Ъ Ъ Ус* Узл У3,2 У3,3

1. 0,26 0,19 0,10 0,08 0,11 0,44 0,24

2. 0,77 0,08 0,77 0,52 0,54 0,69 0,58

3. 0,27 0,19 0,16 0,10 0,18 0,25 0,21

4. 0,23 0,23 0,19 0,13 0,20 0,44 0,30

5. 0,58 0,64 0,77 0,41 0,60 0,25 0,40

6. 0,01 0,06 0,01 0,00 0,02 0,69 0,22

7. 0,13 0,08 0,03 0,08 0,08 0,25 0,14

8. 0,27 0,06 0,31 0,13 0,19 0,25 0,21

9. 0,23 0,06 0,10 0,19 0,15 0,44 0,26

10. 0,03 0,01 0,03 0,23 0,08 0,69 0,28

11. 0,46 0,23 0,19 0,46 0,34 0,69 0,49

12. 0,41 0,27 0,16 0,27 0,28 0,44 0,35

13. 0,77 0,71 0,71 0,58 0,69 0,69 0,69

14. 0,41 0,46 0,58 0,31 0,44 0,11 0,24

15. 0,23 0,08 0,23 0,23 0,19 0,45 0,30

16. 0,41 0,31 0,31 0,36 0,35 0,11 0,21

17. 0,23 0,36 0,31 0,16 0,29 0,44 0,34

18. 0,13 0,13 0,36 0,13 0,19 0,44 0,29

19. 0,46 0,41 0,85 0,71 0,61 069 0,64

Математические ожидания, средние квад- ции представленного статистического материа-ратичные отклонения и коэффициенты корреля- ла сведены в таблицу 4.

Таблица 4 - Математические ожидания, средние квадратичные отклонения и коэффициенты корреляции ______

Группа шы ШЬ2 ШЬ3 5ы 8ь2 Гь

а ш1Л=0,49 Ш1,2=0,46 ш13=0,45 81,1=0,3410 81,2=0,2919 Г1=0,343

в ш2л=0,37 Ш2,2=0,46 Ш2,3=0,41 82Л=0,2535 82,2=0,2316 Г2=0,337

с Ш3,1=0,29 Ш3,2=0,44 ш33=0,45 83,1=0,2626 83,2=0,197 Г3=0,0703

11=1.2.3

Из последней таблицы следует:

1) 0,2 < (1 = 0,343 < 0,Б или между Уп и У12 связь слабая, то есть между оценками преподавателя и результатами тестирования связь слабая;

2) 0,2 < г2 = 0,337 < 0,5 или между У21 и У22 слабая связь, то есть между оценками преподавателя и результатами тестирования связь слабая;

3) 0 < г3 = 0,0703 < 0,2 или между У31 и

У32 отсутствует связь, то есть между оценками преподавателя и результатами тестирования связь отсутствует.

Проанализируем указанные зависимости связи между исследуемыми составляющими с помощью величин определителя матрицы из коэффициентов корреляции.

= 1 -т{ = 1 - (0,343) 2 =

1*11= ,

^ 0,88, 0,75 < |Ла | = 0,88 < 0,95

то есть между составляющими У^ и Уц слабая связь;

1 =1-Г2 1

2) 0,75 < |Д2|

то есть между составляющими У22 и У21 слабая

1*21 = 0,89,

■га' = 1

(0,337)2 = 0,89 < 0,95

связь;

|Д>1 =

0,99,

= 1 -гэг = 1 - (0,0703)2 = 0,99 < 1

1 'з

■гЭ 1

3) 0,95 < |Д3|

то есть между составляющими У32 и У31 связь отсутствует.

Указанное полностью согласуется с ре-а)

зультатами оценок по показателям коэффициентов корреляции, следовательно, определитель третьего порядка

также будет комплексной числовой характеристикой взаимосвязей между составляющими

У1Ь У ^ У21, У22, У31, У32.

Действительно

|Д| =

П 1

1

0,343 0,337

0,343 1

0,0703

0,337 0,0703 1

= 0,78

Согласно расчетам 0,75 < |Л| = 0,78< 0,95, то есть в целом между оценками студентов преподавателем и результатами тестирования в потоке из трех групп существует слабая связь.

Выявление характера связей между статистическими компонентами У^, i,j ,=1,2,3 целесообразно устанавливать на основе регрессионного анализа. При этом семейство эмпирических линий регрессии в настоящем исследовании принимает вид

(7д2 ,

У-¡г = тэ2 + Г1 '-.^31'

^31

■ т

зи

Их геометрическое изображение представлено на рисунке 1 (а, б, в).

б)

в)

Рисунок 1 - Геометрическое представление линий парной регрессии

Из анализа расположения линий парных регрессий следует слабая связь между компо-

нентами У^ и Уц и У22 и У21 (рисунок 1 а, б) и также практическое отсутствие связи между У32

и У31 (рисунок 1 в). системы из трех составляющих, по которым

В целом указанные линии можно рас- воспроизводится линия регрессии системы слу-сматривать как проекции линий регрессии для чайных векторов в целом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель оценки экономико-образовательных процессов по вероятностным показателям нереализованных возможностей сформированности компетенции // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2015. - № 1(33). - С. 111-117.

2. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель оценки компетентности обучаемых на основе случайного вектора п-мерного пространства нереализованных возможностей // Матер. конф. «Татищевские чтения: Актуальные проблемы науки и практики». - 2016. - Том 3. - С 255-260.

3. Зибров, П.Ф. Механизм вероятностной оценки природоохранных технологий и состояния экосистем по показателям нереализованных возможностей: сб.трудов первого международного экологического конгресса «Экология и безопасность жизнедеятельности промышленно-транспортных комплексов» БЬРГГ. - Тольятти, 2007.

4. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель обобщенной оценки функционирования параметрических объектов по показателям нереализованных возможностей // Вестник Волжского университета им. В.Н. Татищева. - 2016. - № 3 (35). - С. 98-105.

5. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Вероятностная оценка взаимного влияния компонентов систем компетенций в образовательном процессе // Матер. конф. «Татищевские чтения: Актуальные проблемы социально-экономического развития». - 2016. - Том 4. - С. 204-209.

6. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Обобщенные вероятностные показатели нереализованных возможностей многопараметрических систем // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2016. - № 3, Том 2. - С. 32-38.

7. Официальный сайт ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет физической культуры, спорта и туризма». Лекция на тему «Корреляционный анализ». [Электронный ресурс]. -Режим доступа: //www.kgafk.ru.2006. 8 с.