CC BY
25
УДК: 303.02 ББК: 60.506
Зибров П.Ф., Зиброва О.Г.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ЭКОНОМИКО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ВЕРОЯТНОСТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ НЕРЕАЛИЗОВАННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ
Zibrov P.F., Zibrova O.G.
MATHEMATICAL MODEL OF AN ESTIMATION OF THE ECONOMIC-EDUCATIONAL PROCESSES PROBABILISTIC INDICATORS OF UNREALIZED POSSIBILITIES OF FORMATION OF COMPETENCE
Ключевые слова: компетенция, компетентность, многомерное нормальное распределение, показатели нереализованных возможностей.
Keywords: competence, competency, multivariate normal distribution, the performance of unrealized possibilities.
Аннотация: в основу современных экономико-образовательных систем положено внедрение компетентностно-ориентированного обучения в вузе. Оценка компетентности студентов в вузе является важнейшей характеристикой экономической эффективности подготовки конкурентоспособных специалистов.
Abstract: the basis of modern economic and educational systems emphasize the implementation of competence-oriented education. Assessment of competence of students is an essential characteristic of economic efficiency in the training of competitive specialists.
Компетенция - это предметная область, в которой индивид хорошо осведомлен и в которой он проявляет готовность к выполнению профессиональной деятельности. Компетентность - это ситуативная категория, так как она выражается в готовности к осуществлению деятельности в конкретных профессиональных ситуациях. Компетентность - интегральная характеристика личности, распадающаяся на спектр отдельных компетентностей, включает в себя когнитивные, мотивационно-ценностные, эмоционально-волевые компоненты [1] .
Показатели или факторы компетенции оцениваются по шести признакам: знание, понимание, применение, анализ, синтез и оценка.
ФГОС ВО (уровень бакалавриата) выделяет компетенции: общекультурные (ОК), общепрофессиональные (ОПК), профессиональные (ПК) и профессионально-прикладные (ППК).
Для указанного набора компетенций будем рассматривать вектор компетентно-
сти Х=(Х1,Х2,Х3,Х4) четырехмерного пространства. Каждая его компонента включает шесть оценочных значений, обусловленных набором многомерных статистических данных, по результатам опроса и тестирования специалистов конкретной предметной области. При этом статистический материал подлежит систематизации и обработке с целью выявления характера и структуры взаимосвязей между компонентами вектора Х=(Х1,Х2,Х3, Х4). Эти задачи решаются методами многомерного статистического анализа.
Многомерные статистические методы позволяют обоснованно выбрать математическую модель, которая наилучшим образом соответствует исходным статистическим данным, характеризующим реальное поведение исследуемой совокупности входящих в экономико-образовательную систему, оценить надежность и точность выводов, сделанных на основании ограниченного статистического материала.
Оценка изменения динамического состояния исследуемого объекта наиболее
эффективна при использовании вероятностных математических моделей и статистических методик. Возникающие возмущения в системе оказывают случайные воздействия на результаты образовательного процесса и оцениваются как дискретными, так и непрерывными параметрами, имеющими статистическую природу. Они определяются математическим ожиданием, дисперсией, среднеквадратичным отклонением и взаимной корреляцией. Статистическое математическое ожидание характеризует средневзвешенное состояние изучаемого объекта, а дисперсия - рассеивание или разброс отклонений количественных значений параметров от математического ожидания, корреляционные моменты устанавливают оценку взаимного влияния статистических показателей. В разрабатываемой математической модели используется второй вариационный момент, вычисляемый относительно нормативных значений контролируемых параметров, то есть оценивается состояние объекта относительно требуемого оптимума. Подобный подход приводит к количественным характеристикам отклонения экономико-образовательной системы от заранее обусловленного и принятого за эталонное.
Процедура расчета предполагает сбор информации о наличии или отсутствии выбранного характерного признака, а также его сравнение с имеющимся эталоном, согласно выбранных критериев. Получение количественных показателей при этом осуществляется по двум направлениям:
- математическое моделирование процессов и явлений на основе существующих, известных математических образов и отношений между ними, не противоречащих результатам опыта;
- познание и описание математических закономерностей на основе количественно-прогностических отношений.
Первое влияет на эффективность хозяйственной и экономической деятельности, второе позволяет совершенствовать и оптимизировать принципы переработки информации о количественных оценках состояния явлений и процессов.
Успешность решения подобных задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего
способа использования ресурсов и их воздействия на хозяйственную деятельность, обуславливая распределение и взаимную увязку имеющихся ресурсов, представляющих оборудование, деньги, рабочую силу, электроресурсы, и другие факторы. Оптимальность их влияния определяется естественными ограничениями на потребление ресурсов. Таким образом, при математическом моделировании экономических процессов необходимо выполнять следующие действия:
- смоделировать механизм оценки эффективности используемых технологий, сформулировать цель решения поставленных задач методами теории вероятностей и математической статистики;
- разработать критерии и количественные оценки, определить составляющие достижения поставленной цели;
- выбрать приоритетные численные показатели оценок;
- построить вероятностно-статистическую математическую модель исследуемого процесса, устанавливающую функциональные зависимости между показателями и результатами;
- осуществить исследование анализируемого объекта с помощью математической модели соответствующим методом;
- проверить соответствие полученных результатов реально существующим показателям;
- использовать полученную модель в планировании и прогностических расчетах.
Следовательно, для повышения эффективности управленческих мероприятий, на основе количественных оценок состояния, экономико-образовательной системы требуется адаптация математического инструментария к указанному классу задач, в которых оперируют множествами непрерывных и дискретных случайных величин (Х1,Х2,.....,Хп).
Числовыми характеристиками для указанной системы являются:
п математических ожиданий
т
х2 ' ' хп ■ 1
п дисперсий П • (п - 1)
Ох , А. ®х
корреляционных момен-
к„ 1Ф / = 1,2,...,и
tob у, где J .
Корреляционные моменты характеризуют попарную корреляцию всех величин, входящих в систему и имеют вид:
К1}=М
о о xixJ
хг =Х.
-т,
Xj=XJ
Следует отметить, что дисперсия каж-
X
дои из случайных величин 1 есть частный случай корреляционного момента случайной величины Х1 на саму себя. Действительно:
о
D, = K,, = M
X 2
= M
о о
X, X.
Все корреляционные моменты и дисперсии представляют в виде корреляционной матрицы.
K =
K11 K12
К к
K 21 K 22
K
2n
\Knl Kn2
к =K...
K
nn
где
Вместо этой матрицы используют так же и нормированную матрицу из коэффициентов корреляции.
r '11 r 12 .. r 1n
r 21 r. 22 .. r 2n
r ,
\ n1 n 2
nn J
К
г = ——
ч
о а
где 1 1 , причем
ности вероятности, который задается соотношением:
fX1 , Х2 У> Xn^
--^ n n
„ 2 i= 1 j=1
Сл- J
,(1)
C
здесь 1 1 - определитель матрицы С,
С =
матрица, обратная корреляци-
K
оннои матрице
К
ж , Мч
Элементы матрицы
K
|K| -
где 1 1 - определитель корреляционной
М,
матрицы, а J - миноры этого определи-1
теля, причем
|с|=й
Из выражения (1) в качестве примера можно получить закон нормального распределения плотности случайных величин при
— 9 Ф[ Г"
п ~ ^, то есть на плоскости для ^ '
Корреляционная матрица при этом принимает вид
К =
г а2
aar
х у ху
.aar
\ х у ху
а
У /
Отсюда
1*1=
а er t
л; у ~
г
ху >
2 2 ä 2 er er f - г
r v ^ ет;
С =
2 ä 2 а у-г
X ^ ху
а er С г
X у ~ ху
r
xy
, (J <J
\ X у ^
<т2<-
V ~
xy J
Г, = = ... = Г = 1.
1122 nn
Если система непрерывных случайных
Ф[ X X величин 2'"'' п - характеризует не-
которую систему в п-мерном пространстве показателей, то она может быть описана нормальным законом распределения плот-
Подстановкой элементов определителя матрицы в (5), получают выражение для нормального закона на плоскости.
fx, у]
1
_ 1
(2)
о
о
С
У
1
2
1
r
xy
1
2
2
r
xy
e
r
xy
Из соотношения (2) следует, что нормальный закон на плоскости зависит от пяти параметров, имеющих следующий вероятностный смысл:
тх,ту
математические ожида-
ния;
С7 ,<7
_ X ' у
средние квадратичные от-
клонения; г
— — коэффициент корреляции величин X и Y.
г - К-
Коэффициент корреляции обращается в ноль для независимых случайных вели-
г
чин. Если коэффициент ху не равен нулю, то случайные величины являются некоррелированными.
Гп,
Если , то случайные величины
(Х,У) зависимы, и условные законы распределения плотности вероятности обозначают
/4>/лГ /Ч/у"
как ^ -и-7^
Указанные условные плотности вероятности нормального закона характеризуются с центрами рассеивания
<т
т
у / X
™х/у = ™х+Гху
<Т„
<У„
менты являются математическими ожиданиями величин X и У системы, то есть :м(г17°_=м ^
тх = а10
ту=а 01 =
м\:°г1 =м\'_
Совокупность математических ожида-
- т ту ний х и у представляет характеристику
положения системы. Геометрически это координаты точки на плоскости, вокруг которой рассеяны значения системы (Х, У). Два вторых центральных момента системы представляют дисперсии величин Х и У
0 0 0
М2,о=М X2 7° II X2
в X
Они характеризуют рассеивание слу-
„ О , О
чайных точек в направлении осей х у .
Второй смешанный центральный момент имеет специальное обозначение
0 0 0
Мол=М х°г2 II 72
и =К =М
/ 1 1 XV
0 0 ХГ
-т 4-т
х ^ У .
и представляет корреляцию между случайными величинами Х, У.
Для дискретных и непрерывных случайных величин корреляционный момент имеет вид
К =УУ] ^ -т ^ У-т -р.. ,
ху —' ^ I х ^ ^ 1 у г 11 7
и средними квадратичными отклонеНИЯМИ
=
Л
°~х/у = °~х
г<
В [2,3] подробно изложен механизм вероятностной оценки распределения дискретных величин по показателям нереализованных возможностей для одномерного случая.
Когда имеет место система двух случайных величин, то первые начальные мо-
Куу = ту^/Х у^у.
Он наряду с рассеиванием величин Х и У характеризует связь между ними, а для независимых случайных величин равен ну-
К =0.
лю, то есть ^
К
Если ^ , то между случайными величинами есть вероятностная зависимость.
При расчетах характеристик нереали-зованности оптимальных показателей состояния исследуемых систем используется
X
величина §
X
где к - случайная величина, к -регламентированное значение оптимального
состояния системы, ^ -1,2,...,п
Для дискретных и непрерывных случайных величин начальный момент первого
8 и
порядка показателя к принимает вид
а
^ Ё ^гк ^к Р/к
1
а1 $кУ
Второй вариационный момент, характеризующий разброс значений статистических параметров относительно к
^Ргк
¿=1
К 3= К*у К У ЕЁ < -7 1', -Ъ
>1
/'и
Здесь ^ ' " -
функция распределения плотности вероятности системы непрерывных случайных величин.
После перехода от системы непрерыв-
X ,У
к си-
ных двух случайных величин
4,8 "
стеме х для которой справедлив нормальный закон распределения на плоскости, можно рассчитать вероятность оптимального функционирования системы в заданной
области Б изменения параметров
=—1
х у у х у
В
№
2<-
2г12 ^г -«10 ^ -«02 > -«021
м2
. а\ 20 . ^г . 12 сг^г
А1
где:
Здесь - вероятность
Р ФС — X Г С
4 ¡к^ у ¡к ^ ¿к*^ _ распределение
плотности вероятности случайной величины
X,
В системах двух случайных величин с показателями оптимальности
х у указанные характеристики имеют вид
«г,
а,
Ы >1 ,
О ]<"- г, ^ «20 3= )('- гу }2О
я
;=1 у-1
1=1 м
Конечный количественный результат определяется заданной областью D, в которой изменяются составляющие системы
Ъ ,8
~ X ' у ^
Например, для прямоугольной области D со сторонами, параллельными координатным осям и нормальном законе распределе-
Ъ ,8 "
X > V
ния системы
Р#ХА СД =
- »г.
их вероятность
р <>,
V
V ^х^У
- »г,
V
-Ф
V
где
а < 8Х < /3 у <8у<у
Аналогично, вероятность попадания
значении системы х у - в эллипс рассеивания В^ отношение полуосей которого
2
1^2
12
В
П П
А
1 = 1-^=0,393, = 2
1
о ^ у ^ ^ - при
' "•равна ,, >0,865.
М- ^
Р Чйх'ду 51 ^ 1 ~е 2 Таким образом, полученные соотно-
шения позволяют на практике рассчитывать
, _ 1 вероятностные количественные характери-
Если ' -1, эллипс рассеивания выраж- стики оценки приближения исследуемой
дается в круг и случайные величины §х,5у системы к оптимальному состоянию. не коррелированны
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зибров, П.Ф., Кузнецова, О.А. Математическая модель интервальной оценки компетентности как двумерного вектора распределения по статистическим данным / Сборник материалов методического семинара. Часть 1. Сборник подготовлен при грантовой поддержке РФФИ проект №14-06-20557. - Тольятти, 18-19 декабря 2014 г.
2. Зибров, П.Ф. Механизм вероятностной оценки природоохранных технологий и состояния экосистем по показателям нереализованных возможностей / Сб. трудов первого международного экологического конгресса «Экология и безопасность жизнедеятельности промышленно-транспортных комплексов» ELPIT. - Тольятти, 2007.
3. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г., Зибров, А.П. Моделирование объектов и процессов формирования систем управления промышленным предприятием / Материалы IX Международной научно-практической конференции «Татищевские чтения: актуальные проблемы науки и практики». - Тольятти, 2012.
4. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Концепция формирования экономического образа мышления студентов ВУЗов. - Тольятти: ТГУ, 2003. - 138 с.
5. Зибров, П.Ф. Вероятностный подход к оценке характеристик состояние экосистем по показателям нереализованных возможностей // Известия Самарского научного центра РАН. - Том 16. - № 1(6). - 2014. - С. 1756-1761.
