МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Математика. Прикладная математика

УДК 519.857

Сельвинский Владимир Владимирович

Амурский государственный университет Г. Благовещенск, Россия E-mail: selvinvv@mail.ru Selvinsky Vladimir Vladimirovich Amur State University Blagoveshchensk, Russia E-mail: selvinvv@mail.ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ MATHEMATICAL MODEL OF ENTERPRISE COMPETITIVENESS

Аннотация. В статье формируется математическая модель деятельности предприятия с учетом основных факторов, определяющих специфику процесса: начальный капитал (оборудование, кадры), наличие ресурсов (сырья) и условий для реализации продукции (уровень спроса). На основе математического пакета MathCad проводится исследование результатов деятельности предприятия при различных вариантах условий производства.

Abstract. In this article, a mathematical model of the enterprise's activity is formed taking into account the main factors that determine the specifics of the process: initial capital (equipment, personnel), the availability of resources (raw materials) and conditions for the sale of products (level of demand). On the basis of MathCad mathematical package, research is carried out on the results of the enterprise's activities under various production conditions.

Ключевые слова: математическая модель, дифференциальные уравнения, конкурентоспособность, прибыль предприятия.

Key words: mathematical model, differential equations, competitive ability, profit of the enterprise.

DOI: 10.22250/20730268_2022_99_3

С точки зрения конкурентоспособности простейшая модель функционирования предприятия должна включать в себя характер получения прибыли, что означает превышение доходов над расходами. Доходная часть образуется за счет наличия начального капитала (оборудование, кадры), ресурсов (сырье) и условий для реализации продукции.

Расходная часть включает в себя: зарплату кадрового состава, расходы на амортизацию оборудования, увеличение начального капитала с целью расширения производства, закупку сырья, хранение или уничтожение возможных излишков продукции. Конечно, на прибыль предприятия влияют возможные ограничения на спрос продукции со стороны заказчика (населения) и объем ресурсов, необходимых для обеспечения данного уровня производства: [1].

С целью математического описания указанной модели производства используем следующие обозначения: - прибыль предприятия (руб.) после реализации продукции объемом Л'7 (ед. товара), изготовленной за время (ед.врем.); ff - цена (стоимость) продажи единицы объема (руб/едловара); j - затраты на производство единицы объема (себестоимость) (руб/едловара) за время Лt.

Прибыль предприятия равна разности его общих доходов и общих затрат на организацию производства:

Общие расходы на производство товара за время &:

где расходы на зарплату за время естественно считать, что они пропорциональны стоимости всего рабочего оборудования (основные фонды, рубли) - общий объем средств, затраченных на приобретение оборудования (чем больше оборудования, тем больше нужно обслуживающего персонала), т.е.

где р - коэффициент пропорциональности (1/ед.врем.); Дх"- расходы на увеличение кадрового состава за время & естественно считать пропорциональными расходам Лк'4 на расширение производства (новое оборудование):

где - коэффициент пропорциональности, который можно ассоциировать с уровнем квалифицированности кадров (б/разм); - расходы на амортизацию оборудования (ремонт, отладка) за время , обязательные расходы естественно считать пропорциональными стоимости всего рабочего оборудования х'4, т.е.

где у - коэффициент пропорциональности (1/ед.врем.);

- дополнительные расходы на оборудование за время

Обозначим Лй - требуемое количество сырья за время & для изготовления продукции объемом , тогда:

где с?з - коэффициент ресурсоемкости (ед.товара/ ед.ресурса = б/разм). Далее: - расходы на закупку сырья (ресурсов) за время

где а3 - стоимость единицы сырья (руб/ед.ресурс.); т - интенсивность использования сырья (ед.ресурса /время), ^ т*\ г' - ограничение на наличие ресурса.

Исходим из того, что расходы на расширение производства и увеличение кадрового состава имеют смысл до тех пор, пока есть неудовлетворенный спрос на продукцию и не исчерпаны поставки ресурсов, причем прирост этих расходов не может превышать прироста общих доходов Указанные особенности можно учесть следующей зависимостью:

где ш = тш{с, 5Э г*]: с - интенсивность спроса товара (ед.товара/время); р - интенсивность предложения товара (руб/время), т.е. возможный доход предприятия (в единицу времени) при условии наличия спроса и обеспеченности ресурсами; - коэффициент эффективности вложения дополнительных средств (б/разм);

Доходы от реализации товара за время & (р'" = а-£3г*).

или короче:

а • ЛУ = тш{р, а ■ с,р*} ■ №.

(10)

Общие расходы на производство товара за время

тогда

Таким образом, расходы на производство а0А1/ состоят из расходов на амортизацию оборудования и обеспечение жизнедеятельности кадрового состава {$ + у)' х'1 - М, расходы на приобретение ресурсов а3г- Лt, возможные расходы на расширение производства (1+ Сюда следует добавить расходы на хранение избытка продукции в случае перепроизводства (р > сс • с), Л(р — а • с) - Л:, где Л - коэффициент потерь (б/разм).

Обобщая все замечания и предположения, сформируем величину общих расходов за время следующим образом (р* = и ■ ¿¡Зт*). 1) если р < сс • с < р*, то

Р

сс0ЛУ = (0 +у) • х? • Ж + (1--—) Ах + а3т ■ Ж;

\ сс - с'

2) если сс ■ с < р < р*, то

а0АУ = (¡3 + г) ■ ■ Лг + А(р - сс ■ с) ■ + а3гМ;

3) если сс ■ с < р* < р (*£ > хГ), то

сс0АУ = + ■ х" ■ М + Л(р * -сс ■ с) ■ + а3г*М;

4) если р < р* < сс ■ с, то

а0А¥ = (Д +у) ■ х\ -М. + - + а3гМ;

5) если р* <р <сс - с пли р* < сс ■ с < р (х"2 > х'п*), то

сс0АУ = + г) ■ х"^ ■ АХ + а3г*Лг. Будем считать, что величина дохода при условии полной реализации продукции р представляет собой уровень организации производства на предприятии и в конечном счете зависит от стоимости всего рабочего оборудования

- функция дохода предприятия, где - коэффициент эффективности вложения средств в оборудование (1/ед.врем.);

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Рис. 1. Функция дохода.

^ - коэффициент эффективности вложения дополнительных и стимулирующих средств в кадровое

обеспечение (1/руб /ед.врем.); для однозначности уточним

(19)

Критическое значение для х^.

соответствует критическому значению р*, максимально возможному из-за ограниченности ресурсов. Переходя от дискретного времени к непрерывному при ~1► О, с учетом р = с? ■ й3?\ получаем из (1):

где 1/3 - коэффициент ценовой ресурсоемкое™ (ед.ресурса/ед.товара = б/разм):

Предельный переход в равенстве (9) при ^ -э> 0 приводит к уравнению:

Имеем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно двух основных переменных: х - общий объем прибыли, X" - общий объем основных фондов. При этом естественно считать, что в процессе производства, если когда-либо х'п превосходит свое критическое значение х2 разность х2 ~ х2 ' переводится в прибыль.

Приводя систему дифференциальных уравнений к нормальному виду, в математической модели производства можно выделить два основных случая с некоторыми разветвлениями:

1. от ■ с < р* (реальная обеспеченность ресурсами позволяет удовлетворить спрос при соответствующем уровне организации производства)

ч

йх (1- +

" V а - с)

йх"

ах-, о? / Р \ йх

= -—V 1--—; р<сс-с<р*

й 1 + 5-Л а -с' <И и

(данный уровень производства не удовлетворяет в полном объеме спрос и при наличии реальной прибыли допускает расширение производства);

йх

б) ^ = а ■ с - уэр - (р + у) ■ х" - Л(р - а ■ с)-, аТ

(25)

йх"

0-1 / I) \ йх = —-=-(1-^— —; а с<р<р* 1 + Й-Л а - с/ Л

± -г и^

(уровень производства превышает спрос, возникают излишки продукции, требуется частичная консервация оборудования и уменьшение кадрового состава);

Лх

в) — = а • с — v■íp* — (/? + у) • — Я(р* — а ■ с); а1

dx"

3,

/ р * \ dx

1--— ; в-с<р* <р

\ a-c/dt И к

dt 1 + V

(формальное превышение уровня производства над уровнем обеспеченности ресурсами, реальный уровень производства не превышает р *).

2. р''] < от ■ с (высокий спрос при сравнительно малой обеспеченности ресурсами)

(27)

(уровень обеспеченности ресурсами допускает расширение производства);

dx

б) — = (l-VaV-Ci+y) xl; fir

(2В)

(формальное превышение уровня производства над уровнем обеспеченности ресурсами, реальный уровень производства не превышает р *).

На рис. 2 представлены результаты численного интегрирования дифференциальных уравнений математической модели конкурентоспособности предприятия. На графиках показаны темпы роста общей прибыли х (/)х\) и динамика изменения стоимости х'[ (ху) основных фондов при различных уровнях обеспеченности ресурсами р* и спроса с на реализуемую продукцию. Набор значений параметров для численного эксперимента:

а) 1:0

12:

Dks 100

b

xv

:0

25

0

/

/

/

Г

5) 150

12:

DSS 100

,':

xv

50

2:

0

О 20

SO 100

О 20

40 60 t

40 60 [

Рис. 2. Графики темпов роста общей прибыли и изменения стоимости основных фондов: а) р'' = 500; с = 750; б) р* = 750; с = 400.

30 100

Характерной особенностью деятельности предприятия в отсутствии конкуренции является стабилизация темпов роста общей прибыли и стоимости основных фондов в окрестности значений, соответствующих критическим значениям на объем ресурсов или на уровень спроса на продукцию.

Анализ представленных графиков, а также многих других результатов численных экспериментов показывает, что конкурентоспособность предприятия определяется его способностью заполнить рынок своей продукцией при конкретных ограничениях на объем ресурсов и на уровень спроса на продукцию.

1. Лебедев, В.В. Математическое и компьютерное моделирование в экономике / В.В. Лебедев, К.В. Лебедев. - М.: НВТ-Дизайн, 2015. - 256 с.