CC BY
32
УДК 621.983; 539.374
B.Д. Кухарь, д-р техн. наук, проф., проректор, (4872) 35-14-82, [email protected],
C.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, [email protected], А.В. Бессмертный, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ЛИСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Приведена математическая модель изотермического деформирования трехслойных листовых конструкций из анизотропных материалов в режиме кратковременной ползучести.
Ключевые слова: анизотропия, математическая модель, трапециевидный элемент, кратковременная ползучесть, напряжение, деформация, разрушение, давление, формоизменение, пневмоформовка.
Многослойные листовые конструкции из титановых, алюминиевых сплавов и стали перспективны для изготовления силовых корпусных изделий высокой удельной прочности. Они обеспечивают резкое снижение массы, меньшую трудоемкость изготовления, повышение надежности по сравнению с паяными или клепаными. Технология изготовления трехслойных листовых конструкций основана на процессах газоформообразования листов в среде инертного газа или в вакууме, предварительно соединенных сваркой плавлением или диффузионной сваркой давлением [1-3].
В зависимости от геометрических размеров трехслойных листовых конструкций существует несколько методов их штамповки. Один из них предусматривает трапециевидное гофрирование листа на прессе, диффузионную сварку давлением с последующей калибровкой пакета газом. Другие трехслойные листовые конструкции формируются за счет перемещения (раздвижения) одного из листов (обшивок), к которому в определенных местах присоединен неподвижно внутренний лист (заполнитель). При перемещении одной из обшивок заполнитель растягивается, и образуются полости, форма которых близка к трапециевидной. Процесс реализуют путем создания давления газа, подаваемого между обшивками.
Рассмотрим операцию газостатической штамповки элемента конструкции в виде трапеции под действием равномерного давления газа, изменяющегося в процессе деформирования по закону p = p0 + üptnp , где p0, a p ,np - константы нагружения при повышенной температуре в условиях медленного деформирования (рис. 1).
Принимаем, что деформирование осуществляется в условиях кратковременной ползучести; упругими деформациями пренебрегаем. Допускается справедливость ассоциированного закона течения в режиме кратковременной ползучести.
Материал заготовки принимается ортотропным с главными осями анизотропии х,у и г.
Анизотропия механических свойств заготовки характеризуется величинами коэффициентов анизотропии (яХР, Яyp) при вязкопластическом течении материала.
Предполагается, что материал изотропно упрочняется при вязкопластическом течении от степени деформации и скорости деформации, а при вязком деформировании - от скорости деформации.
Рис. 1. Схема деформирования элемента конструкции
в виде трапеции
Поскольку длина элемента конструкции в виде трапеции значительно превосходит его геометрические размеры в плоскости чертежа, считаем, что реализуется случай плоской деформации, и, следовательно, скорость осевой деформации в направлении главной оси анизотропии х равна нулю: X = 0. Принимаем, что напряженное и деформированное состояния однородны, а напряжения равномерно распределены по толщине элемента конструкции [3].
Напряжение о г, нормальное к толщине заготовки, для тонкой пластины принимается равным нулю: о г = 0, т.е. предполагается, что реализуется также плоское напряженное состояние.
Величина растягивающего напряжения оу может быть определена
из условия равновесия элемента трапециевидной конструкции:
Л + г2 /14
о у = т—-Р, (1)
«хоб а
где а - текущее значение угла конуса полости.
Осевое напряжение о х находится из условия равенства нулю скорости деформации в этом направлении X = 0:
Л- — х _ _ ^х -1 ' -2 „ /оч
Ох 1 . Г> О у 1 , г> / Р . (-)
1 + Ях 1 + Ях «хоб а
В соответствии с принятой моделью деформирования анизотропного материала эквивалентное напряжение ое может быть оценено по выражению
Ое = АОу = Д Р, (3)
«хоб а
а эквивалентная скорость деформации - по равенству
Хе = С]Х у, (4)
где Д и С1 - константы, которые вычисляются соответственно по выра-
жениям:
3Rx (Ry + (1 + Rx )2 + RyRx )
2( Rx + RxRy + Ry )
2 , n n (Л , n \2 , n2n2-,1/2
Ci = p(Rx+RxRy+Ry) [ RxR.2 + RxRy (1 + Rx )2 + R2 ]1/2 /
/[V3R*Rj/2( Rx + Ry +1)].
Следует отметить, что Д • C1 = 1.
Толщину заготовки h, деформацию по толщине заготовки ez при
штамповке и калибровке в дальнейшем будем определять соответственно
h = h0sin a; e z = ln(sin a); (5)
h = ho sin a/sin ao ; ez = ln(sin a/sin a), (6)
а деформации в направлениях осей анизотропии x и y - из условия не-
сжимаемости:
ey = —ez ; ex = 0,
где ao - начальное значение угла конуса полости трапециевидного элемента при его калибровке.
Компоненты скоростей деформации с учетом выражений (5) и (6) могут быть вычислены по формулам
- d e y da г d e z da
X =—- = -ctga—; X = —^ = ctga—. (7)
sy dt S dt Sz dt S dt W
405
Учитывая приведенные выше соотношения (7), выражение для определения эквивалентной скорости деформации может быть переписано в следующем виде:
Хе = -С1с^аМа . (8)
М
Высота трехслойной листовой конструкции Н и скорость перемещения верхней обшивки ¥в в процессе пневмоформовки и калибровки находятся соответственно по формулам
Н = (г -г-) с^а+3«0; V = (Л - г2 )Ху с*8а.
В случае, когда ое > ое0, имеет место вязкопластическое (ползучепластическое) течение материала, уравнение состояния которого по энергетической теории нелинейного вязкопластического течения и разрушения имеет вид [3]
е
ср
а
\ Єео У
к
і -“СР
АСР
Апр
(9)
V 5е0 у
а по кинетической теории нелинейного вязкопластического течения и разрушения
у
ае
ае0
е
СР
а
е е0
хер
х ео
к
(1 -юЄР)
со,
СР
ХеСР
е
СР е пр
(10)
где М, к, г - константы материала.
Заметим, что величину напряжения ое0, разделяющего вязкое и вязкопластическое течения, назначаем в зависимости от механических свойств материала при заданной температуре деформирования, чувствительности материала к деформационному упрочнению при соответствующей скорости деформации Хе0 [3].
Предельная величина эквивалентной деформации при вязкопластическом течении имеет следующее выражение:
еСпР = С ЄХР
у Л
„ а
А1 —
V
а
х(^о + ^СОБ а + О^СОБ Ь + (зСОБ Ь), (11)
е У
а предельная величина удельной работы разрушения определяется так:
апрр=С' єхр
V
а
х (а0 + ( СОБа + СОБЬ + а3 собу). (12)
еУ
Здесь С, ^1, «0, «1, а-, «3, ¿0,¿1, Ь-, ¿3 и С', Л{, а0, а{, а-, а3,
¿0, ¿1, Ь—, ¿3 - константы материала, которые определяются из опытов на растяжение образцов в условиях плоского напряженного состояния.
Допустим, что формоизменение оболочки определяется давлением р(?). Подставим в первое из уравнений состояния материала (9) входящие
г
величины ое ,ХеР и е^Р = |Хе М., получим для случая штамповки трапе-
0
циевидного элемента трехслойной листовой конструкции
p1 kdt-
о1^ [- Q ln(sin a)] dkCictgah1 k
o
x
feo)dk Xeo Dik (r + Г2 ) x(sin a cos a)1 k (l - wcJ )^kda
(13)
и для случая калибровки
о
p1 kdt ■■
_1/ k
eO
- Q ln
í ■ \ sin a
sin a o
d/kQctgah Ok
(eeO )dk Xe0D1 k(r1 + r2 )1 k (sin aO )1 k x (sin a cos a)1 k (1 - wcJ )^kda.
x
(14)
Величина повреждаемости может быть определена следующим образом:
при штамповке
d«AP _ Q Д (r + Г2 )pctga da A^ho sin2 a dt
при калибровке
dt
d«AP _ Q Д (r + Г2 )psinao da
dt Acph^ sin2 a dt
(15)
(16)
A^hosin a
Решение системы уравнений (13) и (14) или (15) и (16) определяет значения p и w>cJ, а также величину времени разрушения заготовки t*, когда wp _ 1.
Рассмотрим случай, когда скорость деформации постоянна:
xcp _xep.
Выражение для нахождения давления p в этом случае может быть
записано следующим образом: для штамповки
oeo [- Qln(sin a)] dho sin a cos a(1 - a>A )r f Xe1
p_ )d„ (.......) xeo
(eeo) Di (r1 + r2)
\k
(17)
eo
t
для калибровки
о
е0
í • \ sin a
sin ao
d
ho sin a cos a
1 -<D?
P = --- d
(ee0) D (ri + r2 )sin a0
Повреждаемость оценивается так: при штамповке
wcp =_CiDi(ri + r2)a pda
A A-Лр ¿o p sin2 a
2
при калибровке
QDi (ri + Г2) sin ao a pda
xe1 V Xe0 у
(18)
(19)
w
CP
Anph0
Í
a0
• 2
sin a
(20)
Система уравнений (17) и (19) или (18) и (20) решается методом
итераций и определяется как p = p(a) и = wcJ (a).
Зависимость a от времени находится из следующих условий: для случая штамповки
a = arcsin e~Xelt / C; (21)
для случая калибровки
a = arcsin[sin(ao) e~Xe]t / C1]. (22)
Рассмотрим формоизменение трапециевидного элемента многослойной листовой конструкции постоянной величиной давления: p = const.
В этом случае повреждаемость будет определяться согласно соотношению (9):
при штамповке
,cp = C1D1 (r1 + r2 )p
wA =
Anph0
ctga;
при калибровке
wA = (-\Di(n + r2)sina0p (ctga0 - ctga).
VpA
oe
V e У
Anph0
В выражениях (23) и (24) принято, что ^Пр = const; = xecpmin =a
op,xep
se Xe0
(23)
(24)
const;
r
Угол раствора дуги средней линии в момент разрушения а* вычисляется из выражений (23) и (24) при юсА = 1 при штамповке и калибровке соответственно следующим образом:
a* = arcctg
АПр^0
QA(ri + r2) P
(25)
и
a* = arcctg
АПр^0
QDi(ri + r2)sin ao p
+ ctgao
(26)
Величина безразмерного времени разрушения может быть определена:
при штамповке трапециевидных элементов по формуле
a* í \ t* = _ í (i _ WA) (sin a)/k (cosa)iZk x
p/2
x ctga [_ ln (sin a)] d!kda, (27)
iked/k'сСРтл!k(„ , „ )i/k
где “ P
t = pVked0kxeoDik(ri+>2/ t.
l* Л,7, l*.
d+k
Vkr k ¿Vk
o
при калибровке по формуле
a* í \
- í (i _ «AP) (sin a)/k (cosa)iZk x
ao
x ctga
ln
/ • \ sin a
sin ao
d / k
da.
(28)
где
pV k (£eo)d,k Xeo Dik (ri + r2 )i k (sin ao ^k
1 . 1 t* .
o
Если механические свойства материала удовлетворяются кинетической теории вязкопластического течения и разрушения, то повреждаемость находится из уравнения (10): при штамповке
СР
C a C
— í ctgada =---------i—ln(sin a),
ecp
^пр p /2
e
cp
^пр
(29)
t
*
t
*
при калибровке
СР
C
a
еСР
^епр a0
J ctgada ■
Ci
?cp
епр
ln
Ґ ■ \ sin a
sin a о
(30)
Здесь принято, что 8g др = const, т.к.
АосрЛ
se
V е У
t xcp xcpnn i
const и = —-------------= i .
Xe0 Xe0
Предельный угол а* вычисляется из условия, что ЮР = 1, следующим образом:
-еер / С
, С-п^
a* = arcsin е
и
a* = arcsin
sin age
-ecP / Cl
ьпр ' '“'i
(3i)
(32)
в случаях штамповки и калибровки трапециевидных элементов многослойных листовых конструкций.
Анализ соотношений (31) и (32) показывает, что предельные возможности пневмоформовки не зависят от времени деформирования.
Закон изменения давления р(.) можно установить из выражения
(13) или (14), если подставить значения ЮР, которые вычисляются по формулам (29) или (30) в случаях штамповки или калибровки трапециевидных элементов.
В том случае, когда ХеР = Хер, при штамповке или калибровке величина давления р(а) определяется по выражениям (17) или (18) с учетом соотношений (29) или (30).
Зависимости изменения угла а от времени деформирования находятся следующим образом:
для штамповки
и для калибровки
a = arcsin е
-xcpt/Ci
a = arcsin
sin age
xcpt/Ci
(33)
(34)
Пусть p = const. В этом случае величина повреждаемости оценивается по формулам (29) или (30), а безразмерное время разрушения оболочки t* находится по формулам (27) или (28) с заменой wcJ на wcp.
Оценена погрешность результатов расчетов предельного времени разрушения t*, вычисленного в предположении протекания процесса формоизменения в условиях вязкого и вязкопластического течения материала.
410
Отдельные результаты расчета зависимости времени разрушения от параметра закона нагружения ар для титанового сплава ВТ6С, поведение которого описывается кинетической теорией ползучести и повреждаемости при температуре деформирования 930 ° С, представлены на рис. 2, где кривая 1 соответствует изменению величины и при реальных условиях протекания технологического процесса, а кривая 2 - изменению величины , определенного в предположении вязкого течения материала.
Рис. 2. Зависимости изменения ¿* от ар для титанового сплава ВТ6С (Пр = 0,4)
Анализ графических зависимостей и результатов расчетов показывает, что с ростом параметров нагружения ар и Пр величины и,, вычисленные в предположении вязкого и вязкопластического течения материала, уменьшаются. Установлено, что в отдельных случаях неучет реальных особенностей формоизменения (вязкое или вязкопластическое течение материала) может привести к погрешности определения времени разрушения и угла конуса полости трапециевидного элемента до 40 %.
Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Список литературы
1. Ковка и штамповка: справочник в 4 т. Т. 4. Листовая штамповка / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2010. 717 с.
2. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.
3. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
V. Kuhar, S. Larin, A. Bessmertny
THE MATHEMATICAL MODEL OF THE ISOTHERMAL DEFORMING OF TRILAMINAR SHEET CONSTRUCTIONS FROM THE ANISOTROPIC MATERIAL IN THE MODE OF SHORT DURATED CREEPING CONDITIONS IS SHOWN
The mathematical model of trilaminar sheet constructions from the anisotropic material isothermal deforming in the mode of short durated creeping conditions.
Key words: anisotropy, mathematical model, trapezoidal element, short durated creeping, stress, deformation, failure, pressure, deforming, pneumatic forming.
Получено 07.06.11
УДК 621.983; 539.374
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, [email protected],
С.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ВЫТЯЖКИ НИЗКИХ КОРОБЧАТЫХ ДЕТАЛЕЙ С МАЛЫМИ УГЛОВЫМИ РАДИУСАМИ В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Приведены математическая модель и результаты теоретических исследований процесса изотермической вытяжки низких коробчатых деталей с малыми угловыми радиусами из прямоугольной листовой заготовки со срезанными углами на основе верхнеграничной экстремальной теоремы.
Ключевые слова: анизотропия, вытяжка, коробчатая деталь, математическая модель, напряжение, скорость деформации, деформация, кратковременная ползучесть, формоизменение, матрица, пуансон.
В технологии вытяжки коробчатых деталей с малыми угловыми радиусами rn /(2 a - h) < 0,17 используют заготовки упрощенной формы -прямоугольник со срезанными углами (рис. 1), где h - высота детали. При
