CC BY
27
УДК 621.983; 539.374
B.Д. Кухарь, д-р техн. наук, проф., проректор,
(4872) 35-14-82, [email protected],
C.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц.,
(4872) 35-14-82, [email protected],
A.B. Бессмертный, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ЛИСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ И ПОВРЕЖДАЕМОСТИ
Приведена математическая модель изотермической пневмоформовки трехслойных листовых конструкций из анизотропных материалов, подчиняющихся энергетической теории ползучести и повреждаемости. Выявлено влияние параметров закона нагружения на силовые режимы и предельные возможности изотермического формоизменения высокопрочных материалов.
Ключевые слова: анизотропия, трапециевидный элемент, энергетическая теория, напряжение, деформация, разрушение, давление, ползучесть, формоизменение, пневмоформовка.
Рассмотрим операцию газостатической штамповки элемента конструкции в виде трапеции под действием равномерного давления газа, изменяющегося в процессе деформирования по закону р = Pq + ар1Лр , где Р0,йр,Пр - константы нагружения при повышенной температуре в условиях медленного деформирования (рис. 1).
Принимаем, что деформирование осуществляется в условиях кратковременной ползучести; упругими деформациями пренебрегаем. Допускается справедливость ассоциированного закона течения в режиме кратковременной ползучести. Материал заготовки принимается ортотропным с главными осями анизотропии х,у и z. Анизотропия механических свойств заготовки характеризуется величинами коэффициентов анизотропии и Ry при вязком течении материала [1-3].
Предполагается, что материал изотропно упрочняется при вязкопластическом течении от степени деформации и скорости деформации, а при вязком деформировании - от скорости деформации.
Поскольку длина элемента конструкции в виде трапеции значительно превосходит его геометрические размеры в плоскости чертежа, считаем, что реализуется случай плоской деформации, и, следовательно, скорость осевой деформации в направлении главной оси анизотропии х
равна нулю: £ =0. Принимаем, что напряженное и деформированное состояния однородны, а напряжения равномерно распределены по толщине элемента конструкции. Напряжение о2, нормальное к толщине заготовки, для тонкой пластины принимается равным нулю - о2 = 0, т.е. предполагается, что реализуется также плоское напряженное состояние [3].
Рис. 7. Схема деформирования элемента конструкции в виде трапеции
Величина растягивающего напряжения о,, может быть определена из условия равновесия элемента трапециевидной конструкции:
П + г2
а
у heos а
Р,
(1)
где а - текущее значение угла конуса полости.
Осевое напряжение <5Х находится из условия равенства нулю скорости деформации (£ = 0) в этом направлении:
•Л
а х =
_ Rx Г1 + г2
1 + Rx heos а
Р
(2)
В соответствии с принятой моделью деформирования анизотропного материала эквивалентное напряжение <5е может быть оценено по выражению
Г\ + Г2
а е = D1
Р
heos а
а эквивалентная скорость деформации - по равенству
где Di и Q - константы, которые вычисляются по выражениям:
436
(3)
D —
1 + R
x
3Rx (Ry + (l + Rx ) + RVRX )
T
2( Rx + RxRy + Ry )
2n2-,1/2
Ci -tJ2(Rx + RxRy + Ry ) [RxRy + RxRy (l + Rx ) + Rx Ry]
/
/^V3RxR}/2( Rx + Ry +1)].
Следует отметить, что Dy Q = 1.
Толщину заготовки h, деформацию по толщине заготовки £_ при
штамповке и калибровке в дальнейшем будем определять соответственно
h — hgsin а; £z - ln(sin а); (5)
h — h) sin а/sin ад ; £z — ln(sin а/sin а), (6)
a деформации в направлениях осей анизотропии х и у - из условия несжимаемости:
£ y £ z ;
где ад - начальное значение угла конуса полости трапециевидного элемента при его калибровке.
Компоненты скоростей деформации с учетом выражений (5) и (6) могут быть вычислены по формулам
- d £ y 0а «. d £
t ——y — -^еа—; t — — Sy dt s dt S z dt
z dа
-Меа—. dt
(7)
Учитывая приведенные выше соотношения (7), выражение для определения эквивалентной скорости деформации может быть переписано в следующем виде:
■г ^ dа
^ = -С\сЩ а—. (8)
dt
Высота трехслойной листовой конструкции Н и скорость перемещения верхней обшивки Ув в процессе пневмоформовки и калибровки находятся соответственно по формулам
Н = {т\ - г2) ^а + З^о;
Ув=(п-г2)^уС%и-
Рассмотрим деформирование трапециевидного элемента трехслойной листовой конструкции из материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости, уравнение состояния которого при ое < оео записывается в виде [3]
4>е
ЮСа
m
«А —
Ас
Апр
где ^пр " предельная величина удельной работы разрушения;
437
= D' (¿о + b[ cos а + ¿2 cos (3 + ¿3 cos у);
величину oeQ, разделяющую вязкое и вязкопластическое течения, назначаем в зависимости от механических свойств материала при заданной температуре деформирования, чувствительности материала к деформационному упрочнению при соответствующей скорости деформации eQ [3];
со^ - повреждаемость материала при вязкой деформации по энергетической модели разрушения; В, D' u'q, а\, а'2, ¿/3, b'§,b[, Ь2, />3 - константы
материала, которые определяются из опытов на растяжение образцов в условиях плоского напряженного состояния.
Подставив в первое из уравнений состояния (9) материала входящие величины эквивалентного напряжения <5е и эквивалентной скорости деформации t,e, определяемые по выражениям (3) и (8) соответственно, получим
_ С1а^0hn (1 - юсА ^)mctgacos na da
pndt
BD\ (r + r2 )n
(10)
где /? - толщина заготовки при штамповке и калибровке, которая находится по выражениям (5) и (6) соответственно.
Из второго соотношения (9) можно определить повреждаемость
«А:
dtoA =-Мйк da.
hAn psina
(11)
Уравнения (10) и (11) с учетом выражений (5) и (6) для штамповки и калибровки трапециевидного элемента трехслойной листовой конструкции перепишутся в следующих видах соответственно:
_ CiGgofasin a) g(l - юсА )mctgacosg ada
BDi (ri + r2 )g
_ (rl + r2 ) P
pndt
(12)
d«A = —
/zo^npSm^ oc
da
(13)
и
pndt = -
_ Qono^sinasinao) n(1 - ®A )mctgacosn ada
d«A =-
BD\(t\ + r2) nsin n a 0 (r + Г2) psin ao
С 2 /?Q/inpSin a
da
(14)
(15)
Системы уравнений (12)-(13) при штамповке и (14) - (15) в случае калибровки трапециевидного элемента решаются совместно в каждом конкретном случае методом итераций.
Решение этой системы при известном законе изменения давления p(t) позволяет найти угол конусности полости ос(/), соответствующий рассматриваемому моменту деформирования t, и определить предельные значения высоты Н* и угла а*, для чего необходимо принять величину
накопленной повреждаемости юА = 1.
Рассмотрим случай, когда р = const. Интегрируя уравнения для
штамповки (13) и калибровки (15) при начальных условиях t - 0, (Dj = 0,
а = 7с/2 и t = 0, со^ = 0, а = ад, найдем
«с _ ir\+r2 )рЧ da
тА-----------;— —т
мс -:-2
(16)
пр я sin а
и
откуда следует
и
юА
da
пр
a О
sin2 a
с (п + r2) р ^А =——Y^ctga
h0 ^пр
юА
=№»(cWo_c(ga).
/г0Дс
пр
(17)
(18)
(19)
Предельные углы конусности полости а* = 11 в случаях штамповки и калибровки трапециевидного элемента могут быть вычислены соответственно по следующим выражениям:
a* = arcctg
Mic
пр
(r1 + r2 ) P
(2О)
и
a* = arcctg
ctgao
h0 Апр
(r1+r2)jpsina0 1
(21)
Безразмерное время до разрушения t* = р —t* можно определить
А
по формуле
= - í V _ jw (sin acos a) nctgada (22)
Tí
2
a* / \
ü =- J (l-co^Jm(sinacosa)”ctgada , (23)
a0
, Q -
где Ai =-------—i— ПрИ штамповке, а при калибровке
BDPfa+ъ)”
А, - Ai - °eOhOcl
1 1 BDe (ц + r2) esine a O
Рассмотрим случай, когда эквивалентная скорость деформации
= Ъе\ = const •
Выражения для определения величины давления р как для штамповки, так и для калибровки могут быть получены из уравнений (13) и (14), которые соответственно запишутся следующим образом:
m
р - (А,)1 esin a cos a( 1 - a>A)e fcel)1 e (24)
m
р -(Af)1/esin a cos a( 1 -®A)e (^ei )^e • (25)
Величина накопленных повреждений со^ = со(/) оценивается по
формулам (18) и (19). Изменение угла a в зависимости от времени деформирования t устанавливается путем интегрирования уравнения (9) для штамповки при начальных условиях t = О, ос = л/2
a-arcsine ^e1Í^С (26)
и для калибровки при t - O, a - a о
a - arcsin[sinaoe-^e1t / C1 ] • (27)
Закон изменения давления p(t), обеспечивающий деформирование при постоянной скорости деформации \е\ - const, определяется по выражениям (11) и (13), в которые необходимо подставить значения со^ и ос(/), вычисленные по уравнениям (12), (14), и выражениям (25) - (26) соответственно при штамповке и калибровке трапециевидного элемента^
Рассмотрим напряженное и деформированное состояния заготовки, силовые режимы, геометрические характеристики изготавливаемого изделия и предельные возможности формоизменения, связанные с накоплени-
ем микроповреждений и локальной потерей устойчивости заготовки, при изотермической штамповке и калибровке трапециевидных элементов трехслойных листовых конструкций из анизотропного материала в режиме кратковременной ползучести.
Установим влияние анизотропии механических свойств исходного материала, условий нагружения, геометрических размеров заготовки на исследуемые параметры рассматриваемых процессов.
Рассмотрим варианты изотермического деформирования трапециевидных элементов трехслойных листовых конструкций при известном законе изменения давления от времени, а также при постоянной эквивалентной скорости деформации.
Процессы изотермической штамповки и калибровки трапециевидных элементов многослойных листовых конструкций из анизотропного материала исследовались в условиях вязкого и вязкопластического течения материала.
В результате расчета определялись угол конуса полости трапециевидного элемента а, величины эквивалентного напряжения <5е и эквивалентной скорости деформации ^ , изменения толщины заполнителя И и
высоты изделия Н в зависимости от времени деформирования I, а также предельные возможности формоизменения, определяемые феноменологическими критериями разрушения и локальной потерей устойчивости.
Расчеты выполнены для ряда специальных алюминиевых и титановых сплавов, коэффициенты анизотропии и константы уравнений состояний которых при вязком и вязкопластическом течении приведены в работе
[3].
На рис. 2 представлены графические зависимости изменения относительных величин давления газа р = р!<5е0, толщины заполнителя
Ъ — /?//?(), высоты изделия Н = Н//?д и угла конуса полости трапециевидного элемента а при штамповке от времени деформирования I для алю-
У1
миниевого сплава АМгб {ар = 0,05МПа/с р ; пр = 0,4), поведение которого описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости, при температуре обработки и 450 ° С и заданном законе нагружения (^о=0 МПа). Точками обозначены экспериментальные данные.
Из анализа графических зависимостей (рис. 2) следует, что с ростом времени деформирования I до определенного предела осуществляется плавное уменьшение угла конуса полости трапециевидного элемента а и относительной толщины заполнителя И . Дальнейшее увеличение времени деформирования I до его критической величины 4, соответствующего моменту разрушения заготовки, приводит к интенсивному изменению ве-
личин а и И , так как происходит интенсивный рост накопления микроповреждений в заключительной стадии процесса.
Графические зависимости изменения относительных величин давления газа р = р!<5е0, толщины заполнителя И — /?//?о , высоты изделия
Н = Н//?0 и угла конуса полости трапециевидного элемента а при калибровке от времени деформирования / для алюминиевого сплава АМгб, поведение которого описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости, при постоянной эквивалентной скорости деформации
приведены на рис. 3.
Рис. 2. Зависимости изменения а, р и И от I для алюминиевого
сплава АМгб
Рис. 3. Зависимости изменения а, р, И и Н от I при калибровке трапециевидного элемента для алюминиевого сплава АМгб
(\еХ =0,9*10“31/с; а0 =60°>
442
Установлено, что в начальный момент деформирования наблюдается резкий рост относительного давления р, обеспечивающего постоянную величину эквивалентной скорости деформации и высоты Н, а также
уменьшение угла а и относительной толщины заполнителя И .
Интенсивность роста или падения исследуемых параметров зависит от величины эквивалентной скорости деформации . Уменьшение эквивалентной скорости деформации приводит к более плавному их увеличению или уменьшению, а также к смещению величины максимального давления р в сторону большего времени I. Дальнейшее увеличение времени деформирования I сопровождается плавным уменьшением значений р, И и а и ростом относительной высоты Н.
Сопоставление теоретических и экспериментальных данных по геометрическим размерам заготовки (толщины заполнителя И и высоты заготовки Н на этапах деформирования) указывает на удовлетворительное их согласование (до 10 %).
Оценим влияния параметров закона нагружения ар и Пр, а также
величины эквивалентной скорости деформации на предельные возможности формоизменения заготовки, связанные с разрушением заготовки при достижении уровня накопленных микроповреждений (Ое = 1 (или
(0А=1).
На рис. 4 и 5 приведены графические зависимости изменения времени разрушения 4, относительной толщины заполнителя /г* = /г* //гд и угла конуса полости трапециевидного элемента а* в момент разрушения для алюминиевого сплава АМгб от параметров нагружения ар, Пр и эквивалентной скорости деформации при фиксированных величинах геометрических размеров заготовки (г\ =10 мм; г2 = 5 мм; = 1 мм).
Анализ графических зависимостей и результатов расчетов показывает, что время разрушения 4 (критическое время) уменьшается, а относительная толщина заполнителя /г* и угол конуса полости трапециевидного элемента а* возрастают с ростом параметров нагружения и экви-
валентной скорости деформации Ъ,е .
Установлено, что увеличение величины параметра нагружения пр
от 0,2 до 0,5 при фиксированном значении ар =0,05 МПа/сПр приводит к увеличению величины а* на 50 % и возрастанию относительной предельной толщины заготовки /г* на 45 %. Рост параметра нагружения ар
Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 2
от 0,025 до 0,075 МПа/сПр сопровождается увеличением угла а* и относительной толщины заготовки /г* на 22 % и более чем на 30 % соответственно.
0,05 - иоллп ,1-.
°'2 °^Пр_______
а
Рис. 4. Зависимости изменения и, а* и И* от пр и ар
п
для алюминиевого сплава АМгб: а - при ар = 0,05 МПа/с р ;
б - при пр = 0,4
■I 3.5
Т13
12.5
Я*
12
11
11
0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 1/с 0.0013
_____________________________________&-----»_______________
Рис. 5. Зависимости изменения ou, Я* и h* от постоянной скорости деформации cje для алюминиевого сплава АМгб
Показана повышенная чувствительность относительной величины критического времени разрушения 4 от параметров нагружения ар и «р.
Установлено, что повышение эквивалентной скорости деформации от
0,0005 до 0,0013 1/с приводит к увеличению величин а* и относительной
предельной толщины заполнителя /г* на 20 и 25 % соответственно, а также
к уменьшению высоты заготовки Н* на 25 %.
С
1S000 -14000 . 12000 -■ 10000 -8000 . £* 6000 .
4000 . ' 2000 •
Исследовано влияние анизотропии механических свойств материала заготовки на предельные возможности формоизменения процессов изотермической штамповки и калибровки трапециевидных элементов многослойных листовых конструкций.
Графические зависимости изменения относительных величин времени разрушения % =1*1 /*пз , угла конуса полости трапециевидного элемента а* = а*/а*н3 и толщины заполнителя в момент ее разрушения
К = Ь*/Ь*т от величины коэффициента анизотропии Кс для материалов,
подчиняющихся энергетической теории ползучести и повреждаемости, приведены на , где 4 , ос* и 1% - время разрушения, угол конуса по-
из из -Но
лости трапециевидного элемента и толщина заполнителя соответственно, вычисленные для изотропного тела {Яс =1). Величина коэффициента анизотропии Яс изменялась в пределах 0,2...2.
Показано, что относительные величины %, /г* и а* возрастают с
повышением коэффициента анизотропии Яс.
Установлено, что неточность определения критического времени разрушения и, вычисленного в предположении изотропии механических
свойств исходной заготовки, может достигать более 15 % по сравнению с их реальными величинами.
1.2
А
1,1 щ Й, а-*
1
□ ,9
Рис. 6. Зависимости изменения Л, И*, ос* от Яс (энергетическая
У1
теория) (ар = 0,05 МПа/с р ; пр = 0,4,)
Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 2 Список литературы
1. Ковка и штамповка: справочник: в 4 т. Т. 4. Листовая штамповка / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2010. 717 с.
2. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.
3. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
V.D. Kuhar, S.N. Larin, A. V. Bessmertniy
THE MATHEMATICAL MODEL OF TRILAMINAR SHEET CONSTRUCTIONS FROM THE ANISOTROPIC MATERIAL DEFORMATION POSSESSING ENERGETICAL THEORY OF CREEPING AND DAMAGING
The mathematical model of the isothermal pneumatic forming of trilaminar sheet constructions from the anisotropic material deformation possessing energetical theory of creeping and damaging is shown. The influence of the law of load on power circumstances and extreme deformation levels of high-strength materials isothermal deforming is identified.
Key words: anisotropy, trapezoidal element, energetical theory, stress, deformation, failure, pressure, creeping, deforming, pneumatic forming.
УДК 621.787.4
С.Ю. Радченко, д-р техн. наук, проф., проректор, (4862) 437125, [email protected] (Россия, Орел, ФГОУ ВПО «Государственный университет -учебно-научно-производственный комплекс»),
Д.О. Дорохов, канд. техн. наук, (48646) 31971, [email protected] (Россия, Мценск, Мценский филиал ФГОУ ВПО «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс»)
НОВАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МЕРЫ ЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрены меры деформации: относительная, Генки (логарифмическая), Алъманси - Эйлера и Грина - Лагранжа. Представлены их анализ и физический смысл. Для устранения ряда недостатков традиционных мер деформации предложена новая мера, отвечающая требованиям простоты и выполнению условия постоянства объема.
Ключевые слова: деформация относительная, деформация Генки (логарифмическая), деформация Алъманси - Эйлера, деформация Грина - Лагранжа, условие постоянства объема, новая мера деформации.
Формоизменение в технологических процессах обработки металлов давлением (ОМД) может быть весьма сложным и неоднородным, поэтому адекватно оценить его полностью какой-либо одной универсальной мерой
