CC BY
8======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 3
16. Богачев М. И. К вопросу о прогнозируемости выбросов динамических рядов с фрактальными свойствами при использовании информации о линейной и нелинейной составляющих долговременной зависимости // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5. С. 31-40.
17. Богачев М. И. Сравнительный анализ помехоустойчивости методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами при использовании информации о кратковременной и долговременной зависимостях // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1. С. 11-21.
18. Уайт А., Хендлер Ф. Основы биохимии: в 3 т. Т. 2. М.: Мир, 1981. 312 с.
19. Страйер Л. Биохимия. Т. 1. М.: Мир, 1984. 232 с.
20. Siezen R. J., Leunissen A. M. Subtilases: the superfamily of subtilisin-like serine proteinases // Protein science. 1997. Vol. 6. P. 501-523.
21. Hydrophobic interactions between the secondary structures on the molecular surface reinforce the alkaline stability of serine protease / Y. Oguchi, H. Maeda, K. Abe et al. // Biotechnol. lett. 2006. Vol. 28, № 17. P. 1383-1391.
M. I. Bogachev
Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" A. R. Kayumov
Kazan state university of architecture and engineering E. O. Mikhailova
Kazan state technological university
Analysis of the signal structure and functional organization of biocatalytic systems using intervals statistics
A new approach to analyze the signal structure and functional organization of a biocatalytic system based on the estimation of the major statistical characteristics of the intervals between different signal elements is proposed. The method is shown to be highly specific in the elucidation of the individual signal components contribution to the overall nonlinear dynamics of the biocatalytic system. The proposed method can be also used to extend the results of dynamic chaos theory tools, fractal analysis and other nonlinear systems analysis methods in the direction of detailed components analysis exploiting the recently shown relationship between interval statistics and fractal properties. The major advantage of the proposed approach is main components selection without changing the coordinate system of the original state space.
Signal structure, statistical analysis, biocatalytic system, interval statistics, main components
Статья поступила в редакцию 10 марта 2010 г.
УДК 62-50:519.216
Д. С. Вильмицкий, Г. Н. Девятков
Новосибирский государственный технический университет
| Математическая модель идеального устройства класса Е
Предложена математическая модель ключевого устройства класса Е, учитывающая протекание произвольного количества гармоник тока. На основании предложенной модели получены аналитические решения для ключа с потерями и для идеального ключа. Показана справедливость полученных соотношений.
Усилитель, умножитель частоты, класс Е, идеальный режим
Большая часть потребляемой энергии в передающих устройствах приходится на усилитель мощности. В связи с этим повышение КПД усилителя мощности позволит улучшить энергетические, тепловые и массогабаритные показатели всего передающего
16
© Вильмицкий Д. С., Девятков Г. Н., 2010
1о +1 (6)
Я (ивх )
К
/
\1с
с
г
ис
4
Рис. 1
канала. Использование ключевых режимов работы транзистора в усилителе мощности (в частности режима класса Е) является с этой точки зрения перспективным.
Высокий КПД устройств класса Е достигается за счет формирования выходными цепями импульсов напряжения и тока на ключе таким образом, чтобы их произведение в любой момент времени в течение периода равнялось нулю [1]. Аналитические выражения, описывающие работу усилителя класса Е, впервые были сформулированы Ф. Раабом
в работе [2]. Впоследствии на основании допущений, сделанных в работе [2], идеализированную математическую модель авторы работы [3] распространили и на умножители частоты. В модели, предложенной в работе [3], а также в более поздних ее модификациях, учитывающих влияние отдельных паразитных параметров, строго определена структура выходной цепи в виде последовательного колебательного контура с высокой добротностью. Это не позволяет оптимизировать структуру выходной согласующей цепи в полосе частот с точки зрения выбранного критерия, в то время как экспериментальные данные подтверждают возможность создания усилителей с относительной шириной полосы пропускания до 15 % [4] даже при использовании простейших согласующих цепей. С другой стороны, учет в модели более двух паразитных параметров приводит к существенному ее усложнению.
В связи с этим представляет интерес получение математической модели общего вида, свободной от указанных недостатков.
Постановка задачи. На рис. 1 представлена эквивалентная схема устройства класса Е, где Я (ивх) - активное сопротивление ключа, изменяющееся под действием входного
сигнала ивх; С - шунтирующая емкость; ис - напряжение на емкости; Iо и I (9) - постоянная и переменная составляющие тока, протекающего в общей ветви, соответственно; I$ и 1с - токи, протекающие через ключ и через емкость, соответственно.
Будем считать, что согласующими цепями однозначно определен набор из т гармоник тока I(9):
I (9)= X Skej9k,
к=-т к * 0
(1)
где Sк = (^ /2) е-1Фк ; S-k = Sl (^, Фк - амплитуда и фаза к-й гармоники тока соответст-
венно); 9 = << ; - знак комплексного сопряжения.
Для узла А на рис. 1 справедливо соотношение I (9) + !о = + ^ или с учетом компонентных уравнений для емкости и активного сопротивления ключа:
(2)
I (9) + !0 = ис (9)/Я (9) + и С [dUC (9)^9].
Подставив выражение для I(9) из (1) и разделив обе части уравнения (2) на шС, получим дифференциальное уравнение, связывающее ток, втекающий в узел А, и напряжение на шунтирующей емкости:
( m ^
dUC (9)/d9 + UC (9)/[ш CR (9)] = (VшC)
!о + X Vт
к=-m к Ф 0
(3)
Решив дифференциальное уравнение (3) относительно Uc, получим временные зависимости напряжения на емкости с учетом целого ряда паразитных параметров. Следует отметить, что при учете нелинейных эффектов, например нелинейного характера выходной емкости транзистора, решить уравнение (3) возможно только с применением численных методов. Применив к решению уравнения (3) преобразование Фурье и зная гармонический состав тока !о +1 (9), (рис. 1), можно определить энергетические и импедансные характеристики ключевого устройства, такие как потребляемая мощность
Pо = О) I), (4)
выходная мощность
Ры = 0^е (2Оы 2£N) = 2Re (О^Ы), (5)
а также импеданс нагрузки на Ы-й гармонике
^нN =- . (6)
В выражениях (4)-(6) О) и Оы - нулевой и Ы-й комплексные коэффициенты Фурье соответственно, получаемые из разложения в ряд решения уравнения (3).
Таким образом, выражения (1)-(6) позволяют анализировать работу ключевого устройства при произвольном наборе гармоник тока I) +1 (9) с учетом влияния нескольких паразитных параметров, получить выходные энергетические характеристики, а также выходные импедансы на отдельных гармониках, которые могут быть использованы при синтезе выходной согласующей цепи.
Основные уравнения математической модели общего вида. Применение численных методов при решении уравнения (3) связано со значительными затратами машинного времени, что приводит к необходимости выбора начального приближения. В связи с этим представляет интерес получить аналитическое выражение решения уравнения (3) для практически важного случая, при котором нелинейный элемент представляется активным сопротивлением, а шунтирующая емкость принимается постоянной.
Для получения аналитического решения уравнения (3) введем ряд допущений. Во-первых, будем считать шунтирующую емкость С постоянной и не зависящей от значения напряжения на ней. Во-вторых, положим, что ключ под действием управляющего напряжения на входе устройства переходит из одного состояния в другое за бесконечно малое время, изменяя свое сопротивление от Rmax до //тт :
Г /тах, о <9<
1тах>
/т1п, 2ъП < 9 < 2л,
где /тах и //тт - сопротивления ключа в разомкнутом и замкнутом состояниях соответственно; D - коэффициент заполнения импульса, показывающий в течение какой части периода ключ находится в разомкнутом состоянии.
С учетом сделанных допущений решим уравнение (3) на каждом из участков, где активное сопротивление ключа остается неизменным. Уравнение (3) сведется к двум уравнениям с разделяющимися переменными. В результате получим общее решение
Uc (е) =
1
-С
е е -Jмее Jbde f
г 0 J e0 0
m
I0 + Z Ske
jm
л
k=-m k Ф0
d е,
(7)
где Ь = 1/(ш/С) ; / - сопротивление ключа на данном временном интервале. Последовательно вычислив интегралы в правой части выражения (7) и упростив полученные результаты, придем к выражению в окончательном виде:
Uc (е) =
1
шС
m
с ( jkе -еь)
Z S^e - e * +1 R (1 - е-еь ) + и0е-еь
7 jk + Ь
k=-m J
k Ф 0
(8)
где U0 - напряжение на емкости в начальный момент времени.
Выражение (8) представляет собой суперпозицию трех напряжений. Первые два слагаемых связаны с протеканием в цепи набора гармоник переменного тока и постоянной составляющей соответственно, а третье слагаемое учитывает влияние начального напряжения на емкости. При работе в стационарном режиме на основании уравнения (8) можно получить аналитическое выражение для импульса напряжения на емкости Uc (е) путем "сшивания" решений для двух интервалов времени: е е [0, 2xD] - до момента коммутации и ее [ 2лD, 2л] - после этого момента.
При "сшивании" должно выполняться требование непрерывности напряжения на емкости: Uc (2xD)|R=R = Uc (2xD)|R=R = U0. С учетом этого требования
R = -"max R = -"min
uc (е) =
Uc (е)| Ul
С
uc (е)
U0
0 < е < 2xD;
2xD < е < 2л.
(9)
C min
Подставив в (9) выражение (8) с учетом сопротивления ключа на каждом из времен-
ных интервалов получим:
при 0 < е < 2лD
Uc (е) = -С
шС
Z
k=-m k Ф 0
Sk (ejkе- e~Qbmax )
jk+b
I0Rmax (l
- e - ~max ) + U0e-"max
,-еь„
,-еь„
max
(10)
где bmax = V (-CRmax ); • при 2лD < е < 2л
Uc 0) = -C
-С
I
k=-m k
Sk (ejk0- e-Qbmn )
jk + b
+10Rmin (l
- e 0bmin ) +
) + U0 e
-(0-2лD )bm
min
(ll)
где bmin = V (-CRmin ).
В последнем слагаемом уравнения (ll), учитывающем влияние напряжения на шунтирующей емкости в момент коммутации, аргумент смещен во времени на величину 2лD, поскольку коммутация происходит не в начале периода, а при 0 = 2xD.
Важным моментом является определение стационарного режима работы. Для этого должно выполняться условие Uc (0) = Uc (2л), где Uc (0) и Uc (2л) - напряжения на емкости в начале и в конце периода соответственно. В качестве начального приближения можно выбрать величину
U0 = 2/0Rmin. (l2)
При этом ошибка в определении U0 составит 5...7 % для Rmm <l.5 Ом и приблизительно l5 % для l.5 < Rmin <l0 Ом. Погрешность вычисления с помощью выражения (l2) возрастает с увеличением сопротивления замкнутого ключа, однако на практике значение сопротивления насыщения мощных СВЧ-транзисторов лежит в пределах 0.l.l0 Ом.
Энергетические и импедансные характеристики могут быть найдены с использованием выражений (4)-(6) при определении G0 и Gn из разложения в ряды выражений (l0), (ll). Таким образом может быть произведена оценка режима работы при небольших затратах машинного времени, кроме того, на основании выражений (4)-(6) и (l0), (ll) может быть разработана оптимизационная процедура, найденное на основании которой решение в дальнейшем следует уточнить, применив дифференциальное уравнение (3).
Идеальный режим работы. Идеальный режим работы ключевого устройства интересен в первую очередь тем, что представляет собой предельную оценку и, тем самым, позволяет обоснованно оценить полученные решения. С другой стороны, он позволяет математически строго проверить справедливость предложенной модели общего вида, сравнив полученные результаты с известными [3], но полученными с других позиций.
Ограничимся при рассмотрении идеального режима работы ключевого устройства следующим: будем считать, что переменная составляющая тока I (0) содержит только одну N-ю гармонику, а ключ является идеальным, т. е. его сопротивление в замкнутом состоянии равно нулю, а в разомкнутом - бесконечности.
Поскольку в рассматриваемом случае в системе протекает только одна гармоника тока, то выражения (l0), (ll) примут вид
Uc (0) =
l
-С l
-0b„
-c
,(ANmax + ANmax ) + I0Rmax (l - e 0bmax ) + U0e ( Am ■ + Ab ■ )+ InR ■ (l - e"0bmln ) + UAe-(0-2KD)b
0 < 0 < 2лD:
(l3)
2лD < 0 < 2л,
где A
Sn ( ejN 0
N max
- e
-0b„
)
SN (ejN0- e"0bmin )
jN + b
iN min
max
jN + b
min
С учетом введенных ограничений на значение сопротивления ключа перейдем к пределам:
lim UC (0), 0 <0< 2лD;
U (0) = J^max ^ _ (14)
lim UC (0), 2xD <0< 2л,
где Uc (0) определяется из выражения (13). Вычислив пределы в выражении (14), получим
1
UC (0) =
шС
(j0 -l) + SN(e-N -1) + /о0, 0<0<2^D;
jN -jN 0 ' " " ' (15)
О, 2лО <е< 2л.
Для обеспечения оптимального режима работы с точки зрения преобразования мощности источника постоянного тока в мощность выходной гармоники необходимо обеспечить одновременное выполнение двух условий: переключения при нулевом напряжении на ключе и при нулевой скорости изменения напряжения на емкости [1]:
ис (2лЛ) = О;
, I (16)
ЖсЩе=2лБ = 0.
Для определения оптимального режима работы подставим (15) в (16), предварительно вычислив производную напряжения dUс|dе = (шС) 1 SNeJNе + SNe + 1о (SN -среднее значение SN ). Тогда система уравнений (16) для момента коммутации е = 2лВ примет вид
(шС )-1 (SNA + SN А* + 102лБ) = 0;
I V N N 0 / (17)
(шС) 1 (SNB + В* +1» ) = 0, где А = (е-^2л^ -jN) и В = е^2л^ - вспомогательные переменные.
Умножив первое уравнение системы (17) на В*, второе на А* и вычтя второе уравнение из первого, получим решение системы (17) относительно SN :
SN = 10 (А*- 2лШ*)/( АВ*- А* В). (18)
Выражение (18) показывает, что оптимальный режим работы определяется амплитудой и фазой тока 10 +1 (е) (рис. 1), а также значением коэффициента заполнения импульса. Особо следует отметить независимость оптимального режима работы от значения шунтирующей емкости С. Последнее утверждение позволяет разработать процедуру проектирования ключевого устройства, рассчитанного не на определенный уровень выходной мощности, а с привязкой к параметрам выбранного нелинейного элемента.
Запишем выражение для определения комплексных коэффициентов Фурье напряжения на шунтирующей емкости
1 2л
Gn I ис (е) е"^е. (19)
2л 0
Учитывая, что в идеальном случае на интервале 2лО < 9 < 2л напряжение на емкости равно нулю, так как она шунтируется нулевым сопротивлением ключа, интеграл (19)
можно записать как
1
2лшС
2лО
I
0
^ (е^9-1) . S¿(е-1)
N
- jN
+ 1о9
-jn9d 9.
Напряжение на шунтирующей емкости представляет собой суперпозицию трех составляющих. Применим преобразование Фурье отдельно к каждому слагаемому. Для вклада тока постоянной составляющей:
Т 2лО
Gdcn I 9е-^9.
2лшС
0
Раскрыв интеграл и подставив пределы интегрирования, получим
Gdcn -(То/ 2™С)[е-'9 (1 + >9)/п2^
0
что для п Ф 0 дает
Gdcn
/0/ ( 2лшСп2 )][(1 + j 2плО ) е"j 2плО
-1
Перейдя к пределу при п - 0, имеем
Нт Gdcn -лО2Т0/(шС).
п—0
(20) (21)
Аналогичным образом для переменной составляющей тока:
^сп
S
N
2лО
| [е'(N-п)9- е"'п9] d9 +
S
N
2лО
I [е-'N+п)9- е-]п9] d9. (22)
'Ы 2лшС 0 - jN 2лшС 0
Вычислив интегралы в выражении (22), как и в случае с постоянной составляющей, необходимо рассмотреть несколько случаев: • при п Ф N и п Ф 0
^сп
1
'Ы 2лшС
S
N
]N-п )2лО
-1
+м
- S
N
'(N+п )2лО
-1
-' (N + п)
где
• при п- 0
• при п- N
' ( N - п )
М-(е-'п2лО -1)/(');
Нт М - -2лО;
п—0
lim {[е '(N - п )2лО -1]/[' ( N - п)]} - 2лО.
+М
(23)
(24)
(25)
_ ...... (26)
п—^ N
В окончательном виде коэффициенты Фурье для импульса напряжения на шунтирующей емкости определяются как
Сп-Сасп + Gdcn, (27)
где Gdcn и Gacn рассчитываются по выражениям (20), (21) и (23)-(26) соответственно.
е
Полученные соотношения позволяют найти предельные теоретические оценки режима работы ключевого устройства. Такие оценки представляют собой не только научный, но и практический интерес, поскольку позволяют давать обоснованную оценку уже полученным решениям, тем самым помогая выбрать оптимальное.
С этой целью используем найденные ранее оптимальные значения амплитуды и фазы тока выходной гармоники (18), при которых обеспечивается максимальное преобразование мощности источника постоянного тока в мощность выходной гармоники. Определим в аналитическом виде ряд практически важных соотношений. Для этого сначала найдем значения постоянной Go и переменной GN составляющих напряжения на емкости, подставив (20) и (23) в (27) при п = 0 :
Gn =
1
2лш CN
S
f ejN 2%D
N
-1 2kD
Л
- N
- S
fe- jN 2%D
j )
N
-1 2kD
Л
N
j)
+ In2n2 D 2 N
(28)
и при n = N :
GN =■
-1
2гаэ CN
SN ( jN2xD + e- jN2nD -1) + Sn (e- jN2nD -1)'
( jN2xD +1) e-jN2nD -1 +-72-7n.
+
(29)
2лш CN2
Максимальное значение КПД достигается при полном преобразовании мощности источника постоянного тока в мощность выходной N-й гармоники. Для этого случая, используя (4) и (5), запишем:
InGn + Re ( Gn 2SN ) = П. (30)
Подставив в (30) выражения (18), (28) и (29), получаем уравнение с одним неизвестным: значением коэффициента заполнения импульса D. Для определения оптимального значения коэффициента заполнения импульса решим полученное уравнение относительно D с применением численных методов. В таблице представлены оптимальные значения D для различных выходных гармоник. Из нее следует, что найденные значения D0pt можно
с высокой точностью аппроксимировать выражением
Dopt = 12 N. (31)
Полученные результаты хорошо согласуются с оптимальными значениями коэффициента заполнения импульса, приведенными в работе [2].
Учитывая выражение (31), можно в аналитическом виде получить ряд полезных соотношений. Подставив в (18) выражение (31) и проведя упрощения, получим выражение для оптимального значения выходной гармоники переменной составляющей тока I (9) : SNopt = In (2 + j-я)/4. (32)
На рис. 2 приведены эпюры напряжения и тока, нормированные к соответствующим максимальным значениям:
N Dopt N Dopt
1 n.5 5 n.1
2 n.25 6 n.n83
3 n. 167 7 n.n71
4 n.125 8 n.n63
u', i'
0.75
0.5
0.25
/
/ N
N
>
/
\
/
0.5п
п
Рис. 2
1.5п
u' = Uc (0)/max Uc (0); i' = [ I0 +1 (0)]/max [ I0 +1 (0)], полученные при протекании переменной составляющей тока I (0), определенной из выражения (32). Из рис. 2 видно, что произведение тока и напряжения на ключе в любой момент времени равно нулю, т. е. вся энергия источника постоянного тока преобразуется в мощность выходной гармоники.
Как уже было отмечено, оптимальное значение коэффициента заполнения импульса составляет D0pt = 1/2 N. Тогда, подставив (31) в выражение (28) и приведя подобные слагаемые, получим G0 =(2 no CN2 ) Sn (2 + jn) + Sn (2 - jn) + ^п2/2 или, с учетом (32), G0 = I0i
CN2). Мощность, потребляемая от источника постоянного тока при идеальном режиме работы, определится как
P0 = I2/ (no CN2). (33)
Выражение (33), полученное в рамках предлагаемой модели, было опубликовано в работе [3], что подтверждает справедливость теоретических положений.
Аналогичным образом определим мощность выходной N-й гармоники. Для этого сначала найдем величину N-й гармоники напряжения на шунтирующей емкости при идеальном режиме работы. Подставив в выражение (29) оптимальное значение коэффициента заполнения импульса D0pt = 1/2N и упростив, получим
Gn =(2лш CN2) 1 [SN (2 - jn) - 2S*n- I0 (2 + jn)
(34)
Полученное соотношение позволяет определить выходную мощность устройства, а также требуемый импеданс нагрузки. С учетом полученного ранее оптимального значения выражение (34) примет вид
gn =
I0/(2no CN2 )]{[(n2 - 8V4
j (V 2 )}.
(35)
Мощность выходной гармоники определяется подстановкой (32) и (35) в (5):
PN =- Io/(no CN2).
Отсюда следует, что при выполнении условий (16) достигается полное преобразование энергии источника постоянного тока в энергию выходной гармоники, т. е. максимальное значение КПД ключевого устройства.
Помимо энергетических характеристик с применением предлагаемой модели могут быть получены импедансные характеристики, имеющие большое значение при проектировании выходных согласующе-фильтрующих цепей. На основании соотношения (6) получим аналитическую зависимость для определения импеданса нагрузки, необходимого
для обеспечения идеального режима работы. Для этого подставим в выражение (6) значение напряжения Gы выходной Ы-й гармоники на шунтирующей емкости (35) и оптимальное значение тока Sы (32). Тогда
п-1
ZHNopt = [no CN2 (4 + n2)] [8 + j (n3/2 - 2n)]. (36)
В литературе широкое распространение получило нормированное к активной составляющей значение импеданса нагрузки, которое, исходя из (36), может быть записано
как 2'н 0pt = 1 + j n(n2 - 4^)/16_.
Перечислим результаты представленных исследований:
• предложена математическая модель устройства класса е общего вида, которая позволяет учитывать произвольное число гармоник тока, а также конечное сопротивление ключа в разомкнутом и замкнутом состояниях;
• справедливость представленной математической модели подтверждена теоретическим анализом работы идеального ключевого устройства. аналитические зависимости, полученные с применением предложенной модели, хорошо согласуются с известными результатами;
• предложенная модель ключевого устройства класса е позволяет определить энергетические и импедансные характеристики, которые могут быть использованы в качестве начального приближения в задаче синтеза реальных ключевых устройств.
Список литературы
1. Sokal N. O., Sokal A. D. Class E - a new class of high-efficiency tuned single-ended switching power amplifiers // IEEE j. of solid-state circuits. 1975. Vol. SC-10, № 3. P. 168-176.
2. Raab F. H. Idealized operation of the class E tuned power amplifier // IEEE trans. circuits syst. 1977. Vol. CAS-24, № 12. P. 725-735.
3. Zulinsky R. E., Steadman J. W. Idealized operation of class E frequency multipliers // IEEE trans. circuits syst. 1986. Vol. CAS-33, № 12. P. 1209-1218.
4. Switch-mode high-efficiency microwave power amplifier in a free-space power combiner array / T. B. Mader, E. W. Bryerton, M. Marcovic et al. // IEEE trans. on microwave theory and techniques. 1998. Vol. MTT-46, № 10. P. 1391-1398.
D. S. Vilmitsky, G. N. Devyatkov Novosibirsk state technical university
Idealized class E device model
The idealized class E device mathematical model is proposed. The model suggested takes into account arbitrary number current harmonics in load. Analytic solutions based on the model proposed were obtained for ideal switch and for switch with losses. The correctness of expressions found is proved.
Amplifier, frequency multiplier, class E, idealized operation
Статья поступила в редакцию 29 октября 2009 г.
