МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕСАНТИРОВАНИЯ МОТОВЕЗДЕХОДОВ НА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПАРАШЮТНОЙ ПЛАТФОРМЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

/20 "Civil SecurityTechnology", Vol. 18, 2021, No. 3 (69) УДК 623.437

Математическая модель десантирования мотовездеходов на универсальной парашютной платформе

ISSN 1996-8493

© Технологии гражданской безопасности, 2021

С.Г. Мингалеев, А.В. Янкавцев, С.С. Волков, Н.Л. Пузевич, Д.В. Авраменко Аннотация

Исследованы детали приземления универсальной парашютной платформы (УПП) на горизонтальную поверхность. Построена математическая модель. Определены дополнительные силы (результат деформации наддутой оболочки, возникающей при ударе о землю) сминания оболочки опускающейся платформой, обеспечивающей заданный режим приземления. Рассчитаны движения материальной точки в поле тяжести под действием кусочно-линейной силы. Проведен оптимальный выбор параметров кусочно-линейной силы, реализующей подходящий закон движения материальной точки.

Ключевые слова: универсальная парашютная система; задача Коши; преобразование Лапласа; воздушная амортизация.

Mathematical Model of the All-Terrain Vehicles Landing on the Universal Parachute Platform

ISSN 1996-8493

© Civil Security Technology, 2021

S. Mingaleev, А. Yankavtsev, S. Volkov, D. Avramenko

Abstact

The details of the universal parachute platform (UPP) landing on the horizontal surface are investigated. Mathematical model is constructed. Additional forces of crushing the shell by a descending platform providing given landing mode (the result of the inflated shell deformation that occurs when hitting the ground) are determined. The material point motions in the gravity field under the piecewise linear force action are calculated. The optimal choice of piece-wise linear force parameters implementing suitable law of material point motion is carried out.

Key words: universal parachute system; Cauchy problem; Laplace transform; air damping.

19.05.2021

Введение

Целью исследования является изучение процесса соприкосновения платформы с поверхностью земли. Такое соприкосновение зачастую сопровождается значительным ускорением, а это в свою очередь приводит к возникновению дополнительных сил, могущих привести к разрушению платформы или объектов, на ней расположенных. Особенно это актуально, когда на универсальной парашютной платформе десантируют дорогостоящее высокотехнологическое оборудование: мотовездеходы, снегоходы, медицинское оборудование аэромобильного госпиталя и роботы. Для управления процессом соприкосновения (торможения и собственно касания) используется система наддутых полостей, препятствующих резкому соприкосновению платформы с землей.

По мере приближения платформы к поверхности земли последовательно выполняются следующие процессы:

1) на первом этапе приземления наддутая полость (оболочка) сжимается под весом платформы. Уменьшается внутренний объем оболочки, увеличивается давление внутри нее, и между платформой и оболочкой действует сила реакции со стороны оболочки, направленная вертикально вверх и противодействующая силе тяжести. Суммарная сила, действующая на оболочку, уменьшается, следовательно, уменьшается и ускорение;

2) на втором этапе приземления в деформированной оболочке создается достаточно большое избыточное давление, а, следовательно, и значительная сила, противодействующая силе тяжести. Для уменьшения силы реакции открываются клапаны в оболочке, происходит стравливание воздуха из оболочки, и сила реакции уменьшается;

3) на третьем этапе оболочка не оказывает никакого дополнительного воздействием на вертикальное перемещение платформы — оболочка сдулась, она просто деформируется под действие веса платформы. Теперь платформа опускается только под действием силы тяжести. Понятно, что в этом случае требуется не допустить ее разгона.

Постановка задачи

Определение дополнительной силы (результат деформации наддутой оболочки, которая возникает при сминании) сминания оболочки опускающейся платформой, выражается формулой:

т • Г= Е (Г) + т • д.

Начальные условия определяют начальное положение:

Г (0) = Го

и начальную скорость:

г (0) = Г0 =у0.

В приведенных формулах использованы следующие обозначения:

Г = Г (t) — радиус-вектор центра тяжести платформы, является функцией времени и величиной, подлежащей определению;

Г = Г (t) — первая производная радиуса-вектора центра тяжести платформы по времени;

Г = Г (t) — вторая производная радиуса-вектора центра тяжести платформы по времени;

m = const—масса платформы;

g = const — вектор ускорения свободного падения;

F (Г)— вектор дополнительной силы, действующей на платформу, обеспечивающий заданный закон приземления. Предполагается, что эта сила обеспечивается деформацией наддутых оболочек и зависит от положения платформы при заданном законе перемещения платформы.

Целью исследования является определение дополнительной силы, обеспечивающей заданный режим приземления и удара о поверхность земли. Сформулированы необходимые требования:

1) вертикальное движение платформы должно быть монотонным (вниз). Не должно быть вертикальных скачков, вертикальная скорость должна быть направлена вниз и монотонно убывать, приближаясь к нулю по мере приземления. То есть, траектория спуска платформы должна принадлежать некоторому множеству допустимых траекторий;

2) дополнительная сила не должна приводить к появлению ускорения, направленного вверх, и по своей величине и продолжительности должна быть минимальной. Ну, а главное, изменение силы должно быть достаточно легко технически реализованным и не слишком энергозатратными. То есть дополнительная сила, прикладываемая к платформе за счет наддува оболочек, должна принадлежать некоторому множеству допустимых траекторий. Наиболее естественным множеством является вариант, когда на первом этапе сила реакции оболочки линейно возрастает, на втором этапе — величина постоянная, а на третьем — равна нулю.

Следует рассматривать только вертикальное перемещение. Вводится декартова прямоугольная система координат на плоскости. Начало координат размещается на горизонтальной поверхности — поверхности приземления. Ось X направлена горизонтально вправо, ось Y—вертикально вверх. Теперь векторное уравнение перемещения платформы принимает вид:

m • y = F (y)-m • g.

Начальное положение определяется выражением:

y (0) = h,

начальная скорость:

У (0 ) = Уо = Vo.

В приведенных формулах использованы следующие обозначения:

у = у (/) — вертикальная координата центра тяжести платформы, является функцией времени и величиной, подлежащей определению;

у = у (I) — первая производная вертикальной координаты центра тяжести платформы по времени — скорость вертикального перемещения центра тяжести;

у = у (I)— вторая производная радиуса-вектора центра тяжести платформы по времени;

т — масса платформы;

g — величина ускорения свободного падения;

Е(у) — значение дополнительной силы, действующей на платформу вертикально, обеспечивающей заданный закон приземления. Предполагается, что эта сила обеспечивается деформацией наддутых оболочек и зависит только от вертикальной координаты центра тяжести платформы.

Определение оптимального распределения силы

Перед решением задачи Коши для дифференциального уравнения произведем некоторые преобразования и упрощения.

Нормировка

Если каждое слагаемое дифференциального уравнения поделить на массу платформы, то можно перейти к расчету удельной дополнительной силы (в расчете на единицу массы). Такое преобразование не затрагивает начальные условия. Получается следующая формулировка задачи Коши:

у = Г (у)-д, у(0) = ъу(0) = у0,

где f (у) = ^(у) — приведенная сила. т

Линеаризация

Полученная задача Коши для дифференциального уравнения является нелинейной и аналитически может быть решена только при специальном выборе дополнительной силы /(у). Для линеаризации следует воспользоваться тем фактом, что решение нужно искаться на множестве монотонных функций. Если у = <р(\.)— одно из таких решений, то рассматривая его как уравнение, подставляется вместо аргумента дополнительной силы:

1 (у )1,=,„ =' М< ))=' о).

Для преобразованной функции \ (()) оставлено прежнее обозначение. Теперь получается зависимость дополнительной силы от времени, и задача Коши линеаризуется и принимает вид:

у = Г (I)-д, у(0) = Ь;у(0) = у0.

Выбор множества допустимых дополнительных сил

В качестве множества допустимых дополнительных сил выбираются функции:

f (t ) =

fo + fto)• t,0 <t <t,; f, + f -(t-t)• t,t, <t <t2; f2 + f "(t-12)• t,t2 <t <t3;

At2

f3 + f -(t -13)• t,t3 < t < t4; 0, t4 < t

где:

(0, t1, t2, (у t4 — абсциссы узлов интерполяции дополнительной силы во времени от начала сминания оболочки до момента касания поверхности земли;

/0, /1, /2, /3, /4 — ординаты узлов интерполяции во времени дополнительной силы от начала сминания оболочки до момента касания поверхности земли;

Д1о = 11 - ^, Д11 = Ц -1:1, Д ^ = »3 - »2 > Д = 14 - »3 — приращения абсцисс узлов интерполяции;

^0 _ ^ — ^0 ' _ ^ 2 — ^ ' ^ 2 = ^3 — ^ 2 ' _ ^4 — ^3

приращения ординат узлов интерполяции.

Каждый из временных интервалов характеризуется особенностями протекания процессов (см. рис. 1).

Решение задачи Коши

Хотя дифференциальное уравнение и может быть проинтегрировано в квадратурах, для естественного представления решения следует пользоваться операционным методом (преобразование Лапласа) [1]. Определяется преобразование Лапласа У(р), функция у^) выражается:

I- [у ]= V (р): V (р )= /у (I )• е- р*Л.

0

Применяется преобразование к каждой части дифференциального уравнения (аргументы при функциях будут опускаться) и начальных значений:

L[y] = У — преобразование Лапласа искомого решения;

I_[у] = р2У - рИ-у0 — преобразование Лапласа второй производной искомого решения;

[9 ] = 1 — р

преобразование Лапласа ускорения свободного падения (постоянной);

с помощью функции Хэвисайда:

[о, -»< I < 0;

1,0 < I <+»,

дополнительную силу / (t) можно записать в аддитивном виде:

x(t ) =

Рис. 1. Кусочно-линейное представление дополнительной силы (от оболочки): t0 = 0, t1 — происходит первоначальное сминание оболочки. Давление внутри оболочки возрастает до такой величины, когда она начинает сказываться на скорости и ускорении платформы;

tv t2 — сминание оболочки происходит под действием большой скорости. В оболочке накоплен достаточно большой объем воздуха, который в состоянии существенно уменьшить скорость оболочки;

t2, ^ — скорость опускания платформы уменьшилась, количество воздуха в оболочке также стало меньше. Сила, противодействующая спуску, уменьшилась до приемлемой величины;

t3, tл — заключительная фаза. Из оболочки выходит последний воздух, платформа опускается по инерции.

' ()=Е С ^ * - ^

1=0 V Щ •(( - - ^)).

Поскольку преобразование Лапласа обладает свойством линейности, то изображение дополнительной силы равно:

дъ

Я ^•(-0К(--^))

м,

ЯЧ ъ+Дт•( -- 0-Х-^))

¡=0

Преобразование Лапласа каждого слагаемого вычисляется непосредственно:

м \ ^^'(-О '((--^+1))

= VI [(( - ^-Ж - ^ ))]

+-

А

Д1

'I [((- - - ^ ))] =

Д*

= I,'

е-Ьг Р - е^ +1'Р

+

Дti

( е-VР - е^+гР

+1 'Р

-ДЪ

Тогда справедливо равенство:

Ь [ г ()] =

I

\ =0

г-

е^ -е

-1\+т р

- + -

С е-1-р - е

Р

-1+1- р

Д^ Д1\

+1- р ^

-Дч

В итоге получается вспомогательное уравнение

относительно изображения искомой функции: р 2 • =

I

\ =0

Г\-

е-ч'р - е

+1- р

+

V

Г

ДЧ

еч -р - е_1+1-р е"1\+1-рл

--Д1

С^-р

V р

-1 Р'

Переносятся второе и третье слагаемые из левой части уравнения в правую и делятся на квадрат переменной р. Получается выражение для изображения искомого решения:

у (Р )=-4_

р р р

з _

■I

¡=о

е-др _е-р+1- р

V

• Р _ Р

-3.

р л

V"/

Ч

I

При возвращении к временной переменной восстанавливается оригинал по изображению и получается искомое решение задачи Коши:

У() = -9у + V •1 + и + +£ {-2■)2 х((-*,)-(-)2 х(-))+

i=o v

_AL..

6At

t - ttf x(t - tt)-(( -1+1 )3 x(t -1+1 ))-

-Af, x(t -1, +1)

Исследование решения

Полученное решение записывается в привычном виде:

у () = -ду+V • I+h +

Уо (I ),о < I < X,; у (I),X, <X < 12; + < у2 (X),Х2 <X <Х3; Уз (X),Хз <X <Х4; У 4 (X ), X4 < X.

Здесь функции у, i = 0, 1, 2, 3, 4 — кусочное представление решения на различных временных интервалах. Явный вид решений на каждом из интервалов определяется выражениями:

У„ ()=| •(( -1„ )3; у(<) = |(-I»)3-(I-М3)- ^+{■( -11 )3; у, ()=| •((( -)3-((-)3)-дг.+| •

•(((-«, )3)3)-)+1 •(-) У,(1) = |•(((-(,,)3-((-(,)')- I,•

+{•((()-((-У)-•

• 7+1 •((( - (2 )3-((- (, )3 )-- 12• |+1•(-(.)'; У (I) = 2-{(I- 1Л)-(I-1,))-и,-

+ f.((,-,,)-(,-,2))- f, .

■f+f■(-ч)3-(()3)- vf+f

Из полученного результата следует, что траектория приземления определяется свойствами дополнительной силы, возникающей при сминании оболочек. С точки зрения предлагаемой модели—это расположение узлов интерполяции. Точнее, от величин t0 = 0,/ = 0, t1,/ t, /2, t3,/3, t4,/4,— восьми параметров модели, на которые накладываются следующие ограничения:

1) время приземления. К этому времени оболочка должна выполнить свою роль. Дополнительная сила должна обратиться в ноль. Это значит, что время приземления определяется условиями:

Х 2

-д- + у0Х + И + ) = 0;X >Х4.

2) скорость приземления. На протяжении всего процесса приземления она должна быть отрицательной, убывать по абсолютной величине и в момент приземления не превышать заданной величины Это означает, что должны выполняться условия:

- & + ^ + 70 ()< 0, Vt е[г0, гл);

- & + 70 ()> 0, vt ф, t1);

- gt + V + 71 ()< 0, Vt е [¿|, t2);

- & + 71 ()> 0, Vt е[^, t2);

-gt + ^ + 72 ()< 0, Vt е^, tз);

- & + 72 ()> 0, Vt е^, tз);

-gt + V + 7з ()< 0, Vt е^, t4)

- & + 73 ()> 0, Vt е^, 14);

- gt + V + 74 (t )< 0, Vt пр);

- g + 74 (t )> 0, Vt е^, );

- + ^0 + 74 (р )> Упр ■ Аналитическая часть

Приведенные условия не позволяют выделить единственное решение. Это означает, что необходимо перейти к решению задачи поиска оптимальной траектории приземления. В качестве критерия оптимальности выбирается условие минимальности работы, выполняемой дополнительной силой, которая определяется выражением:

А = Jf (t) у(t)dt.

Анализ эффективности и выводы

Воспользовавшись явным представлением дополнительной силы и траектории приземления, этот интеграл принимает вид:

А =} ^ ^ + ^ - ^) 9у + V + h + Уо (I)] ^^ +

'2 ( м ^ ( 12 ^

+/[+ Д^'(-^ 9 ~2 + ^ + h + У1 ()] dt +

«3 ( дГ Л ( t2 ^

+ Г2 + Д^'(-«2 )Д-9 7 + ^ + h + У 2 («^ dt +

«4 ( ДГ Л ( «2 Л

+ Ц Г4 + Д1'(«- «4)«]•[-9 7 + V + h + У4 («)J dt.

Для нахождения точки экстремума следует вычислить интеграл, найти частные производные по параметрам модели и приравнять их к нулю. Решение полученной системы уравнений при дополнительных условиях и дает оптимальный закон приземления платформы.

В результате численного моделирования получены следующие результаты, подтверждающие натурные эксперименты, проведенные на головном предприятии, создавшем универсальную парашютную платформу, что позволит управлять процессом соприкосновения (торможения и собственно соприкосновения) при приземлении. 1) Оптимальное время приземления tр = 0,6 с,

V

V =-0.4-.

пр

С

Оптимальное значение работы А* = 9,64.

Оптимальная таблица параметров модели

Узел г /

0 0 9,80

1 0,01 42,72

2 0,15 16,20

3 0,32 10,61

4 0,6 10,60

Рис. 2. Оптимальное распределение дополнительной силы во времени

Рис. 3. Изменение высоты платформы от времени в оптимальном режиме

Рис. 4. Скорость снижения платформы в оптимальном режиме

Литература

1. Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного: Учебн. для вузов. 2-е изд. СПб.: Лань, 2002. 304 с.

2. Арабин М.В., Герасименко И.А., Комов И.А. Воздушно-десантная подготовка: учебн.-метод. пособ. Ч. 2. Парашютно-десантные средства, их подготовка и десантирование боевой техники (грузов). М.: Военное издательство,1985. С. 9.

3. Лялин В.В., Морозов В.И., Пономарев А.Т. Парашютные системы. Проблемы и методы их решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 576 с.

4. Бледных В. В. Парашютно-грузовая система ПГС-500 серии 2, материальная часть и подготовка к десантированию: учеб. по-соб. Новосибирск: НВВКУ (ВИ), 2005. 129 с.

5. Пронина Е. В. Экономика ГА: пособие по выполнению контрольного домашнего задания «Определение себестоимости

Сведения об авторах

Мингалеев Салават Галимджанович: засл. спасат. РФ,

действительный государственный советник РФ III класса,

ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), н. с.

121352, Москва, ул. Давыдковская, 7.

e-mail: msall@yandex.ru

SPIN-код: 6441-1863.

Янкавцев Александр Васильевич: Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное ордена Суворова дважды Краснознаменное командное училище им. генерала армии В. Ф. Маргелова, адъюнкт. 390035, Рязань, ул. Военных автомобилистов, 12. е-mail: aynkavcev@yandex.ru

Волков Степан Степанович: проф., Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное ордена Суворова дважды Краснознаменное командное училище им. генерала армии В. Ф. Маргелова.

390035, Рязань, ул. Военных автомобилистов, 12. e-mail: volkovstst@mail.ru SPIN-код: 8225-2665.

Пузевич Николай Леонидович: к. т. н., Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное ордена Суворова дважды Краснознаменное командное училище им. генерала армии В. Ф. Маргелова, доц. каф. автомобильной техники.

390035, Рязань, ул. Военных автомобилистов, 12. е-mail: puzevich@yandex.ru SPIN-код: 1575-0303.

Авраменко Денис Владимирович: Рязанский государственный радиотехнический университет, аспирант. 390013, Рязань, Михайловское шоссе, 75. e-mail: avramenko.denis2014@yandex.ru

рейсов авиакомпании»: Учеб.-метод. пособ. М.: МГТУ ГА, 2014. 44 с.

6. Летная инструкция Ил-76 М (МД), поправка № 15 «Доставка снабженческих грузов методом парашютного и беспарашютного десантирования систем типа ПГС1000Р и БПГС» М.: Передовые технологии и сервис, 2016. 41 с.

7. Фельдман В. Ю. Аварийно-спасательное оборудование воздушных судов: применение в аварийных ситуациях: Учеб. по-соб. М.: Транспорт, 2001. 195 с.

8. Таликов Н. Д. Ил-76: десантирование личного состава, военной техники и грузов // Техника и вооружение. 2009. № 7 (10). С. 51-59.

9. Опаричев О. Л. Иллюстрированное учебное пособие по подготовке воинских грузов к десантированию на ПГС-500 и в парашютно-десантной таре. Кафедра ВДП РВВДКУ, 1983. 265 с.

10. Мырцева Е. Г. Расчет экономических показателей авиарейса: Метод. пособ. СПб.: Экономика транспорта, 2010. 37 с.

Information about the authors

Mingaleev Salavat G.: Honored Rescuer of the Russian

Federation, Full State Counselor of the Russian Federation, III

class, All-Russian Research Institute for Civil Defense and

Emergencies, Researcher.

7, Davydkovskaya st., Moscow, 121352, Russia.

e-mail: msall@yandex.ru

SPIN-scientific: 6441-1863.

Yankavtsev Alexander V.: Ryazan Guards Higher Airborne Order of the Suvorov twice Red Banner Command School named after Army General V.F. Margelov, Adjunct. 12, Military Motorists st., Ryazan, 390035, Russia. e-mail: aynkavcev@yandex.ru

Volkov Stepan St.: Professor, Ryazan Guards Higher Airborne

Order of the Suvorov twice Red Banner Command School

named after Army General V.F. Margelov.

12, Military Motorists st., Ryazan, 390035, Russia.

e-mail: volkovstst@mail.ru

SPIN-scientific: 8225-2665.

Puzevich Nikolay L.: Candidate of Technical Sciences, Ryazan Guards Higher Airborne Order of the Suvorov twice Red Banner Command School named after Army General V.F. Margelov, Associate Professor, Department of Automotive Engineering.

12, Military Motorists st., Ryazan, 390035, Russia. e-mail: puzevich@yandex.ru SPIN-scientific: 1575-0303.

Avramenko Denis V.: Ryazan State Radio Engineering University, Postgraduate Student. 75, Mikhailovskoe highway, Ryazan, 390013, Russia. e-mail: avramenko.denis2014@yandex.ru