МАГНИТОУПРУГОСТЬ ТОКОНЕСУЩЕЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ ОРТОТРОПИИ ПРОВОДЯЩИХ СВОЙСТВ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

UJ

шши

MATEMATYKA- FIZYKA / ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАГНИТОУПРУГОСТЬ ТОКОНЕСУЩЕЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ ОРТОТРОПИИ

ПРОВОДЯЩИХ СВОЙСТВ

Индиаминов Равшан Шукурович

доктор физико-математических наук, профессор Самаркандского филиала Ташкентского университета

информационных технологий, Самарканд,Узбекистан, Ахмеджанова Заррина

магистрант Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий Самарканд,

Узбекистан, Хотамов Абдугафур

ассистент Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий Самарканд,

Узбекистан,

В работе исследовано влияние стороннего электрического тока на напряженно-деформированное состояние ортотроп-ной оболочки переменной толщины при известных параметрах внешнего магнитного поля и поверхностной механической нагрузки. Показано, что подбирая величину плотности и направленность стороннего тока с учетом ортотропии проводящих свойств можно оптимизировать напряженное состояние оболочки, находящейся под воздействием нестационарных электромагнитных и механических полей.

Ключевые слова: оболочка, магнитное поле, магнитоупругость.

MAGNETOELASTICITY CURRENT CARRYING SHELLS WITH THE ORTHOTROPY OF

CONDUCTIVE PROPERTIES

Indiaminov Ravshan

doctor of physical and mathematical sciences, professor Samarkand branch of Tashkent University of Information Technologies,

Samarkand, Uzbekistan, Axmedjanova Zarrina magistrate Samarkand branch of Tashkent University of Information Technologies, Samarkand

Hotamov Abdugafur

assistant Samarkand branch of Tashkent University of Information Technologies, Samarkand, Uzbekistan

We study the influence of an external electric current on the stress- strain state of orthotropic shell of variable thickness at known parameters of the external magnetic field and surface mechanical stress was investigated. It was shown that by choosing the value of the density and orientation of the external current due to orthotropy conductive properties it is possible to optimize the stress state of the shell which is under the influence of non-stationary electromagnetic and mechanical fields.

Key words: shell, magnetic field, magneto elasticity.

Введение. Развитие теории сопряженных полей и, в частности, теории электромагнитного взаимодействия с деформируемой средой считается одним из главных направлений развития современной механики твердого тела. Механизм взаимодействия упругой среды с электромагнитным полем разнообразен и обусловлен геометрическими характеристиками и физическими свойствами рассматриваемого тела. В частности, этот механизм получает некоторые специфические особенности, когда рассматриваем проблемы относительно тонких пластин и оболочек, обладающих анизотропии проводящих свойств.

В современной технике используются конструкционные материалы, которые в недеформированном состоянии являются анизотропными, причем анизотропия свойств таких материалов возникает в результате применения различных технологических процессов.

Характер анизотропии материала оболочки не определяется вполне одним только его поведением как упругого тела, а также анизотропия материала может проявиться также и в отношении других его физических свойств, например маг-

нитной и диэлектрической проницаемости, также электропроводности. Ряд наиболее важных анизотропных материалов имеет кристаллическое строение.

Самой характерной особенностью физических свойств кристаллов является их анизотропия и симметрия. Вследствие периодичности, закономерности и симметрии внутреннего строения в кристаллах обнаруживается ряд свойств, невозможных в изотропных телах.

Анизотропные физические свойства кристаллов чрезвычайно чувствительны к влиянию внешних воздействий. Поэтому, подбирая и комбинируя эти воздействия, можно создавать материалы с уникальными, необычными свойствами, которые применяются в современной технике.

1. Нелинейная постановка задачи. Основные уравнения.

Будем рассматривать гибкие токонесущие конические оболочки переменной вдоль меридиана толщины, находящихся под действием нестационарных электромагнитных и механических полей. Пренебрегая влиянием процессов поляризации и намагничивания, а также температурными напряжениями считаем, что к торцу оболочку подводится

4

© Индиаминов Р. Ш., Ахмеджанова Заррина, Хотамов Абдугафур, 2016

ии

переменный электрический ток от внешнего источника. Предполагается, что сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по телу (плотность тока не зависит от координат). Упругие свойства материала оболочки считаются ортотропными, главные направления, упругости которого совпадают с направлениями соответствующих координатных линий, электромагнитные же свойства материала характеризуются тензорами электрической проводимости 7 ., магнитной проницаемости

JUi ., диэлектрической проницаемости £. .

При этом, исходя из кристаллофизики, для рассматриваемого класса проводящих ортотропных сред с ромбической

кристаллической структурой считаем, что тензоры 7 .,

1 .

£. . и принимают диагональный вид [2, 3].

В этом случае произвольная поверхность второго порядка обладает тремя взаимно перпендикулярными осями второго порядка и можно расположить эти оси параллельно кристаллографическим осям второго порядка, а также характеристическая поверхность второго порядка обладает всеми элементами симметрии, которые могут быть у классов орторомбической системы. Предположим, что геометрические и механические характеристики тела таковы, что для описания процесса деформирования применим вариант геометрически нелинейной теории тонких оболочек в квадратичном приближении. Также предполагаем, что относительно напряженности электрического поля Е и напряженности магнитного поля выполняются электромагнитные гипотезы [1]:

ди дии

Е = Е1(а, в, г); Ег = Е2 (а, в, г); Е3 = -+ Б, Б2;

дг дг

(1)

3 = з,(а,в,0; Л = 32(а,в,0; 3 = 0; Н1 =1 (н + + Н г)+ \ (н + — Н г);

2 п

Н2 = 2(н ++ Н-)+ П(н++ —н2);

Н з = Н з(а, в, г).

где — компоненты вектора перемещений точек оболочки; Е , Н1 — компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей оболочки; 3\ — компоненты вихревого тока; Н± — тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля на поверхностях

оболочки; П — толщина оболочки.

Эти допущения являются некоторым электродинамическим аналогом гипотезы недеформируемых нормалей и вместе с последней составляют гипотезы магнитоупругости тонких тел. Принятие этих гипотез позволяет свести задачу о деформации трехмерного тела к задаче о деформации выбранной произвольным образом координатной поверхности.

Координатную поверхность в недеформированном состоянии отнесем к криволинейной ортогональной системе координат 8 и 0, где 8- длина дуги образующей (меридиана), отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, 0 - центральный угол в параллельном круге, отсчитываемый от выбранной плоскости. Координатные линии 8=сош1 и 0=сош1 являются линиями главных кривизн координатной поверхности. Выбирая координату £ по нормали к координатной поверхности вращения, относим оболочки к координатной пространственной системе координат 8, 0, £ . Предполагаем, что на поверхности конической оболочки известен вектор магнитной индукции, а также поверхностные механические силы.

При получении разрешающей системы в нормальной форме Коши выберем в качестве основных функций

и, w, в,, N., 0,, М,, Бг, Ев

ы ы^ы ы ^ в Выбрав именно эти функции, в дальнейшем можно выбирать различные комбинации закрепления конуса. Дифференциальная система уравнений в основных функциях, описывающая напряженно-деформированное состояние токонесущих оболочек в магнитном поле при учете геометрической нелинейности и ортотропной электропроводностью, разрешается относительно первой производной искомых функций по одной из координат.

Предполагаем, что все компоненты возбужденного электромагнитного поля и поля перемещений входящие в уравнения задачи магнитоупругости не зависит от координаты 0, а также считаем, что упругие и электромагнитомехани-ческие характеристики материала оболочки не изменяются вдоль параллели.

После некоторых преобразований [5] получаем полную систему нелинейных дифференциальных уравнений магни-тоупругости в форме Коши, которая описывает напряженно-деформированное состояние токонесущей ортотропной конической оболочки при нестационарном воздействии механического и магнитного полей.

д и 1 — v,va ^ ve cos® ve sin® I., в —— u----— w--в2 ;

д s esh

д w

s в N -iv S

2

д s

6

S ?

(2)

S9s _ 12 (1 ^ _ V» cos 0

3 s

дNS cos ®

д s t - PS + h J-CTB( — cr1 h

eh'

Vs —-1 |Ns + e-h

cos® Sin® -—u +-— w

EeBz + 0.5 ™ bM+ B—)-ди- BZ

в z дt zV S S' дt ■

, д2и +ph—г; д t2

r

r

r

r

MATEMATYKA- FIZYKA

5

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #10, 2016

дБс д s

дЕв д s

= -У2/"

ев + 0.5 ^ (б+ + б-)-—бс

д г

д г

Б++ - Б+

дБс ~~дг

г

Ев.

В качестве примера рассматриваем нелинейное поведение ортотропной токонесущей конической оболочки перемен-

к = 5 ■ 10-4 (1 - 0.5—)м

ной толщины . Считаем, что

оболочка из бериллия находится под воздействием механи-

Рс = 5 10 ЙШ €й1

н.

м

2 ,

ческой силы

, стороннего

В соотношениях (1), (2) использованы общепринятые в теории оболочек и теории электромагнитоупругости обозначения. Кроме того, здесь введены такие обозначения:

Б+ - тангенциальные составляющие индукции магнитного поля на поверхностях токонесущей конической оболочки.

Решение краевых задач магнитоупругости связано с определенными трудностями. Это объясняется тем, что разрешающая система (2) является системой дифференциальных уравнений гиперболо-параболического типа восьмого порядка с переменными коэфициентами. Компоненты пондеромоторной силы Лоренца включают нелинейные члены, обусловленные учетом перемещений оболочки при ее деформировании.

Разработанный методики к численному решению новых класс связанных задач магнитоупругости теории ортотроп-ных конических оболочек вращения обладающей ортотроп-ной электропроводностью, основан на последовательном применении конечноразностной схемы Ньюмарка, метода квазилинеаризации и дискретной ортогонализации [4-7].

Для эффективного использования предложенной методики предполагаем, что при появлении внешнего магнитного поля не возникает резких скин-эффектов по толщине оболочки и электромагнитный процесс по координате £ быстро выходит на режим, близкий к установившемуся.

Отметим что, применяя схему Ньюмарка, весь интервал изменения времени разобьем на отдельные малые по времени интервалы и историю деформирования проследим, последовательно решая задачи на каждом временном слое.

2. Числовой пример. Анализ результатов.

электрического тока $СТ ~ 5 ■ 10 8111 (У [

и внешнего магнитного поля В^ =0.1 Ти ?> а также что оболочка имеет конечную ортотропную электропроводность У (У-^ , (У2, У3) . Сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по оболочке, т.е. плотность стороннего тока не зависит от координат.

В этом случае на оболочку действует комбинированное нагружение, состоящее из пондеромоторной силы Лоренца и механической силы.

Исследуем поведение ортотропной оболочки переменной толщины в зависимости от изменения стороннего электрического тока, который изменяется следующим образом (5 вариантов):

Граничные условия:

Параметры оболочки и материала принимаем следующими:

Решение задачи определено на интервале времени т=10-2с , шаг интегрирования по времени выбирался равным Д1=Ь10-3с. Максимальные значения получены при шаге по времени 1=540-3с.

Отметим, что в ррассматриваемом случае анизотропия удельного электрического сопротивления равно п3/^=4.07.

На ниже приведенных рисунках графики (1, 2, 3, 4, 5) соответствуют следующим вариантам изменения стороннего электрического тока:

На рис. 1 показано изменение прогиба по длине оболочки 8 при 1=540-3с. для всех вариантов изменения стороннего электрического тока 1есГ

1,40Е-03 1,20Е-03 1,00Е-03 8,00Е-04 6,00Е-04 4,00Е-04 2,00Е-04 0,00Е+00 -2,00Е-04

Рис. 1. Изменение прогиба по длине оболочки 8 при 1=540-3с для всех вариантов изменения стороннего электрического тока ^ест.

и

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #10, 2016

Из рисунков видно, что увеличение положительных значений стороннего электрического тока приводит к увеличению значения прогиба оболочки. При отрицательном направлении стороннего тока прогиб оболочки уменьшается.

Это объясняется тем, что действие пондеромоторных сил, связанных с направлением стороннего электрического тока, совпадает с направлением действия нормальной составляющей механической нагрузки и вызывает соответствующие изменения в напряженно-деформированном состоянии оболочки.

Таким образом, выбирая направленность и величину плотности стороннего электрического тока, можно добиться минимального прогиба оболочки и соответственно опти-

мизировать напряженное состояние оболочки.

На рис. 2 и 3 соответственно даны распределения максимальных значений тангенциальных рЕ^ и нормальных

составляющих рЕ ^ силы Лоренца в зависимости от времени при 8=0.05м для всех вариантов изменения стороннего электрического тока 1есГ.

Как видно из рисунков, с увеличением значений стороннего электрического тока значения тангенциальных и нор-мальних составляющих силы Лоренца увеличиваются. При этом нормальная составлящая силы Лоренца для вариантов 2 и 3 изменяется симмитрично по времени и имеет примерно одинаковые абсалютных значений (рис. 3).

2,00Е+02 1,50Е+02 1,00Е+02 5,00Е+01 0,00Е+00 -5,00Е+01 -1,00Е+02 -1,50Е+02 -2,00Е+02 -2,50Е+02 -3,00Е+02

у «

*

/ « _/ * _ ■ -V \ * л V * у 1 * ; г ( * -г 1 1

57 »V . ) 1 \ У- 1

■ Ч* V > * ' Г 1 1 ' ' ч ^ к

% — * » — — 1

1 1 см со -^ю ■ 1 ■ 1 1 1 _ ■ 1 1 1 1

Рис. 2. Изменение тангенциальной составляющей силы Лоренца р Е^ в зависимости от времени при 8=0.05м для всех вариантов изменения стороннего электрического тока 1есГ

2,00Е+03 1,50Е+03 1,00Е+03 5,00Е+02 0,00Е+00 -5,00Е+02 -1,00Е+03 -1,50Е+03 -2,00Е+03 -2,50Е+03 -3,00Е+03

Рис. 3. Изменение нормальной составляющей силы Лоренца в зависимости от времени при 8=0.05м для всех вариантов изменения стороннего электрического тока 1есГ.

На рис. 4 приведено изменение магнитной индукции В по длине оболочки 8 при 1=540-3е для всех вариантов изменения стороннего электрического тока 1есГ.

_

) > 1 ; г 7 ! 1

• • _ < У

' N ч * * * ф — ■ . * X, *

чч % — ш * *

ч» * _„ _ — - * *

— - - 5

UJ

шши

Рис. 4. Изменение магнитной индукции В в зависимости от времени при 8=0.4м для всех вариантов изменения стороннего электрического тока 1есГ

Как видно из рисунков, с увеличением значений стороннего электрического тока значения магнитной индукции увеличиваются. Приведенные результаты дают возможность оценить влияние на оболочку внешнего электрического тока и магнитной индукции, а также их комбинированное воздействие.

3. Заключение. В данной статье рассмотрена связанная задача магнитоупругости для гибкой ортотропной конической оболочки с учетом ортотропии проводящих свойств. Представлены результаты числового примера. Проанализировано влияние стороннего электрического тока на напряженное состояние ортотропной оболочки в геометрически нелинейной постановке. Выявлено, что увеличение значения стороннего электрического тока приводит к

увеличению значения прогибов и напряжений оболочки, тангенциальных и нормальних составляющих сил Лоренца. При изменении направления стороннего тока направления действий пондеромоторных сил совпадают с направлением нормальной составляющей механической нагрузки, что проводит к качественному и количественному изменению прогиб и напряжений оболочки, а также параметров электромагнитного поля. Таким образом, выбирая направленность и величину плотности стороннего электрического тока, можно оптимизировать напряженное состояние оболочки. Полученные результаты не противоречат механическому и физическому представлению процесса, происходящих в оболочке, находящейся под воздействием электромагнитных и механических полей.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1]. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. - Москва: Наука, 1977. - 272 с.

[2]. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. - М.: Мир, 1967. - 385 с.

[3]. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1979. - 639с.

[4]. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупругости (укр): учеб-ник.-К:ИПЦ «Киевский университет», 2010.

[5]. L.V. MoPchenko, I.I. Loss., R.SH. Indiaminov. Determining the Stress State of Flexible Orthotropic Shells of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. - 2008. - 44, N 8. - P. 882 - 891.

[6]. R. Sh. Indiaminov On the absence of the tangential projection of the Lorenz force on the axsymmetrical stressed state of current-carrying conic shells // International Journal Computational Technologies. - 2008. -13, N 6. -P. 65-77.

[7]. R. Sh. Indiaminov, "A magneto elastic deformation of a currentcarrying conical shell with the orthotropy of conductive properties, " Vestn. Kiev. Nats. Univ., Ser. Phys. Mat., N 5, 80-85 (2015).

8

MATEMATYKA- FIZYKA