CC BY
31
УДК 537.9
МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ОБЛАСТИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА В ТРЕХСЛОЙНЫХ МАГНИТОСТРИКЦИОННО-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
М.И.Бичурин, В.М.Петров, К.В.Беличева
MAGNETOELECTRIC EFFECT IN TRILAYER MAGNETOSTRICTIVE-PIEZOELECTRIC STRUCTURES AT BENDING MODE OF ELECTROMECHANICAL RESONANCE
M.LBichurin, V.M.Petrov, K.V.Belicheva
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Рассмотрен магнитоэлектрический эффект в трехслойной структуре на основе ферромагнетика и биморфного пьезоэлектрического преобразователя. Показано, что в структуре состава пермендюр — биморфный преобразователь на основе ЦТС наблюдается 10% увеличение МЭ коэффициента по напряжению в области изгибной моды электромеханического резонанса.
Ключевые слова: магнитоэлектрический эффект, магнитострикционно-пьезоэлектрическая структура, изгибная мода колебаний, электромеханический резонанс, биморфный пьезоэлектрический преобразователь
The magnetoelectric effect in a trilayer of ferromagnet and piezoelectric bimorph is discussed. ME voltage coefficient for the laminate of pernendur and Pb(Zr,Ti)O3-bimorph reveals a 10%-increase at bending mode of electromechanical resonance. Keywords: magnetoelectric effect, magnetostrictive-piezoelectric structure, bending mode, electromechanical resonance, piezoelectric bimorph
Введение
Магнитоэлектрический (МЭ) эффект проявляется в виде индуцирования электрической поляризации в материале во внешнем магнитном поле или в виде появления намагниченности во внешнем электрическом поле. В феррит-пьезоэлектрических структурах МЭ эффект обусловлен механическим взаимодействием магнитной и электрической подсистем, поэтому в области ЭМР наблюдается значительное увеличение МЭ коэффициентов. В работах [1-2] проведено исследование частотной зависимости МЭ коэффициента по напряжению в области продольной и радиальной мод ЭМР для образцов композитов, включая структуры на основе никелевой феррошпинели — ЦТС. В указанных работах приведены выражения для МЭ коэффициента по напряжению при поперечной и продольной ориен-тациях электрического и магнитного полей. Показано, что на частоте антирезонанса наблюдается возрастание МЭ коэффициента более чем на порядок. Резонансная частота для изгибных колебаний сравнительно меньше, чем для продольных акустических мод, что представляет интерес с точки зрения практического использования МЭ эффекта. Экспериментальные исследования показали наличие в слоистых структурах гигантского МЭ эффекта при использовании изгибных колебаний [1]. Теоретическое моделирование МЭ эффекта в области изгибной моды выполнено в [2].
Целью настоящей работы является теоретическое моделирование МЭ эффекта в области изгибных мод ЭМР в слоистых структурах на основе магнито-стрикционного материала и пьезоэлектрического би-морфного преобразователя.
Магнитоэлектрический эффект в области изгибной моды
Рассмотрим изгибные колебания трехслойной структуры, состоящей из магнитострикционного слоя и биморфного пьезоэлектрического преобразователя в виде двух одинаковых сегнетоэлектрических слоев с противоположным направлением поляризации. Будем считать, что образец имеет форму тонкой пластинки, для которой толщина значительно меньше остальных геометрических размеров, а ширина - значительно меньше длины. В этом случае мы можем рассматривать только одну составляющую тензора напряжений и деформаций. Изгибные колебания тонкой пластинки описываются известным уравнением [3]
+ = (1)
о ах2
где У2У2 — бигармонический оператор, м> — прогиб (смещение в направлении z), ( и р — толщина и средняя плотность образца, а т — время. Для рассматриваемой структуры толщина t = р1( + p2t+ т/, р=(р1р р1Г + р2р р2Г + тртГ)Л, где Рр и тр — плотность пьезоэлектрического и магнитного слоев, РЧ p2t и р( — толщина пьезоэлектрических и магнитострикци-онного слоев.
Уравнение (1) описывает изгибные колебания срединной плоскости образца, каждая точка которой движется только в направлении Z, перпендикулярном плоскости образца. Положение срединной плоскости определяется из условия равенства нулю суммы сил, действующих вдоль оси X. Эта сила определяется напряжениями в слоях структуры, которые могут быть выражены через деформации в соответствии с законом Гука. Расстояние от срединной плоскости до
поверхности раздела слоистои структуры 20 определяется выражением:
¿0+^
20 = —
1 РуЕ (p1t+p2t)2 _ ШуВш^2
2 р1уЕ_p1t + p2уE_p2t + шуВ
(2)
где РУ и шУВ — модули упругости пьезоэлектрической компоненты при постоянном электрическом поле и магнитострикционной компоненты при постоянной магнитной индукции. Продольная компонента деформации слоев образца связана с прогибом w
Р Шо д2М
вдоль направления г соотношением = _2—2.
дх
Деформации слоев и механические напряжения связаны обобщенным законом Гука. В работе рассматривается поперечная ориентация магнитных и электрических полей, для которой постоянное и переменное магнитные поля направлены вдоль длины образца, а направление поляризации и переменное электрическое поле перпендикулярны плоскости образца. Указанная ориентация магнитных полей обеспечивает наименьшее влияние размагничивающих полей.
Магнитоэлектрический коэффициент по напряжению вычисляется как отношение индуцированного электрического поля Е к приложенному магнитЕ
ному полю Н: а Е =—. Для вычисления МЭ коэффи-
Н
циента необходимо в условие разомкнутой электрической цепи подставить выражение для механического напряжения, полученное из решения уравнения (1). Для этого найдем сначала вращающий момент относительно оси у, который описывается следующим выражением:
¿0 _
Мх = | 2-
¿0
| р2Гф + | ^Т— + 12-ШТф. (3)
р1._р2. 2 _р1
20+" ч
20 _" Ч_г Ч
20 _" Ч
Поперечная сила определяется как
дМх
х дх
(4)
Для расчета среднего значения напряженности индуцированного электрического поля Е следует использовать формулу
¿0
Е = 1 | ^Е— +1 ¡р1Е^2.
(5)
20— Ч_г Ч
20 _ Ч
Для определения внутреннего электрического поля в пьезоэлектрической компоненте р1'2Е3 следует воспользоваться условием разомкнутой цепи:
pD3dx = 0.
(6)
Электрическую индукцию РD3 можно выразить из совместного решения уравнений (6) и (3). При этом выражение для РЕ3 приобретает вид:
pd31• РУЕ Ь — 2
Р12Ез = .„ _ „..2,
Г—-м(х)—х, (7) Л —х
Ь11 бзз-(1- ^31)^ —х
Напряженность внешнего и внутреннего магнитного полей в данной структуре связаны следующим выражением:
н=— Г шн—2,
ш( J 1
(8)
где ШН определяется из совместного решения уравнений (6) и (1) с учетом того, что магнитная индукция имеет нулевую дивергенцию, т.е. д ШВ1/д х = 0.
Выражение для магнитной индукции, полученное из соответствующего материального уравнения, имеет вид:
(1_шк 2 ) Ь — 2
"В] = (1 ки)(_шд11-шуВ2 Г—^(х)—х+Н • Ьш ц33), (9)
Л —х2
Ь
где ШКп — коэффициент магнитомеханической связи.
Уравнение (9) используется для определения вращающего момента и осевой силы. Ограничимся рассмотрением гармонических колебаний, тогда прогиб как функция х и т определяется выражением
м(х, т) = м(х) •^((»•т), (10)
где ю — круговая частота.
Если выражение (10) подставить в уравнение (1), то общее решение этого уравнения может быть записано следующим образом: м(х) = С sinh(fcx)+С2 соб^&х)+С3 sm(kx)+С4 ^(кх), (11) где волновое число к определяется выражением
к4 =-
Б
(12)
Если в уравнение (7) подставить (11) и использовать обозначения
cosh(k Ь)=г1, sinh(k Ь)=г2, ^(к Ь)=г3 и sin(k Ь)=г4, (13) то мы получим выражение для индуцированного электрического поля:
Р'Е3 =
p—31• РУE
Ь633 • (1_^3/)
• (_С1 • к _ С3 • к +
+С1 • к • г + С2 • к • г2 + С3 • к • г3 _ С4 • к • г4).
(14)
Для определения постоянных интегрирования С1, С2, С3, С4 следует использовать граничные условия на концах образца. Граничные условия определяются значениями вращающего момента Мх, осевой силы Ух, прогиба м и производной от прогиба дм/дх. В качестве примера далее рассматривается образец с консольным закреплением, для которого резонансная частота является наименьшей по сравнению с другими видами закреплений. При этом м = 0 и дм/дх = 0 при х = 0, Мх = 0 и Ух = 0 при х = Ь.
Для определения Мх согласно выражению (3) используем механические напряжения, выраженные через прогиб. Затем в полученные выражения подставляем РE3 и ШВ1 согласно (7) и (9). После преобразований получаем
1 ^_—21м(х)—х+м(х) _1 ^"^(220+"^, (15) Ь —х —х 2
0
Ь 7
т., а г — мх =-1'
где
2
к2^о-^)3-7оз) тк^тшЕощ^т п^
а1=-о--1--тр;-, (16)
3Б(1-рК312) 3Б
Б — цилиндрическая жесткость, которая записывается в виде
Б = 3-РУЕ • [(Ео-Р1Г)3 - (Ео-Р1Г-р203] +
+ 3 РТЕ •[Ео3 - (Ео -р103] + \тГБ •[(Ео+т/)3 - Ео3]. (17)
Подстановка (15) в граничные условия приводит к системе уравнений относительно постоянных интегрирования. Далее найденные выражения для постоянных интегрирования следует подставить в (14), а затем в (5) для нахождения индуцированного электрического поля. В результате получаем выражение для МЭ коэффициента по напряжению. Однако ввиду громоздкости точное выражение для МЭ коэффициента не приводится. Это выражение существенно упрощается в предположении малости коэффициентов электромеханической
и пьезоэлектрической связи приобретает вид
(К <<1, Рк32! << 1)
Рис.1. Частотная зависимость МЭ коэффициента по напряжению для структуры ЦТС-ЦТС-пермендюр для параллельно (однородный образец) и встречно поляризованных слоев ЦТС. Толщина каждого слоя ЦТС равна 0,2 мм
КЕ 31 -
_ т¥РГ^31^ит(2Ео + /т)[2Ео(/р2 -1рг) - 2^р2 -?р2 + + Г23)
4р + (р2 + т)(1+/1/3)
(18)
Выражение (18) показывает, что величина МЭ коэффициента определяется произведением пьезоэлектрического и пьезомагнитного коэффициентов слоев и их толщинами. Резонансные частоты определяются выражением cos(kЬ)cosh(kЬ) = -1, что совпадает с выражением для резонансной частоты тонкой пластинки с консольным закреплением. Учет квадратов коэффициентов электромеханической и пьезоэлектрической связи ведет к небольшому смещению резонансных частот.
При численных оценках резонансные потери учитываются с помощью комплексной частотой ю+iю' при ю'/ю = 1о-2.
Результаты вычислений частотной зависимости МЭ коэффициента по напряжению для структуры ЦТС-ЦТС-пермендюр с равными толщинами пьезоэлектрических слоев приведены на рис.1. Предполагается, что к магнитострикционному слою приложено подмагничивающее поле, обеспечивающее максимум пьезомагнитного коэффициента. Расчеты выполнены для образца длиной Ь = 6,8 см, толщина магнитного и пьезоэлектрических слоев равна о,2 мм.
Из рис.1 следует, что использование биморф-ного пьезопреобразователя в составе слоистой структуры не ведет к увеличению МЭ коэффициента. Однако использование пьезоэлектрических слоев с противоположными направлениями поляризации и разными толщинами позволяет усилить МЭ эффект, что показано на рис.2. Следует отметить, что в оценках, приведенных на рис.2, использованы оптимальные значения толщин пьезоэлектрических слоев при выбранной толщине магнитного слоя.
Рис.2. Частотная зависимость МЭ коэффициента по напряжению для структуры ЦТС-ЦТС-пермендюр для параллельно (однородный образец) и встречно поляризованных слоев ЦТС. Толщина слоев ЦТС равна 0,1 и 0,3 мм
Данные вычислений на рис.2 показывают, что увеличение МЭ коэффициента по напряжению составляет приблизительно 1о% для оптимальных толщин слоев.
Заключение
В данной главе рассмотрена теоретическая модель МЭ эффекта в области изгибной моды для слоистых структур со ступенчатым изменением пьезо-
и
электрических и магнитострикционных свойств. Асимметрия структуры дает возможность эффективного возбуждения изгибных колебаний посредством магнитострикционных деформаций магнитного слоя во внешнем магнитном поле.
Частотная зависимость для поперечного МЭ коэффициента по напряжению получена в результате совместного решения уравнений электростатики, магнитостатики и эластодинамики. Рассмотрен из-гибной резонанс в структуре с консольным закреплением, позволяющий поучить наиболее низкую резонансную частоту.
Получены явные выражения для МЭ коэффициента по напряжению через материальные параметры исходных компонентов (пьезоэлектрические коэффициенты, пьезомагнитные коэффициенты, упругие податливости и др.). Результаты моделирования сопоставляются с экспериментальными данными для слоистых структур со ступенчатым изменением пьезоэлектрических и магнитострикционных свойств, состоящих из ЦТС пермендюра и никеля.
В слоистой структуре ЦТС-ЦТС-пермендюр использование пьезоэлектрических слоев с противо-
положными направлениями поляризации позволяет увеличить МЭ эффект на 10%.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках государственного заказа (грант № 1639).
1. Bichurin M.I., Filippov D.A., Petrov V.M., et al. Resonance magnetoelectric effects in layered magnetostrictive-piezoelectric composites // Phys. Rev. B. 2003. V.68. P.132408 (1-4).
2. Bichurin M.I., Petrov V.M. Modeling of Magnetoelectric Effects in Composites. Springer Series in Materials Science 201, 2014. 108 j .
3. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Под ред. Э.И.Григолюк. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
References
1. Bichurin M.I., Filippov D.A., Petrov V.M., Laletsin V.M., Paddubnaya N.N., Srinivasan G. Resonance magnetoelectric effects in layered magnetostrictive-piezoelectric composites. Physical Review B, 2003, vol. 68, pp. 132408 (1-4).
2. Bichurin M.I., Petrov V.M. Modeling of Magnetoelectric Effects in Composites. Springer Series in Materials Science 201, 2014. 108 p.
3. Timoshenko S.P., lang D.Kh., Uiver U.; Grigoliuk E.I., ed. Kolebaniia v inzhenernom dele [Oscillations in Engineering]. Moscow, "Mashinostroenie" Publ., 1985. 472 p.
