CC BY
54
УДК 537.9
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ МАГНИТОСТРИКЦИОННО-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ М.И.Бичурин, В.М.Петров, К.В.Лаврентьева, Р.В.Петров
Институт электронных и информационных систем НовГУ, Mirza.Bichurin@novsu.ru
Рассмотрен магнитоэлектрический эффект в двухслойной магнитострикционно-пьезоэлектрической структуре с консольным закреплением. Показано, что в области электромеханического резонанса наблюдается усиление эффекта приблизительно в 100 раз, при этом использование консольного закрепления структуры позволяет существенно снизить значение резонансной частоты.
Ключевые слова: магнитоэлектрический эффект, магнитострикционно-пьезоэлектрическая структура, изгибная мода колебаний, электромеханический резонанс
The magnetoelectric effect of a bilayer magnetostrictive-piezoelectric structure with cantilever restraint is discussed in this article. It is shown that the effect at electro-mechanical resonance increases by a factor of 100. At that the using of the single-sided support of bilayer allows considerable decreasing of the resonance frequency.
Keywords: magnetoelectric effect, magnetostrictive-piezoelectric structure, bending mode, electromechanical resonance
1. Введение
Известно, что композиционные материалы могут обладать свойствами, которые отсутствуют у исходных компонент. Примером такого свойства является магнитоэлектрический (МЭ) эффект, который наблюдается в композиционных материалах на основе магнитострикционных и пьезоэлектрических компонент [1,2]. Деформация магнитострикционной компоненты, возникающая при приложении внешнего магнитного поля, приводит к возникновению механических напряжений, которые передаются в пьезоэлектрическую компоненту. Электрическая поляризация возникает вследствие пьезоэлектрического эффекта. Очевидно, возможен и обратный эффект. Внешнее электрическое поле вызывает деформацию пьезоэлектрической компоненты, приводящую к возникновению механических напряжений, передаче их в магнитострикционную компоненту и, как следствие, к ее намагничиванию.
Количественно МЭ эффект характеризуется МЭ коэффициентом по напряжению, се, равным отношению индуцированного переменного электрического поля к приложенному магнитному переменному полю в условиях разомкнутой электрической цепи. Величина коэффициента определяется размерами структуры, магнитными, диэлектрическими и механическими параметрами составляющих ее компонентов и частоты магнитного поля. В отличие от однофазных материалов МЭ взаимодействие между пьезоэлектрической и магнитострикционной фазами композиционного материала приводит к большим значениям МЭ коэффициентов [3-5]. Установлено, что значения МЭ восприимчивости при комнатной температуре на несколько порядков больше, чем в известных однофазных МЭ материалах. Это позволяет использовать магнитострик-ционно-пьезоэлектрические композиционные материалы в многофункциональных устройствах, таких как МЭ преобразователи, аттенюаторы и датчики. Поскольку МЭ эффект в композиционных материалах обусловлен механической связью компонент, в облас-
ти ЭМР наблюдается значительное усиление МЭ эффекта [6,7]. Однако существенным недостатком продольных мод ЭМР с точки зрения практического использования являются большие значения резонансных частот, которые достигают сотен килогерц при длине образца порядка 10 мм. Для номинальных размеров образца изгибные колебания происходят на значительно более низких частотах по сравнению с радиальными и толщинными колебаниями, что делает изгибные моды предпочтительными с точки зрения практических применений [8,9]. При этом образец в форме стержня с консольным закреплением характеризуется наиболее низким значением резонансной частоты из-гибных колебаний [10].
В данной статье рассматривается точно решаемая модель МЭ взаимодействия в области изгибных мод ЭМР. Частотная зависимость для МЭ коэффициента по напряжению определяется в результате совместного решения уравнений электростатики, магнитостатики и эластодинамики. Мы рассматриваем изгибные колебания консольного закрепленной двухслойной магнитост-рикционно-пьезоэлектрической структуры (один конец жестко закреплен, а второй не закреплен). В качестве примера численные оценки получены для структуры пермендюр — цирконат титанат свинца (ЦТС).
2. Основные уравнения
Уравнение изгибных колебаний двухслойной структуры, толщина которой значительно меньше остальных геометрических размеров, а его ширина мала по сравнению с длиной, ориентированной вдоль оси х, имеет вид [10]
У2У2^ +££.д2Ж = о, (1)
° дт2
где У2У2 — бигармонический оператор; ^ — прогиб (смещение в направлении г перпендикулярно плоскости образца); t и р — толщина и средняя плотность образца соответственно; т — время. Для двухслойной структуры толщина t = pt + mt, р = (Рр pt + тр')/^ где Рр, тр, pt = и ' = (1 - у)^ — плотности и толщины
пьезоэлектрического и магнитного слоя соответственно, а у — объемная доля пьезоэлектрика.
Деформации слоев связаны с прогибом соотношением
р, т _
д2 у дх2
Мы рассматриваем поперечную ориентацию полей, при этом направление поляризации пьезоэлектрика и индуцированного электрического поля совпадает с направлением оси г, а подмагничивающее и переменное магнитные поля направлены вдоль оси х, что обеспечивает слабые размагничивающие поля.
Закон упругости для пьезоэлектрического и пьезомагнитного слоев может быть записан в следующем виде:
" (2)
(3)
рТі = рУЕ (рБі - рё 31 рЕ3),
тТ = тгв (т8і _т8іі тВі ),
где РТ\, тТь РБ1, тБ1, — компоненты тензоров напряжений и деформаций пьезоэлектрической и магнитост-рикционной фаз соответственно; РЕ3 — напряженность электрического поля; тВ1 — магнитная индукция; рй31 — пьезоэлектрический коэффициент при постоянном механическом напряжении; рУ — модули упругости пьезоэлектрической компоненты при постоянных полях Е; тУВ и т§л — модуль упругости пьезомагнитной компоненты при постоянной магнитной индукции и пьезомагнитный коэффициент 5т^1/5тВ1 при постоянном механическом напряжении соответственно.
Материальные уравнения для обеих фаз записываются в следующем виде:
РВ3 = РёЪ1 РТ1 + р е33 РЕ3, (4)
т тт т тп-, ,
ні = _ 8іі Ті +т
"в,
(5)
Н-іі
тт
где Н1 — напряженность магнитного поля; дц — магнитная проницаемость пьезомагнитного материала; р£зз — диэлектрическая проницаемость пьезоэлектрической фазы.
3. Расчет магнитоэлектрического коэффициента
Общее решение уравнения (4), (5) — уравнение (1) для гармонических колебаний может быть записано следующим образом: м>(х) = С •БшЬ(Ьс) + С2 • СОбЬ(ос) +С3 •БШ(кх) +С4 • соБкх). (6)
2 ^
4 Ш pt
Здесь волновое число к определяется как к = В ,
где р и В — средняя плотность и цилиндрическая жесткость структуры соответственно, ю — круговая частота.
Для нахождения постоянных интегрирования, входящих в (6), следует использовать граничные условия для консольного закрепления:
V = 0 и &№/дх = 0 при х = 0,
Мх = 0 и Ух = 0 при х = Ь, где вращающий момент относительно оси у описывается соотношением
Мх = I гТМ
в котором А — поперечное сечение структуры перпендикулярно оси х. Поперечная сила определяется как
дМ Ух =■ х
х дх
Напряженность индуцированного электрического поля Е рассчитывается следующим способом:
Е = ■
“0
Г
рг )
*• р
' Е3ёг.
(7)
Для определения рЕ3 следует воспользоваться условием разомкнутой цепи:
рБ3йх = 0.
(8)
Подстановка значения РЕ3 из (8) в (7) с учетом (2)-(5) позволяет получить явное выражение для МЭ коэффициента по напряжению:
В-рё 3і- рТЕ-тди
"3і
Д-р є
- (2 - г4 - г + 2 - Г2 - Г3), (9)
где В =■
"у - г - (2 - 20 +тг) - (2 - 20 _рг) 4 - Б - (і-рк2)
Д = (гі2 + 2- гі - г3 + г32 _ г22 + г42) - к - Ь + (2 - г4 - гі + 2 - г4 - гі) - аі;
а
рту 2 р Т7-Е // р+\ 3 3ч т тт- 2 т^т * * ,т,\3 3\
К у - (^о _г) _2о) + Кіі - у - (£о + г) _2о);
3-Б-(і _ ркзі)
3-Б
г0 — расстояние от срединной плоскости структуры до границы раздела слоев; Ь — длина образца; РК31 — коэффициент электромеханической связи пьезоэлектрика; тКп — коэффициент магнитомеханической связи магнитной фазы; г = С0БИ(к Ь); г2 = Б1пИ(к Ь), г3 = С0Б(к Ь) и г4 = Бш(к Ь).
Как и следовало ожидать, МЭ взаимодействие в области изгибной моды согласно (9) определяется произведением пьезоэлектрического и пьезомагнитного коэффициентов исходных компонентов. Резонансные частоты, на которых наблюдается резкое увеличение МЭ коэффициента, определяются корнями уравнения Д = 0. При этом коэффициент а1 описывает влияние пьезомагнитных и пьезоэлектрических свойств на резонансные частоты. В пренебрежении пьезомагнитными и пьезоэлектрическими свойствами слоев структуры приходим к следующему уравнению для резонансных частот: соБ(кЬ)соБИ(кЬ) = -1. Это уравнение совпадает с условием резонанса для консольно закрепленного стержня [10].
4. Частотная зависимость магнитоэлектрического эффекта в структуре ЦТС — пермендюр
Теоретические оценки получены, исходя из следующих значений материальных параметров исходных компонент: для пермендюра тУп = 1,28-10пН/м2,
тдп = -0Д2-10-8 м/А, тр = 8,9103 кг/м3; для ЦТС РУп = 0,65-10пН/м2, Рй31 = -1751012 м/В, Ре33/е0 = 1750; Рр = 7,7-103 кг/м3. Следует отметить, что в реальных структурах существуют потери, которые необходимо учитывать в расчетах. Ширина резонансной линии может описываться путем введения комплексной частоты ю = ю' + /ю'', где принято ш'/ю'' = 100. Частотная
- г
зависимость MЭ коэффициента по напряжению приведена на рис.
Частотная зависимость поперечного МЭ коэффициента по напряжению для двухслойной структуры пермендюр — ЦТС, имеющей консольное закрепление, для і = 9,2 мм, і = 0,7 мм,
V = 0,6
Из рисунка видно, что в области изгибной моды наблюдается возрастание МЭ коэффициента приблизительно в 100 раз по отношению к низкочастотному значению. При уменьшении толщины слоя ЦТС резонансная частота изгибной моды понижается, а резонансная частота радиальной моды возрастает [іі].
5. Заключение
Разработана теоретическая модель МЭ эффекта в слоистых магнитострикционно-пьезоэлектричес-ких образцах в области изгибной моды ЭМР. Явное выражение для поперечного МЭ коэффициента по напряжению получено на основе совместного решения уравнений электростатики, магнитостатики и эластодинамики. МЭ коэффициент по напряжению в области изгибной моды для консольно закрепленной двухслойной структуры состава пермендюр — ЦТС приблизительно в і00 раз превышает его низкочастотное значение, а резонансная частота принимает значительно меньшие значения (4,6 кГц для V = 0,6) по сравнению с радиальной модой (приблизительно 300 кГц).
Работа выполнена в рамках реализации федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 20092013 годы.
1. Nan Ce-Wen, Bichurin M.I., Dong S., Viehland D., and Srinivasan G. // J. Appl. Phys. 2008. №103. P.031101.
2. Magnetoelectricity in Composites. Eds. M.Bichurin and D.Viehland. Pan Stanford Publishing, 2011. 300 pp.
3. Bichurin M.I., Petrov V.M., and Srinivasan G. // J. Appl. Phys. 2002. №92. P.7681.
4. Bichurin M.I., Petrov V.M., and Srinivasan G. // Phys. Rev. 2003. B 68. Р.0З4402.
З. Bichurin M.I., Petrov V.M., and Priya S. Magnetoelectric
Multiferroic Composites // Ferroelectrics - Physical Effects / Ed. M.Lallart. Rijeka: InTech, 2011. P.277-302.
6. Bichurin M.I., Fillipov D.A., Petrov V.M., Laletsin U., and Srinivasan G. // Phys. Rev. 2003. B68. р.132408 (1-6).
7. Бичурин Ы.И., Петров В.Ы., Аверкин С.В., Филиппов
A.В. // ФТТ, 2010. Т.З2. С.197З.
8. Petrov V.M., Bichurin M.I., Zibtsev V.V., Mandal S.K., and Srinivasan G. // J. Appl. Phys. 2009. №106. P.113901 (1-З).
9. Petrov V.M., Srinivasan G., Bichurin M.I., and Galkina T.A. // J. Appl. Phys. 2009. №10З. P.063911 (1-4).
10. Timoshenko S.P. and Young D. H. Vibration problems in engineering. 3rd ed. N.Y.: Van Nostrand Co., Inc., 19ЗЗ. 610 р.
11. Петров В.Ы., Бичурин Ы.И., Соловьев И.П., Лалетин
B.Ы., Пан С.-В. // Вестник ПовГУ. Сер.: Техн. науки. 2010. №60. С.81-8З.
Bibliography (Translitirated)
1. Nan Ce-Wen, Bichurin M.I., Dong S., Viehland D., and Srinivasan G. // J. Appl. Phys. 2008. №103. R.031101.
2. Magnetoelectricity in Composites. Eds. M.Bichurin and D.Viehland. Pan Stanford Publishing, 2011. 300 pp.
3. Bichurin M.I., Petrov V.M., and Srinivasan G. // J. Appl. Phys. 2002. №92. R.7681.
4. Bichurin M.I., Petrov V.M., and Srinivasan G. // Phys. Rev.
2003. B 68. R^4402.
З. Bichurin M.I., Petrov V.M., and Priya S. Magnetoelectric
Multiferroic Composites // Ferroelectrics - Physical Effects / Ed. M.Lallart. Rijeka: InTech, 2011. P.277-302.
6. Bichurin M.I., Fillipov D.A., Petrov V.M., Laletsin U., and
Srinivasan G. // Phys. Rev. 2003. B68. r. 132408 (1-6).
7. Bichurin M.I., Petrov V.M., Averkin S.V., Filippov A.V. //
FTT, 2010. TJ2. S.197З.
8. Petrov V.M., Bichurin M.I., Zibtsev V.V., Mandal S.K., and Srinivasan G. // J. Appl. Phys. 2009. №106. R.113901 (1-З).
9. Petrov V.M., Srinivasan G., Bichurin M.I., and Galkina T.A. // J. Appl. Phys. 2009. №10З. R.063911 (1-4).
10. Timoshenko S.P. and Young D. H. Vibration problems in engineering. 3rd ed. N.Y.: Van Nostrand Co., Inc., 19ЗЗ. 610 р.
11. Petrov V.M., Bichurin M.I., Solov'ev I.N., Laletin V.M., Nan S.-V. // Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2010. №60. S.81^.
