Lp. Lq-оценки для акустических потенциалов и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.983

Lp-Z^-ОЦЕНКИ ДЛЯ АКУСТИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

© 2006 г. Д.Н. Карасев, В.А. Ногин

We establish в Lp-Lq-estimates for the fractional acoustic potentials, which are complex powers with negative real parts of the Helmholtz operator over Rn. Some applications of the obtained estimates are also given. In particular, we describe the domains of complex powers with positive real parts of a certain non-elliptic differential operator in R, whose symbol degenerates on a cylinder.

Введение

В работе получены Lp-£?-оценки для акустических потенциалов AY, 0 < Re у < n + 1, реализующих комплексные степени с отрицательными вещественными частями оператора Гельмгольца I + А в Rn. В образах Фурье акустический потенциал задается равенством (FAуф)(£) = - 1 -- i0)-Y/2(F^)(^), (для «достаточно хороших» функций ф(х)) и допускает следующее интегральное представление:

(£ср) (x) = lRnhr n (| y |Mx - y)dy, (1)

y-n

где (| y |) = Zy I у l~ H^(| y |); Zn,Y = 2(Y-n)/V-n/2i /Г/2), H*\z) -

2

первая функция Ханкеля.

Дано приложение указанного результата к получению оценок для оператора

(x) = J тф(x - t)dt,(n -1)/2 < Rea < n, A > 0, (2)

|i|>A | t |

с достаточно гладкой характеристикой a(r).

Кроме того, с помощью оценок, полученных для оператора (1), построено обращение и описан образ частного акустического потенциала (по переменной x' = (xb x2, ..., xn-1))

(>)( x) = Jr-1 hY,n-1(| У |)^(x^ xn )dУ, 0 < Re Y < n. (3)

Отметим, что потенциал (3) реализует комплексные степени с отрицательными вещественными частями оператора

I + Ax, (4)

с символом, вырождающимся на цилиндре |^'|2 - 1 = 0.

Таким образом, описаны естественные области определения комплексных степеней с положительными вещественными частями неэллиптического оператора (4). Заметим, что аналогичные результаты ранее удалось получить только в двух случаях (см. замечание 2).

Ьр-Ьч-оценки для акустического потенциала

Будем использовать обозначения:

A = | 1,1 -

B =

Re у + n -1 2n

A • = | **Y + n -1,0

^ (n +1)2 + Rey(n-1) 1 ReY+ n -

B' =

2n(n +1) 2n

Ref + n -1 (n - 1)(n - Ref +1)

2n

2n(n +1)

„ M (n - ReY + 1)(n -1) ReY + n -1

G = | 1--,1--

2n(n + 3) 2n

Ref + n -1 (n - Ref + 1)(n -1)

G' =

k = l

n +1

2n 2, 2

K' =

2n(n + 3)

1 1 - ReY

2, 2 n +1

E = (1,0),

L = | 1,1 -

ReY

, L' = |^,0, О = (1,1), O' = (0,0), где 0 < Кеу< п +1;

(А,5, ...,X) - многоугольник в Л2 с вершинами в точках A, B, ..., К; [Л, В, ..., К] - его замыкание. Символом L(T) будем обозначать Х-характе-ристику оператора Т, т.е. множество всех пар (1/р, 1/^), для которых этот оператор ограничен из Lp в Lq.

Чтобы сформулировать основной результат статьи, введем следующие множества (1/р, 1^)-плоскости (рисунок):

= Г (А',В',В, А,Е) и (Л, Е] и (Л', Е), 1 < Яеу < п +1, ^^ П) = {(А', О', К', К, О, А, Е) и (А, Е] и (А', Е), 0 < Яе у < 1, Л1(^, п), 1 < п -1, 1шу Ф 0,

Л^, п) и (В', В), 1 <х< п -1, Л1(7,п) и [К',К], 0 < 1,

[[О, L, L', О ']\ ({L'} и {X}), 0 < Яе у < п, [О', О, Е], п < п +1.

Следующая теорема содержит Хр-^-оценки для оператора А, где точки (1/р, 1^) принадлежат прямой В'В. Отметим, что эти оценки были получены ранее в [3] при 0 < Яе у < п + 1, у Ф 2, 4, ..., где они выводились из

Л] (Y,n) =

Л2(Y, n) =

оценок для оператора Бохнера-Рисса порядка и некоторого оператора с осциллирующим ядром. Здесь для их получения разработан новый метод, основанный на применении интерполяционной теоремы Е. Стейна [5] и

„У г г 2(п + 1) использующий только оценку для оператора А из Хр в Хр, р =-,

у + 3п -1

0 < у < п + 1, полученную в [1]. Отметим, что благодаря этому методу уда -лось решить вопрос об ограниченности акустического потенциала из Хр в для точек прямой В'В в случае, когда у Ф 2, 4, ... . Важность этого случая обусловлена тем, что ядро потенциала А2к является фундаментальным решением целых степеней оператора Гельмгольца (рисунок).

Теорема 1. Справедливы следующие вложения:

[K',K] с L(AY), 0 < ReY< 1,

(B', B) с L(AY), 1 < y < n +1.

Далее описаны выпуклые множества (1/p, 1/q) - плоскости, для точек которых потенциал AY ограничен из Lp в Lq, а в некоторых случаях описана его L-характеристика. Именно с учетом полученных в [2] оценок ниже прямой B' B заключаем, что

Л* (y,n)nA2(y,n) с L(AY). (5)

В случае вещественных у, 1 < у < n + 1, знак вложения в (5) можно заменить знаком равенства.

Lp-Lq-оценки для оператора (2)

Заметим, что операторы (2) являются глобальными (осциллирующими) частями изучавшихся в [4, 8-10] операторов свертки с осциллирующими ядрами, имеющими особенности на сферах в Rn и в начале координат. Как и в указанных работах, будем предполагать, что характеристика a(r) такова, что функция a (r) = a(r4), r > 0, a (0) = lim a(rпринадлежит

r

C[Rea]+2([0, A)) и a*(0) = a(«5) Ф 0.

Обозначим через (А/,ш<) (х) = ^А ку п (| у |)<(х - у)йу глобальную

часть оператора и оператора Лу. В [2] было показано, что Ь(Л/,Ш) = = Щ(ьп+^-1)/2),0 <ЯеГ<п +1,

п-г-1

ь( ) 12 е-п(/-п-1)/2 ^ (л » Л

где Ь(г) = ./--10 е 7 2 I 1 + — I Ж

Г((п-у +1)/2) ^ 2г)

(заметим, что характеристика Ь(г) обладает описанными свойствами функции а(г)). Тогда с учетом равенства Ь() = Ь(Ба), где а(г) - произвольная характеристика, удовлетворяющая наложенным выше условиям; Б - оператор (2) с постоянной характеристикой а(г) = 1, а также вложения

Л1 (2а-п +1,п) сЬ(Ба) (см. [2]), получаем следующую теорему. Теорема 2. Пусть (п - 1)/2 < Яе а < п. Тогда

Л* (2а- п +1, п)с Ь(Ба). (6)

В случае, когда п/2 < а < п, знак вложения в (6) можно заменить знаком равенства.

Замечание 1. Отметим, что вложение (6) при (п - 1)/2 < Яе а < п и а Ф (п + 1)/2, (п + 3)/2,..., было доказано в [4] с помощью весьма сложного и «громоздкого» метода, основанного на получении специального представления для символа оператора Б с последующим переходом к представлению для него в виде суммы композиций операторов с осциллирующими ядрами и мультипликаторных, к которым применимы классические теоремы типа Михлина-Хермандера.

Ьр - Ьр + !,(- р) - оценки для оператора Агх,

Здесь мы приведем указанные в заголовке оценки для оператора (3), которые играют важную роль при описании образа потенциала Л£, а также представляют самостоятельный интерес. Здесь Ь(д р) - пространство со смешанной нормой, д = (д, д,..., д).

п—1

Теорема 3. Пусть 0 < Яе у < п. Тогда оператор (3) ограничен из Ьр в

Ьр + Ь(д,р), если (1/р,1/д) еЛ|(/,п -1).

Обращение и описание образа потенциала Агх, В этом пункте в рамках метода аппроксимативных обратных операторов строится обращение потенциала / = Лгх,<р<е. Ьр, (3) в виде

(TY f )( ^

( Lp,m)

= lim

( X \

n-1+ -

_f f ( r - tx )dt f (I -1 - iQ) 2 e-№2t

—fß»-1 f (x t, xn )dtfR„-i n-1 e aç

(2n) JR JR (|#|2 +(e+ i)2)

(7)

где LpM={f(x): f(x)(1+|x '|У/2 e Lp }, ^<-p(n - 2 + Rey)/2. Кроме

того, будет дано описание образа AY (Lp ) в терминах обращающих конструкций.

Теорема 4. Пусть Q < Re у < n и 1/ p e ((Re х + n - 2)/(2(n -1)), 1]. Тогда

(т£Агх,ф){x) = (p(x), (p(x) e Lp, где TY - оператор (7); предел в (7) можно

заменить пределом почти всюду. Справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Пусть Q < Re у < 1, 1/p e Re у /(n + 1) + 1/2, 1]. Тогда

A'(Lp ) = {f e e Lp + L(q,p): TYf e Lp }, где TY - оператор (7);

q = (q,q,...,q) таково, что 2(n - 1)/n < q' < œ и оператор AY ограничен из

n-1

Lp в Lp + L(q p) в соответствии с теоремой 3.

Замечание 2. Теорема 4 дает явное выражение для комплексных степеней с положительной вещественной частью оператора (4), а в теореме 5 содержится описание естественной области определения указанных степеней. Заметим также, что несмотря на довольно большое число работ по теории комплексных степеней неэллиптических дифференциальных операторов (см. [6] и имеющуюся там библиографию) описать образы соответствующих дробных потенциалов (т.е. доказать теоремы, аналогичные теореме 5) удалось только в двух случаях оператора Гельмгольца [2] и телеграфного оператора [7].

Работа поддержана грантом РФФИ № 06-01-00297а.

Литература

1. Ногин В.А., Рубин Б.С. // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 3. С. 1608-1613.

2. Karasev D.N., Nogin V.A. //Proceedings of A. Razmadze Math. Inst. 2002. Vol. 129. P. 29-51.

3. Karapetyants A.N., Karasev D.N., Nogin V.A. // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2005. Vol. 8. № 2. P. 155-172.

4. Karapetyants A.N., Karasev D.N., Nogin V.A. // Изв. НАН Армении. Математика. 2002. Т. 38. № 2. С. 37-62.

5. Stein E.M. //Trans. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 83. P. 482-492.

6. Samko S.G. Hypersingular Integrals and Their Applications. Analytical Methods and Special Functions. L.; N. Y., 2002.

7. Ногин В.А., Чеголин А.П. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 3. С. 402-409.

8. KarasevD.N., Nogin V.A. //Math. Nachr. 2005. Vol. 274. № 5. P. 554-574.

9. Karasev D.N. // Fractional Calculus Applied Analysis. 2002. Vol. 5. № 2. P. 131153.

10. Karasev D.N., Nogin V.A. // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 2002. Vol. 21. № 4. P. 915-929.

Ростовский государственный университет 17 апреля 2006 г.

УДК 517.537

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЧЕТНЫХ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

©2006 г. Ю.Ф. Коробейник

The author investigates the distribution of zeros of the class M of even functions single-valued and analytic everywhere in C except two points ± 1 which are simple poles for each

function of M. The necessary conditions for the existence of infinite number of zeros of real or imaginary part of some function of M in the strip | Rez |< T, T e [as well as sufficient

conditions for the existence not more than finite number of zeros in such a strip are obtained.

Введение

Пусть S e N0 = {0, 1, 2'...} и Ms - множество всех отображений f: [1, +®) ^ R, непрерывных на [1, +<») вместе со своими производными до порядка s включительно и таких, что при j = 0, 1,... s

ln| f(j)(x) |

lim-= -да. Для любого z = a + iX из С рассмотрим функцию

x^+ш lnx

1 1 -U z ( 1 1 1 Ff (z) := ——- + -J f (x)• x 4 (x2 + x 2)dx = -r--- +Фf (z). (1)

f z2 -1 21 V ' i z — "2 z + i J f

2 2 У

Очевидно, что если / е М0, то Ф/г) е А (С), а Е/(г) аналитична в области Сь полученной удалением из С двух точек ± -2-, в каждой из которых

имеет простой полюс. При этом Е/ (г) = Е/ (-г), У г е С1. В настоящей работе приводятся некоторые результаты о влиянии характера распределения нулей Е/ на свойства порождающей ее функции/

Предполагая вначале, что / е М0, преобразуем Е/ с помощью замены переменной в интеграле, определяющем Ф/, и разделения вещественной и мнимой частей в Е/. Имеем