Научная статья на тему 'Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и их приложения'

Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
54
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Карасев Д. Н., Ногин В. А.

Развит новый подход к получению Lp->Lqоценок для широкого класса операторов типа потенциала с ядрами, осциллирующими на бесконечности. В рамках этого подхода получены оценки для операторов Бохнера-Рисса и более общих потенциалов Kα,β,γ с ядрами, имеющими особенности в начале координат и на единичной сфере в Rn. Дано также приложение указанных оценок к описанию образа Kα,β,γ(Lp) в наиболее трудном неэллиптическом случае, когда символ оператора Kα,β,γ одновременно имеет нули на множестве нулевой меры в Rn и особенности на единичной сфере.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

We develop a new approach to the Lp -> Lq estimates for potential-type operators with oscillating kernels of some general form, which allows us to establish the estimates for the Bochner-Riesz operator and more general potentials Kα,β,γ with singularities of their kernels at the origin and on the unit sphere in Rn.

Текст научной работы на тему «Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и их приложения»

позволяет записать эти уравнения в виде:

С] = Zi + Z2 > с2 = U + Z] Z2 +(Z]~ 1)(Zi + 3)/4,

С3 - Zi Z4 + Z2 (Zi - IX Zi + 3)/4 + (Zi - 1)2/4,

C4 = Z2 (Zi - l)2/4+ U (Z/ - IX Zi + 3)/4 - Zs, c5 = u(zt- 1)2/4-zjZj.

Отметим, что обратный переход от z, к d, легко осуществим.

При этом величина z3 остается почти произвольной, лишь ограниченной неравенствами: ds = Z5 >0, d, = (zi- 1)/2 >0, d2 = z2- Z3 >0, d} = zj >0, d4 = d2d3-Z4> 0,

0 < Z3 < zi, Dl= zi -4z4 >0,

Zj < (Z2 - 4d\ )/2 и in zj > (z2 + Ш )I2. Обозначив zi = 1 ■* z<j, сведем эту задачу к одному уравнению для Zo > 0.

Z2 - Cl - 1 - Zo, U - F2 (Zo) = F3 (z0 ), c2-(c,-l-zo)(l + Zo)-Zo(l+Zo/4) =

= lc3 - Z2 (z, - їх z, + 3)/4 - (Z, - 1)2/4]/(1+z.o ).

Из этого уравнения можно получить решение в виде Zo = Zo(Ci, С2, С з) и найти остальные искомые величины.

Выводы

Показана возможность полного и наглядного описания областей устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения или их преобразований (с иллюстрацией для систем пятого порядка); указаны пути решения обратной задачи -отыскания параметров исходной системы (с дополнительными условиями, специфическими для нее) — по коэффициентам характеристического многочлена, выбранным по условиям устойчивости.

Литература

1. Ла-Салль Ж., Лефшец С Исследование устойчивости

прямым методом Ляпунова М, 1964.

2. Гантмахер Ф Р Теория матриц. М,1966

3. Постников М М Устойчивые многочлены. М,1981.

4. Сидоренко В С. //Новые технологии управления движением технических объектов. Ростов н/Д, 2000.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1970.

6. S/ofifc>/a//SchweizerBau-Zeitung. 1923. Vol. 17.

Ростовский государственный университет

20 сентября 2002 г.

УДК 517.983

ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

© 2003г. Д.Н. Карасев, В.А. Ногин

We develop a new approach to the Lp —> - estimates for potential-type operators with oscillating kernels of some general form,

which allows us to establish the estimates for the Bochner-Riesz operator and more general potentials К ° **r with singularities of their ker-

nels at the origin and on the unit sphere m R".

Развит новый подход к получению Lp-*Lq - оценок для многомерных операторов типа потенциала /

гКм(р(х-№,() < Rea < п , А > 0, (1)

I'M

І'ї

где характеристика а(г) , гє(А,°°] - достаточно

гладкая функция. Этот подход основан на оценках для некоторых осцилляторных интегралов, полученных Е. Стейном [1, гл.9], теоремах Томаса - Стейна для сужения преобразования Фурье на единичную сферу и интерполяции аналитических семейств операторов. Построены выпуклые множества на {Ир, М q) - плоскости, для точек которых оператор s“ ограничен из Lp в Lg, и указаны области, в которых он не ограничен. В некоторых случаях построена L-характеристика оператора (1), т. е. описано множество всех пар (М p,\Iq) таких, что оператор ограничен из Lp в Lg.

Даны приложения указанных результатов к получению оценок для операторов Бохнера-Рисса, а также

для более общих потенциалов ]£а'Р-у с ядрами, имеющими степенные особенности в начале координат и на единичной сфере и осциллирующими на бесконечности.

На основе установленных оценок описан образ Ка’Р’У(ьр) в наиболее трудном неэллиптическом случае, когда символ оператора ка,^’г одновременно имеет нули и особенности, «размазанные» по различным сферам в Яп. Последний результат является принципиально новым, не имеющим аналогов.

1. -> - оценки для оператора (1)

Введем следующие точки на (1 / р, 1 / ц) - плоскости:

А =

Rea'і f Rea _Л

U и < ,0

1 п ) I n )

В= 1-

В'--

(»-!)(«-Rea) Rea

п[п + \) ’ п

Rear (//-1)(«-Rea)'| п ’ п(л +1) J’

1

С = D =

' 3 2 Re а 3 2 Re а' 2

п-1 2 п-1

^Rea+l n-Rea'

п + 1

п + 1

, с =

, Е = (1, 0), F = Rea'

^2Rea 1 2 Rea Р п-1 2’ п-1 2

2’ 2

п(п + 3)

, G’=

Rea (n-Rea)(n-l)

и(л + 3)

tf =

Rea

, 1-

Rea

п п

2 (Re а +1) 1_ Г

2’ 2

, Я'=

Г Rea Rea' у п ’ п

£-=|i 3 2(Rea + l) 1 2’ 2 п+1

п + 1

ч

о = (і, і), о'=(о, о).

Положим

(А\В\В, А, Е) U (Л, Е] U (А', Е),

(A' ,G’,K\K, G, Л, Е) U (А, £] U (А’, Е), (A’,G',F,G,A, £)U(A,£]U(A',£),

Z,,(a,n) = -

(А, G', F, G, A, F) U (A, F] U (A', E) U {F},

(A', G', С, С, G, A, E) U (A, £] U (A'. £) U (С', C), [А',Я',Я,А,£:]\([А'>Я,]и[А,Я]), если n>3 или n = 2 и Ima^O;

— <Rea<n,

2

n-1 _ n

---<Rea<—,

2*2'

_ n — 1

2 ’

Re a = ——-, Ima Ф 0, 2

n(n-l) _ n-1

—--<Rea<----,

2(n +1) 2

6<Rea£*^,

2(n +1)

2. Оценки для операторов Бох-нера - Рисса с символами комплексного порядка

Операторы Бохнера - Рисса с символами

2“(2;гГ'2(1-|1Г);а/Г(1-а)

играют важную роль в различных вопросах анализа [1, гл.9]. Они представимы в виде

[ва(р)(х) =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= Л*Г/2ШЛ/2-а(ИЖ*-0Л,

L,(a,n) =

(A',B\B,A,E)\J(A,E]\J(A’,E),

1

— <а< 2,аФІ, 2 *

(А', В’, В, А, £) U (А, £] U (А', Е) U (S', fi), а = 1,

[А\ Я', Я, А, £]\([А1, Н’] U [А, Я]), 0<а<^,

Rea<

п +1

■, а*1, где J (z) ~

функция Бесселя порядка v ;

К)

(х) = С \е~авф(в)4д.

1

если и = 2 и 1та = 0; £*(а,я) = 11(а,п)и{£>},

если (п -1)/ 2 < а < п, и /-1 (а, л) = 1[ (а, л) в остальных случаях (рис. 1). Здесь и в пункте 3 будем предполагать, что характеристика

а(г) такова, что функция а*(г) = а(г ‘), г > 0, а*(0) = lim а(г *) при-

О

надлежит C^Rea^+2([0,^)), и а* = а(^) Ф 0. Через ЦА) обозначим L-характеристику оператора А.

Теорема 1. I. Пусть 0 < Rea < п. Тогда справедливо вложение I(S“)Dii(a,n).

II. Множество 1(5д ) не содержит точек, лежащих 1) на отрезке [А,Я] и выше него; 2) на отрезке [А',Н'] и левее него; 3) выше прямой

ВВ' в случае <а < п; 4) на отрезке [О,О'], если а = •

Замечание 1. Утверждение теоремы 1 даже в случае а(г) н 1 и вещественных а сильнее соответствующих результатов работ [2, 3].

В указанном случае (точнее при 0<a<(n-l)/2 и п/2<а<п) утверждение I частично было получено авторами совместно с Е.Е.Урнышевой.

В случае вещественных a Lp —>Lq- оценки для оператора

Ва (с учетом осцилляции функции Jn/2-a(r) ПРИ г->°°) были получены в [2].

С помощью теоремы 1 доказывается следующая

Теорема 2. Пусть О < Rea < -” + *. Справедливо вло-

жение L(Ba)-DL*i

п-1 а +-----,п

Замечание 2. Основная теорема из [2] не отвечает на вопрос об ограниченности оператора Ва из Ьр в Ь , если

(1 !р, 1 /<?)е [В\ Д С]и[Я, Д (7]\([Я, С]и

и [Всчир}),

п> 2, 0<а<(п + 1)/2;

(Ир,\/д)е(В', 5)\р}, и = 2, а * 1 (рис. 2).

Теорема 2 дает положительный ответ на этот вопрос в следующих случаях

(1/р, 1/9)е(5',ДС,)и(5,ДС)и(АС)и(ДС), п>2, 1/2<а<(« + 1)/2;

(1 / р, 1 / <?) € (Д (7, К) и (Д С, К') и (Д С) I) (Д С), п> 2, 0<а<1/2.

Если 1/2<а<(п + 1)/2,то вопрос об ограниченности оператора Ва из Ьр в Ьд остается открытым лишь для точек множества (В', В) \ {О}.

3. Ьр-^Ьд - оценки для оператора Ка'$’у Рассматриваются операторы типа потенциала вида

{ка’Р’у(р){х)= I ка р у (\у\)<р(х-у)с!у (2)

К" ’

с ядрами, удовлетворяющими следующим условиям. В окрестности точек /• = О И Г-\ ядро ка,р,у(г)

представимо в виде

каф,у^) = ~^ = куа(г), (3)

О < Яеу < п, О < г < Т] < 1;

каЛу(г) = ь(г)(1-г2 +10)1-Р Ь^</3<1

1 — п

р*о-1...

+1, 1-5<г<1 + 5,1-5>Г7

особенностью ядер [4-6].

Обозначим через ]УЛ и мЦ операторы с ядрами

вида (3), урезанные нулем вне указанных окрестностей точек г = О и г = 1. Тогда справедливо представление

Ка’Р’г = 5“ + 1?а + мЦ + А , (4)

где А - оператор с финитным ограниченным ядром Заметим, что в [7] была построена £ - характеристика оператора мЦ. Именно, было доказано, что

ЦМІ) = Ь2Ф,п),

(5)

где

1-й

L2W,n) = №’M'®' 2

[[O',Q',M,Q,0]\({Q'}U{Q}), 0< /З < 1,

'п + Р 1 -Р)

<рйО,

м =

Q =

Q’=

п +1 и + 1

р р '

1+—, 1+-^— /1-1 л-1

, Д< О,

(1,1-р), ' р>0,

л-1 л-1

(р, 0), р>0

(рис. 1). Кроме того, нетрудно показать, что

Щга) = 1в(у,п),

где ^(у,п) = [О\О,ЛГ,ЛП\({Л011{ЛП),

(6)

N = fu-Re^ , N' =

n \ n \ /

На основании (4) - (6) и теоремы 1 заключаем, что справедлива следующая

Теорема 3. При наложенных выше условиях на параметры и характеристики справедливо вложение ЦК“0Г)^> £*(а,п)П£2(/3,п)П£з(у,п). Замечание 3. В указанных случаях удалось построить Ь- характеристику оператора ;

1) и > 3, 0<Кеа<-^—или а>^~—-, р=а + 1-п и

(при Р < 0 интеграл (2) понимается в смысле регуляризации).

При г > А > 1 + 8 это ядро совпадает с ядром оператора (1). Мы предполагаем также, что 6(г)єСт(1-5, 1+5), где тп = [п/2] + 1~2[/}], если (1-л)/2</}<0, и т = тах{3,[л/2] + 1}, если 0</3<1; характеристика d(r) ограничена и стабилизируется в нуле как гельдеровская функция. Мы накладываем естественные условия fc(l) Ф 0, d(Q) Ф 0. Вне указанных окрестностей ядро ka<p y(r) предполагается ограниченным.

Заметим, что исследование операторов (2) является естественным развитием тематики, связанной с изучением операторов типа потенциала с точечной

2(л +1)

Re у >

л(1 + 2а-и) л + 1

2) л = 2 и выполнено одно из условий: а)

0<Яеа<1/2, б) а = 1, в) а>1, р=а-1 и

в 2(2а -1)

Кеу> ;

3)л>2, а>л-1, 0< р <а + \-п , 11еу> ——1 + 2^) .

л + 1

Отметим, что

ЦКа’Р’г) = {£>} (7)

в случае я>2, если аг>(л-1)/2, р = а + 1-п и

Иеу > л(1 + 2а — п) /(и +1). Кроме того, в случае 3

ЦКа'Р’г) = 0 . (8)

Заметим, что (7) и (8) интересны тем, что такие ситуации в принципе невозможны для операторов типа потенциала с точечными особенностями ядер, изученных в [4 - 6].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Обращение потенциалов Ка'^<р с Ьр-

плотностями в неэллиптическом случае

Рассмотрим наиболее трудный (с точки зрения построения обращения) неэллиптический случай, в котором предполагается

ши{£:£аду(|£|) = 0} = 0, (9)

где ка^у(\ ||) - символ оператора (2).

Здесь предполагаем, что а*(г)е стах{'!+2’[Ке0!№/2]+2}([о _ в рамках ме-

тода аппроксимативных обратных операторов (АОО) обращение потенциалов / = Ка'@'у(р , <реЬр строится в виде

а»)

£->0 5—>0

где

haJ'4t) = F

-1

А £

-ЄІІІ2

(к«Ду( III)!2 +tf)(£|2 +(£ + 02J

(0,

Lp,H=\f: \\Я*)\Р (1+|х|)^Л<« I Rn

Теорема 4. Пусть 0<Иеа<п, 0<11еу<п, (1-я)/2 < р < 1, р Ф 0,-1,...,[(1-л)/2] + 1 с дополнительным ограничением Р > (Иеа-п)(п-\)/п при Ие а > (п -1) / 2. Предположим, что шах{1/2,Кеа/п}<1/р<тт{1,1 + (3/(п +1)}. Тогда

справедливо равенство {на’^,г Ка’^’^(р)(х) = (р(х),

(р(х)е Ьр, где На'Р,г - оператор (10); предел по норме Ьр'Ц в (10) можно заменить пределом почти всюду.

Замечание 4. При наложенных в теореме условиях на параметры а, /3 и у пересечение проекций множеств Ь*(а,п) и Ь2(/3,п)Г)Ь3(у,п) на ось Ир не пусто. Условие на Ир означает, что это число принадлежит пересечению указанных проекций. При выполнении этих условий оператор (2) ограничен из Ь

в 1?1 +для некоторых <7, и д2.

Замечание 5. Некоторые приложения метода АОО к обращению операторов типа потенциала содержатся в [6, 8 - 10]. Однако обращение операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами в неэллиптическом случае было построено ранее только в одном специальном случае риссовых потенциалов с характеристикой вида (с + а-(/\1

где се С, аеЛ", у>0 (при с = 0 [10] и в случае с* 0 [11]).

5. Описание образа Ка’^’у (Ьр) в неэллиптическом случае (при выполнении условия (9))

Это описание основано, с одной стороны, на теореме 4, с другой - на следующей лемме, содержащей информацию о действии оператора (2) из Ьр в сумму пространств Ь^ + 1д2, где д/ и таковы, что -2.

Лемма 1. Пусть 0<11еа<ю/2, 0<Кеу<и, (\-п)!7<Р <\, Р *0,-1,...,[(1-л)/2] + 1 с дополнительным ограничением

Р > ((411е а - Зп + 1)(л -1)) 1(2(п +1)) при (л-1)/2<11еа</г/2. Предположим, что тах{2(Яе а +1) 1(п +1) -1 / 2,1 / 2}<

<1/ р<тт{1,1+ Р /(п — 1)}.

Тогда оператор ка,^,у ограничен из Ьр в , где <?, и qг таковы, что 1<<?1 <2 , 1<?2 ^2,

(Ир, 1 /«1)е4(а,л), (Ир,11д2)е Ь2(Р,п)Г\Ь3(у,п).

Замечание 6. При наложенных в лемме условиях на параметры а , Р и у пересечение проекций множеств ь\(а,п)С\1 и Ь2(Р,п)Г\^(у,п)С]1 на ось Ир не пусто, где 1 = {(\/р, 1/^):0<1/р<1,1/2<1/д<1}. Условие на 11 р, как и в замечании 4, означает, что Ир принадлежит пересечению указанных проекций.

Утверждение леммы выводится из равенств (4)-(6) и теоремы 1.

Переходя к описанию образа ка’^,у (Ьр), будем предполагать, что характеристика Ь(г) удовлетворяет условиям, наложенным в пункте 3; с1(г)е С*([0,г?)), 5 = 5 + [у + (и -1)/2], если у > (п -1)/2, и 11(г) ограничена и стабилизируется в нуле, если

2.1-*

2 2

U

С*

1+-, 2N 2

г<г=>; *оЛм^[<и1’,2)'2

Теорема 5. Пусть выполнены условия на параметры а, р, у(0<у<п) и Ир, наложенные в лемме 1.

Тогда Ка^(Ьр) = \гєЬЙІ +ЬЧ2 :На’^/єЬр],

где На'Р* - оператор (10); ql,qг<2 - любые числа такие, что оператор (2) ограничен из Ьр в +1?2 в

соответствии с леммой 1.

Замечание 7. Заметим, что образ оператора типа потенциала с осциллирующим ядром в неэллиптическом (а также более простом эллиптическом) случае ранее описан не был.

Описание образа Ка'^'у{ір) в неэллиптическом

случае связано с преодолением принципиальных трудностей, вызванных вопросом о плотности в Ьр

пространства Фу типа Лизоркина - Самко [12-14], построенного по множеству нулей и особенностей

символа оператора (1). Эти трудности преодолеваются с помощью применения леммы 1.

Авторы благодарят профессоров С.Г.Самко и Я.М.Ерусалимского за полезное обсуждение результатов работы.

Литература

1 .Stein Е.М. Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, 1993.

2. Borjeson L И Indiana University Mathematics Journal. 1986. Vol. 35.’Ха 2. P. 225-233.

3. Ногин BA., Рубин B.C. II Диф. уравнения. 1990. Т. 26. №

9. С. 1608-1613.

4. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д, 1984.

5. Самко С.Г. и др. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987.

6. Samko S.G. Hypersingular Integrals and Their Applications. Series «Analytical Methods and Special Functions». L.; N.Y., 2002.

7. Nogin V.A., Karasev D.N. U Fractional Calculus & Applied Analysis. 2001. Vol. 4. № 3. P. 343 -366.

8. Samko S.G. // Integral Transforms and Special Functions. 1993. Vol. 1.J62.P. 145-163.

9. Nogin V.A., Samko S.G. // Integral Transforms and Special Functions. 1999. Vol. 6. № 1-2. P. 89 -104.

10. Nogin V.A., Samko S.G. II Fractional Calculus & Applied Analysis. 1999. Vol. 2. № 2. P. 205 -228.

11. Ногин B.A., Трут Л.И. II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 3. С. 6 - 8.

12. Самко С.Г. II Мат. зам. 1977. Т. 21. № 5. С. 677 - 689.

13. Самко С.Г. // Мат. зам. 1982. Т. 31. № 6. С. 855 - 865.

14. Samko S.G. II Studia Math. 1995. Vol. 113. № 3. P. 199—

210.

Ростовский государственный университет

21 мая 2002 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.