CC BY
12
позволяет записать эти уравнения в виде:
С] = Zi + Z2 > с2 = U + Z] Z2 +(Z]~ 1)(Zi + 3)/4,
С3 - Zi Z4 + Z2 (Zi - IX Zi + 3)/4 + (Zi - 1)2/4,
C4 = Z2 (Zi - l)2/4+ U (Z/ - IX Zi + 3)/4 - Zs, c5 = u(zt- 1)2/4-zjZj.
Отметим, что обратный переход от z, к d, легко осуществим.
При этом величина z3 остается почти произвольной, лишь ограниченной неравенствами: ds = Z5 >0, d, = (zi- 1)/2 >0, d2 = z2- Z3 >0, d} = zj >0, d4 = d2d3-Z4> 0,
0 < Z3 < zi, Dl= zi -4z4 >0,
Zj < (Z2 - 4d\ )/2 и in zj > (z2 + Ш )I2. Обозначив zi = 1 ■* z<j, сведем эту задачу к одному уравнению для Zo > 0.
Z2 - Cl - 1 - Zo, U - F2 (Zo) = F3 (z0 ), c2-(c,-l-zo)(l + Zo)-Zo(l+Zo/4) =
= lc3 - Z2 (z, - їх z, + 3)/4 - (Z, - 1)2/4]/(1+z.o ).
Из этого уравнения можно получить решение в виде Zo = Zo(Ci, С2, С з) и найти остальные искомые величины.
Выводы
Показана возможность полного и наглядного описания областей устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения или их преобразований (с иллюстрацией для систем пятого порядка); указаны пути решения обратной задачи -отыскания параметров исходной системы (с дополнительными условиями, специфическими для нее) — по коэффициентам характеристического многочлена, выбранным по условиям устойчивости.
Литература
1. Ла-Салль Ж., Лефшец С Исследование устойчивости
прямым методом Ляпунова М, 1964.
2. Гантмахер Ф Р Теория матриц. М,1966
3. Постников М М Устойчивые многочлены. М,1981.
4. Сидоренко В С. //Новые технологии управления движением технических объектов. Ростов н/Д, 2000.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1970.
6. S/ofifc>/a//SchweizerBau-Zeitung. 1923. Vol. 17.
Ростовский государственный университет
20 сентября 2002 г.
УДК 517.983
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
© 2003г. Д.Н. Карасев, В.А. Ногин
We develop a new approach to the Lp —> - estimates for potential-type operators with oscillating kernels of some general form,
which allows us to establish the estimates for the Bochner-Riesz operator and more general potentials К ° **r with singularities of their ker-
nels at the origin and on the unit sphere m R".
Развит новый подход к получению Lp-*Lq - оценок для многомерных операторов типа потенциала /
гКм(р(х-№,() < Rea < п , А > 0, (1)
I'M
І'ї
где характеристика а(г) , гє(А,°°] - достаточно
гладкая функция. Этот подход основан на оценках для некоторых осцилляторных интегралов, полученных Е. Стейном [1, гл.9], теоремах Томаса - Стейна для сужения преобразования Фурье на единичную сферу и интерполяции аналитических семейств операторов. Построены выпуклые множества на {Ир, М q) - плоскости, для точек которых оператор s“ ограничен из Lp в Lg, и указаны области, в которых он не ограничен. В некоторых случаях построена L-характеристика оператора (1), т. е. описано множество всех пар (М p,\Iq) таких, что оператор ограничен из Lp в Lg.
Даны приложения указанных результатов к получению оценок для операторов Бохнера-Рисса, а также
для более общих потенциалов ]£а'Р-у с ядрами, имеющими степенные особенности в начале координат и на единичной сфере и осциллирующими на бесконечности.
На основе установленных оценок описан образ Ка’Р’У(ьр) в наиболее трудном неэллиптическом случае, когда символ оператора ка,^’г одновременно имеет нули и особенности, «размазанные» по различным сферам в Яп. Последний результат является принципиально новым, не имеющим аналогов.
1. -> - оценки для оператора (1)
Введем следующие точки на (1 / р, 1 / ц) - плоскости:
А =
Rea'і f Rea _Л
U и < ,0
1 п ) I n )
В= 1-
В'--
(»-!)(«-Rea) Rea
п[п + \) ’ п
Rear (//-1)(«-Rea)'| п ’ п(л +1) J’
1
С = D =
' 3 2 Re а 3 2 Re а' 2
п-1 2 п-1
^Rea+l n-Rea'
п + 1
п + 1
, с =
, Е = (1, 0), F = Rea'
^2Rea 1 2 Rea Р п-1 2’ п-1 2
2’ 2
п(п + 3)
, G’=
Rea (n-Rea)(n-l)
и(л + 3)
tf =
Rea
, 1-
Rea
п п
2 (Re а +1) 1_ Г
2’ 2
, Я'=
Г Rea Rea' у п ’ п
£-=|i 3 2(Rea + l) 1 2’ 2 п+1
п + 1
ч
о = (і, і), о'=(о, о).
Положим
(А\В\В, А, Е) U (Л, Е] U (А', Е),
(A' ,G’,K\K, G, Л, Е) U (А, £] U (А’, Е), (A’,G',F,G,A, £)U(A,£]U(A',£),
Z,,(a,n) = -
(А, G', F, G, A, F) U (A, F] U (A', E) U {F},
(A', G', С, С, G, A, E) U (A, £] U (A'. £) U (С', C), [А',Я',Я,А,£:]\([А'>Я,]и[А,Я]), если n>3 или n = 2 и Ima^O;
— <Rea<n,
2
n-1 _ n
---<Rea<—,
2*2'
_ n — 1
2 ’
Re a = ——-, Ima Ф 0, 2
n(n-l) _ n-1
—--<Rea<----,
2(n +1) 2
6<Rea£*^,
2(n +1)
2. Оценки для операторов Бох-нера - Рисса с символами комплексного порядка
Операторы Бохнера - Рисса с символами
2“(2;гГ'2(1-|1Г);а/Г(1-а)
играют важную роль в различных вопросах анализа [1, гл.9]. Они представимы в виде
[ва(р)(х) =
= Л*Г/2ШЛ/2-а(ИЖ*-0Л,
L,(a,n) =
(A',B\B,A,E)\J(A,E]\J(A’,E),
1
— <а< 2,аФІ, 2 *
(А', В’, В, А, £) U (А, £] U (А', Е) U (S', fi), а = 1,
[А\ Я', Я, А, £]\([А1, Н’] U [А, Я]), 0<а<^,
Rea<
п +1
■, а*1, где J (z) ~
функция Бесселя порядка v ;
К)
(х) = С \е~авф(в)4д.
1
если и = 2 и 1та = 0; £*(а,я) = 11(а,п)и{£>},
если (п -1)/ 2 < а < п, и /-1 (а, л) = 1[ (а, л) в остальных случаях (рис. 1). Здесь и в пункте 3 будем предполагать, что характеристика
а(г) такова, что функция а*(г) = а(г ‘), г > 0, а*(0) = lim а(г *) при-
О
надлежит C^Rea^+2([0,^)), и а* = а(^) Ф 0. Через ЦА) обозначим L-характеристику оператора А.
Теорема 1. I. Пусть 0 < Rea < п. Тогда справедливо вложение I(S“)Dii(a,n).
II. Множество 1(5д ) не содержит точек, лежащих 1) на отрезке [А,Я] и выше него; 2) на отрезке [А',Н'] и левее него; 3) выше прямой
ВВ' в случае <а < п; 4) на отрезке [О,О'], если а = •
Замечание 1. Утверждение теоремы 1 даже в случае а(г) н 1 и вещественных а сильнее соответствующих результатов работ [2, 3].
В указанном случае (точнее при 0<a<(n-l)/2 и п/2<а<п) утверждение I частично было получено авторами совместно с Е.Е.Урнышевой.
В случае вещественных a Lp —>Lq- оценки для оператора
Ва (с учетом осцилляции функции Jn/2-a(r) ПРИ г->°°) были получены в [2].
С помощью теоремы 1 доказывается следующая
Теорема 2. Пусть О < Rea < -” + *. Справедливо вло-
жение L(Ba)-DL*i
п-1 а +-----,п
Замечание 2. Основная теорема из [2] не отвечает на вопрос об ограниченности оператора Ва из Ьр в Ь , если
(1 !р, 1 /<?)е [В\ Д С]и[Я, Д (7]\([Я, С]и
и [Всчир}),
п> 2, 0<а<(п + 1)/2;
(Ир,\/д)е(В', 5)\р}, и = 2, а * 1 (рис. 2).
Теорема 2 дает положительный ответ на этот вопрос в следующих случаях
(1/р, 1/9)е(5',ДС,)и(5,ДС)и(АС)и(ДС), п>2, 1/2<а<(« + 1)/2;
(1 / р, 1 / <?) € (Д (7, К) и (Д С, К') и (Д С) I) (Д С), п> 2, 0<а<1/2.
Если 1/2<а<(п + 1)/2,то вопрос об ограниченности оператора Ва из Ьр в Ьд остается открытым лишь для точек множества (В', В) \ {О}.
3. Ьр-^Ьд - оценки для оператора Ка'$’у Рассматриваются операторы типа потенциала вида
{ка’Р’у(р){х)= I ка р у (\у\)<р(х-у)с!у (2)
К" ’
с ядрами, удовлетворяющими следующим условиям. В окрестности точек /• = О И Г-\ ядро ка,р,у(г)
представимо в виде
каф,у^) = ~^ = куа(г), (3)
О < Яеу < п, О < г < Т] < 1;
каЛу(г) = ь(г)(1-г2 +10)1-Р Ь^</3<1
1 — п
р*о-1...
+1, 1-5<г<1 + 5,1-5>Г7
особенностью ядер [4-6].
Обозначим через ]УЛ и мЦ операторы с ядрами
вида (3), урезанные нулем вне указанных окрестностей точек г = О и г = 1. Тогда справедливо представление
Ка’Р’г = 5“ + 1?а + мЦ + А , (4)
где А - оператор с финитным ограниченным ядром Заметим, что в [7] была построена £ - характеристика оператора мЦ. Именно, было доказано, что
ЦМІ) = Ь2Ф,п),
(5)
где
1-й
L2W,n) = №’M'®' 2
[[O',Q',M,Q,0]\({Q'}U{Q}), 0< /З < 1,
'п + Р 1 -Р)
<рйО,
м =
Q =
Q’=
п +1 и + 1
р р '
1+—, 1+-^— /1-1 л-1
, Д< О,
(1,1-р), ' р>0,
л-1 л-1
(р, 0), р>0
(рис. 1). Кроме того, нетрудно показать, что
Щга) = 1в(у,п),
где ^(у,п) = [О\О,ЛГ,ЛП\({Л011{ЛП),
(6)
N = fu-Re^ , N' =
n \ n \ /
На основании (4) - (6) и теоремы 1 заключаем, что справедлива следующая
Теорема 3. При наложенных выше условиях на параметры и характеристики справедливо вложение ЦК“0Г)^> £*(а,п)П£2(/3,п)П£з(у,п). Замечание 3. В указанных случаях удалось построить Ь- характеристику оператора ;
1) и > 3, 0<Кеа<-^—или а>^~—-, р=а + 1-п и
(при Р < 0 интеграл (2) понимается в смысле регуляризации).
При г > А > 1 + 8 это ядро совпадает с ядром оператора (1). Мы предполагаем также, что 6(г)єСт(1-5, 1+5), где тп = [п/2] + 1~2[/}], если (1-л)/2</}<0, и т = тах{3,[л/2] + 1}, если 0</3<1; характеристика d(r) ограничена и стабилизируется в нуле как гельдеровская функция. Мы накладываем естественные условия fc(l) Ф 0, d(Q) Ф 0. Вне указанных окрестностей ядро ka<p y(r) предполагается ограниченным.
Заметим, что исследование операторов (2) является естественным развитием тематики, связанной с изучением операторов типа потенциала с точечной
2(л +1)
Re у >
л(1 + 2а-и) л + 1
2) л = 2 и выполнено одно из условий: а)
0<Яеа<1/2, б) а = 1, в) а>1, р=а-1 и
в 2(2а -1)
Кеу> ;
3)л>2, а>л-1, 0< р <а + \-п , 11еу> ——1 + 2^) .
л + 1
Отметим, что
ЦКа’Р’г) = {£>} (7)
в случае я>2, если аг>(л-1)/2, р = а + 1-п и
Иеу > л(1 + 2а — п) /(и +1). Кроме того, в случае 3
ЦКа'Р’г) = 0 . (8)
Заметим, что (7) и (8) интересны тем, что такие ситуации в принципе невозможны для операторов типа потенциала с точечными особенностями ядер, изученных в [4 - 6].
4. Обращение потенциалов Ка'^<р с Ьр-
плотностями в неэллиптическом случае
Рассмотрим наиболее трудный (с точки зрения построения обращения) неэллиптический случай, в котором предполагается
ши{£:£аду(|£|) = 0} = 0, (9)
где ка^у(\ ||) - символ оператора (2).
Здесь предполагаем, что а*(г)е стах{'!+2’[Ке0!№/2]+2}([о _ в рамках ме-
тода аппроксимативных обратных операторов (АОО) обращение потенциалов / = Ка'@'у(р , <реЬр строится в виде
а»)
£->0 5—>0
где
haJ'4t) = F
-1
А £
-ЄІІІ2
(к«Ду( III)!2 +tf)(£|2 +(£ + 02J
(0,
Lp,H=\f: \\Я*)\Р (1+|х|)^Л<« I Rn
Теорема 4. Пусть 0<Иеа<п, 0<11еу<п, (1-я)/2 < р < 1, р Ф 0,-1,...,[(1-л)/2] + 1 с дополнительным ограничением Р > (Иеа-п)(п-\)/п при Ие а > (п -1) / 2. Предположим, что шах{1/2,Кеа/п}<1/р<тт{1,1 + (3/(п +1)}. Тогда
справедливо равенство {на’^,г Ка’^’^(р)(х) = (р(х),
(р(х)е Ьр, где На'Р,г - оператор (10); предел по норме Ьр'Ц в (10) можно заменить пределом почти всюду.
Замечание 4. При наложенных в теореме условиях на параметры а, /3 и у пересечение проекций множеств Ь*(а,п) и Ь2(/3,п)Г)Ь3(у,п) на ось Ир не пусто. Условие на Ир означает, что это число принадлежит пересечению указанных проекций. При выполнении этих условий оператор (2) ограничен из Ь
в 1?1 +для некоторых <7, и д2.
Замечание 5. Некоторые приложения метода АОО к обращению операторов типа потенциала содержатся в [6, 8 - 10]. Однако обращение операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами в неэллиптическом случае было построено ранее только в одном специальном случае риссовых потенциалов с характеристикой вида (с + а-(/\1
где се С, аеЛ", у>0 (при с = 0 [10] и в случае с* 0 [11]).
5. Описание образа Ка’^’у (Ьр) в неэллиптическом случае (при выполнении условия (9))
Это описание основано, с одной стороны, на теореме 4, с другой - на следующей лемме, содержащей информацию о действии оператора (2) из Ьр в сумму пространств Ь^ + 1д2, где д/ и таковы, что -2.
Лемма 1. Пусть 0<11еа<ю/2, 0<Кеу<и, (\-п)!7<Р <\, Р *0,-1,...,[(1-л)/2] + 1 с дополнительным ограничением
Р > ((411е а - Зп + 1)(л -1)) 1(2(п +1)) при (л-1)/2<11еа</г/2. Предположим, что тах{2(Яе а +1) 1(п +1) -1 / 2,1 / 2}<
<1/ р<тт{1,1+ Р /(п — 1)}.
Тогда оператор ка,^,у ограничен из Ьр в , где <?, и qг таковы, что 1<<?1 <2 , 1<?2 ^2,
(Ир, 1 /«1)е4(а,л), (Ир,11д2)е Ь2(Р,п)Г\Ь3(у,п).
Замечание 6. При наложенных в лемме условиях на параметры а , Р и у пересечение проекций множеств ь\(а,п)С\1 и Ь2(Р,п)Г\^(у,п)С]1 на ось Ир не пусто, где 1 = {(\/р, 1/^):0<1/р<1,1/2<1/д<1}. Условие на 11 р, как и в замечании 4, означает, что Ир принадлежит пересечению указанных проекций.
Утверждение леммы выводится из равенств (4)-(6) и теоремы 1.
Переходя к описанию образа ка’^,у (Ьр), будем предполагать, что характеристика Ь(г) удовлетворяет условиям, наложенным в пункте 3; с1(г)е С*([0,г?)), 5 = 5 + [у + (и -1)/2], если у > (п -1)/2, и 11(г) ограничена и стабилизируется в нуле, если
2.1-*
2 2
U
С*
1+-, 2N 2
г<г=>; *оЛм^[<и1’,2)'2
Теорема 5. Пусть выполнены условия на параметры а, р, у(0<у<п) и Ир, наложенные в лемме 1.
Тогда Ка^(Ьр) = \гєЬЙІ +ЬЧ2 :На’^/єЬр],
где На'Р* - оператор (10); ql,qг<2 - любые числа такие, что оператор (2) ограничен из Ьр в +1?2 в
соответствии с леммой 1.
Замечание 7. Заметим, что образ оператора типа потенциала с осциллирующим ядром в неэллиптическом (а также более простом эллиптическом) случае ранее описан не был.
Описание образа Ка'^'у{ір) в неэллиптическом
случае связано с преодолением принципиальных трудностей, вызванных вопросом о плотности в Ьр
пространства Фу типа Лизоркина - Самко [12-14], построенного по множеству нулей и особенностей
символа оператора (1). Эти трудности преодолеваются с помощью применения леммы 1.
Авторы благодарят профессоров С.Г.Самко и Я.М.Ерусалимского за полезное обсуждение результатов работы.
Литература
1 .Stein Е.М. Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, 1993.
2. Borjeson L И Indiana University Mathematics Journal. 1986. Vol. 35.’Ха 2. P. 225-233.
3. Ногин BA., Рубин B.C. II Диф. уравнения. 1990. Т. 26. №
9. С. 1608-1613.
4. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д, 1984.
5. Самко С.Г. и др. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987.
6. Samko S.G. Hypersingular Integrals and Their Applications. Series «Analytical Methods and Special Functions». L.; N.Y., 2002.
7. Nogin V.A., Karasev D.N. U Fractional Calculus & Applied Analysis. 2001. Vol. 4. № 3. P. 343 -366.
8. Samko S.G. // Integral Transforms and Special Functions. 1993. Vol. 1.J62.P. 145-163.
9. Nogin V.A., Samko S.G. // Integral Transforms and Special Functions. 1999. Vol. 6. № 1-2. P. 89 -104.
10. Nogin V.A., Samko S.G. II Fractional Calculus & Applied Analysis. 1999. Vol. 2. № 2. P. 205 -228.
11. Ногин B.A., Трут Л.И. II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 3. С. 6 - 8.
12. Самко С.Г. II Мат. зам. 1977. Т. 21. № 5. С. 677 - 689.
13. Самко С.Г. // Мат. зам. 1982. Т. 31. № 6. С. 855 - 865.
14. Samko S.G. II Studia Math. 1995. Vol. 113. № 3. P. 199—
210.
Ростовский государственный университет
21 мая 2002 г.
