CC BY
10
МАТЕМАТИКА
УДК 517.983
ОБРАЩЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С СИМВОЛАМИ, ВЫРОЖДАЮЩИМИСЯ НА ГИПЕРБОЛОИДАХ
ИЛИ ПАРАБОЛОИДАХ
© 2006 г Д.В. Вожжов, В.А. Ногин
The method of Approximative Inverse Operators is applied to invert some potential - type operators whose symbols vanish on hyperboloids or paraboloids. Within the framework of this method, the inversion is constructed as the limit of the sequence of convolutions with integrable kernels, which are expressed via elementary or special functions.
Введение
В работе методом аппроксимативных обратных операторов (АОО) в рамках пространств Ьр = Ьр (Яп )
строится обращение некоторых многомерных операторов типа потенциала с символами, вырождающимися на гиперболоидах или параболоидах.
В настоящее время имеется ряд работ по применению метода АОО к обращению операторов типа потенциала
(Kaep)(x) = J U( X-t)a p(t)dt , G < a< n,
Rn X-t
(1)
с достаточно гладкими ограниченными характеристиками в неэллиптическом случае. Обзор некоторых из этих работ дан в [1] и обзорных статьях [2, 3]. В [4] получена формула обращения потенциалов (1) в неэллиптическом случае, когда их символы вырождаются
на произвольном, меры нуль, множестве в Я п . Однако эта формула довольно громоздка и не позволяет эффективно строить обращение потенциалов в случае вырождения их символов на конкретных множествах. К настоящему времени известно только два случая такого более эффективного обращения (по сравнению с упомянутой общей формулой), когда символ рассматриваемого оператора вырождается на гиперплоскости или конусе [5, 6]. При этом существенно использовалась однородность символа указанного оператора.
Здесь рассматриваются операторы типа потенциала £а и Ма , определяемые в образах Фурье равенствами:
(га»(£) = Г а (*Р)(В), 0 < а< п - 2,
а > 0, г2 (В)=#-й-...-42, В -И2
(¥Мар)(В) = П, а+2 (р <Р)В), 0 < а < п -
А
1,
В = (В1, . . .,Вп-1), ре Ф, где Ф - класс П.И. Лизор-кина [§3, 7], состоящий из шварцевых функций, ортогональных многочленам.
Операторы £а и Ма представимы в виде суммы
теристиками (разных порядков) и трактуются на функциях ре Ь р как сумма указанных операторов.
В рамках метода АОО разрабатывается новый подход, позволяющий построить обращение потенциалов £а р, Ма р с Ь - плотностями в виде предела последовательности свёрток с суммируемыми ядрами, для которых получены явные выражения через элементарные или специальные функции. Это обстоятельство существенно используется при доказательстве формул обращения.
Действие операторов £ а и М а в Ь р - пространствах
С помощью формулы (32) из [8, с.89] легко установить равенство
г.а „ „ . т^а+2
S p = Ku p + С K p,
(2)
ре Ф, 0 < а< п - 2, где Ка+2 - потенциал Рисса порядка а + 2; К'д - потенциал Рисса с однородной характеристикой в($ /)= с 1 + с 2 г 2 (это равенство проверяется переходом к образам Фурье). В соответствии со сказанным выше, потенциал £ на функциях из Ь ^, 1 < р < п / (а + 2) будем понимать
как оператор в правой части (2). Используя стандартный приём, основанный на применении оператора растяжения [8, §1, п.2, с.139], легко показать, что оператор £а не ограничен из Ь р в Ь ни для каких р и
д, 1 < р < д < да. Однако в силу теоремы С.Л. Соболева этот оператор ограничен из Ь р
L
pa+2
в Lpa + np
где 1 < p < n / (а + 2), pa = —-—. Кроме
n -ap
того, оператор в правой части (2) ограничен из L 1 в
n
L1 +Lq,q>
n -a- 2
Аналогично оператор M на функциях pe L
понимается следующим образом:
a p + kV
M"p = Ka p + Ka2+1 p, где G < a< n - 1, p e L ¡
WMtUaiUUDl U 41 IVl 1 11 ^ ^— I 111) МЛ 1 Ш n 1)11, ^yiVllVlDl t ^ , , /-)
,14 1 < p < n / (a+ 1), однородные характеристики U и
риссовых потенциалов вида (1) с однородными харак- 1
О2 выписываются явно. При такой трактовке оператор Ма ограничен из Ь р в Ь ра + Ь р +1 , если 1 < р<
< п /(а + 1) и из Ь 1 в Ь 1+ Ьа, д >
n - а -1
Обращение потенциалов S ар с L p - плотностями
n
Пусть f = Sа р; ре L p; 1 < p < -. Обра-
F а + 2
щение этих потенциалов будем строить в виде
а (LP) (L2) а Tа f = lim lim T s sf (3)
S—0 s—0
где (T gssJ)(x) = (R S B s f)(x); R S и B s - операторы свёртки с ядрами: Г а,S (|y| ) =
а+n | ,2
=Г(( а+n)/2) ф(а+п n(4)
2 '2' 4S''
2" Г(п /2)
b s(y) = Cn (s)-
Kn-2Qz-r (y) - S У )
Сn(S)=
n-2
(r 2( y) - S| y 2)~
n-2 n-2
4 (1 + s2) 4
а 4 (1+ S)
(2n)^1 + is2(-1 + is2) 2
n—1
(T а S ар)( x) = р(х),
(5)
части (6) стремится к нулю при е ^ 0 по норме Ь 2 . Последующий предельный переход при 8 ^ 0 даёт (5).
В случае п = 3 обращение потенциалов / = Ба р, (ре Ь ^, можно построить более эффективно и при естественных ограничениях на р. Именно, левый обратный к Б оператор строится в виде:
Tа f = lim T Sf
s—0
(7)
где (Т Ц)(х) = (Я а„ В е Ж*),
е'
где п - некоторое положительное число. Заметим, что ядро Ь е(у) является элементарной функцией:
b s (y) = ~з (s ) -
(r2(y) - is^2)2
Сз (s )=
I
1 + s2
+ is2 (-1 + is2)
Теорема 2. Пусть 0 < а < 1, 1 < p <
3
а + 2
, , а+п п , „ Здесь Ф(—2—, —; z) и К(п-2)2(г) - соответственно вырожденная гипергеометрическая функция и функция Макдональда порядка (п - 2)2 .
В образах Фурье справедливы равенства:
(Ег а,8 )( Щ ) = 2 *
(ЕЬе)(Щ) = (г2(|) + а + / е|Щ|2)-1.
Заметим, что ядро (4) при нечётном п выражается через элементарные функции.
п
Теорема 1. Пусть 0 < а < п - 2, 1 < р < -,
а+2
р < 2, ре Ь р. Тогда справедлива формула обращения
2 < д < 3, 0 < п < 2(3/2 3/д) , ре Ьп. Тогда з/р + 3/д -1 ^ р
справедлива формула (5), где Та - оператор (7); предел в (7) понимается почти всюду или по норме
Ьр + Ь,, 1/s = 1/р + 1/д -1.
Схема доказательства теоремы 2. Доказательство формулы (5) основано на представлении
(Т| БарХ*) = (^ ()(*)+I [В|(теп * р)](*), (8)
где т |П (у) = - Д ^(у, еп), №(у,еп) - ядро Гаус-
са-Вейерштрасса. Нужно показать, что второе слагаемое в правой части (8), обозначим его через g е (х),
стремится к нулю по норме Ь р + Ь 8 или почти всюду.
Для этого оператор В е представим в виде
(ВеР)(х) = ( | + | )Ье(у)р(х-у)йу =
|у| <1 |у| >1
= (В0 р)(х) + (ВI р)(х).
s f >УЛ> s
С учётом оценки
где Та - оператор вида (3). Предел по норме Ь в (3)
можно заменить пределом почти всюду.
Схема доказательства теоремы 1. Доказательство формулы (5) основано на представлении
(Тае8 Б ар)( * ) = (^ 8 р)(х) - I (Ве,8 ^ 8/2 ()(*), (6)
где (^ 8 Р)(х) - интеграл Гаусса-Вейерштрасса;
В е 8 - ограниченный в Ь 2 оператор, порождённый
2-мультипликатором ЩЩ/2/(г2(|) + а + /е|||2). Далее доказывается, что второе слагаемое в правой
m
< es'2
^ 1
<r<<х> .
(9)
применяемой при r = 1, имеем 1/
sB!(m п *<р)
< cs/2 ~пш ^ 0 при s —> 0. (10)
p " "p
Используя неравенство
e
Jj+s^Jr 2( y)-is^yi2
< e
^vasy| /4
оценку (9) при г = 1, и применяя теорему Юнга о свёртках, получаем
1
2
1
sBS (m „ *q>)
3/_ з/_п < CS2 /« Ы\ ^ 0
(11)
при £ ^ 0 .
Из (10) и (11) следует, что g £(х) ^ 0 при £ ^ 0 по норме Ь р + Ь $.
Далее устанавливаются оценки:
s[BS(msn *р)](x)
< CS12 П(М V)(x),
где M - максимальный оператор Харди—Литтлвуда,
s[BS (m п *^)](x)
3/_ У_п
< CS
'q /2
(/n +:
-i)
h s(y)
e
m 2
n _1
У I2
(4n)
(n_1)/2
(s + iyn) 2 e
4(S+iyn) <K Уп )
соответственно, 0(у) - функция Хевисайда. Заметим, что в образах Фурье справедливо равенство
(Рк £)(В) =
,|2
+ iS
Теорема 3. Пусть 0 < а< n - 1, 1 < p <
а +1
Первая из этих оценок доказывается с помощью теоремы 2 из [8, с.77], вторая получается применением теоремы Юнга к оператору р^ m п*р с учётом
(9) и неравенства Гёльдера.
Из приведённых оценок вытекает, что g s(x) ^ 0
при s ^ 0 для почти всех x е R n .
Случай оператора M а
а
Левый обратный к M оператор будем строить в виде
а (Lp) (L2) а
Naf= lim lim NSsf, (12)
8^0 s^0
где (NS^f)(x) = (RasHsf)(x), Ras и H£ - операторы свёртки с ядрами r а, 8 (| ) (см. (4)) и
p < 2, p<aL p. Тогда (NaMap)(x) = p(x),
где Na - оператор (12), предел в (12) по норме L p
можно заменить пределом почти всюду.
Теорема 3 доказывается аналогично теореме 1. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект № 04 - 01 - 00862.
Литература
1. Samko S.G. // Analytical Methods and Special Functions. London; New York, 2002. Vol. 5. P. 155.
2. Nogin V.A., Samko S.G. // Fractional Calculus & Applied Analysis 2. 1999.Vol. 2. № 2. P. 205 - 228.
3. Nogin V.A., Samko S.G. // Integral Transforms and Special Functions 8. 1999. Vol. 6. № 1 - 2. P. 1 - 14.
4. Заволженский М.М., Ногин В.А. // Докл. РАН. 1992. Т. 324. № 4. С. 638 - 641.
5. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обращение некоторых потенциалов Рисса с символами, линейно вырождающимися на гиперплоскости / РГУ. Ростов н/Д, 1991. 14 с. Рукопись. Деп. в ВИНИТИ № 2271.
6. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. // Изв. вузов. Математика. 1993. № 2(369). C. 3 - 11.
7. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д, 1984.
8. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., 1973.
Ростовский государственный университет
15 июня 2005 г.
s
п
