Локальная разрешимость сферически симметричной термодиффузионной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

Е.Н. Журавлева

Локальная разрешимость сферически симметричной термодиффузионной задачи

Исследуется трехмерная задача кристаллизации и плавления бинарного сплава в случае сферической симметрии. Общепринятой моделью, используемой при математическом описании данных процессов, является термодиффу-зионная задача Стефана [1, с. 123-157], которая, в отличие от задачи Стефана для чистого вещества, изучена недостаточно. В данной работе исследуется разрешимость :,в малом”по времени в гельдеровских классах функций модифицированной задачи, учитывающей поверхностное натяжение и кинетическое переохлаждение на свободной границе. Также доказывается локальная теорема существования решения равновесной задачи, в которой фазы определяются диаграммой фазового состояния вещества.

Математическая постановка задачи

Предполагается, что шар радиуса /• = 1, занятый изучаемым веществом, в момент времени г разделен гладкой поверхностью г = у(1) на две подобласти: твердую и жидкую П;(2) фазы:

П,(0 = {г : г < ?/(<)}, 0((г) = {г : у(г) < г < 1}.

Считаем, что начальная температура и концентрация зависят только от радиуса, а значит, можем рассматривать одномерную задачу для переменной г. В каждой из фаз температура 0 и концентрация С удовлетворяют соответственно уравнениям теплопроводности и диффузии:

дв±

ді.

1 А

г2 дг

2 2ае,-

8І г- дг \'Т дг

(1)

(2)

где Г £ О» (0» > а,? ~ коэффициент диффу-

зии и температуропроводности соответственно, £ = 8,1. Граница фазового перехода г = у(1) подчинена тепловому и диффузионному условиям Стефана:

У = V,

50,

дг

V,-

д<ді

У1 - С,) = Л,

дс,

дг

(3)

(4)

где VI - частное от деления коэффициента теплопроводности на произведение плотности и скрытой теплоты фазового перехода. Соотношение температуры и концентрации на границе г — у(і) задается либо фазовой диаграммой:

0( = 05 = Ш/С/ + 00 = 1Т1,С, + 00 (5)

либо более общим условием [2, с. 1—15]:

0в = т,С, + ©о----------/V =

г

- 01 = ш/ 0\ + 00----------------0у',

г

(6)

где т;,ггг5 - коэффициент наклона ликвидуса и солидуса, 0о - температура плавления чистого вещества, (т - коэффициент поверхностного натяжении, /3 - коэффициент кинетического переохлаждения. Если в дополнение к условию (5) требуется, чтобы в областях, занятых фазами, выполнялись неравенства:

0»(лО < тп,С,(г,1) + 0о в 0,{Т), (7)

0/(г,<) > т/С;(г,<) + 0О в (8)

где

Я»(Т) = {(г,0 :г<уЦ), О <1<Т), д,(Г) = {(г.<):у(0 <г< 1, 0 < < < Т],

то модель считается равновесной. На внешней границе г = I ставятся условия первого или второго рода для температуры и концентрации. Кроме того выполнены начальные условия:

0,(г, 0) = ¥?,(»•), С,(г,0) = ^,(г),

1/(0) = .уо ф 0,1, (9)

из физического смысла задачи следует:

О < ^’¿(г) < 1.

В дальнейшем будем рассматривать две задачи, которые после обезразмеривания и перехода к новым функциям

и = г ■ & + а, V — г ■ С

примут вид:

Задача I (модифицированная модель) Состоит из уравнений

дщ _ 2 д2щ

с)и, _ д ~-щ

~т ~с*' ~дг*'

(Ю)

где ?• Є 0<(#), а также условий па свободной границе г — */(/)

(>иц

дщ

УУ =

-К - "/)(и5 - <г)

-гі, + сії VI

(Л)

(12)

и, — !/./ = Г7і,1), — Зуу' = ПЦ VI — /?уг//. (13)

Задача 2 (равновесная модель)

Содержит уравнении (10), на свободной границе выполняются (11), (12) при (Т = 0 и условие термодинамического равновесия

IIИ = Ні = т„П9 = ІТІІ V/.

;м)

д'р! , с/г ''7 ‘ дг

+ (^ ~ ¿'|)(<Т - ^і(Уо))

г/и2/о^і(!/о)(1 - А-) = - ^^Чг/о))і/о-

— (г/., А: - <іі)ірі{у0),

^¥1 , \ . . с/'г-'-ч I \ > I I \

— (Уо)Уо+а1 “ ~(Уо)2/о+а, -хт(Уо),

с! г

(І.Г1

т>{~^-(уо)уо +¿1-^(1)о)) = ті(-^(Уо)Уо+

+ д;

гіг І2 ф (іг2‘

(г/о)),

где

.(/о = (ті4ч{Уо) ~ <?і(Уо))/(РУо)■

кроме того, в каждой из фаз справедливы неравенства

и,(М) < ГОлМг.О в <УЛ(Т). (15)

и;(г,<) > т;^(г, <) в <Зі(Т). (16)

Не уменьшая общности доказательств, рассмотрим следующие граничные условия :

и,{0,і) = (г, «і(1,і) = /¡(¿) + 0-,

і'Л0,<) = 0, іч(1,О-^(1,<) = 0. (17)

Будем исследовать разрешимость в гельде-ровских классах функций, поэтому от начальных и граничных данных потребуем, чтобы:

П Є //1+а/2[0,Г], 4>{ Є Я2+“(Й,(0)),

і де а є (0,1).

В начальный момент выполнены условия согласования:

у>,(0) = 0, у>,(1) - /,(0) + <г, 4Ь(І) = ^(1),

•0а(О) = о, <рі{уо) = <Мі/о), тя4>,(уо) = пцфі(уа),

В случае равновесной модели начальные данные подчинены неравенствам:

у?*(г) < пьУ>д(г), Уг є Й,(0) \ {уо} (18)

<рі(г) > тіФі(г), V/- Є Г2|(0) \ {?/»}, (19)

а также условиям, обеспечивающим требования (14)-(15) для решения задачи 2 при малых /:

уг'Дг/о) > таф',(уо), <р'і{уо) > гпі4>[(у0). (20) V

В статье доказывается разрешимость задач 1 и 2 в малом по времени. Доказательство основано па применении теоремы Шаудера о неподвижной точке к некоторому оператору, построенному по задаче.

Доказательство разрешимости

Теорема 1 .Существует 7», 0 < 7» < Т танов, что задача 1 имеет решение

У е //1+(°+1)/2[0,Г*], щ,щ Є Я2+а'1+“/2(д, ('/’.)) і = в,1.

Теорема 2. Существует Т.., 0 < 7„ < Т, такое, что задача 2 с данными, удовлетворяющими условиям (18) (20) имеет решение

у Є яЖ“+і)/2[0,7;,],

Є Н3+а'1+а/і(0і{Тт.)) і = з.І,

для которого выполнены условия (15) (16). Доказательство (теоремы 1):

Прежде чем приступить непосредственно к доказательству, сделаем замену,. переводящую

области (¿¡(Т) с неизвестной границей у(і) н фиксированную область О7 — (0,1) х (0,7 ).

К(£,0 = М( 1-Ш0.0. иі(Є,і) = щ((і - з/)£ + г/,<),

= ^((1 - 2/К + у.0-

В результате получим систему четырех уравнений:

с)6;, _ а?ч д21/, I - £ , ди,

ИГ ~

Г &І2

ди,

ді

а2 д-Ц, 1-е , ді’і (і -Уу де 11 -уу д^

дУ,

ді

с/, д2\\

71~ІЇ2

і-і ,д\\ У У ді

дЦ <I, д-У,

5/. (1-у)* Я** + 1-/ 0*

для (£,1) Є С}1 . С граничными условинми

уу'Ц(1 - к) = й,Ц - сі,У,+

іі дУІ

(21)

+'--ж

У сК

[ - у де

у.

у2у'

у, дУ5 Уі ОУі \ _ ' У де ~ 1-у де )у~

-(V, - VI)(и* - <т),

[’3 - Ні = пг,V, - 0уу' — пцЦ - 0уу' мри ^ — 0, красными условиями

¿7,(1,<) = а, £//(!,/) - (т + /,(/),

е>У|

при ( = 1 и начальными условиями

(22)

^(1,0- ^(1,0-0, К,(1,0 = 0 (23)

•/7,($,0)=^((1 -ОіЛ>), ^((£>°) = ЫП - УаК “Ь 2/о), У,(£,0) =-0Л(1-Оуо), И(€,0) = Vі/ ((1 - З/О)£ + 2/1))-

(24)

Щу - !3(», -//,))- 0~— Уи1 - =

1-у 5

= !/т/г - /Зя-(/у, - /У;)

* ¡Г - (у, - //()(] - к)?!/1 — {(її - (!.к)гу—

-{&> ~ щ)( 1 - к)ха.

(25)

Условия (25) получены исключением у' из равенств (22) и заменой V/(0,/) функцией г(/), которую считаем известной. Начальные и граничные условия при £ = 1 оставим без изменений. В результате получим краевую задачу для параболической системы [4].

Введем следующие константы: Мо =

»•“{|Ца'' кя?- ику.

М1 = таг {и,, . Возьмем <5 такое, что:

0 < 6 < тт{уп, 1 - ¡/о}-

Выберем М из условии:

М > тах{ 1 + 2М\ (М0 + 2&(Мц + <т))/6'\ М0\.

Определим непустое замкнутое выпуклое

множество Л из банахова пространства

НТ = Я1+“/2[0,Т] х Я(1+О!)/2[0,Г]

с нормой || ||= |.|1+,-‘/2-)-|.|(1+01)/2 следующим образом: Л — есть множество векторов {у(<), г(0) из Нт, удовлетворяющих условиям:

г/(0) = ¡/о, с(0) = 4ч(Уо), (26)

6 < у(1) < 1 — 6, (27)

\у\

1+а/2

[0,Т] -

< М,

НК“,/2 ^ м-

> о.

(28)

(29)

(30)

Доказательство разрешимости этой задачи проводится по схеме, предложенной в [3] для одномерной равновесной термодиффузионной задачи.

Сформулируем вспомогательную задачу Л. В уравнениях (21) будем считать ¡/(<) известной функцией. В качестве граничных условий при е — 0 возьмем

V, - VI = 0, т„У, - П11VI = 0,

Зададим оператор Ф на множестве Д равенством:

Ф(2/,;

(О, г)-

VI ді/і ... , , V, - VI \

(°’Г) + ..2 (°~ - Г-Гі))ЛТ'

(1 - у)у де ’ У2

И(0,о},

(31)

в котором функции V] являются решением задачи А.

Лемма 1. Пусть {у, г} 6 А. Тогда задача А имеет единственное решение и^,Ух 6 Я2+«,1+«/2(дТ) (г- = «,/).

Доказательство. Условие дополнительности для задачи А в точке £ = 0 равносильно тому, что определитель

vi

(1 - Уо)Уо

Щ(0, т) - — ;2-^ щ)(1т+

г/о

+

fv(

Jo

Г)

+

у,{у + 2 г/о) уЪ(у + г/о)2 i/|(l - у- 2уо)

{и^(0,г) + Щ{0,г)) + «(0,т-)+

г/о(1 - г/о)(1 -у-уо){у + г/о)

+^(0, т)) + -Vi){ül +U¡> -<гЛ dr,

Уй(У + Уо) )

1 -10 0 0 0 1 -/с

Vt/a, vi¡ ai 0 ü

—v,z{\ — k)/a, —v¡z(l — k)/a¡ y^/сГ, yy/d¡

отличен от нуля, то есть

у{— + —){к\/Т, + s/di) ф0.

а3 ai

Это неравенство, очевидно, выполнено, т.к. у > ó > 0.

Таким образом, утверждение леммы 1 следует из теоремы 4.9 [4].

Лемма 2. Ф является вполне непрерывным оператором. Существует То > 0 такое, что VT : Т < То оператор Ф переводит множество А 6 Ят в себя.

Доказательство. Непрерывность Ф в точке {у0, г0} 6 А докажем следующим образом. Обозачим решение задачи А, соответствующее {«Д г0} через U°,V°. Пусть Ü¿ = ÍU — U¡ , V, = V» - V®, у = у - у0, ¡ = 2-zü. Для функций Vi получим линейную систему того же типа, в которой коэффициенты зависят ОТ Уи,2° , а произведения производных от Uí,Ví на y,y',z отнесены к правым частям.

Вследствие теоремы 4.9 [4] имеет место неравенство:

£< + lÜlgr") <

<={(i4tT+i4V3-iCtT)x

х (i-ь + т%ха))+<HsiH/2}. (32)

i -il+a/2 |~,(Ц-«)/2 из которого при малых |j/|jQ , |г|[П Т] следует оценка:

£<(l&l$te + \Щ^г) <

<с(|4+т]/2+151йа,/2)- (;»)

где константа с не зависит от у, г. Далее,

Ф(у,г) -Ф(у°,г°) = ( [ ,т)~

Uo У о

Ч(0,<)|. (34)

Учитывая оценку (33) и неравенства (26) (30), получим

|ф((у(*1)) - (г/о(<1)) - ф<(у(<г)) + Ф((г/о(*2))1 <

|*1-<2|“/2

< с|у|£Д/а. (35)

Тогда, принимая во внимание (32)-(34), заключаем, что

||Ф(у, г) - Ф(г/°, 2°)\\лт <

< С(Т) (\У - г/о|Й/2 + 1‘- - *о1Йа)/3) •

Следова тельно Ф(у, г) - непрерывный оператор.

Найдем Г0 такое, что оператор Ф переводит

множество А € Ят в себя при Г < То, То > 0.

Условие (26) выполнено, очевидно, для любых Т. Рассмотрим условие (27). Обозначим через М2 правую часть оценки теоремы 4.9 [4], т.е. М2 = с£, (\/,\1+а/2 + Ы2+а + |^.|2+“)- Тогда

|ИС(М)| < |^(0,0- £М0,0)| + 1^(0.0)1 <

< 7,(1+а)/2М2 + Мо

и условие (27) для иервой компоненты Ф(у, г) выполняеся, если

2ТМх{Т{г+а'>'2 М2 + Мп)/62 + 2М1Т(М2Т+

+М0 + ст) < ппп{ 1 - уо - 6, уо - 6}. (36)

Далее, нетрудно убедиться, что условие (28) для первой компоненты Ф(у, г) выполнено при

уО + Т(7’(1+«)/2М2 + Мо)‘2М1/&-+

+(Т( 1+аУ2Мз + м0)2М1/62 + 4 Мх(М2Т + М0+

+сг)/6 + Г1-"/- ( 2Мі(Г(1+0,)/2М2 + М0)/62+ +2Мі (:ТМч + Ми + <г)/6^ + Т1/2 ^2Мі М?/62+ +4Мі МГ(1_а)/2(т2Т(1+а)/2 + М0)/53у + +Т1"а/2Ґ2МіМ2/Л+

+4МЛ/, (ТМ2 + Мо + сг)/г>4^ < Л/. (37)

Условие (29) для второй компоненты Ф(у, г) выполи нес я, если

М2т + Мо + Л/2Г(1"“)/2 < М, (38)

а условие (30) - при

М2Т<фі(уп). (39)

Нетрудно убедиться, что существует То > 0 такое, что УТ Є (0, То] выполняется система неравенств (26) (30). Таким образом, доказано, что Ф - непрерывный оператор на А, Ф(Д) С Д.

Так как Ф(у, г) Є Я1+(а+1>/2[0, Т] х Я1+в'2[0, Т] для всех (у, г) Є ЯГ, то оператор

Ф компактный, а следовательно, вполне непрерывный.

Таким образом, Ф(«/, г) удовлетворяет условию теоремы Шаудера, а значит, доказано существование решения

Ui,Vi £ Я2+°' 1+a/2{QT), у 6 Я1+(“+1)/2[0,Т] задачи (19)—(27), а следовательно, и решения щ,ги € Я2+“- 1+a/2(Q,{T)), у 6 Я1+(а+1)/2[0,Т]

задачи 1.

Теорема 1 доказана.

Для доказательства теоремы 2, помимо уже доказанного в теореме 1, необходимо показать, что если начальные данные подчинены условиям (18)—(20), то для функций щ,ь, в каждой из фаз выполняются условия (7)—(8), мри 0() = 0.

Рассмотрим функцию u>(r,t) = щ(г,1) — rriiVi(r,t). Так как ы(г, 1) € II2+5'l+s/2(Q,(T)), то в силу непрерывности и> и uir а также условий (18)—(20), существует 'Г.* € (0, Т») такое,что

Vl 6 [0,'Г,,] решения задачи 2 удовлетворяет условиям (7)-(8). Таким образом, теорема 2 доказана.

Литература

J. Еникеева Э.Х. О кристаллизации бинарного сплава, образующего твердый раствор /Латвийский математический ежегодник. №4. 1968.

2. Chaclam. Л., Howison,S., Ortoleva,P. Existence and Stability for Spherical Crystal Growing in Supersaturated Solution. IMA J. Appl. Math., 39. 1987.

3. Петрова A.F. Локальная разрешимость термодиффузионной задачи Стефана. Динамика сплошной среды. Сб. научных трудов. Новосибирск, 1982.

4. Ладыженская O.A., Солопников В.А., Ураль-цева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967.