Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости в потенциальном поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 2.

УДК 517.938.5 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-10-25

Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости в потенциальном поле1

Е. И. Антонов, И. К. Козлов

Антонов Евгений Игоревич — студент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: antonov.zhenya@hotmail.com

Козлов Иван Константинович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: ikozlov90@gmMil.com,

Аннотация

Получена лиувиллева классификация натуральной гамильтоновой системы на проективной плоскости с метрикой вращения и линейным интегралом. Вычислены все инварианты Фоменко — Цишанга (т. е. меченые молекулы) системы.

Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, геодезический поток, меченая молекула, инвариант Фоменко — Цишанга.

Библиография: 9 названий. Для цитирования:

Е. И. Антонов, И. К. Козлов. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости в потенциальном поле // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 2, с. 10-25.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 2.

UDC 517.938.5 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-10-25

Liouville classification of integrable geodesic flows on a projective

plane in a potential field

E. I. Antonov, I. K. Kozlov

Antonov Evgenii Igorevich — student at the Department of Differential Geometry and Applications of the Faculty of Mechanics and Mathematics of M. V. Lomonosov MSU (Moscow). e-mail: antonov.zhenya@hotmail.com

Kozlov Ivan Konstantinovich — candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor at the Department of Differential Geometry and Applications of the Faculty of Mechanics and Mathematics of M. V. Lomonosov MSU (Moscow). e-mail: ikozlov90@gm,ail.com,

1 Исследование И. К. Козлова выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 17-11-01303).

Abstract

A Liouville classification of a natural Hamiltonian system on the projective plane with a rotation metric and a linear integral is obtained. All Fomenko-Zieschang invariants (i. е., labeled molecules) of the system are calculated.

Keywords: integrable Hamiltonian systems, geodesic flow, labeled molecule, Fomenko-Zieschang invariant.

Bibliography: 9 titles. For citation:

E. I. Antonov, I. K. Kozlov, 2020, "Liouville classification of integrable geodesic flows on a projective plane in a potential field", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 10-25.

1. Введение

В дайной работе мы изучим топологические свойства интегрируемого геодезического потока на RP2, получающегося как фактор по инволюции геодезического потока на S2, рассмотренного в работе Е. О. Кантонистовой [3]. А именно, мы вычислим все инварианты Фоменко — Цишанга (т. е. меченые молекулы) этой системы (см. Теорему 3).

Полученные результаты основываются на теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, созданной А. Т. Фоменко и его школой (см. [2]). Основы этой теории были заложены в [5, 6, 7, 8].

Подробнее о лиувиллевой классификации (т.е. о вычислении инвариантов Фоменко — Цишанга) для геодезических потоков см. [2]. В частности, инварианты Фоменко — Цишанга для линейно интегрируемого геодезического потока на RP2 без потенциала были вычислены B.C. Матвеевым (см. [2, Том 2, Раздел 3.4]). В работе [3] Е.О. Кантонистовой были вычислены все меченые молекулы интегрируемых геодезических потоков на поверхностях вращения, гомеоморфных сфере S2, с инвариантным потенциалом и линейным интегралом. Д. С. Ти-монина в [4] описала все возможные грубые молекулы для геодезических потоков на RP2, получающих как фактор систем из [3] по инволюции. Коротко опишем эти системы на и RP2.

1.1. Линейно интегрируемый геодезический поток на S2

Рассмотрим риманово многообразие вращения М = S2 с естественными координатами (г; (р), г £ (0; L), р £ R/2-^Z, в которых метрика вращения записывается в виде

ds2 = dr2 + f2 (r)dp2.

В окрестности полюсов введем локальные координаты

X = f (г) cos <р, у = f (г) sin р.

Функция f (г) удовлетворяет условиям следующей леммы, поэтому метрика в полюсах ds2 = d^2 + dy2.

Лемма 1 (А. Бессе [1]). Метрика на многообразии вращения М и инвариантная при вращениях функция V(г) на нем являются гладкими в полюсах (то есть в точках г = 0 и г = L), если существуют F = F(г) и W = W(г), определенные на, всей числовой прямой т,акие, что F|[0;¿] = f,W|[0;l] = V, и выполнены, следующие условия:

1. F(-г) = —F(г) = F(2L-г), то есть функции F(г) и F(L+r) нечетны (или, что эквивалент, но, функция F(г) — периодична с периодом 2L и нечетна) и F'(0) = 1,F'(L) = —1;

2. Ш(—г) = Ш(г) = Ш(2Ь — г), то есть функции Ш(г) и Ш(Ь + г) четны (или, что эквивалентно, функция Ш(г) — периодична с периодом 2Ь и четна).

Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему на кокасательном расслоении Т*Б2 с гамильтонианом

Р2 Р2

I ~ +—„22 л + V(г), вне полюсов (т.е. г = 0,L),

н = 22,2!{г) (!)

22

+ V(0), в полюсах (т.е. г = 0 или L)

р х + р у

и первым интегралом

Р2 ,

К = i (2)

I хру — урх, в окрестности полюсов.

Замечание 1 ([3]). В полюсах (т.е. при х = у = 0) К = 0. При К = 0 у системы нет,

3

и-

критических точек ранга 1 на неособых изоэнергетических поверхностях Q'i. При этом у

системы на T*S2 ровно две точки ранга 0: это (0,N) и (0,S), где N и S — полюса сферы.

Рассмотрим тор Лиувилля системы Н = h,K = к, не содержащий точки полюсов. Тогда он состоит из точек (рг, k,r,p), <р £ R/2-^Z, удовлетворяющих уравнению

рг = ± -1) Vuh(r) — к2, (3)

где

Uh (r) = 2f 2(r)(h — V (г)). (4)

Замечание 2. В [3] объяснено, как построить грубую молекулу системы по графику функции Uh(r) (см. также ¡2] или [4]). Молекула всегда, симметрична относительно уровня к = 0 и имеет вид W — W. Неформально говоря, слоение Лиувилля для "половины молекулы" W получается, если взять "объемный горный рельеф" функции Uh(r), расслоить его на поверхности уровня Uh = const, а затем домножить на окружность S1.

Теорема 1 (Е. О. Кантонистова [3]). Рассмотрим систему (то есть геодезический поток с линейным интегралом и с инвариантным при вращениях потенциалом) на многообразии вращения М « S2, заданную парой функций (V(г); f (г)). Пусть Q С Qh — связная компо-

К

1. молекула системы симметрична (без учета ориентации на ребрах) относительно оси h, а ориентация на ребрах задается в сторону возраст,амия, к. То есть молекула имеет

W — W

торов Лиувилля, а каждая молекула W — это либо один атом А, либо дерево. Все неконцевые (то есть седловые) вершины дерева — это атомы Vi, а, концевые имеют тип А. При этом при к > 0 входящее ребро для каждого атома Vi — одно, а исходящих ребер — I (при к < 0 картина антисимметрична, то есть без учета ориентации на ребрах молекула симметрична относительно h, а, ориентации на кусках W+ = W(к > 0) и W- = W(к < 0) противоположны).

2. (а) Метки на ребрах типа А — Vi молекулы: г = 0,е = +1.

(Ь) Метки на ребрах типа Vs — Vi, где оба седловых атома находятся в одной полуплоскости (к > 0 или к < 0): г = ж,е = +1.

(с) метки на центральном ребре типа VI — VI (симметричном относительно уровня к = 0): г = <х>,е = —1.

(й) Если молекула Ш — Ш имеет типа А — А, то метка г определяется следующим образом: разрежем многообразие М4 по поверхности Q3 на два куска М- и М+ (напомним,, что Q3 — связная ком,понента Я')- Кусок М-, который отвечает строго меньшим значениям энергии, чем Ъ, может содержать 2, 1 или 0 особых точек ранга нуль. Тогда, соответственно г = г = 0, ил и г = <х>. Во всех трех случаях е = +1.

(е) Если молекула Ш — Ш от,лична от А — А, то она содержит единственную семью, получаемую отбрасыванием всех атомов А. Метка п в этом случае равна, числу особых точек ранга ноль на многообразии М- (см,, п. 2й).

Замечание 3. Рассмотрим молекулу А — А. Метка г = ^, 0, < или г = | (где р < д и Я > 3), тогда и только тогда, когда соответствующ ая поверхность О3 гомеоморф на МР3; Б3; Б1 х Б2 или линзовому пространству Ьяр соответственно (см. [2, Том 1, Предложение

4-3]).

1.2. Линейно интегрируемый геодезический поток на ЕР2

Представим проективную плоскость МР2 как фактор сферы 52 по инволюции которая в координатах г, ф задается формулой:

^(г,(р) = (Ь — г,<£ + ж). (5)

Полюса при инволюции переходят друг в друга: ^(Б) = И, ^(И) = Имеем: Т*МР2 = Т*Б2/г}*,

где

Г]*(рг ,р<р ,Г,р) = (—рг ,Р<р,Е — г,р + ж). (6)

Далее мы считаем, что /(г) = /(Ь — г) и V(г) = V(Ь — г), чтобы / и V задавали функции на МР2

Теорема 2 (Д. С. Тимонина, [4]). Пусть система (то есть геодезический, поток с линейным интегралом на, многообразии вращения с инвариантным потенциалом) на проективной плоскости МР2 парой функций f (г) и V(г) так, как описано выше. Тогда молеку-

да системы, соответствующая связной компоненте изоэнергетичекой поверхност,и ^Мр2' симметрична и имеет вид Ш — Ш, где каждая, молекула Ш — это либо один атом А, либо дерево. Все неконцевые (то есть седловые) вершины дерева — это атомы VIа, концевые вершины имеют тип А. Постороение грубой молекулы осуществляется по графику функции и'(г) = 2/2(г)(Ъ — V(г)).

Замечание 4. Некоторые свойства функций и^(г):

1. Из симметрий функций и V следует, что функция и^(г) симметрична относительно оси г = тт. Иными словам,и, функция, Иь(г — §) четная.

2. В полюсах ик(0) = ик(Ь) = 0.

3. При г = 0, Ь функция и^(г) > 0 тогда и только тогда, когда, V(г) < Ъ.

4- Также отметим, что при К = 0 и г = 0, Ь нули иь(г) = 0 не могут быть точками локального экстремума функции и'(г). В противном случае в этих точках рг = 0 и = 0 и это были бы, точки ранга 1. Но на, неособых поверхностях при К = 0 нет 11

Несложно доказать следующее утверждение о топологии Пусть ж : (И ^ МР2 —

проекция изоэнергитической поверхности. Заметим, точки — это в точности точки,

где V(г) < к. Множество симметрично относительно вращения, поэтому каждая его

связная компонента — либо все МР2, либо "шапочка" у полюса, либо лист Мебиуса (окрестность "экватора"), либо кольцо.

утверждение 1. Пусть ( ^ связная компонента (н неособой изоэнергетической поверхности для рассматриваемой системы на МР2. Возможны три случая:

1. Если ж(((3) = КР2, т.е. V(г) < к на всем, МР2, то ( и £4,12. Если ж((3) — это диск И2 с центром в полюсе, то ( и53. 3. Если ж((3) — это кольцо I1 х в1 или лист Мебиуса М2; то ( и в1 х в2.

Замечание 5. В случаях из Утверждения 1 соответствующая поверхность для сферы, (А82 гомеоморф на МР3, в3 и в1 х в2 соответственно (см. [3]).

Доказательство. [Доказательство Утверждения 1] Если к(((3) = МР2, то легко видеть, что ( 3 МР2

это пространство гомеоморфно Ь4,1 (см., например, [9]). Если ж(((3) и И2 или ж(((3) и I1 хв1, то ответ такой же, как и для соответствующего случая на сфере в2 (см. [3]). Остается рассмотреть случай п(((3) и М2. В этом случае (3 и (Зз2//]*, где инволюция /]* задана (6) и 2 ив1 х Б2. Инволюция ]]* действует на следуюнщм образом: координату р на в1 она увеличивает на ж, а отображение на сомножителе в2 изотопно тождественному отображению (в координатах (рг, р^, г) легко видеть, что оно изотопно повороту на угол ж вокруг оси р^). Следовательно, (3 ив1 х в2 / ]* ив1 х в2. Утверждение 1 доказан о. □

Замечание 6. Для молекул вида, А — А по топологии (3 можно найти метку г (см,. Замечание 3). Однако мы поступим наоборот,: в Разделе 4 во всех трех случаях мы вначале

А — А

с Утверждением 1.

2. Основные результаты

Для удобства разобьем классификацию меченых молекул для рассматриваемой системы

А — А

случаев.

МР2

( 3

( 3 А — А = 1

зависит от проекции ж (О3) на МР2.

1. Если к(((3) = МР2; то метка г = 4.

2. Если п((3) и И2, то метка г = 0.

3. В остальных случаях (т.е. если п((3) и I1 х в1 или ж((3) и М2/ метка г = ж.

Замечание 7. Пусть проекция ((3 на МР2 в координатах (г, р) имеет вид к(((3) = = [а, Ь] х в1, где [а, Ь] С [0, тт] (при этом мы формально отождествляем все точки вида (0, р)). Иными словами, пусть [а, Ь] С [0, 2] — связная компонента множества точек г,

в которых V(г) < Ъ. Молекула системы на, Я3 имеет тип А — А тогда и только тогда, когда функция иь(г) на [а,Ь] имеет ровно один положительный локальный экстремум (который будет глобальным максимумом), см. [4]. А топология п^3) следующим образом, зависит, от, вида, отрезка [а, Ь].

1. Если а = 0,Ь = L 2 ' то AQ3) = RP2.

2. Если а = 0,Ь< L 2 ' то *(Q3) и D2.

3. Если а > 0,Ь = L 2 ' то *(Q3) & M2.

4■ Если а > 0,Ь< L 2 ' то *(Q3) и 11 x S1

Также отметим, что если молекула имеет, вид А — А и к(<^3) = МР2 (т.е. а = 0,Ь = то _ это максимум функции.

Пример 1. Случай, когда потенциал V(г) = 0 был разобран В. С. Матвеевым (см. ]2, Том 2, Раздел 3-4])- В этом случае, если молекула имеет вид А — А, то V(г) < Ъ на всем МР2. Поэт,ом,у м,етка г = 1 и О3 к Ь^^.

Теорема 4. Пусть молекула Ш — Ш системы на Q3 отлична от А — А. Тогда метки на ней имеют следующий, вид.

1. На, ребрах типа А — м,ет,ка, £ = 1. Если атом А центральный (см. Определение 1), то метка г = иначе м,етка г = 0.

2. На, ребрах между седловыми атомами метки г = ж. Если ребро нецент,ральное (т.е. к > 0 или к < 0), то метка, £ = +1. На центральном ребре м,ет,ка, £ = —1.

3. Если молекула Ш — Ш от,лична от А — А, то она содержит единственную семью, получаемую отбрасыванием всех атомов А. Метка п следующим образом зависит, от, проекции ж (О3) на МР2.

(a) Если к(<^3) = МР2; то мет ка п = —2.

(b) Если к(<^3) к И2 ил и к(<^3) к М2; то мет ка п = —1.

(c) В оставшемся случае (если п^3) к 11 х Б1) метка п = 0.

Зам ечание 8. В [2, Том, 2, Теорем,а, 3.11] в результате B.C. Матвеева про случай, нулевого потенциала, V(г) = 0 неверно указана метка п. Если V(г) = 0 то k(Q3) = RP2 и метка п = —2, а, не — 1 (это также подтверждает,ся, формулой Топалова, см. Зам,ечание 13).

3. Построение допустимых базисов

Для доказательства теорем 3 и 4 явно построим допустимые базисы для всех атомов, и затем вычислим по ним метки по правилам из [2]. Отдельно разберем построение допустимых атомов для эллиптических и седловых атомов.

3.1. Случай эллиптических атомов

А

Замечание 9. Для атома А мм выбираем допустимый базис (X, ц) по следующему правилу из [2]:

1. Х-цикл стягивается в точку;

2. ц-цикл дополняет, цикл, X до базиса;

3. ц-цикл ориентирован напра,влением sgra<iH на критической окружности;

4- Х-цикл ориентирован так, что пара (X, ц) положительно ориентирована на граничном торе Т2 полнот,ория. Мы, считаем, что пара векторов и, V задает, положительную ориентацию касательного пространства ТХТ2, если

ш Лш(%гэАН^,и, V) > 0, (7)

т.е. четверка ^г&<1Н, N,4, V), где N — внешняя нормаль к полнот,орию, положительно ориентирована относительно ш Л ш.

Напомним (см. [2]), что Х-цикл для атома А определен однозначно, а ц-цикл — с точностью до прибавления кХ, где к € Ъ.

Замечание 10. Замена

(Рг,р<р,г,<р) ^ (рг, —Р^,г, —<р), (8)

сохраняет симплектическую структуру ш = (1рг Л йг + йр^ Л йф на Т*Б2, при этом Н ^ Н, К ^ — К. Мы будем строить допустимые базисы при К < 0 из допустимых базисов при К > 0 при помощи замены (8). В частности, для атома А в координат,ах (Рг', Р<р', г',ф') = (Рг, —Р^,г, —ф) допустимый базис (X', ц') задается теми же формулами, что и базис (X, ц).

К = 0

заданный (3), является произведением двух циклов:

1. цикла аv вида

^рг = сonst, pv = const, г = сonst, ф е , (9)

где мы считаем ф > 0;

2. и цикла аг вида

|pr = ± J1) л/Uh (г) - k2, pv = с onst, г е [г i, Г2] С [0,L] ,ф = с onst|, (10)

который для определенности обходится по часовой стрелке (т.е. г > 0 при рг > 0).

Каждый атом А соответствует максимуму функции Uh(г) при К > 0 и минимуму функции Uh(г) при К < 0. Пусть это значение достигается в точке rext. Для RP2 будет два случая:

1. если rext = 2, то инволюция (6) отождествляет два тора Лиувилля в окрестности особого слоя атома А (на Рис. 1а изображены соответствующие циклы аг)~,

(а) Нецентральный атом

(Ь) Центральный атом

Рис. 1: Сечения атома А

2. если же rext = jf, то инволюция (6) переводит тор Лиувилля в окрестности особого слоя атома А в себя (см. Рис. 16)

Definition 1. Атом А, соответствующий rext = мы будем называть нецентральным, а, атом А, соответствующий rext = т2, — центральным,.

Утверждение 2. Для рассматриваемой системы на RP2 в окрестности а тома А можно взять указанные в Таблице 1 допустимые базисы (А, у) в зависим,ост,и от, значений интеграла К и типа атома А.

Нецентр. А Центр. А

К> 0 А = ar, ^ = ау А = аГ) » = ^нт*

К < 0 А = аг, ^ = — а^ А = аГ) » = -2^

Таблица 1: Допустимые базисы для атома А

Доказательство. [Доказательство Утверждения 2] В соответствии с Замечанием 10 достаточно доказать утверждение при К > 0. Вначале рассмотрим нецентральные атомы (см. рис. 1а). Очевидно, что цикл Л стягивается в точку, и что (А,^) — базис. Далее, каноническая еимплектичеекая структура на кокасательном расслоении имеет вид ш = йрг Л йг + ф^ Л йу. Поэтому

sgrad Н = и-ЧН = ^, 0,Рг. (11)

В особых точках ранга 1 векторное поле sgrad Н пропорционально sgrad К = (0, 0, 0,1). Поэтому ориентация цикла ^ зависит только от знака р^ = к и выбрана правильно.

Остается проверить, что ориентация А выбрана правильно, т.е. что выполнено (7). Обозначим через и у^ касательные векторы к указанным циклам А и у. Будем считать рг > 0. В данном случае четверка векторов будет выглядеть следующим образом.

grad Н = (рг,^0^ , N = (а, -1, -а0,0)

ьх = ф, 0,1, 0), ^ = (0, 0, 0,1),

где

к рг 1 дН

а =--о =---

/2 г* + (Т- )2, 0 Ргдг'

Отметим, что вектор N находится из условий

(^, grad Н) = N ьх) = N ьц) = 0, N(р^) < 0.

Форма объема шЛш = —2йрг Лйр^ Лйг Лйр, поэтому четверка будет положительно определена, т.к. определитель соответствующей матрицы отрицательный:

Рг а

о 0

Рж Ш. П ] 2 дг 0

—1 —а0 0

0 0

1 0

Рг

^ +

(дН\2 к! + /4

)

< 0,

1

т.к. мы взяли рг > 0. Уровне (7) выполнено, следовательно, ( X, ц) — допустимый базис.

Рассмотрим теперь центральные атомы (см. Рис. 1Ь). Достаточно доказать, что ( X, ц) — базис на торе Лиувилля (после факторизации по инволюции (6)). Остальные утверждения (что X стягивается в точку, и что ориентации X, ц выбраны правильно) доказываются так же, как и в случае геХ1 = 2- До факторизации по инволюции (6) можно взять такой же базис (X',^), что и в случае геХ1 = 2. Введем на замкнутой кривой на Рис. 1Ь параметр ф € М/2-^Ъ. При этом можно считать, что инволюция (6) действует как (ф, ф) ^ (ф + ф + В таком случае, до инволюции тор Т2 получался как фактор М2 по подгруппе, порожденной векторами (2ж, 0) и (0, 2ж). После инволюции к порождающим подгруппы нужно добавить (^^.Следовательно X = X' и ц = л действительно будут новым базисом в ^1(Т2/Ъ2). Что и требовалось доказать.

Утверждение 2 доказан о. □

3.2. Случай седловых атомов

Есть два типа седловых атомов — со звездочками и без.

Замечание 11. Для седлового атома без звездочек мы выбираем допустимые базисы ( X, по следующему правилу из [2]:

1. X-цuкл — слой расслоения Зейферта (т.е. цикл получается из критической окружности непрерывным, продолжением на соседние торы);

2. ^-циклы, дополняют, цикл, X до базиса, при этом должно существовать глобальное сечения 3-атома, проходящее одновременно через все

3. ориентирован напра,влением sgrad Н на критической окружности.

4- ^-цикл ориентирован так, что пара (X, положительно ориентирована на гранич-Т2 Т2 А

Замечание 12. Для атомов со звездочкам,и, в соответствии с [2], мм построим допустимые базисы по дублю атома. В данном, случае дубль атома — это соответствующий атом для сферы, Б2. Если соответствующий тор Лиувилля переходит в себя, при инволюции (6), то цикл для, сферы Б2 нужно заменить на /Лг = . В противном случае этот цикл, можно оставить без изменения: ^ =

Напомним (см. [2]), что А-цикл для седловых атомов определен однозначно, а ^¿-циклы — с точностью до прибавления ki\, где ki £ Z и ^ ki = 0.

Определение 1. Седловой атом,, который инволюция (6) переводит в себя, мы будем называть центральным. Остальные седловые атомы мы будем называть нецентральными.

Утверждение 3. Для рассматриваемой системы на RP2 в окрестности седлового атома \-цикл допустимого базиса равен av при К > 0 и —av при К < 0.

1. Пусть седловой, атом — нецентральный (пример сечения такого атома до факторизации по инволюции (6) схематично изображено на Рис. 2с). Для "внешнего", в соответствии с рис. 2с, тора Лиувилля ^out = — аг, для, "внутренних" торов = аг.

2. Пусть седловой, атом — центральный и, не имеет звездочек (пример сечения такого атома до факторизации по инволюции (6) схематично изображен на Рис. 2Ъ). В соотв. с рис. 2Ь будет 3 типа ^-циклов, соответствующих различным граничным торам Лиувилля — "внешний" ^out, "внутренние не центральные" ц,¡n и "внутренний центральный" ^cent. Их можно взять следующими:

^jo^-or, К> 0, _ Г«^, К> 0,

= j , к< 0, №n = ^, ^cent = { ^, К< 0.

3. Пусть седловой, атом — центральный и имеет звездочки (пример сечения такого атома до факторизации по инволюции (6) схематично изображен на Рис. 2а). Для "внутренних", в в соответствии с Рис. 2а, торов Лиувилля ц,¡n = — аг, а, для, "внешнего" тора ^out = ат при К > 0 и "r2 при К < 0.

Доказательство. [Доказательство Утверждения 3 Утверждение 3 доказывается аналогич-2

2

их ориентация. Также согласно Замечанию 10 достаточно построить базис при К > 0: в координатах (рг',Рф',г',<^>') = (рг, —р^,г, —ф) для седловых атомов, как и для эллиптических, допустимый базис (А',^') задается теми же формулами, что и базис

Для примера, рассмотрим "внешний" тор для случая, соответствующего Рис. 2с, при К > 0. Для седлового атома А = а^ при К > 0, поскольку это цикл, соответствующий критической окружности. Для соответствующего атома А допустимый базис \а = о.г= о.^. Ориентация "внешних" торов Лиувилля будет как у соответствующих атомов А, а у "внутренних" — противоположная. Поэтому оставшийся цикл = —о.г.

Отметим особенности выборов базисов в седловом случае. Для случая, соответствующего Рис. 26), через циклы ^ должно проходить сечение. Поэтому мы берем противоположные знаки при и Ц-сеП1, чтобы в сумме эти они сократились. Для случая, соответствующего

Рис. 2а ^-циклы находятся в соответствии с Замечанием 12. Утверждение 3 доказан о. □

4. Доказательство Теоремы 3

3

занных в Разделе 3 допустимых базисах. Во всех случаях метки г ъе вычисляются по матрице перехода так, как описано в [2].

Обозначим через (А+,^+) и (А_,^_) допустимые базисы при К > 0 и К < 0 соответственно. Во всех случаях цикл а^ корректно определен при всех К. Для циклов аг это неверно,

(а) Атом со звездочкой

(Ь) Центральный атом без

(с) Нецентральный атом без * Рис. 2: Сечения ссдлового атома

потому что координаты (г, ф) имеют особенности в полюсах. Поэтому если уровень К = 0 содержит полюс, то циклы аг± при К > 0 и К < 0 могут переходить в разные циклы при продолжении на уровень К = 0.

1. Вначале рассмотрим случай 3. Поскольку при К = 0 тор Лиувилля не содержит полюсов, (рг ,Рф, г, ц>) будут глобальными координатами на Q3. Поэтому формулы для допустимых базисов из Утверждения 2 будут выполнены для всех К. Матрица перехода для нецентральных атомов имеет вид

СО (о О со

а для центральных атомов вид

СО С о со

2

аг+ = —

V

(12)

На Рис. 3 схематично изображено, как (непрерывно) меняется цикл аг+ при изменении К. Из (12) и Утверждения 2 вытекает, что в этом случае матрица перехода имеет вид

СО (о О СО •

(13)

*

Рис. 3: Перестройка цикла А в случае 2 Продемонстрируем это на простейшем примере: рассмотрим систему на плоскости

р1+Р1

+

и первым инте-

М2 (х, у) натуральную систему с гамильтонианом Н = 2 , 2 гралом К = хру — урх- Легко видеть, что эта система имеет одну особую точку ранга 0 типа центр-центр. В координатах

и1 =

Ух + У л/2 ,

VI =

Ру X

П2 =

Рх — У /2 ,

У2 =

Ру + X

тт т^ Ц2 I Ъ'2

форма имеет вид ш = йи1 Л (1ь1 + йи2 Л а интегралы ^ = —2— = 12 1 и

^2 = ~~2+~~ = "2+ ^2 имеют канонический вид, как в теореме Элиассона (см. [2]). Обозначим через и а2 циклы, соответстсвующие траекториям гамильтоновых векторных полей sgrad и sgrad ^ соответственно. Аналогично доказательству Утверждения 2 несложно показать, что в качестве допустимых базисов можно взять А+ = а.1,ц,'+ = а2 (в окрестности точек = 0) и А- = а.2,^- = «1 (в окрестности точек ¥■2 = 0). Для системы на МР2 в качестве циклов берутся циклы, соответствующие потокам sgrad К. Поэтому нужно взять = «2 — а1 и ^- = а:1 — а.2- Таким образом мы получаем требуемое соотношение (13).

о2

можно показать, что

аг+ = &г- — 2а^

(14)

2

'А+

(/х+) (з 1) (М-)

Теорема 3 полностью доказана. □

5. Доказательство Теоремы 4

11

ме 3. Укажем лишь все матрицы перехода между бифуркациями. Через А±, мы будем обозначать допустимые базисы для атома А, а через А±, мы будем обозначать допустимые базисы для седловых атомов (как со звездочками, так и без). Знак ± будет положительным у атома, отвечающему большему значению К (и отрицательном — для меньшего значения К). В таблице 2 указана матрице перехода С для ребер вида А — V и V — А (т.е. между

эллиптическим и седловым атомами). Здесь мы считаем, что = ^ И ^ > 0 й

С+)=с Ш "р" * <0

К> 0

К < 0

Нецентр. А

0 1 10

А

1 2

— 1 2 11

Таблица 2: Матрицы перехода между эллиптическими и седловыми атомами

Для нецентральных ребер вида V — V (т.е. между седловыми атомами)

'а5

(й)=(0 —01) •

Матрица перехода С на центральном ребре гада V — V зависит от типа проекции ^((3) на МР2 и указана в Таблице 3. Мы считаем, что ^ = С ^ ■ Здесь достаточно воспользоваться тем, что мы знаем выражение допустимых базисов через агж а^ (см. Утверждение 3) и то, как эти циклы меняются при изменении знака К (см. доказательство Теоремы 3). А имен-

но, во всех случаях цикл а^ не меняется, аг+ = аг_ если п((3) ~ 11 х 51

(12) если ^((3) ~ И2, и выполнено (14) если ^(О3) = МР2 .

или

М2,

выполнено

<Я3) МР2 И2 М2

(—1 0\ 1—1 0\ —1 0

С I \ I \ I

1—2 V 1—1 V 1—11

I1 х Б1

—1 0 01

Таблица 3: Матрицы перехода на центральном ребре между седловыми атомами

Все метки (г,е и п) вычисляются по матрицам перехода по формулам из [2]. Теорема 4 □

Замечание 13. Продемонстрируем, что при V(г) = 0 по формуле Топалова (см. ¡2, Том п 0 — 2 4

указанной в [2, Том 2, Теорем,а, 3.11]) меткой п. Если V(г) = 0, то для любой компоненты неособой, изоэнергетической поверхности ^((3) = МР2 и (3 « ¿4,1- Значит, Тог Н1((3) = 4. Возможны следующие два, вариант,а.

1. Пусть г = тг является локальным, максимумом функции Иь(г). В этом случае в моле-

А

атома и функции Иь(г) указаны на Рис. 4).

На, соответствующих двух ребрах, исходящих из единственной семьи, матрица перехода равна

12

1 1 ), и метка г = 1 (отметим, что при К < 0 мы обрат,или ребро, и

поэтому нужно взять не матрицу из Таблицы 2, а обратную к ней). На, остальных

01

10

и метка г = 0. В обозначениях из

[2] энергия оснащенной, молекулы N(Ш*) = 4 и

N (Ш *)=р1 •••ртп.

(15)

Два знаменателя г-меток равны двум,: = р2 = 2, а, остальн ы,е ¡3^ = 0. Поэтому "энергия семьи" п = ±1 С другой стороны, п = п + ^ г г = п + 1. От,куда, п = 0

виеши. ребр.

2

2. Пусть г = 2 является локальным, минимумом функции Иь(г). В этом случае в молекуле р = 2 атома со звездочкой, зато нет центральных атома А (пример такого атома и функции Иь(г) указаны на Рис. 5).

Рис. 5: Молекула без центральных атомов А

На всех исходящих ребрах матрица перехода равна ^ 0^ > и метка г = 0. По правилам из [2] формула (15) заменится на

N ^ *) = 101 •••¡Зтп,

а, "энергия семьи" п = п + ^ Гг + | = п + I. Откуда опять же п = 0 или — 2.

виеши. ребр.

Неоднозначность в метке п здесь связана с выбором ориентации Q3. При изменении ориентации О3 метка п = 0 меняется на п = — 2 и наоборот (см. [2, Том 1, Раздел 4-5.2]). Мы, выбрали ориентацию так, что п = — 2.

6. Заключение

Получена лиувиллева классификация натуральной гамильтоновой системы на проективной плоскости с метрикой вращения и линейным интегралом. Вычислены все инварианты Фоменко — Цишанга (т.е. меченые молекулы) системы. Тем самым завершен тонкий лиувил-лев анализ системы, начатый в [4]. Исправлена опечатка в метке п в [2, Том 2, Теорема 3.11].

И. К. Козлов благодарен проф. А. В. Болсинову за полезные комментарии и советы при написании работы. Исследование И. К. Козлова выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01303).

Работа посвящается академику Анатолию Тимофеевичу Фоменко к его семидесятипятилетию.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.: Мир, 1981, 327 с.

2. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2, Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999, 1: 444 е.; 2: 447 с.

3. Кантонистова Е.О. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях вращения в потенциальном поле // Матем. сб., 207:3 (2016), 47-92;

4. Тимонина Д. С. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков в потенциальном поле на двумерных многообразиях вращения: торе и бутылке Клейна // Матем. сб., 209:11 (2018),' 103-136;

5. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР, 287:5 (1986), 1071-1075.

6. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем., 50:6 (1986), 1276-1307.

7. Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР, 294:2 (1987), 283-287.

8. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Ли-увиллю // Функц. анализ и его прил., 22:4 (1988), 38-51.

9. Geiges Н., Lange С., Seifert fibrations of lens spaces // arXiv: 1608.06844 [math.GT] REFERENCES

1. Besse A. L., "Manifolds all of whose geodesics are closed", Ergeb. Math. Grenzgeb., 93, SpringerVerlag, Berlin-New York, 1978, ¡x 262 c.

2. Bolsinov A.V. and Fomenko, А Т., "Integrable Hamiltonian systems. Geometrv, topologv, classification", Chapman k, Hall/CRC, Boca Ratón, FL, 2004, xvi+730 c.

3. Kantonistova E.O. "Topological classification of integrable Hamiltonian systems in a potential field on surfaces of revolution", Sb. Math., 207:3 (2016), 358-399.

4. Timonina D. S., "Liouville classification of integrable geodesic flows in a potential field on two-dimensional manifolds of revolution: the torus and the Klein bottle", Sb. Math., 209:11 (2018), 1644-1676.

5. Fomenko А. Т., "Morse theory of integrable Hamiltonian systems", Soviet Math. Dokl., 33:2 (1986), 502-506.

6. Fomenko А. Т., "The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrabilitv", Math. USSR-Izv., 29:3 (1987), 629-658.

7. Fomenko А. Т., Zieschang, H., "On the topology of the three-dimensional manifolds arising in Hamiltonian mechanics", Soviet Math. Dokl., 35:2 (1987), 520-534.

8. Fomenko А. Т., "Topological invariants of Liouville integrable Hamiltonian systems", Funct. Anal. Appl, 22:4 (1988), 286-296.

9. Geiges H., Lange C., "Seifert fibrations of lens spaces", arXiv: 1608.06844 [math.GT]

Получено 12.01.2019 г.

Принято в печать 11.03.2020 г.