Линейно-автономные симметрии одной дробной модели Геана – Пу

Ядрихинский Христофор Васильевич; Федоров Владимир Евгеньевич

Прикладная математика & Физика, 2023, том 55, № 3. С. 236-247. Applied Mathematics & Physics, 2023, Volume 55, No 3. P. 236-247.

УДК 517.95 DOI 10.52575/2687-0959-2023-55-3-236-247

MSC 35B06; 35R11; 35Q91; 70G65 Оригинальное исследование

Линейно-автономные симметрии одной дробной модели Геана - Пу

1 1 9

Ядрихинский X. В. , Федоров В. Е.

(Статья представлена членом редакционной коллегии А. В. Глушаком)

1 Якутское отделение Дальневосточного центра математических исследований, Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Россия, 677000, г. Якутск, ул. Белинского, 58 [email protected] 2 Челябинский государственный университет, Россия, 454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129 [email protected]

Аннотация. Исследована групповая структура уравнения Геана - Пу дробного порядка по переменной цены базового актива, представляющего собой одну из моделей динамики ценообразования опционов с учетом транзакци-онных издержек. Осуществлен поиск непрерывных групп линейно-автономных преобразований эквивалентности. Найденные преобразования эквивалентности использованы при построении групповой классификации (в рамках линейно-автономных преобразований) рассматриваемого уравнения с нелинейной функцией в правой части уравнения в качестве свободного элемента. В случае ненулевой безрисковой ставки показано, что возможны два случая допускаемых групп линейно-автономных преобразований изучаемого уравнения: двумерная в случае специального вида свободного элемента и одномерная в остальных случаях. Если же безрисковая ставка равна нулю, имеется четыре варианта допускаемой группы, которая может быть двумерной, трехмерной или четырехмерной. В дальнейшем предполагается использование полученной групповой классификации при вычислении инвариантных решений и законов сохранения исследуемой модели.

Ключевые слова: уравнение в частных производных, групповой анализ, линейно-автономное преобразование, преобразование эквивалентности, симметрия, алгебра Ли, ценообразование опционов

Благодарности: Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ, соглашение № 075-02-2023-947 от 16.02.2023.

Для цитирования: Ядрихинский Х. В., Федоров В. Е. 2023. Линейно-автономные симметрии одной дробной модели Геана - Пу. Прикладная математика & Физика, 55(3): 236-247. D0I 10.52575/2687-0959-2023-55-3-236-247

Original Research

Linear-Autonomous Symmetries of a Fractional Guéant - Pu Model

1 Khristofor V. Yadrikhinskiy ,1,2 Vladimir E. Fedorov

(Article submitted by a member of the editorial board A. V. Glushak)

1 Yakut Branch of the Far Eastern Far Eastern Center for Mathematical Research, North East Federal University

named after M. K. Ammosov, 58 Belinsky st., Yakutsk, 677000, Russia [email protected] 2 Chelyabinsk State University, 129 Brothers Kashirin st., Chelyabinsk, 454001, Russia [email protected]

Abstract. We study the group structure of the Gueant - Pu equation of the fractional-order with respect to the price of the underlying asset variable. It is one of the models of the dynamics of options pricing, taking into account transaction costs. The searchfor continuous groups of linear-autonomous equivalence transformations is carried out. The equivalence transformations found are used in constructing a group classification (within the framework of linear-autonomous transformations) of the equation under consideration with a nonlinear function in the right side of the equation as a free element. In the case of a nonzero risk-free rate, it is shown that two cases of Lie algebras of the equation under study are possible: two-dimensional in the case of a special type of free element and one-dimensional in the remaining cases. If the risk-free rate is zero, there are four variants of the Lie algebra, which can be two-dimensional, three-dimensional or four-dimensional. In the future, we assume to use the obtained group classification in calculating invariant solutions and conservation laws of the model under study.

Keywords: Partial Differential Equation, Group Analysis, Linear-Autonomous Transformation, Equivalence Transformation, Symmetry, Lie Algebra, Option Pricing

Acknowledgements: The work is supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, agreement No. 075-02-2023-947, 16 February 2023.

For citation: Yadrikhinskiy Khr. V., Fedorov V. E. 2023. Linear-Autonomous Symmetries of a Fractional Gueant - Pu Model. Applied Mathematics & Physics, 55(3): 236-247. (in Russian) DOI 10.52575/2687-0959-2023-55-3-236-247

1. Введение. Уравнение Геана - Пу

в( = гв + (И - г8)Ч - Ив3 - у е3з- \ус2ег( т- г> (в3 - Ч)2 + *(г, вд) (1)

моделирует динамику ценообразования опционов с учетом транзакционных издержек и влияния операций на рынок [ , ]. Здесь г е К - безрисковая ставка, у е К — абсолютный параметр неприятия риска, а > 0 — волатильность, ц е К - прогноз тренда, ожидаемая доходность базового актива. Цена безразличия колл-опциона в = вБ, ц) зависит от времени t, цены базового актива 5, доли количества акций в хеджируемом портфеле д. В работах авторов ранее исследованы групповые свойства уравнения

(1) с функцией Р = Р(вд) [2, 12], а также в случае Р = Р(1,вд) [9, 11]. Для уравнений с конкретными функциями Р из полученных в этих работах групповых классификаций методами группового анализа получены точные решения. Для модели Геана - Пу (1) с функцией Р = а^)0д найдены семейства операторов рекурсии [10].

В теорию финансовых рынков дробные производные введены для описания эредитарных свойств моделируемых процессов [3, 7, 8]. В настоящей работе рассмотрено уравнение

в( = гв + (И - г8 )Ч - ^ в - у Б«+1в - г ( Т - Г) Фа5 в - д)2 + Р (и вд) (2)

дробного порядка по переменной 5. С помощью методов, развитых в работах Р. К. Газизова, С. Ю. Лукащука и А. А. Касаткина [1, 4] в данной работе изучаются линейно-автономные симметрии уравнения (2) при а е (0,1). В §2 приведены предварительные сведения. Третий параграф содержит получение алгебр Ли генераторов непрерывных групп линейно-автономных преобразований эквивалентности уравнения

(2). В четвертом параграфе начато получение групповой классификации (в смысле только линейно-автономных преобразований) уравнения (2) в общем случае, в пятом - эта классификация получена для случая нелинейных по вд функций Р = Р(I, вд). При этом групповые классификации уравнения (2) существенно различаются для случаев г = 0 и г Ф 0.

2. Предварительные сведения. Пусть £ — банахово пространство, с,Т е К, с < Т, определим дробный интеграл Римана - Лиувилля порядка ^ > 0 для функции/ : (с,Т) ^ £

s

fsf (S) := У ^Щрf (S)ds' S e (C'T)'

a{(c\__тлптп_а£(с\ т^тгг, тлп

и дробную производную Римана - Лиувилля порядка а е (п - 1,п], п е М, Б«/(Б) := (8), где -

производная целого порядка п.

Обобщенная формула Лейбница имеет вид

а]^«-к„/с\ тлк г/с\ М _ Г(а + 1)

Dsa<f (S)д(S)) = g («) Dsa- Sg(S)DSsf (S), («) - г+ 1}г(g _ , + 1}.

■S

Будем использовать функцию Миттаг - Леффлера Еаф(z) — 2

z

Решение уравнения Day(S) _ Лу(S) — f (S) имеет вид

s—о Г(ак + р)•

" !* s

У — ^ bs (S _ С)а_sа_S+1 (Л (S _ с)а) + (S _ s)а-1Ра,а (Л(S _ s)а) f (s)ds, п _ 1 < а < п. (3)

В статье [ ] получена формула продолжения по дробной производной Римана - Лиувилля и для оператора X — vdt + %ds + + цдв она принимает вид

г]а—dа (ч _ тв( _ &s _ peq)+ти^а в+%dsdа в+pDq ^а в.

Перегруппируем слагаемые с учетом равенств Б^а — Б'а+1 и (тв)t — rtв + rdt:

^—dаа v+td' et _ dаа (ret)+&а+1е _ dа Ds (&)+dа ше)+роа eq _ dа (peq).

Формулы продолжения для £ имеют вид

= Ds£ - FtDsт - FsDs% - FqDsP - FeDsr¡ - FetDsr]* - FesDsr]s - FeqDsr]q - FDieDSr]a,

^ = D- FtDqT - FsDqt - FqDq§ - FeDqt] - FetDq^* - FesDqr]S - FeqDqt]q - F^Dqt]a,

£e = Del - FtDeт - FsDe% - FqDeP - FeDer¡ - FetDer¡* - FesDer]s - FeqDer¡q - F^eDe]", ^Ds9 = Ц)ще<Г- FtDD%eт - FsDD%eü - FqDD-eP - FeDD%eЛ - FD^eDD%eila - FetDD^erf-- FesDDser]s - Feqt)D%er]q,

= ieX - FtDetT - FsDвЛ - FqDetß - Fei)etr] - Fetí)etf]t - FesDetf]s - F0qDerf-

- Fd*eietr]a

= ies{ - Ftiesv - Fsies£ - Fqiesß - Feí)esr] - F0tiesl1t - Fesiesl1S - F6qiesr]q-

- Fd%eDesr]a.

Оператор Y будем искать в линейно-автономном виде:

т]= р(t, S, q)в + д(t, S, q), тв = 0, & = 0, ße = 0. Формулы продолжения rjf, rjq в таком случае имеют вид

Г]{ = Dt Г] - etDt т - esDtt - dqDt ß = р te + gt + рв{ - в tTt - 6sZt - öqßt,

T]q = Dqt] - QtDqT - dsDqt - dqDqß = Pqd + ßq + p dq - в tTq - ds^q - dqßq.

Тогда подстановка формул продолжения и (5) в (7) дает

Ы = ^ lq - FtTq - Feqr]qlM = ^ & - Feqr]qqlM = ^ let - Feqrq

- Ft Ts - F ßq f]4q \ m = 0, lq - Ft Tq - Fßq rjq \ m = 0, & - Fßq Щ\m = 0, - Fßq rjqt lM = 0,

- Fßq4qos\M = ^ в - Fßqr]qD„в\M = 0.

После подстановки формулы для г]q отсюда получаем

& - Ft Ts - Fßq (pSq9 + gSq + (ps - ßsq) 0q - ¡isqOs -

-TSq |rв + (И- rS)q - ИЩд - yias+1e - ^ro2er(T-t) (DP - q)2 + i7)) = 0,

lq - Ft Tq - Fßq (pqq в + Qqq + (pq - ßqq) dq - ¿¡qq 6S -

s s 1 2 T s

- Тдд | г в + (И- г$) ч - ^е - ^Б«+1в - ^ег(т- Ч)2 + ^ ) = 0,

Ре,рд = а & + Ре, Тд = а £вз + Ре, & = 0, в =

Разделение переменных в этих равенствах влечет уравнения

Тз = 0, Тд = 0, рд = 0, 1д = 0, ^д = 0, рБ- ^д = 0, ддд = 0, Рдд = 0,

& = 0, Ъ = 0, & = 0, & = 0, 1вз = 0, в = 0. (8)

Теперь подстановка формул продолжения в (6) дает

р {в + д{ + р в( - в с т( - вБ ^ - ОдР { - грв - гд - цР + гвр +

\ I 7 \ ^ I \

т\а-к а I тлк * I ^ - ^ пк+1?\ ,, -кд ^к

++к Е(£) is ~ке [isp+ш iks+1í) -к Е (£) is ~ketiks

t (í) iS-kOqikß + TiS+ T E (* +1) iS+1-k* (i^ + '^JTTi"1 -

2 ^ () 2 ^ () -T Z(a + I iS+1-%ik- - Y Z(a +) iS+1-keqikß - r{T-t)(iSö -

+ yff2easo - q) íiSg + E (fc) iS-ks [ikp + ^ik- E (fc) iS~ketik*-

\ k=0 k=1 \

fyiS-kÖqikP -P

^ nS-ka ¡nk„ , к a -nkv^l T^S-ka T^k„ к

-Z\m =

Прикладная математика&Физика, 2023, том 55, № 3

= (р- Tt) (г в + (И- rS) q - HDase - -Das +1в - -ya2er(T -t) (Das6 - q)2 + f) +

— DS- +i6 - -2 s 2

+ ptв + gt - es£t - Sqßt - rpв -rg-fjß + rSß + rq¿¡+ + ,DSSg + „ И DS-кв ¡Dip + ^Dfcf) -

V ( n«-ka n^ ^ns+1 , -2 V (a + Л n« tl-^in^x k-a - ^fc+itrl

vL\k Ds e*Dsß + YDS g+ iL + D« e\DsP + Dfc q-

k=i v ' fc=0

2 w I \

- T El ++ j Ds+i-%Dksß - Г2у-2еr(T -t4D's0 - q)2+

+ у-2e-t) (Dsse - q) Lsg + £ M D's -кв lüfcp + ^Dlfc+if) -

k=0 \ ' ' '

-K = 0. (9)

<X , V *

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-g^jD?-keqDksß -ß

Дифференцируем полученное уравнение по переменным к1 в, О^вд, Об, в и получаем %( = 0, Рб = 0, р( = гъ, ъ = (а к 1)¡Цб. Последнее соотношение влечет равенства ¡Цбб = 0, ъг = 0, так как тб = 0 и %г = 0. Используя равенство рБ = РБд из (8), получаем рБ = 0. Итак,

ъ{ = 0, Ъ = ( а к 1)&, £ = 0, & = 0, Рб = 0, р1 = ГЪ, рБ = 0. (10)

Подстановка (10) в уравнение (9) дает

(р _ Ъ) ((// _ гБ) д _ № в _ 1 Г(Т фр _ д)2 к^к

2

к дг _ в9р{ _гд_^к гБр к гЧ % к ¡Ю'д к ф'в (р _ а&) к +1д _

_ 2 Г^2 еГ (Т _) (»Р _ Ч)2т к уа2 ег (Т _) _ д) к »'в (р _ а &) _ Р) _ £ = 0. (11)

Расщепляем полученное уравнение (11) по переменной »'6 и получаем

1

Ф' в)2 : _ _ (Р_ Т()_ _г кр_ а & = 0, (12)

: (р_ Ъ)(_Ик цуа2ег(Т))кИ(р_а^3)к гдуа2ег(Т_)гк к У о2 ег (Т _) ф'д _Р_д(р_ а &)) = 0, (13)

1 : (Р_ Ъ) ((// _ г8)д _ 1 д2уа2ег(Т_) к Р^ к д, _ вдр( _ гд _ Ир к гБРк 2 ( )

к гд £к ¡Ю'д к -ПГд _ -д2уа2 ег (Т _ дуа2 ег (Т _) »д _ р) = 0. (14)

При помощи равенства ъ = ( ак 1)^ из (10) получаем из (12) выражение р = гтк ( а _ 1)^. Интегрирование уравнений тн = 0, ^ = 0, ъ = (а к 1)^, ^ = 0 из (10) и ¡;д = 0, тд = 0, тб = 0 из (8) при условии с) = 0 дает т = (а к 1)А? к В, % = А(Б _ с). Дифференцирование (14) по вд ид дает р(д = 0. Тогда интегрирование Рдд из (8) и Рб = 0 (10) дает р = Ед к ЬДифференцирование (13) по 5 с подстановкой ^ = 0, Рб = 0, рБ = 0 из (10) и тб = 0 из (8) дает равенство ИзИ^д = И'+1д = 0. Следовательно, и^д = М(^ д) и формула (3) решения дифференциального уравнения дает

' _1 ( _ )'

д = Н(t, g)(S-c)a-i +М(t, q)

Г ( a + l)'

Ввиду gqq = 0, gSq = 0 из (8) получаем Mq = 0, Hq = 0. Таким образом,

т = A (a + i)t + B, % = A (S-c), P = E g + L (t), (15)

(S - cY

p = rB + A(r(a + i)t + (a - l)), g = H(t)(S - c)a-i +M(t)(--(16)

Г (a + l)

Подставляя эти равенства в (13), получаем

цА + у-2 еr (т-t) (М ( t) -Eg - L(t) - gA + rq((a + i)At + B)) = 0.

Его дифференцирование по q дает Е = -А + гВ + г(а + 1)Аf, поэтому г А = 0. Следовательно,

иАег ( т)

М(0 = Ь(г) ---;-, гА = 0, Е = -А + гВ. (17)

уа2

Подстановка (15)-(17) в (14) дает

1 : ( гВ _ 2А) ((// _ rS)q _ 1q2ya2er{T_*> + fj + Ht(S _ c)a-1 + Mt_ dqLt_

(Б - с)с

- гН(Б - с)а-1 - гМ- И(ЕЯ + Ь) + гБ^ +Ь) + цМ+

- Г-ВЧ2уа2ег(т-{) - ЧУс2ег(т-0 (М -ЕЧ - Ь) - £ = 0.

Расщепляем это уравнение по переменным д, 5 и получаем с учетом последнего равенства в (17)

С5 - с)а

( 5 - с) а-1 : Н -гН = 0, ^-ч- :Мг - гМ = 0, Б : гЬ = 0, (18)

Г ( а + 1)

1 : ( гВ - 2А)Е - вдЬ -цЬ-£ + ^М = 0. (19)

Решение уравнения на Н в (18) есть Н = Н0еГК Подстановка (17) в уравнение на М (18) дает уравнение Ь - гЬ = 0 и с учетом гЬ = 0 получаем Ь = 0. Тогда вместе с подстановкой (17) в (19) получаем

и2Аег ('-т)

Н = Н0еп, Ь = и, гЬ0 = 0, (= (гВ - 2А)Р - ----. (20)

уст 2

Теперь подставляем (17), (20) в (15), (16) и получаем равенства

т = А (а + 1^ + В, % = А (8 -с), 0= (г В - А)ц + Ь0,

( 5 - с)а / цАег(-т)

р = гВ + А(а - 1), д = Н0ен(8-с)а-1 + ^-Ь - 2

Г (а+ 1) \ уа2

Если Ф 0, то из (17) и (20) получаем, что А = 0, 0 = 0, и тогда получаем утверждение. Теорема 3.1. Алгебра Ли генераторов непрерывных групп линейно-автономных преобразований эквивалентности уравнения (4) при г Ф 0 порождается операторами

У = д( + гцдд + гвдв + г¥др, Чг = еГ'(Б - с)а-1 дв.

Если = 0, то получаем теорему.

Теорема 3.2. Алгебра Ли генераторов непрерывных групп линейно-автономных преобразований эквивалентности уравнения (4) при г = 0 порождается операторами

(Ч - с)а

¥1 = д{, У2 = (5 - с)а-1 дв, Уз = дд +У ) -

Г ( а + 1)

У4 = (а + 1)д( + (Б- с)дБ - ддд + |(а - 1)0 - ^(Г(а+ дв - ^ + дг. 4. Групповая классификация. Для уравнения

в( = г в + (И- г$) д - Фа в - ува+1в - 1Га2ег(т (Б^в - д)2 + Я и вд), (21)

при в = в( I, Б, д), у а Ф 0, 0 < а < 1, будем искать генераторы групп Ли линейно-автономных преобразований в виде X = тд1 + %дз + ¡Идд + г]дв, где г, ¡3, г] зависят от ^ 5, д, в. Продолженный оператор имеет вид

Ха+1 = X + г] {дв( + цадщв + г]а+1 дОТ1в + Его действие на уравнение (21) дает равенство

г, t_rr]_^ + rsp + г + И ча + —r]a+1 _ 2уа2ег(т (D'9 _ q)2 т+ + уаеr{-т_ ^ (D'в _ q)(г,а _ р) _ FtT _ Feqr,q\N — 0,

где N — алгебраическое многообразие в расширенном пространстве переменных, задаваемое уравнением (21). Отсюда с помощью формул продолжения получаем

р(9 к д, к р9( _ 9(т, _ 9Э^ _ 0дР, _ гр9 _ гд _ цР к гБр к гц¿¡к

к ючя к и Е (к) »а_кв {»кр к к_авк+1 _" £ (к)^

-И Е (a) ds-%DksP + -2ds+1д +'2 g (a + DS+1-k9 ^Dfcp + ^^ EfcT1^ -

2 ^ () 2 ^ () - -T E\+k 1 DS+1-ketDfcr - £ (a+ ^ Dr-%Dfcp - r-y-2e-(T-t\D?9 - q)2т+

+ ya2eT(T-t) (DP - q) Lsg + E (a) ds-fc9 Up + ^Dfc+1 t) - jr (a) ds-k9tDfcsT-

i k=0 \ ' ' ' k=1 ' ' \

a)0«+--a d

- Ftт - Feq (pq9 + gq + p9q -9tTq - 6stq - 9qpq) IN = 0.

- £ (aW-k^DkSß -ß

Переходим на многообразие N:

(р- Tt + Feqrq) (r9 + (n- rS)q - ^D?9 - уD?+1в - ^еr(T-t)(D?9 - q)2 + f) + + pt 9 + gt - 9stt - OqPt - rp9 -гд-^Р + rSp + rqt+

+ 0s9 + К E (a) D«-k° [Dfcp + j+a Df1 t) g (a) D?-k9tDfcs т-

-»E (a) DS-fc OqDfcß + -TDS t {a+k 1) DS+1-fc в (ofcp + Df1 f) -

2 ^ /\ 2 ^ /\ Л £ {+ 1 DS+1-к0Ок3г - £(%+ ^ Dr-k9qDksß - ¡ya2e'(T-t)(D?9 - q)2 т+

+ ya2J(T-t) (D«e - q) Id«9 + £ (a) DS-кв Up + Dfc+1 ?) - ^ (-) D«-k9tDksT-

- FtT - Feq (Pq9 + gq + peq - 9s ^ - 9qßq) = 0. (22)

\

«-fc d T\fc

- Z (-)dS-k^Dfcß -ß

Дифференцируем полученное уравнение (22) по D«9t, D«9q, 0«+19, 9, 9S и получаем ts = 0, ßs = 0, Tt - FßqTq = ( a+ 1) £s, r(Fgqц - it) + pt - Fgqpq = 0, ^ - Fgq£,q = 0. Из Ts = 0 и Tt - TqF9q = (a + 1)£s

m r,<«Q и D«-

получаем ¿fss = 0. Далее, дифференцируя (22) последовательно по D«9 и D« 19, получаем равенство рs + 1-2Stss = ps = 0. Следовательно,

rs = 0, tss = 0, ßs = 0, Ps = 0, Tt - TqFeq = (a + 1)&, tt - Fdqtq = 0, (23)

r( Feq Tq - Tt) +pt- Feqp q =

Подстановка равенств (23) в (22) дает

(p-(a + 1) ts) ((// - rS)q - fiDSe - 2ya2er(T-t) (D«9 - q)2 + F^ + gt - 9qßt - rg -

a 2 r

+ rSß + rqt + nD?g + HD?9 (p - ats) + -jD?+1д - ^er(T-t) (D«9 - q)2т+ + ya2er(T-t) (D?9 - q) (D?g + D?9 (p - ats) - ß) - Ftr - F0q(gq + p9q - 9qßq) = 0. (24)

Расщепляя уравнение (24), получим

(0'а в)2: - г т + р + (1 -а )&= 0, (25)

Вав : (р-(а + 1)&)(-И + дуа2ег(т-)) +И(р- а&) + гдуа2ег(т-()т+ (26)

+ уа2ег(т(рад -0-9(р-а&) = 0,

1 : (р-( а + 1) &) ((/* - гБ) д - 2 д2 уа2ег{т + ^ + д, - вд^ -тд- ^+ (27)

п2 г

+ гБР + г+ + у^- т/г^ег(т-)т- дуа2ег(т-1) (Б^д - 0)- Т - Рвд (дд +Р вд - вдРд) = 0.

Из (25) получаем р = гт+(а - 1) £з.

Интегрирование уравнения ^ = 0 из (23) при условии ¡¡(с) = 0 дает % = А(I, д)(Б - с). Следовательно, из (23) получаем

£ = А(I, д)(Б - с), р = гт+(а - 1)А(I, д), т( - ¥вдТд = (а + 1)А(I, д), А{ - ¥вдАд = 0. (28) Подстановка £ и р из (28) в (26) дает равенство цА + уа2ег<-т-(Б^д - § + гтд - дА = 0. Отсюда

иАег ( т)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Б^д = р + д(А - гт) - И .

Его общее решение по формуле (3) имеет вид

( Ч - с)а / цАрг(*-т) \

9 = ГГ^^Г+Н^Т) У + Ч(А - ГТ) - ) + М(!)($ - -1. (29)

Подстановка полученных из (29), и из (28) в (27) приводит к уравнению

( гт - 2А) ((// - гБ)д - 2д2уа2ег{т-Г) + - вд& - ^+

( 5-с) а ... \ И(А{ + гА)ег(-т) ] , -1

+ Т&+Г) Г + _ '*) —-| + Mt(S _ сГ-1+

( S _ с) ' (_rp _ rq(A _ гт) + гИАеГ( 2 Т) ) _ rM(S _ с)а-1 + rS$ + гgA(S _ с) +

Г ( а + 1) \ г ^ уа2

/л ч V2Aer (t-т) г 2 2 r(T-t) 2 r(T-t)( ,л ч HAer (t-T) \

+ pig (А -г т) — -2--- д2 у а2 еr( T t)r_ дуа2еr(I t) \д(А _гт)_^-2—

Га2 2 \ уа2 )

' (S — c)а '

_ Ft т — Fe,

{Т (а +1)

+Mq ( S — с)а — 1 + dq ( гт + (а — 1)А — Pq)) — 0. (30)

Расщепляем (30) по S и получаем

(Ч - г)а иА,рr(t—T) ( й С) — Г Tt) — ^^--rfi — r д(А — гт) —

Mq еr( t—T)

Pq + А — ГТ+ д(А — Г Tq)--—-

Г( а + 1) г ' ^ ' уа2

г ' п . N Mq е

— F ea

Pq + А — ГТ+ g^q — Г Tq) — 2

а

— о,

( S — c) а —1:Mt — rM — FeqMq — 0,

S : — rg(гт — 2А) + rfi + гдА — 0,

1 / л \ ц2Аег ('—Т) * - - a2 Y а2 er{ T—'> + F \ - dqBt - и в - г аАс + и В + и а(А - гт) - --

1 : ( гт— 2А) ^цд — ^ <?2 Га2 еr(T — ^ +Fj— Oqfit — цР — гдАс + $ + цд(А — гт) — — 2 q2уа2еr(T —Г)т — д2уа2еr(T—t) (А — гт) + цдА — F'T — Feq (гт + (а — 1)А — ) Qq — 0.

Сокращение с использованием равенств At - FeqAq = 0 и vt - Feqrq = (а + 1)A из (28) дает

(Q - n\s

: fa - rq(а + 2)A -r§ + r2qr - Fdq (Pq + A - rr) = 0, (31)

Г ( а к 1)

( 5 _ с)а_1 : М( _гМ _ РвМ = 0, (32)

5 : _ г ц( гт _ 3А) кг р = 0, (33)

и2Аег (1 _Т)

1 : ( гт_ 2А)Е _ 6др( _ гЧАс --_ ^ (гг к (а _ 1)А _ Рд) вд = 0. (34)

5. Предположение Ф 0. В предположении Рвчвч Ф 0 из уравнений (28), (31), (32) получим, что

А( = 0, Ад = 0, Тд = 0, Ъ = (а к 1)А, Рд = гт_ А, Мд = 0, М{ _гМ = 0. (35)

Теперь дифференцируем (34) по 9д иди получаем ввиду тд = 0, Ад = 0, Рдд = 0 из (35) выражение 0 = Ргд = г ъ _ А1 = г (а к 1)А, отсюда г А = 0. Интегрирование тб = 0 из (34), тд = 0, ъ = (а к 1)А из (35) дает т = (а к 1)А? к В. Интегрирование уравнений также дает р = (г В _ к Ь(0, М = М0ег*. Тогда с учетом (28) получаем

т= ( а к 1)А? к В, £ = А(Б _ с), Р = (гВ _ А)qкЬ^), М = М0ег{, гА = 0. (36)

Подстановка этих равенств в выражения для р (28) и д (29) дает

( 5_с)а („^ ИАег_Т,_(,с ,а_1

р = гВ к (а _ 1)А, д=^-Ш _ ^-— +Ме ен (Б _ с)а _1. (37)

Г (а к 1) \ у а2 )

Подстановка (36) в равенства (31), (33) и (34) дает

и2Аег (* _Т)

Ь( = 0, гЬ = 0, (гВ _ 2А)Е ------Рг((а к 1)А? к В) _ аАРв вд = 0. (38)

Если г Ф 0, то из (36), (38) получаем Ь = 0, А = 0. Их подстановка в (36)-(38) дает

Т = В, % = 0, Р = гВц, р = гВ, д = М0ен(Б _ с)а_1, гВЕ _ ВР, = 0.

Решение уравнения гВР _ Вр1 = 0 при В Ф 0 имеет вид Р = епй(вд), й" Ф 0. Если В = 0, то получаем случай произвольной функции.

Теорема 5.1. Алгебра Ли уравнения (21) при г Ф 0, Р = ег1й(вд), й" Ф 0, порождается операторами

Х1 = ег (3_с)а_1 дв, Х2 = д{ кгЧдд к

Алгебра Ли уравнения (21) при г Ф 0 и функции Р = Р(^ вд), Рвдвд Ф 0, не эквивалентной функции вида ег1й (вд), порождается оператором

Х1 = ег( (5_с)а _1 дв. Если = 0 то уравнения (36)-(38) принимают вид

т= (а к к В, % = А(5_с), р = _Ац к Ь, р = (а _ 1)А, (39)

9= Г^ (Ь _ ) кМ0 (8_сГ_1, (40)

Г (а к 1) \ уа2! 2 А

2АР к^—к ^((а к к В) к аАРв вд = 0. (41)

уст2 9

Уравнение (41) является классифицирующим, рассмотрим его подробнее. 1. Если А Ф 0, то общее решение уравнения (41) имеет вид

1 г ц2

Р=— (( а к 1)АГ кВ)_ ^ Ф (((а к 1)Аt кВ)_ ^ вд) _ И

2A i^i+iJ) ~-*чг(((и. + ¡.)П.1 + и) --Wq) 2уа2'

где Ф — произвольная функция. При помощи преобразования эквивалентности, порождаемых оператором Х2 = dt, получаем

2

F = t-^Ф(t-9q)- -f—. (42)

( q) 2ya2

Подстановка этой функции в классифицирующее уравнение дает

2At-Ф( t"6q) - ((а + 1)At + В) + aAt- 5+1 -1Ф'(Г 5+г eq) 9q = 0.

2

а + 1

t 5+1 1ф(t 5+1 Qq) + ——t 5+1 2ф'(t 5+1 eq)9q

а 1

После сокращения и обозначения г = 1 <5+1 6д получаем В(2Ф(г) + агФ'(г)) = 0.

2

1.1. Если В Ф 0, решение этого уравнения имеет вид Ф(г) = Сг- а, т. е.

-2 и' F = C в-а - И

2 '

2

1.2. Если В = 0, то остается функция вида (42) при произвольном Ф, Ф'' Ф 0. 2. Если А = 0, то получаем подстановкой в (39)-(41) равенства

т = В, ¿¡ = 0, ß = L, р = 0, g = L

(S-c)a Г ( а + 1)

+ Мо (S-c)a-1, В Ft = 0.

2.1. Если В Ф 0, то получаем = ( д), '' Ф 0.

2.2. Если В = 0, то Р = Р(I, 9д) — произвольная функция, для которой Рвдвд Ф 0.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующую теорему о групповой классификации. Теорема 5.2. 1. Алгебра Ли уравнения

%=цq- fiDase - уDas +1в - '-уа2(D%6 - q)2 + F(t, Qq)

(43)

-1 p2

при F = Cdq " - порождается операторами

X1 = dt, X2 = (S- C)s-1 дв, Хз = dq +

(S - С) s Г ( а+ 1)

в,

X4 = (а + 1)dt + (S- с)ds -qdq + I (а - 1)9 - ..^w.0^ I дв■

уа2Г (а + 1)

2. Алгебра Ли уравнения (43) при функции F = t 5+1Ф^ 5+1 Qq) - 2-^, Ф'' Ф 0, не эквивалентной функции

(S - с)s

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

~ U.2

вида Cdq " - , порождается операторами

X1 = ( - ) s-1 в, X2 = q +

Г ( а+ 1)

de,

Хз = (а + 1) dt + (Б- с) ds - Ч dg + \(а - 1)6 - ^ С)^1 dв.

\ го-2Г (а + 1))

- 2 и2

3. Алгебра Ли уравнения (43) при функции Р = Р( вд), ¥'' Ф 0, не эквивалентной функциям вида С вд а - ,

t с+1 Ф(t 5+16q) - , порождается операторами

2 W

X1 = t, X2 = ( - ) s

Хз = dq +

(S - С)s а

fiä+Г) дв ■

4. Алгебра Ли уравнения (43) при функции Р = Р(1,9д), Рг Ф 0, Рвчвч Ф 0, не эквивалентной функциям вида

2 2 2 а ,,2 2 , Г а+г Ф(Г а+1 вд)- 2-Г,

C" - гуо1, t "+1 Ф(t "+1 ) - , порождается операторами

X1 = ( - ) s

X2 = q +

(S - с)s a

Г^+lj дв ■

+

Список литературы

1. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. 2007. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка. Вестник УГАТУ, 9(3): 125-135.

2. Ядрихинский Х. В., Федоров В. Е. 2021. Инвариантные решения модели Геана - Пу ценообразования опционов и хеджирования. Челябинский физико-математический журнал, 6(1): 43-52. doi:10.47475/2500-0101-2021-16104.

3. Fall A. N., Ndiaye S. N., Sene N. 2019. Black — Scholes option pricing equations described by the Caputo generalized fractional derivative. Chaos, Solitons and Fractals, 125: 108-118. doi:10.1016/j.chaos.2019.05.024.

4. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y. 2019. Symmetries, conservation laws and group invariant solutions of fractional PDEs. In: Fractional Differential Equations, vol. 2, Walter de Gruyter GmbH, Berlin, Munich, Boston, 2019, 353-382. doi:10.1515/9783110571660-016.

5. Gueant O. 2016. The Financial Mathematics of Market Liquidity: From Optimal Execution to Market Making. Chapman and Hall/CRC, London, 302. doi:10.1201/b21350.

6. Gueant O., Pu J. 2013. Option pricing and hedging with execution costs and market impact. arXiv: 1311.4342. doi:10.48550/arXiv.1311.4342.

7. Kumar S., Yildirin A., Khan Y., Jafari H., Sayevand K., Wei L. 2012. Analytical solution of fractional Black - Scholes European option pricing equations using Laplace transform. Journal of Fractional Calculus and Applications, 2: 1-9.

8. Sawangtong P., Trachoo K., Sawangtong W., Wiwattanapataphee B. 2018. The analytical solution for the Black

- Scholes equation with two assets in the Liouville - Caputo fractional derivative sense. Mathematics, 8: 129. doi:10.3390/math6080129.

9. Sitnik S. M., Yadrikhinskiy Kh. V., Fedorov V. E. 2022. Symmetry analysis of a model of option pricing and hedging. Symmetry, 14: 1841. doi:10.3390/sym14091841.

10. Yadrikhinskiy Kh. V., Fedorov V. E. 2023. Recursion operators for the Gueant-Pu model. Lobachevskii Journal of Mathematics, 44(3): 1236-1240. doi:10.1134/S1995080223030344.

11. Yadrikhinskiy Kh. V., Fedorov V. E. 2022. Symmetry analysis of the Gueant - Pu model. AIP Conference Proceedings, 2528: 020035. doi:10.1063/5.0106164.

12. Yadrikhinskiy Kh. V., Fedorov V. E., Dyshaev M. M. 2021. Group analysis of the Gueant and Pu model of option pricing and hedging, In: Symmetries and Applications of Differential Equations, ed. by A. C. J. Luo and R. K. Gazizov, Springer, Singapore, 173-203. doi:10.1007/978-981-16-4683-6_6.

References

1. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y. 2007. Nepreryvnye gruppy preobrazovaniy differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Continuous transformation groups of fractional differential equations]. Vestnik UGATU, 9(3): 125-135.

2. Yadrikhinskiy Kh. V., Fedorov V. E. 2021. Invariant solutions of the Gueant — Pu model of options pricing and hedging. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 6(1): 43-52. (in Russian) doi:10.47475/2500-0101-2021-16104.

3. Fall A. N., Ndiaye S. N., Sene N. 2019. Black - Scholes option pricing equations described by the Caputo generalized fractional derivative. Chaos, Solitons and Fractals, 125: 108-118. doi:10.1016/j.chaos.2019.05.024.