Симметрийный анализ и точные решения одной нелинейной модели теории финансовых рынков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1

УДК 517.95

СИММЕТРИЙНЫЙ АНАЛИЗ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ М. М. Дышаев, В. Е. Федоров

Аннотация. Проведена групповая классификация семейства уравнений Сирка-ра — Папаниколау со свободным параметром, включающего в себя в простейшем случае уравнение Блэка — Шоулса. С помощью найденной пятимерной группы преобразований эквивалентности такого уравнения осуществлен поиск трехмерного ядра основных алгебр Ли и четырехмерных основных алгебр Ли уравнения в случае двух спецификаций свободного элемента. Для каждой из алгебр найдены оптимальные системы подалгебр и соответствующие этим подалгебрам инвариантные решения или инвариантные подмодели уравнения. Вычисленные инвариантные решения включены в более общие многопараметрические семейства решений, инвариантные относительно всей основной алгебры Ли.

Ключевые слова: нелинейное уравнение в частных производных, уравнение Блэка — Шоулса, модель Сиркара — Папаниколау, ценообразование опционов, групповой анализ, инвариантное решение, инвариантная подмодель, динамическое хеджирование, эффекты обратной связи при хеджировании.

Введение

В последние годы все большее внимание исследователей в теории финансовых рынков привлекают различные обобщения модели Блэка — Шоулса [1], более адекватные реальным процессам, протекающим на финансовых рынках (см. [2,3]). Одной из наиболее общих моделей этого класса является модель Сиркара — Папаниколау [4]. Данная модель разработана на основании модели Блэка — Шоулса для того, чтобы учесть эффекты обратной связи, возникающие при хеджировании на рынке базового актива (например, акций) купленных или проданных производных финансовых инструментов, таких, например, как опционы. Для учета данного эффекта ослаблена одна из основных предпосылок модели Блэка — Шоулса, а именно требование абсолютной эластичности рынка, когда большие трейдеры не влияли своими объемами операций на цены в равновесии. Следуя работам [5,6], авторы [4] предположили, что на рынке опционов оперируют два типа трейдеров. Первый тип — «реферальные» трейдеры (reference traders) — в основном инвестируют в активы, ожидая их подъема, тогда как трейдеры второго типа — «программные» (program traders) —

Работа выполнена частично при финансовой поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского гос. университета (грант правительства РФ № 14.Z50.31.0020).

© 2016 Дышаев М. М., Федоров В. Е.

торгуют активами для страхования портфеля, используя вытекающие из модели Блэка — Шоулса стратегии динамического хеджирования. Взаимодействие этих двух групп ведет к стохастическому процессу цены актива, который зависит от хеджирующих стратегий программных трейдеров. Модель Сиркара — Папаниколау

С +

V(1 - рСх)и'(V(1 - рСх))

[V(1 - рСх)и'(V(1 - рСх)) - рхСх

<7 X2Схх + г(хСх - С)=0, (1)

позволяет количественно оценить эффекты обратной связи, возникающей между ценами актива и производных инструментов. Здесь Ь — время, х — цена акции, С — цена опциона, 7 — волатильность акции, р — отношение количества хеджируемых опционов к общему числу единиц базового актива в предложении на рынке, V — обратная функция к функции и, которая задает в модели функцию спроса О реферальных трейдеров относительно предложения равенством и(у5/х) = О(х, у) в предположении, что последняя не зависит от

Методы исследования моделей финансовых рынков традиционны и весьма различны: численные методы, методы теории временных рядов, теории нейронных сетей и др. [7,8]. Как всегда, когда идет речь о процессах, моделируемых нелинейными дифференциальными уравнениями, одними из самых эффективных методов, позволяющих осуществлять поиск точных решений, являются методы группового анализа [9—11]. С применением таких методов близкие к (1) уравнения, в том числе его некоторые частные случаи, исследовалось в [12-16].

Данная работа посвящена групповой классификации [9,11] уравнения (1) и поиску его точных решений методами группового анализа. Для этого в разд. 2 найдены группы преобразований эквивалентности этого уравнения. С их помощью в разд. 3 удалось показать, что для двух спецификаций свободного элемента V(1 - рСх) уравнение имеет четырехмерную основную алгебру Ли, а в случаях, не приводимых к указанным преобразованиями эквивалентности, основная алгебра Ли трехмерная. Разд. 4-6 посвящены поиску инвариантных решений и подмоделей уравнения (1) с различными алгебрами Ли (при различных спецификациях свободного элемента V). В разд. 7 подведены итоги исследования и найдены общие семейства точных решений уравнения (1), инвариантных относительно всей допускаемой группы Ли в каждом из рассмотренных случаев. В разд. 8 сформулированы характерные для теории финансовых рынков граничные условия, которым удовлетворяют найденные решения уравнения Си-кара — Папаниколау.

1. Группы преобразований эквивалентности уравнения Сиркара — Папаниколау

Учитывая формулу для производной обратной функции, уравнение (1) перепишем в виде

С +

1

1 - рхСх

У'(1-рСх) '' - рСх) \

72х2Схх + г(хСх - С) = 0.

(2)

2

2

Домножим уравнение (2) на константу р, сделаем замену рС = и и переобозначение У'(1 — рСх)/У(1 — рСх) = «(их). Получим уравнение

щ + 0/1 ^ ^ЛГ-А2 + - = 0. (3)

2(1 — ж«(иж)ихх)2

Сразу отметим, что при V = 0 уравнение является линейным и имеет гораздо более богатую алгебраическую структуру, которая исследована ранее [10] (классическое уравнение Блэка — Шоулса). Поэтому здесь вариант нулевой функции V из рассмотрений исключен.

При г = 0 групповая структура уравнения (3) исследовалась в работах [15,16], где был осуществлен также поиск инвариантных решений. Но преобразования эквивалентности при этом не вычислялись и не использовались (см. по этому поводу замечание 1).

Для нахождения спецификаций функции V = v(ux), при которых появляются дополнительные к задаваемым ядром главных алгебр Ли симметрии уравнения (3), найдем непрерывную группу преобразований эквивалентности этого уравнения. Для этого запишем уравнение (3) в виде

Щ + , а Х ихх ,2 + г{хих - и) = 0, (4)

2(1 — ЖVUXX)2

подразумевая, что V — это дополнительная переменная, зависящая от переменных ж, и, и«, их. Генераторы непрерывной группы преобразований эквивалентности будем искать в виде У = тд« + + пди + мд«, где функции т, зависят от ж, и, а м зависит от ж, и, и«, их, V. Здесь и далее для краткости используется запись ^ е и т. п. Дополним уравнение (4) уравнениями

V« = 0, ^ = 0, V" = 0, V" = 0, (5)

означающими, что в исходной постановке задачи V зависит только от их.

Будем рассматривать систему (4), (5) как многообразие N в расширенном пространстве соответствующих переменных. Подействуем на левую часть системы (4), (5) продолженным оператором

У = У + Л + ^д^ + мЧ4 + + + м"' д„„4,

сузим результат действия на многообразие N и получим уравнения

= 0,

N

(6)

м'Ы = 0, мхк = 0, м"к = 0, м"'Ы = 0. (7)

Коэффициенты оператора у могут быть вычислены по формулам продолжения [9], например,

м« = А(м) — V« А(т) — — — V"' ¿5 ) — vUx ,

^ + п + ^ + ' + + ^ + ^ - V)

(1 — жvuxx )3 2(1 — жvuxx)3 (1 — жvuxx)3

где

5« = д« + vtдv + vttдv' + vtxдvx + vt"дv„ + V«"' д« + vt"x х

и т. д. Тогда уравнения (7) примут вид

Mt = 0, Mx -v'(uxVX = 0, M« -v'(uxVU = 0, M«t = О-

Поскольку

= Пх + Uxn« - UtTx - UtUxT« - - uX^u, (8)

эти уравнения можно расписать в следующем виде:

Mt - v'(ux)(ntx + Uxntu - UtTtx - UtUxTt« - Ux^tx - wx&u)|n

T X Uxx(Ttx + UxTt«)

= Mt - v'(Ux) ^ntx + Uxntu - UxCtx - «x^tu +

2(1 - xvuxx)2 + (rXUx - ru)(Ttx + UxTt« M = 0, (9)

Mx - v'(Ux )(nxx + Ux^xu UtTxx UtUxTxu Uxsxx Ux>xu )|N

__f ( \ { £ 2 £ \ ® ^ ^XX {j~XX UxTxu )

— i-^x ^ J l ^xÇxx ^xSxu H ТТТ; Г^

\ 2(1 - XVUxx)2

+ (rXUx - ru)(Txx + UxTx«) = 0, (10)

M« - v'(Ux)(nxu + Uxn«u UtTxu UtUxT«u Uxsx« UxS«W) |N

(T x uxx(tx« + UxT««)

M« v (ux) l nx« + uxn«« Ux^x« Ux^«« +

-t,xx)2

2(1 - XVUx + (rXUx - ru)(Tx« + UxT««) ) = 0, (11)

Mut + v'(Ux)(Tx + UxT«) = 0. (12)

Уравнение (6) в силу равенства

V nxx + 2ux^xu + Uxn«u + uxxn« UtTxx 2utUxTxu 2utxTx UtUxT««

2uxUtxT« UtUxxT« Ux(xx 2ux^x« 2uxx^x Ux^«« 3uxuxxC'

примет вид

2 CT X , 2 2

Vt + ЩЛи - utTt -щти- uxÇt - щих£и + —-— {2uxxt; + 2х uxx{i

2(1 - XVUxx)3 + x(1 + + 2uxnxu + +

2UtUxTx« 2UtxTx 2UxUtxT«

Ux ^ЖЖ

+ rUxC + rx(nx + u^n« - UtTx - UtUxT„ - U^x - ^С«) - r^N

CT X иЖЖ (Ti n«) , / W \ CT X UxxT«

= ??t H--:-гт;--b [rxux — ru)(Tt — ï]u)----—

2(1 - XVUxx)2 4(1 - xvuxx)4

2 CT2X2Uxx(rXUx - ru)T«

- yvxux - ru) Tu----—--UxÇt

(1 - XVUxx)2

CT2 x2ux Uxx£« / \ > , CT^ f n t I о 2 2

+ ïïn-Â2 + ~ rU)UxU + 7Г-|-Гд 2"ltxxÇ + 2ж tLxx[l

2(1 - XVUxx)2 2(1 - XVUxx)3 V

22

2

+ x(1 + XVUxxH nxx + 2uxnx« + Uxn«« + Uxxn« +

2(1 - XVUxx)

2

/ Ч ил, 4x"-xx'xM 0Z 4 0

+ (rxux - ги)тхх + —-— + 2(rxux - ги)ихтхи - 2utxrx

(1 - XVUxx)2

CT x UxUxxT«« , / \ 2 ^ ^ x UxxT«

+ oTî-+ (™жх - ru)uxTuu - 2ихщхти +

2(1 - xvuxx)2 x 2(1 - xvuxx)2

+ (rxux ru)uxxT« Ux£xx 2uxCx« 2uxxCx Ux 3uxuxx^«

+ rUxС + rx(nx + Uxn« - UxCx - «x^«) - rn

гсг2х3ихх(тх +UxTu)

H--гт;---Ь (гжих - ги){тх + ихт„) = 0. (13)

2(1 - XVUxx)2

Дифференцированием последнего уравнения по utx получим

(1 + XVUxx)(Tx + UxT«) = 0,

отсюда t = t(t). Следовательно, уравнения (9)-(13) примут вид

Mt - v'(Ux) (ntx + Uxnt« - UxCtx - ^6«) = 0, (14)

Mx - v'(Ux)(nxx + Uxnx« - Ux^xx - «x^xu) = 0, (15)

M« - v'(ux)(nx« + Uxn«« - UxCx« - ^C««) = 0, (16)

M«t = 0, (17)

(7 X Uxx (t (t)

Vt H--^-^--h (î"xux - ru){T (t) -Ци) - uxÇt

2(1 - XVUxx)2 2 2 2 (

CT X UxUxxS^ / \ >= CT X ( 2 2

+ 2(1 — xvuxx)2 + " + 2(1 — xvuxx)3 ^ + 2X

• X(1 + XVUxxHnxx + 2Uxnx« + U?n«« + Uxxn« - U

+ x(1 + XVUxx^ nxx + 2Uxnx« + Uxn«« + Uxxn« Ux^xx 2ux^X« 2uXX^X Ux^«« 3uXuXX^^^ + rUx£

+ rX(nx + Uxn« - UxCx - UX^«) - rn = 0. (18)

Домножим уравнение (18) на 2(1 — жг>ихх)3 и получим

2(1 — Ж-УИхх)3(т + (гЖИх — ги)(т' (г) — П„ + Их£«)) + (1 — '(£) — Пи)

— 2(1 — ж-уИхх)3их6 + (1 — + с2 ж( 2ихх£ + 2ж2иХхМ

+ ж(1 + ж'^ихх) ( ^жх + 2иЖПЖ« + + ^жх^и

+ 2(1 — жиихх)3 (гих£ + гж(пх + ИхП« — «х£х — И^«) — гп) = 0. (19)

Расщепляя уравнение (19) по переменной ихх, получим для V = 0 при иХх множитель

п + ГХИх т'(г) — ги(т'(г) — п« + Их£«) — Их £4 + ГИх £ + гж(пх — Их^х) — гп, поэтому

п + гжпх + гип« — гп — гит' (г) = 0, (20)

гжт' (г) — £ — гж£х — ги£« + г£ = 0. (21)

При ихх в нулевой степени после дальнейшего расщепления (19) по их имеем

£ = А(г, ж)и + в(г, ж), п = Ах(г, ж)и2 + с (г, ж)и + Дг, ж),

и с учетом (20), (21)

' 2 2 2 2 / \ 2п — 2гит + 2гип« + 2гжпх — 2гп + с ж пхх = с ж пхх = 0, (22)

2гжт' — 2ги£« — 2£ + 2г£ — 2гж£х + с2ж2 £хх + 2с2ж2 пх« = с2ж2£хх + 2с2ж2пх« = 0. Из последнего равенства следует, что

Ахх = 0, А(г,ж)= Ах(г)ж + Ао(г), с(г,ж) = — Вх(г,ж) + Е(г),

£ = А1(г)жи + А0(г)и + в(г, ж), п = Ах(г)и2 — вх(г, ж)и + Е(г)и + ж). Тогда из (22) получим

Вххх ^хх 0>

£ = А1(г)жи + Ао(г)и + В2(г)ж2 + В1(г)ж + Во(г), п = А1(г)и2 — 2В2(г)жи — В1(г)и + е (г)и + я^ж + До(г).

Теперь из равенства (21) следует, что А1(г) = Ао(г) — константа,

В (г) = В1(г) = гт (г) + я, Во(г) =

поэтому

£ = + Аои + Се-Г*ж2 + гт (г)ж + Яж +

п = — 2Се-г*жи — гт (г)и — Яи + Е (г)и + д1(г)ж + яо(г).

Наконец, в силу (20) — постоянная,

Ао(г) = Кег4, е (г) = 2гт (г) + ь,

£ = Ее-Г*жи + Аои + Се-Г*ж2 + гт (г)ж + Яж +

п = Ее-Г*и2 — 2Се-г4жи — Яи + гт (г)и + Ьи + Д1ж + Кег4.

При ихх в уравнении (19) приравняем коэффициент к нулю и получим уравнение

— 6жг>п4 — 6жг>(гжих т '(г) — гит' (г) + гип« — гиих£«) + с2ж2 т '(г)

0 0 0 О О О О О о

+ 6жг>их£4 + 2с ж£ — 2с ж £х — 2с ж их£« + 2с ж3^ихпх« + с ж3г>ихп««

— с2ж3«их£хх — 2с2ж3г>«,х£х« — 6ж«(гих£ + гжпх — гжих£х — гп) = 0. Подставив в него найденные выражения для £, п, получим

Е = Ао = С = J = т' (г) = 0,

т = Т, £ = Мж, п = + Д1ж + Кег4. (23)

Осталось аналогичные вычисления провести с коэффициентом при в уравнении (19). Отсюда приходим к уравнению

3«2(п4 — гжихп« + гип«) + с2ж«п« + с2ж^ — с2 ж«£х

+ 3«2(гих £ + гжпх + гжих п« — гжих£х — гп) = 0,

которое влечет равенство

^ = (М — N К (24)

Уравнения (14)-(17) при этом также выполняются.

Таким образом, решение системы уравнений, определяющей генераторы непрерывных групп преобразований эквивалентности, задается формулами (23), (24). Отсюда получим следующее утверждение.

Теорема 1. Базис алгебры Ли инфинитезимальных операторов групп преобразований эквивалентности уравнения (3) о функцией V, не равной тождественно нулю, образуют операторы У1 = д4, У"2 = жд«, 13 = ег4д«, 14 = ждх + ид«, У5 = ждх + vдv.

При этом сделана линейная замена в базисе алгебры Ли, полученном по формулам (23), (24).

С учетом формулы (8) получим продолжения базисных операторов

?! = д4, 12 = жд« +д«х, 13 = ег4д«, 14 = ждх +ид«, 15 = ждх +vдv —их д«х.

(25)

Отсюда следует, что базис ядра основных алгебр Ли уравнения (3) составляют операторы У1, 13, 14, продолжения которых не содержат дополнительных переменных V, их.

Следствие 1. Базис ядра основных алгебр Ли уравнения (3) о функцией V, не равной тождественно нулю, образуют операторы Х1 = д4, Х2 = ег4д«, X = ждх + ид«.

2. Групповая классификация уравнения

Рассмотрим алгебру Ли, полученную из проекций операторов (25) на подпространство переменных V, их, т. е. алгебру с базисом

= д„х, = - . (26)

Заметим сразу, что оператору ^ соответствует оператор 1"2, а оператору — оператор 15.

Ненулевыми структурными константами для алгебры Ли с базисом (26) являются с|;2 = -1, с2х = 1. По формуле = с^евнайдем генераторы внутренних автоморфизмов алгебры Ли Е = —е2де1, Е2 = е1де1 и соответствующие им группы преобразований— Е1: е1 = е1 — е2а1, Е2: е1 = е1еа2. Здесь ег — коэффициент при операторе ^ в разложении элемента рассматриваемой алгебры Ли по ее базису, г = 1, 2, а^ — параметр группы внутренних автоморфизмов, 3 = 1, 2.

Пусть е2 = 0, тогда е1 = 0 в силу Е1. Получим подалгебру с базисом Иначе имеем одномерную подалгебру с базисом Таким образом, оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь2 с базисом (26) имеет вид

91 = {(^), <ад.

Для операторов Z из оптимальной системы вычислим выражения

Получим

Z (Е (их) — = 0.

^(Е (их) — = Е' = 0, Е = в,

в

г2(р(их)-у)\у=Р = -р-ихр' = о, е =

их

Первая из спецификаций преобразованием эквивалентности 15 сводится к Е = 1. Во втором случае преобразования эквивалентности, найденные в предыдущем разделе, не позволяют изменить константу в.

Для каждого базисного оператора из оптимальной системы вычислим проекцию соответствующего генератора группы преобразований эквивалентности (12 или 15) на подпространство переменных ж, и. Получится соответствие (с точностью до множителя) Z1: хди, Z2: ждх. Поэтому спецификации свободного элемента V = 1 соответствует дополнительная симметрия хди, а спецификациям

V = ви-1, в е К, (27)

соответствует симметрия ждх.

Теорема 2. 1. Базис основной алгебры Ли уравнения

<г х ихх / \ п

и* + ТТл-Т? + Ахпх - и) = о

2(1 — жихх)2

имеет вид

X = д, X = ег*д„, Хз = ждх + ид„, Х4 = хд„.

2. Базис основной алгебры Ли уравнений

а ^о ихх

+-я 2 + ~и) = о, /Зек,

2(1 — ^

имеет вид

X = X = ег4д„, Хз = ждх, Х4 = ид„.

3. В случаях функции V, не приводимой к единице и к функциям (27) преобразованиями эквивалентности, основная алгебра Ли уравнения

а х ихх / \ п

Щ + ЧГл-1-А-А2 + ГУХих ~ и> = 0

2(1 — XV (их )ихх)2

совпадает с ядром основных алгебр Ли и имеет вид

X = д4, X = ег4д„, Хз = ждх + ид„.

Во втором пункте теоремы использована возможность линейного преобразования базиса с целью упрощения вида его элементов.

Замечание 1. При г = 0 утверждения теорем 1, 2 и следствия 1 также справедливы. Отметим, что в работе [15] при рассмотрении модели Шенбухе-ра — Уилмотта, редуцируемой к виду (3) при г = 0, помимо спецификаций функции V из пп. 2, 3 теоремы 2 указаны еще спецификации

V = в(1 — их)-1, в е К (28)

(см. п. 4 теоремы 4.2.1 в [15]), имеющие дополнительную четвертую симметрию. Однако с помощью преобразования V ^ —V, которое, очевидно, является внутренним автоморфизмом группы преобразований эквивалентности, соответствующей алгебре ¿5 из теоремы 1, а также используя порождаемое оператором 1з преобразование эквивалентности, осуществляющее сдвиг аргумента функции V, можно преобразовать эти спецификации к виду (27) из п. 2 теоремы 2. Описанные преобразования соответствуют замене переменных I = Ь, х = ж, и = ж — и, где черта над символом переменной означает новую переменную. Нетрудно проверить, что при таких преобразованиях алгебра Ли уравнения со спецификацией (28) преобразуется к алгебре Ли уравнения со спецификацией (27). Поэтому с точки зрения группового анализа спецификации (27) и (28) эквивалентны.

В дальнейшем упрощение вида г = 0 в некоторых случаях позволяет проинтегрировать инвариантные подмодели, однако эти случаи достаточно очевидны и рассматриваться отдельно не будут.

Кроме того, будем рассматривать только оптимальные системы одномерных подалгебр, так как подалгебрам большей размерности не соответствуют новые содержательные инвариантные решения.

3. Инвариантные подмодели в общем случае

Рассмотрим уравнение

а2ж2и

щ + ^-< 7 ,2+г{хпх-и) = О, (29)

2(1 — xv(ux)uxx)2 алгебра Ли Ез которого имеет базис

Х1 = 54, Х2 = ег4д„, Хз = ждх + ид„. (30)

Ненулевые структурные константы ее суть

с2 = 1 с2 =1 с2з = 1, сз2 = 1,

поэтому группы внутренних автоморфизмов имеют вид

Ец ё2 = е2ега1, £2: ё2 = е2 + а2(ез — ге1), Ез: ё2 = е2е-

Используя их, осуществим поиск оптимальной системы одномерных подалгебр данной алгебры Ли Ез. Инфинитезимальные генераторы искомых базисных для этих подалгебр операторов будут иметь вид

X = ^ екХк = (е1, е2, ез). к=1

Сделаем сначала замену ез — ге1 на ез. Тогда это коэффициент при базисном векторе Хз = ждх + иди — гд4.

1. Пусть ез = 0, тогда с помощью Е2 получим е2 = 0, поэтому базисный вектор подалгебры имеет вид Х = (а, 0,1), а е К.

2.1. При ез = 0, е1 = 0, е2 = 0 получим Х = (1,1, 0). При этом использованы внутренние автоморфизмы Ез и е2 = — е2.

2.2. Остались случаи Х = (1, 0, 0) и Х = (0,1, 0).

Вернемся к исходному базису, в первой полученной подалгебре константу а — г переобозначим через а, в остальных случаях вместо ез = 0 надо взять ез = ге1. При этом подалгебра (Х1 + гХз) будет частным случаем семейства подалгебр (аХ1 + Хз) при а = 1/г.

Лемма 1. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ез с базисом (30) имеет вид В1 = {(Х2), (Х1 + Х2 + гХз), (аХ1 + Хз), а е К}.

Используя операторы оптимальной системы, найдем инвариантные подмодели уравнения (29) и, по возможности, его инвариантные решения. Результаты вычислений записаны в таблице, где во втором столбце записана одномерная подалгебра из оптимальной системы, в третьем — ее инварианты, а в четвертом — соответствующая инвариантная подмодель исходного уравнения или вид решения при условии, что ограничения, следующие из вида уравнения или области определения самой функции V, выполнены. Здесь и далее учитывается, что цена акции ж положительна (поэтому знак модуля при ж, возникающий

2

2

с

г

с

г

Подалгебра Инварианты Подмодель или решение

1 ш 4, х нет

2 (.X1 + Х2 + гХз) г4 — 1п х, е~г±и — 4 ст2 (¥>" + ¥>') . , п 2(1-е*г>(-е*<//)(</>' + </>"))2 ^ 1 ~~ и = ег±(Ь + 1р{Н — 1пж))

3 ш t, х~1и и = Ах

4 (.X1 + гХз) гЬ — 1п х, их~г и = Ах + Вег1

5 (аХ 1 + Х3) а 1п х — 4, 1и аа2(кр' + а<р") | ]\,„/_0 (1 — а (<р!+ а<р") V (<р + а<р')) 2 ^ ' ' и = XIр(а 1п х — {)

при интегрировании, опускается). Символами А, В обозначены произвольные константы интегрирования.

Здесь и далее частные случаи инвариантных подмоделей рассматриваются отдельно, если они интегрируются (кроме случаев г = 0, как об этом сказано выше). В данной таблице в третьей и четвертой строках рассмотрены частные случаи подмодели из пятой строки.

4. Инвариантные решения и подмодели в случае V = в

Уравнение

^2ж2 и

+ = (31)

имеет алгебру Ли ¿4 с базисом

XI = д, Х2 = Хз = хдх + ид„, Х4 = хд„. (32)

Группы внутренних автоморфизмов этой алгебры имеют вид

Яь ё2 = е2ега1, £2: ё2 = е2 + а^е3 - ге1), £3: ё2 = е2е-аз.

Заменив, как в разд. 3, е3 на ё3 = е3 — ге1, найдем оптимальную систему одномерных подалгебр данной алгебры Ли ¿4.

1. Пусть ё3 = 0, тогда с помощью £2 получим е =0, поэтому базисный вектор подалгебры имеет вид X = (а, 0,1, Ь), а, Ь € К.

2.1. При ё3 = 0, е2 = 0 получим следующее.

2.1.1. Если е1 = 0, то X = (1,1, 0,а), а € К. При этом использованы внутренние автоморфизмы £3 и е2 = —е2.

2.1.2. Пусть е1 = 0, тогда X = (0,1, 0,1) или X = (0,1, 0, 0). В первом случае также использованы £3 и е2 = — е2.

2.2. Если е2 = ё3 = 0, то X = (1, 0, 0, а), а € К, или X = (0, 0, 0,1).

После замены ё3 на е3 — ге1, как и в предыдущем разделе, получим следующую оптимальную систему. При этом учтено, что (X! + rXз + 6X4} — подсемейство семейства подалгебр (aX1 + Xз + 6X4} (надо взять а = 1/г).

Лемма 2. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры ¿4 с базисом (32) имеет вид

91 = {(Х2>, (Х4>, (Х2 + Х4>, (XI + Х2 + гХз + 0X4), (0X1 + Хз + 6X4), о, Ь е М>. Для подалгебр из оптимальной системы 91 получим следующую таблицу.

Подалгебра Инварианты Подмодель или решение

1 <Xi + Х2 + гХ3 + аХ.4> — ri хе , ue~rt — (axe~rt + 1 )t .// 1 + Г — /Зг 4/3-^ (аг+1) ' и = (ах + ег1)4 + ег11р(хе~г±)

2 (аХ 1 + Х3 + ЬХ4> a ln х — t, — — b ln ж ' X Ъг 1 (7Г 111'- 1 <т2(Ь+аф + а2ф') „ ф = ¡р', и = Ьх 1п х + XIр(а 1п х — {)

3 (Х3 + ЬХ4), Ъ + 1//3 i, - - Ыni ' X 2 и = Ьх 1пх + Ах — Ь(г + 2(1а¡¡ъ)'Ь

4 {^-+Х3 + ЬХ4), Ь + 0 ln ж — ri, — — blnx ' X и = Ах + Вег± + ЪгЬх + (¡3 -^ь/-)(ж1пж гЬх)

5 ln X — rt, u/x и = Ах + Вег1

Операторы из оптимальной системы ^^2, + в^^з + не имеют

инвариантных решений. В третьей и четвертой строках выписаны решения инвариантной подмодели из второй строки в частных случаях. В пятой строке — частный случай подмодели из четвертой строки.

5. Инвариантные решения и подмодели в случае V = ви-1

x

Для уравнения

с2ж2и

^ + 2Г1 +фих-и) = 0, ^0, (33)

v их )

базис алгебры Ли ¿4 имеет вид

XI = д, X2 = ег*д„, Xз = хдх, X4 = ид„. (34)

Нетрудно заметить, что структура данной алгебры Ли совпадает со структурой алгебры из разд. 4 с точностью до перенумерации операторов Xз, X4. Из этого наблюдения и леммы 2 сразу получим следующее утверждение.

Лемма 3. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры ¿4 с базисом (34) имеет вид

91 = { ^2> , ^з) , ^2 + Xз) , (XI + X2 + oXз + 7X4> , (0X1 + ЬXз + X4> , О, Ь е М>.

Используя операторы оптимальной системы 91, найдем инвариантные подмодели уравнения (33) и по возможности его инвариантные решения.

Операторы Х2, Х3, Х4, а также операторы Х2+Х3 при /3 = — 1 и ^^¡-Хз+Х4 при в = — 1 инвариантных решений не имеют. В строках 4, 5, 6 описаны частные случаи подмодели из строки 3.

Подалгебра Инварианты Подмодель или решение

1 (Х2 + Хг) 4, и — ег11п ж и = ег1 (1п ж + - П + А), (3 ф -1

2 (XI + Х2 + аХ3 + гХ.1> 1п ж — аЬ, ие~г± — 4 +(г а)ф + 1 - 0, V - 2(1 <3^) и = 4ег1 + ег11/?(1п ж — а{)

3 (аХх + ЬХ3 + Х4), а ф 0 а1пж — Ы, е~ь!аи {аг ъ) , ( 1} и = е1/а1р(а 1п ж — Ы)

4 +ЪХ3 + Х4), Ьф 1 1п ж — Ьг4, е~г±и и = Ахае^-аЬ">г1 + Вег\

5 (41 + *з + *4> 1п ж — е~г±и « = Ат + Вег1, АфО

6 (ЬХ3 + Х4>, Ь/0; Ь ф ^ при /3 / -1 4, х~1/ьи . нь-1) ч и = Ае {2(ЧИ~+1)-Ю2 ь ж1/6, АфО

6. Решения уравнений Сиркара — Папаниколау

Проанализируем полученные результаты в терминах исходной задачи. При этом для найденных спецификаций V вычислим функции V, и и функцию спроса реферальных трейдеров _0(ж, у) = и (у5/ж) при некотором 5 > 0. Во первых, заметим, что модель

<г2 ж2С

Сг + 2(1 - РхСххУ( 1 - РСХ)/У( 1 - РСХ)У + г{хСх ~ С) = °

при всех v(ux) = V'(1 — рСх)/V(1 — рСх), и = рС, для которых определено значение в точке 1 — Ар, имеет решение

С(£,ж) = Аж + Вег*. (35)

Функции V = в соответствует модель

,2т2с

с функцией V(1 — рСх) = Сев(1-рСх) при постоянной С. В таком случае

[/(г) = = + £>(ж,у) = -^1пу - ^1пж + Я,

где Н — константа, зависящая от произвольной константы С, не присутствующей в дифференциальном уравнении. Анализируя полученные инвариантные решения, нетрудно найти содержащее их семейство решений

С(1,х)=Ах + Вег*+Кх1пх-к(г + ——?——\х, К ± (37)

V 2(1 - квр)2у вр

инвариантное относительно трехмерной допускаемой группы уравнения (36).

Функции у = преобразованием эквивалентности, соответствующим оператору 12, могут быть приведены к эквивалентному виду

в

У =---, 7бМ.

их + 7 - 1

Таким функциям соответствуют функции

V(1 - рСх) = С(7 - рСх)в,

/ г \ ^

= ( ^ ) + 1 ~7 = Нг1ПЗ + 1 ~7' в(-х>У) = нУё/е>х~11е> + 1-7 и модель

С* + , д Г х2 + г(хСх - С) = 0. (38)

9/1 _ 13рхСхх \ * 7-рС* )

Асимптотический и численный анализ этой модели при в = 7 =1 проведен

в [4].

Нетрудно заметить, что решения уравнения (38) связаны с решениями уравнения (33) равенством С(£,ж) = (7ж — и(£,ж))р-1, при этом в надо заменить на —в- Поэтому согласно таблице из предыдущего раздела уравнение (38) имеет точные решения (везде предполагается, что А = 0)

С{г,х) = Аег*(\пх + -П + в] + р ф 1, (39)

v 2(1 - в)2 ) р

си, х) = + Вегг + 1Х, а ф 0, а ф 1 - (40)

Р в

При этом семейство решений (39) получено из решения, инвариантного оператору Х2 + Хз, действием оператора Х1 из (34). Семейство (40) включает в себя как частные случаи решения, инвариантные операторам + ЬХз + Х4, 6X3 + Х4 (строки 4, 5, 6 соответствующей таблицы).

Отметим, что в [15] при г = 0 симметрии модели (36) в случаях 7 = 0 и 7 =0 исследуются отдельно. Этого можно было не делать, установив возможность перехода от одной из них к другой с помощью группы преобразований эквивалентности исследуемого класса уравнений (см. замечание 1).

Понятно, что если придерживаться требования монотонного возрастания функции спроса и, используемого при выводе модели Сиркара — Папаниколау [4], то в рассмотренных случаях надо наложить условие в > 0.

7. Граничные задачи

Для однозначной разрешимости уравнения (1) необходимо задать финальное и краевые условия для него, образующие граничную задачу. Перечислим типы возможных граничных условий для полученных в разд. 6 решений, которые в перспективе могут способствовать осмыслению полученных решений с точки зрения их экономической сути (если таковая имеется).

Очевидно, что функция (35) является решением уравнения (1) с краевыми условиями

С(1,0)=Вег', Иш (41)

х^то х

(означающими, что при нулевой цене акции х стоимость опциона имеет вид Вег*, а при неограниченном росте цены акции она растет линейно по х) и финальным условием

С (Т,х) = Ах + ВегТ, (42)

определяющим стоимость опциона к моменту экспирации (окончания срока опциона). Классическим для уравнения Блэка — Шоулса краевым условиям, т. е. условиям (41) при А = 1, В = 0, соответствует частное решение С(£, х) = х. Решением граничной задачи

C(t, 0) = Bert,

. / 1 — ос) , f \ \

lim C(i,a;)e ^

T

P

для уравнения (38) при а > 1 является функция (40). При а =1 начально-краевые условия примут вид (41), (42) с другой константой A, а значению а £ (0,1) \ {1 — 1/в} соответствует граничная задача

C(t, 0) = Bert,

ж^то X P

C(T, ж) = ^^(«"-ihi')2 +r{1^xa + ßerT + ^ж

P

для уравнения (38).

Решение (39) уравнения (38) имеет предел в нуле только в случае A = 0, в противном случае для него имеют смысл, например, граничные условия

lim xC(t, x) = 0, lim ^ = 1

ж^то X P

С(Г, ж) = АегТ Г In ж + Т -гТ + Д^) +-ж, /3^1.

2(1 - в)2 ) Р

Аналогичный анализ решения (37) уравнения (36) приводит к постановке граничной задачи

С(£, 0) = Вег*, х^то х 1пх

С(Т,х)=Ах + ВегТ + Кх1пх-к(г + ——?——)тх, Кф^-.

\ 2(1 - Квр)2/ вР

x-a = A

ЛИТЕРАТУРА

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Econ. 1973. V. 81. P. 637-659.

2. Derman E., Taleb N. The illusions of dynamic replication // Quant. Finance. 2005. V. 5, N 4. P. 323-326.

3. Haug E. G., Taleb N. N. Option traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black— Scholes-Merton formula // J. Econ. Behavior Organization. 2011. V. 77, N 2. P. 97—106.

4. Sircar K. R., Papanicolaou G. General Black—Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies // Appl. Math. Finance. 1998. V. 5. P. 45—82.

5. Frey R., Stremme A. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging // Math. Finance. 1997. V. 7, N 4. P. 351—374.

6. Schonbucher P., Wilmott P. The feedback effect of hedging in illiquid markets. Tech. Rep. Oxford: Univ. Oxford, Math. Inst., Nov. 1993.

7. Brandimarte P. Numerical methods in finance & economics. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Publ., 2004.

8. Morelli M. J., Montagna G., Nicrosini O., Treccani M., Farina M., Amato P. Pricing financial derivatives with neural networks // Phys. A. 2004. V. 338. P. 160—165.

9. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

10. Gazizov R. K., Ibragimov N. H. Lie symmetry analysis of differential equations in finance // Nonlinear Dyn. 1998. V. 17. P. 387—407.

11. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: НГТУ, 2012.

12. Bordag L. A., Chmakova A. Y. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives // Int. J. Theor. Appl. Finance. 2007. V. 10, N 1. P. 1—21.

13. Bordag L. A., Frey R. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // Nonlinear models in mathematical finance: New research trends in option pricing (ed. M. Ehrhardt). Ch. 3. New York: Nova Sci. Publ., Inc., 2008. P. 83—109.

14. Bordag L. A. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model // Mathematical control theory and finance (eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, and M. R. Grossinho). Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2008. P. 71—94.

15. Mikaelyan A. Analytical study of the Schonbucher—Wilmott model of the feedback effect in illiquid markets: Master's thes. (financial mathematics). Halmstad Univ., 2009.

16. Bordag L. A., Mikaelyan A. Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // J. Lett. Math. Phys. 2011. V. 96, N 1—3. P. 191—207.

Статья поступила 1 февраля 2016 г.

Дышаев Михаил Михайлович, Федоров Владимир Евгеньевич

Челябинский гос. университет,

ул. Бр. Кашириных, 129, Челябинск 454001

Mikhail.Dyshaev@gmail.com, kar@csu.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1

UDC 517.95

SYMMETRY ANALYSIS AND EXACT SOLUTIONS FOR A NONLINEAR MODEL OF THE FINANCIAL MARKETS THEORY M. M. Dyshaev and V. E. Fedorov

Abstract: Group classification is obtained for the Sircar—Papanicolaou equations family with a free parameter that contains the Black—Scholes equation as the simplest partial case. The five-dimensional group of equivalence transformations is calculated and three-dimensional kernel of principal Lie algebras and four-dimensional principal Lie algebras in cases of two free element specifications are found. Optimal subalgebras systems and corresponding invariant solutions or invariant submodels are calculated for every Lie algebra. Invariant solutions are included in more general multiparameter solutions families that are invariant with respect to the whole Lie algebra.

Keywords: nonlinear partial differential equation, Black—Scholes equation, Sircar-Papanicolaou model, pricing options, group analysis, invariant solution, invariant submodel, dynamic hedging, feedback effects of hedging.

REFERENCES

1. Black F. and Scholes M. "The pricing of options and corporate liabilities ," J. Political Econ., 81, 637-659 (1973).

2. Derman E. and Taleb N. "The illusions of dynamic replication," Quant. Finance, 5, No. 4, 323-326 (2005).

3. Haug E. G. and Taleb N. N. "Option traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black-Scholes-Merton formula," J. Econ. Behavior Org., 77, No. 2, 97-106 (2011).

4. Sircar K. R. and Papanicolaou G. "General Black-Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies," Appl. Math. Finance, 5, 45-82 (1998).

5. Frey R. and Stremme A. "Market volatility and feedback effects from dynamic hedging," Math. Finance, 7, No. 4, 351-374 (1997).

6. Schonbucher P. and Wilmott P. The feedback effect of hedging in illiquid markets. Tech. Rep., Univ. Oxford, Math. Inst., Oxford (Nov. 1993).

7. Brandimarte P., Numerical Methods in Finance & Economics, John Wiley & Sons Publ., Hoboken, NJ (2004).

8. Morelli M. J., Montagna G., Nicrosini O., Treccani M., Farina M., and Amato P. "Pricing financial derivatives with neural networks," Phys. A, 338, 160-165 (2004).

9. Ovsiannikov L. V., Group Analysis of Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1978).

10. Gazizov R. K. and Ibragimov N. H. "Lie symmetry analysis of differential equations in finance," Nonlinear Dyn., 17, 387-407 (1998).

11. Chirkunov Yu. A. and Khabirov S. V., Elements of symmetry analysis of differential equations of continuum mechanics, NGTU, Novosibirsk (2012).

12. Bordag L. A. and Chmakova A. Y. "Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives," Int. J. Theor. Appl. Finance, 10, No. 1, 1-21 (2007).

© 2016 M. M. Dyshaev and V. E. Fedorov

13. Bordag L. A. and Frey R. "Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions, in: Nonlinear Models in Mathematical Finance: New Research Trends in Option Pricing (ed. M. Ehrhardt), Ch. 3, Nova Sci. Publ., Inc., New York, (2008), pp. 83-109.

14. Bordag L. A. "On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model," in: Mathematical Control Theory and Finance (A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, and M. R. Grossinho eds.) , Springer-Verl., Berlin, Heidelberg, (2008), pp. 71-94.

15. Mikaelyan A. Analytical Study of the Schonbucher-Wilmott Model of the Feedback Effect in Illiquid Markets: Master's Thes. (Financial Mathematics). Halmstad Univ., 2009.

16. Bordag L. A. and Mikaelyan A. "Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions," J. Lett. Math. Phys. 96, No. 1-3, 191-207 (2011).

Submitted February 1, 2016

Dyshaev Mikhail Mikhayilovich, Fedorov Vladimir Evgen'evich Cheliabinsk State University,

Br. Kashirinykh st., 129, Cheliabinsk 454001, Russia Mikhail.Dyshaev@gmail.com, kar@csu.ru