CC BY
39
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 29-41.
УДК 517.9
СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ
М.М. ДЫШАЕВ, В.Е. ФЕДОРОВ
Аннотация. Исследуется групповая структура уравнения Шенбухера-Уилмотта со свободным параметром, моделирующего ценообразование опционов. Найдена пятимерная группа преобразований эквивалентности такого уравнения. С ее помощью найдены четырехмерные алгебры Ли допускаемых операторов уравнения в случае двух спецификаций свободного элемента и трехмерная алгебра для остальных, не эквивалентных им случаев. Для каждой из алгебр найдены оптимальные системы подалгебр и соответствующие им инвариантные решения или инвариантные подмодели уравнения.
Ключевые слова: нелинейное уравнение в частных производных, нелинейное уравнение Блэка-Шоулса, модель Шенбухера-Уилмотта, ценообразование опционов, групповой анализ, инвариантное решение.
Mathematics Subject Classification: 58J70, 76M60, 91G99, 35A30
1. Введение
Традиционной моделью в теории финансовых рынков является модель Блэка-Шоулса [1, 2], описываемая обратным уравнением теплопроводности с переменными коэффициентами. Однако практические исследования показывают, что эта модель в силу сделанных допущений далека от адекватности реальным процессам, протекающим на финансовых рынках (см. [3]-[6]). Поэтому исследователи в последние десятилетия перешли к более сложным моделям динамики финансовых рынков, например, исследуются модели со стохастической волатильностью [7], модели, учитывающие наличие транзакционных издержек [8], а также другие модели [3, 4]. Все более популярными у исследователей становятся нелинейные модели, в том числе нелинейные модели типа Блэка-Шоулса. Например, модель с учетом транзакционных издержек (transaction-cost models) в работе [9] имеет вид
wt + 2 o-2x2wxx( 1 + 2 pxwxx) = 0,
где t — время; х — цена акции; w — цена опциона; а — волатильность акции; р — тран-закционные издержки.
Другим типом моделей являются модели с редуцированной формой стохастического
дифференциального уравнения (reduced-form SDE models), имеющие вид
2 2 ^Т X хх
Wt +--2 = 0,
2(1 — bxwxx)
M.M. Dyshaev, V.E. Fedorov, Symmetries and exact solutions of a nonlinear pricing options equation.
© Дышаев М.М., Фёдоров В.Е. 2017.
Работа второго автора выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление №211 от 16.03.2013г.), соглашение №02.A03.21.0011, и Министерства образования и науки РФ, задание № 1.6462.2017/БЧ).
Поступила 28 декабря 2015 г.
где b — параметр ликвидности. Они рассмотрены, например, в работах [10]—[13].
Как показано в работах [11, 14, 15], модель стоимости хеджирующей стратегии на неликвидном рынке с учетом влияния операций крупных трейдеров может быть представлена в виде
2 2
wt +-^^-2 = 0. (1)
2 (1 - px\(x)wxx)
В данном случае р является параметром, определяющим влияние операций крупных трейдеров, а Х(х) выбирается таким образом, чтобы получить необходимую форму выплаты. Значения р и Х(х) могут быть определены исходя из наблюдаемых на рынке цен опционов.
Еще одной моделью ценообразования опционов является так называемая модель равновесия (equilibrium model) или модель с функцией реакции (reaction-function model). Примеры использования данной модели приведены в работах [15, 16]. Рассмотрим соответствующее модели равновесия, называемой также моделью Шенбухера-Уилмотта [17], уравнение
2 2
w> + , а х,Wx:—^=о, (2)
2 i1 - ^ xu,xX)
описывающее ценообразование опционов на неликвидном рынке с учетом влияния размеров открытых позиций трейдеров. В этом случае х — цена базового актива, а — волатиль-ность цены базового актива, р > 0 — показатель, характеризующий величину позиции трейдера относительно общего объема торгуемого базового актива. Модели, учитывающие влияние транзакционных издержек и хеджирующих сделок крупных трейдеров на базовый актив, могут быть применены для некоторых активов, которые торгуются на биржевых площадках развивающихся стран.
В рассматриваемой модели (2) в работах [14, 17, 18, 19] функция реакции ф = зависит от фундаментальной цены акции Ft и нормализованного объема спроса крупных трейдеров рФ1^. По сути, функция ф является равновесной ценой. Она обеспечивает равновесие между ценой базового актива, величиной позиции крупных трейдеров по данному активу и фундаментальной ценой базового актива Ft. В работе [19] она имеет вид фа, а) = fea, в работах [14, 17] взята в виде ф(/,а) = f/(1 — а). При выводе уравнения (2) в [18] предполагается, что ф( f, а) = fg(a) при некоторой возрастающей функции g = g(o). Предположение о возрастающем характере функции д(а), входящей в функцию ф, впервые сделано в работе [16] и хорошо согласуется с практическими наблюдениями, когда цены растут при увеличении позиций крупных трейдеров.
Методы исследования перечисленных моделей весьма различны: численные методы, методы теории временных рядов, теории нейронных сетей и т. д. [20]-[23]. Как всегда, когда идет речь о процессах, моделируемых дифференциальными уравнениями, важно иметь точные решения таких уравнений. В случае нелинейных дифференциальных уравнений одними из самых эффективных методов, позволяющих осуществлять поиск решений, являются методы группового анализа [24, 25]. Первые исследования групповых свойств линейного уравнения Блэка-Шоуолса были проведены в работе Н.Х. Ибрагимова и Р.К. Газизова [26]. Помимо линейного уравнения, в последние годы методами симмет-рийного анализа нередко исследуются различные нелинейные модификации уравнения Блэка-Шоулса. Например, уравнение (1) таким образом подробно исследовано в работах L.A. Bordag с соавторами [18, 27, 28]. Кроме того, в работах L.A. Bordag и A. Mikaelyan [29, 30] получены интересные результаты о симметриях и инвариантных решениях уравнения (2).
Данная работа посвящена групповой классификации [24, 31] уравнения (2) и поиску его точных решений методами группового анализа. Для этого во втором разделе найдены группы преобразований эквивалентности этого уравнения. С их помощью в третьем
разделе удалось показать, что для спецификаций функции ь(а) = д'(а)/д(а) = 0/а, соответствующей степенной функции д(а) = Са^, и V = 1 (д = Сеа) уравнение имеет четырехмерную основную алгебру Ли, а в случаях, не приводимых к указанным преобразованиями эквивалентности, основная алгебра Ли трехмерная. Этот результат корректирует результат работ [29, 30], в которых выделены три спецификации с дополнительными симметриями (используя полученные здесь преобразования эквивалентности, нетрудно показать эквивалентность двух из них). Четвертый, пятый и шестой разделы посвящены поиску инвариантных решений и подмоделей уравнения (2) с различными алгебрами Ли (при различных спецификациях функции д). В седьмом разделе подведены итоги исследования.
2. Преобразования эквивалентности уравнения Шенбухера-Уилмотта
Домножим уравнение (2) на константу р и сделаем замену ри> = и и переобозначение g'(pwx)/g(pwx) = ь(их). Получим уравнение
Щ +
2 (1 - ху(их)ихх)2
0.
(3)
Для нахождения спецификаций функции V = ь(их), при которых появляются дополнительные к задаваемым ядром главных алгебр Ли симметрии уравнения (3), необходимо найти непрерывную группу преобразований эквивалентности этого уравнения. Для этого запишем уравнение (3) в виде
Щ +
0,
(4)
2(1 — хьихх)
подразумевая, что V — это дополнительная переменная, зависящая от переменных ¿, х, и, щ, их. Генераторы непрерывной группы преобразований эквивалентности будем искать в виде У = + £дх + т/ди + рдь, где функции тзависят от Ь,х,и, а р зависит от 1,х,и,щ,их,ь. Здесь и далее для краткости используется запись т| = 81 и т. п. Дополним уравнение (4) уравнениями
Уг = 0, ух = 0, ьи = 0, V,
Щ
0,
(5)
означающими, что в исходной постановке задачи V зависит только от их.
Будем рассматривать систему (4), (5) как многообразие N в расширенном пространстве соответствующих переменных. Подействуем на левую часть системы (4), (5) продолженным оператором
У = У + + >^дихх + + рхд.0х + ридЬи + ри< д^,
сузим результат действия на многообразие N и получим уравнения
^ +
0" хихх£ (1 — хуихх)'-
+
и2х2 (1 + хьихх)^хх 2(1 — хуихх)3
+
(1 — хьихху
N
Л = 0, рх\к = 0, ри\к = 0, ри> = 0.
, (6) (7)
Коэффициенты оператора У могут быть вычислены по формулам продолжения, например, р1 = А(^) — VtDt(т) — ьхО) — ЬиБЬ('Ц) — Иь((/) — уихИь(^х), использующим операторы дифференцирования
А = дг + Vtдv + ьидщ + У1Хд,„х + + + ьЫх дъих
и т. д. Тогда уравнения (7) примут вид
рг — у'(их)рх = 0, рх — ь'(их )рхх = 0, ри — ь'(их)р1 = 0, ри1 — ь'(их)рх = 0.
Поскольку
Vх = Г]х + ихГ]и - ЩТХ - иъ..ихТи - их£х - и%а, (8)
то эти уравнения можно расписать в виде:
Р - V'(их) (Щх + ЩхЩа - ЩПх - ЩЩхПи - „хСъх - |эт =
= Р - V'(их) (Щх + ихЩа - их&х -
2 2 2 2 \
7 X щххПх 7 х иххихПи \ „ /„ч
+ ^-^2 + ^-^ = 0, (9)
2(1 - хьихх) 2(1 - хьихх) /
^х У (их ) хх + их1]хи иМТ~хх иЪихТхи ихСхх ихСхи)
рх У (их ) хх + У'х'^хи ихСхх ихСхи +
2 2 2 2 \
+ ° х иххТхх + <7 х иххихТхи \ _ о (10)
2(1 - хуихх)2 2(1 - хуихх)2 /
Ри У (их) (Чхи + их'Чии иъТхи иЬих^~ии ихСхи ихСии)
Ри У (их) (1]хи + их'Чии ихСхи ихСии +
2 2 2 2 + 7 х ихх"!~хи + 7 х иххихТии \ _ о (11)
2 (1 - х их х)2 2 (1 - х их х)2
Риг + V'(их) (Тх + ихТи) = 0. (12)
Уравнение (6) в силу равенства
^ Т]хх + 2ихТ]хи + их ^]ии + ихх^]и ЩТхх 2иЪихТхи 2иЪхТх - ии Тии
х х и - х х х - х и и - х х х и
2 сиу / л22
Ш + игЦа - ЩП - и Ти - их& - иих^и + —-Г3 (2„хх£ + 2х „ххр +
2ихЩхТ~и ЩиххТ~и ихСхх 2их Схи 2иххСх их Сии 3ихиххС'.
примет вид
<2х t ^ о~2„.2
2(1 - хьихх)
+х(1 + х х )( хх + 2их1]хи + их 1]ии + ихх и- щ„х Тии 2ихиЬх'Ти
иЬиххТи ихСхх 2их Схи 2иххСх их Сии 3ихиххСи)
2 2 2 2 4 4 2
7 х ихх1]и . 7 х ихх^~Ь 7 х иххти >= .
ъ - ^-72 + -ГТЛ-- ТГ,-у4 - „х&+
2(1 - хьихх) 2(1 - хьихх) 4(1 - хьихх)
\2 1 о (л \2 л ¡л \4
) 2 (1 - х
хх х хх ^ и 7 х
2(1 - хуихх)2 2(1 - хуихх)3
2 2с 2 + 7 х ихихх^и + __ (2и £ + 2х2„2 и +
\ 2 I , , з I ххг^ '
.(1. ) { +2 | 2 + + 7 х иххТхх .
+х(1 + хиихх) I 1]хх + 2их:'Цх:и + их Ци,и, + ихх1]и + . . 2 +
V 2(1 - хиихх)
2 2 2 2 2 2 2 2
7 х их их х х и 7 х их их х и и 7 х их х и
+ ^ , 2 2иЬх:^~х + ^ 72 2ихиЬх:^~и +
2 1х1 х 1 п /\2 х '-"ъх1 и 1 . .2
х х) 2 (1 - х их х) 2 (1 - х их х)
ихСхх 2их Схи 2иххСх их Сии 3ихиххСи) (13)
Дифференцированием последнего уравнения по иъх получим
(1 + хУ„хх)( ТХ + ихТи) = 0, отсюда т = т(Ь). Следовательно, уравнения (9)-(13) примут вид
Ръ - У'(„Х) (Щх + „ХГ)Ы - „Х&Х - и2хСш) = 0, (14)
Рх У (их ) хх + ихгТ]хи ихСхх ихСхи) ^ (15)
Ри - У'(„х) (г/ хи + ихГТ]ии ихСхи их Сии) = 0, (16)
^ = 0, (17)
О' X иХх^и . & % иххТ
^ — ^-72 + гт:-72 — и*& +
2(1 — хьихх) 2(1 — хьихх)
2 2с 2
+ п /-, \2 + о /-, \3 \2аххЛ + 2Х «жжР +
2(1 — хьихх) 2(1 — хьихх) +ж(1 +
^ «'ЖЖ хх + 2^>х'Пхи + ^ж ^мм + ^жж 'Пи — иX Схх
2^ж Схи 2^ххСх ^Х Сии 3^Х^ХхСи0. (18)
Домножим уравнение (18) на 2(1 — хьихх)'3 и получим
2(1 — хьихх)3'ъ + (1 — хиихх)а2х2ихх(т' (г) — ци) — 2(1 — хиихх)3их&+ + (1
ихх р I
+Ж(1 + ХУихх') (^Пхх + 2их'^хи + '^ии + ^хх'Пи «ж
2^ж Схи 2^жжСж ^х Сии 3^х^ххСи0. (19)
Расщепляя уравнение (19) по переменной получим при множитель ^ — ихСг при условии ■и = 0, поэтому £ = С(х,и), V = ,п(х,и). Тогда из (14) получим, что ^ = 0, а уравнение (19) примет вид
(1 — хиихх)хихх(т (¿) — Ци) + (1 — + 2^жжС + ^хх^ + Ж(1 + ХУихх') (^Пхх + 2их'пхи + 'Пии, + ^хх'Пи ^хСхх
2^ж Сжм 2^ххСх «ж С«« 3^х^ххСи^ 0. Продифференцируем это уравнение по £ и получим т''(¿) = 0, г(¿) = + В, а уравнение теперь примет вид
(1 Vи) + (1
+ 2иххС + иххр + Ж(1 + ХУихх) (^Пхх + 2их'пхи + их ^ии + ^хх'Пи ^хСхх
2^ж Сжм 2^ххСх «ж С«« 3^х^ххСи^ 0. (20)
Расщепляя (20) по ихх, получим коэффициент при ихх:
Х('ПхХ + 2^х'Пхи + их'Пии ^хС,ХХ 2ихСхи, Иг^Сии) 0. Из этого уравнения расщеплением по их получим систему
Сии Пхх 0 (21)
2'Пхи СхХ1 (22)
'Пии 2Схи. (23)
Из (21) следует, что £ = С(х)и + И(х), 'П = Е(и)х + Е(и). Подставив эти выражения в (22), получим 2Е'(и) = С''(х)и + В"(х). Тогда С"'(х) = Ош(х) = 0, С(х) = Сх2 + Нх + I, Б(х) = Зх2 + Кх + Ь, Е'(и) = Си + 3, Е(и) = |Си2 + /и + М. Таким образом,
^ = Сх2и + Нхи + 1и + Зх2 + Хж + Ь, ц = 1 Схи2 + /жм + Мх + ^ (и).
Подстановкой этих выражений в (23) получим уравнение Е" (и) = 3Сж + 2Н, откуда С = 0, ^ (и) = Ни2 + Жи + Р,
^ = Нхи + 1и + + Хж + Ь, ^ = /жм + Мж + Ни2 + Жм + Р.
Теперь, приравнивая к нулю коэффициенты при ихх и при из левой части уравнения (20), получим уравнения
— — 'Пи +
2^Ж Си + Сх
Ах + 2£ - 2хСх - 2хихСи - х2„хСххУ - 2х2и2хСхиУ + 2х2ихГ]хиУ + х2и2хГ1ииУ =
= Ах + 21 и + 2Ь - 23х2 - 2Нх2их - 21 хих = 0.
Из последнего равенства следует, что А = Н = 1=3 = Ь = 0. Тогда
т = В, £ = Кх, т] = Мх + Ми + Р, р = (К - N)ь. (24)
При этом равенства (14)-(17) также выполняются.
Таким образом, решение системы уравнений, определяющей генераторы непрерывных групп преобразований эквивалентности, задается формулами (24). Отсюда получим утверждение.
Теорема 1. Базис алгебры Ли инфшнитезимальных операторов групп преобразований эквивалентности уравнения (3) при функции V, не равной тождественно нулю, образуют операторы
У = дъ, >2 = д,а, Уз = хди, >4 = хдх + иди, Уъ = иди - ъд,и.
Здесь элемент базиса, соответствующий решению при К = 1, В = М = N = Р = 0 заменен на его сумму с элементом базиса, соответсвующим решению N = 1, В = К = М = Р = 0 для того, чтобы минимизировать количество базисных операторов, содержащих дополнительную переменную .
С учетом формулы (8) получим продолжения базисных операторов
У1 = дъ, У2 = ди, Уз = хди + дих, >4 = хдх + иди, Уъ = иди - ъд,и + ихдих. (25)
Отсюда следует, что базис ядра основных алгебр Ли уравнения (3) составляют операторы У\, У2, У4, продолжения которых не содержат дополнительных переменных V, их.
Следствие 1. Базис ядра основных алгебр Ли уравнения (3) при функции V, не равной тождественно нулю, образуют операторы Х1 = дъ, Х2 = ди, Х3 = хдх + иди.
3. ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим алгебру Ли, полученную из проекций операторов (25) на подпространство переменных , их, т. е. алгебру с базисом
= дих, ^2 = удь - ихдих. (26)
Заметим сразу, что оператору Z1 соответствует оператор У3, а оператору Z2 — оператор
-Уъ.
Ненулевыми структурными константами для данной алгебры Ли являются с^ = -1, = 1. По формуле Еа = с'а^еРде~( найдем генераторы внутренних автоморфизмов алгебры Ли Е1 = -е2де1, Е2 = е1 де1 и соответствующие им группы преобразований —
Е1 : е1 = е1 - е2(ц, Е2 : е1 = е1еа2.
Здесь е г — коэффициент при операторе Zi в разложении элемента рассматриваемой алгебры Ли по ее базису.
Пусть е2 = 0, тогда е1 = 0 в силу Е1. Получим подалгебру с базисом Z2. Иначе имеем одномерную подалгебру с базисом Z1. Таким образом, оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь2 с базисом (26) имеет вид 01 = , {^2)}.
Для операторов Z из оптимальной системы вычислим выражения Z(V(их) - г^= 0. Получим:
Zl(V(их) - ь)и=у = У = 0, V = Р; Z2(V(их) - у)1=у = -V -ихГ = 0, V = Д
их
Первая из спецификаций преобразованием эквивалентности У5 сводится к V = 1. Во втором случае преобразования эквивалентности, найденные в предыдущем разделе, не позволяют изменить константу [.
Для каждого базисного оператора из оптимальной системы вычислим проекцию соответствующего генератора группы преобразований эквивалентности (У3 или —У5) на подпространство переменных Ь, х, и. Получится соответствие (с точностью до множителя) : хди, : иди. Поэтому спецификации свободного элемента V = 1 соответствует дополнительная симметрия хди, а спецификациям
ь = [их1) [ е М, (27)
соответствует симметрия иди.
Теорема 2. 1. Базис основной алгебры Ли уравнения
О х ихх ~
Щ +--2 = 0
2 (1 хихх)
имеет вид Хх = дг, Х2 = ди, Х3 = хдх + иди, Х4 = хди.
2. Базис основной алгебры Ли уравнений
О х их х
иг +----^ = 0, 3 е М,
2 Л _ /Зхихх \ \ их )
имеет вид Хх = дг, Х2 = ди, Х3 = хдх, Х4 = иди.
3. В случаях функции V, не приводимой к перечисленным выше преобразованиями эквивалентности, основная алгебра Ли уравнения
О х их х
Щ +--2 = 0
2(1 — хи(их)ихх)
совпадает с ядром основных алгебр Ли и имеет вид Хх = дг, Х2 = ди, Х3 = хдх + иди.
Во втором пункте теоремы использована возможность линейного преобразования базиса с целью упрощения вида его элементов.
Замечание 1. В работе [29] помимо спецификаций функции V из пунктов 2 и 3 теоремы 2 указаны еще спецификации
ь = 3(1 -их)-1, 3 е М, (28)
(см. п. 4 теоремы 4.2.1 [29]), имеющие дополнительную четвертую симметрию. Однако с помощью преобразования V ^ —V, которое, очевидно, является внутренним автоморфизмом соответствующей группы преобразований эквивалентности алгебры Ь5 из теоремы 1, а также используя порождаемое оператором У3 преобразование эквивалентности, осуществляющее сдвиг аргумента функции , можно преобразовать эти спецификации к виду (27) из пункта 2 теоремы 2. Описанные преобразования соответствуют замене переменных И = Ь, х = х, и = х — и, где черта над символом переменной обозначает новую переменную. Нетрудно проверить, что при таких преобразованиях алгебра Ли уравнения со спецификацией (28) преобразуется к алгебре Ли уравнения со спецификаей (27). Поэтому с точки зрения группового анализа спецификации (27) и (28) эквивалентны.
4. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Рассмотрим уравнение
а х ихх . .
Щ + ^-Г \-= 0 (29)
2 (1 - хи(их)ихх)
алгебра Ли Ь3 которого имеет базис
Х\ = дг, Х2 = ди, Х3 = хдх + (30)
Ненулевые структурные константы ее — 3 = 1, с32 = — 1, поэтому группы внутренних автоморфизмов имеют вид Е2 : е2 = е2 + а^е3, Е3 : е2 = е2е-а2. Используя их, осуществим поиск оптимальной системы одномерных подалгебр данной алгебры Ли Ь3. Инфинитези-мальные генераторы искомых базисных для этих подалгебр операторов будут иметь вид
X = £ екХк = (е1 ,е2,е3). к=1
1. Пусть е3 = 0, тогда с помощью Е2 получим е2 = 0, поэтому базисный вектор подалгебры имеет вид X = (а, 0,1), а € К.
2.1. При е3 = 0, е1 = 0, е2 = 0 получим X = (1,1, 0). При этом использованы внутренние автоморфизмы Е3 и е2 = — е2.
2.2. Остались случаи X = (1,0, 0) и X = (0,1, 0).
Лемма 1. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь3 с базисом (30) имеет вид ©1 = {(Х1), (Х2), (Х1 + Х2), {аХ1 + Х3),а € К}.
Используя операторы оптимальной системы, найдем инвариантные подмодели уравнения (29) и, по возможности, его инвариантные решения. Результаты исследования записаны в табл. 1, где во втором столбце записана одномерная подалгебра из оптимальной системы, в третьем — ее инварианты, а в четвертом — соответствующая инвариантная подмодель исходного уравнения или вид решения при условии, что ограничения, следующие из вида уравнения или области определения самой функции V, выполнены. Символами А, В обозначены произвольные контанты интегрирования.
Таблица 1.
Подалгебра Инварианты Подмодель или решение
1 №) X, и и = Ах + В
2 (*2 ) ¿, X нет
3 (*1 + ^2) и — ¿, X а2 х2ф' = —2(1 — хи(ф)ф' )2 = 0,
и = Ь + <р(х), <р' = ф
4 (*3 ) ¿, х-1и и = Ах
5 (аХ1 + Х3), а 1п |ж| — 1, и = Ах или 2(1 — (а<р' + а2^")ь(р + а<р'))2 =
а = 0 —1 X 1и а2(а<р' + а2^")/^ = 0, и = хр(а 1п |ж| — ¿)
5.
Уравнение
Инвариантные решения и подмодели в случае v = р
щ +
X хх
2(1 — [Зхихху
0, Р = 0
имеет алгебру Ли Ь4 с базисом
Х1 = 81, Х2 = ди, Х3 = хдх + иди, Х4 = хди
1 г2
1, с32
Ненулевыми структурными константами этой алгебры являются с23 ее группы внутренних автоморфизмов имеют вид Е2 : е2 = е2 + а1е3, Е3 : Найдем оптимальную систему одномерных подалгебр данной алгебры Ли Ь4
(31)
(32)
— 1, поэтому 2
е2е-а2.
1. Пусть е 3 = 0, тогда с помощью Е2 получим е2 = 0, поэтому базисный вектор подалгебры имеет вид X = (а, 0,1, Ь), а,Ъ € К.
2.1. При е3 = 0, е2 = 0 получим следующее.
2.1.1. Если е1 = 0, то X = (1,1, 0,а), а € К. При этом использованы внутренние автоморфизмы Е3 и е2 = — е2.
2.1.2. Пусть е1 = 0, тогда X = (0,1, 0,1) или X = (0,1, 0, 0). В первом случае также использованы Е3 и е2 = — е2.
2.2. Если е2 = е3 = 0, то X = (1, 0, 0, а), а€ К, или X = (0, 0, 0,1).
Лемма 2. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь4 с базисом (32) имеет вид
©1 = {(X2), {X*), X + X4>, (XI + 0X4), (XI + X2 + 0X4>, (аXl + Xз + 1X4), а, Ь € К}.
Для одномерных подалгебр из оптимальной системы получим табл. 2.
Таблица 2.
Подалгебра Инварианты Подмодель, решение, ограничения
1 X) ¿, х нет
2 X) ¿, х нет
3 X + X4> ¿, х нет
4 X) х, и и = Ах + В
5 X +0X4), а = 0 х, и — а х и = аЬх + Аарах 1п |х| + Ах + В, 2 а 2/3<г2 Аа/За = ±2аГ2- " ,а = 0, ^ 2^2 > 0 4а2 а —
6 X +X2 + 0X4) и — (1 + ах)Ь 2 а ч2х 1 / а4х2 2/3<г2х ц 2Р 2(1 + а х) ±у 4(1 + а х)2 1 + а х Р = 2/32х , а = 0, и = (1 + ах)Ь + р(х)
7 X + 6X4), ь=1/з г, - — Ь1п |х| и = Ьх 1п х + Ах — ^
8 (0X1 + Xз + а1п |х| — 1, и = А х при = 0 или
bX4>, а = 0 - — Ь1п х х 1 1 а2(Ь + ар' + а2р")/р' = 2(1 — З (Ь + ар' + а2р" ))2 = 0, и = Ьх 1п |х| + хр(а 1п |х| — Ь)
6. Инвариантные решения и подмодели в случае V = ¡и-1 Для уравнения
и, + /2х2ихх Х2 =0, З = 0, (33)
2|1_ ах-хх )
\ -х )
базис алгебры Ли Ь4 имеет вид
X! = дг, X2 = ди, Xз = хдх, X* = иди. (34)
Ненулевыми структурными константами этой алгебры являются с24 = 1, (?42 = —1, поэтому структура данной алгебры Ли не отличается от алгебры из предыдущего параграфа с точностью до перенумерации операторов X3, X4. Из этого наблюдения и леммы 2 сразу получим следующее утверждение.
Лемма 3. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь4 о базисом (34) имеет вид
©1 = {X), X), X + Xз>, X + 0X3), X + X2 + 0X3>, (0X1 + bXз + X,), а, Ь € К}.
Используя операторы оптимальной системы, найдем инвариантные подмодели уравнения (33) и по возможности его инвариантные решения (табл. 3).
Таблица 3.
Подалгебра Инварианты Подмодель, решение, ограничения
1 №) ¿, X нет
2 (*з) ¿, и нет
3 (*2 + *3> ¿, и — 1п |ж| и = 1п |ж| + 2(+)2 + А, р = —1
4 №) X, и и = Ах + В, А = 0
5 (Х1 + аХз), а = 0 1п |ж| — аЬ, и и = Ае-^^+В, А = 0, „ = 4а1в(1в+1)+а2±а^'а2+8а1в = 0 а = 0, а2 + 8ар > 0
6 (Х1 + Х2 + аХз) 1п |ж| — а1, и — Ь 2(а^ — 1)У — 0 У — </ ))2 = аУ2У — ^), ^(г) = Ае(1+1/^ + В, и = £ + ^(1п |ж| — аЪ)
7 ¿, X нет
8 (аХ1 + Х4), а = 0 х, е-г/аи аа2х2р'2 р" = 2^У — /Зхр")2 = 0, и = е}/ар(х)
9 (ЪХз + Х4), Ь = 0 ь, |ж|-1/ьи о2(Ъ-1)4 и = Аеад^1)-«2 |ж|1/ь + Б, А = 0, 6 = ^ при /3 = —1
10 (аХ1 + ЪХз+Х4), а = 0, Ь = 0 а 1п |ж| — Ы, е-г/аи а2а2р'2(ар" — ^) = 2(аЬ<р' — <^)У — — р' ))2, ¥>(*) = Ае ^ (1+1/^ + Б, и = е}/ар(а 1п |ж| — Ы)
Оператор Х2 + Х3 при @ = — 1 инвариантных решений не имеет. У операторов Х1 + аХ3 при а = 0 инвариантная подмодель имеет вид
аУ У — р') = 2а(<р' — $ У — ^ ))2 = 0.
Обозначим аргумент функции (р через г. После подстановки £ = ех и понижения порядка уравнения получим а2(фф' = 2а(ф — @(ф')2, где ф(() = ^^(1п(). Сделав обратную замену С^) = ф(ег), получим квадратное уравнение для производной
= 2а(С — № )2.
-.—.- 2 2
При а > — в случае положительного @ и при а < — ^ для @ отрицательного получим после интегрирования = Ае°1Х, где
_4ар + а2 ± а^/а2 + 8а[5
61 = 4ф2 .
Следовательно, инвариантное решение имеет вид, указанный в пятой строке таблицы.
Инвариантное решение подалгебры (ЬХ3 + Х4), Ь = 0, (в таблице строка 9) — это по сути решение с произвольной ненулевой степенью |ж| (чтобы не было их = 0) и соответствующим этой степени множителем при £ в аргументе экспоненциальной функции в том же члене решения. Его частным случаем является инвариантное решение для (Х1 + аХ3), а = 0, (строка 5).
7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШЕНБУХЕРА-УИЛМОТТА
Проанализируем полученные результаты в терминах исходной задачи. Функции V = @ соответствует модель
2 2 ^Т X ^^хх
+--2 = 0
2(1 - (Зрх'хх)
с функцией д(а) = Сепри константе интегрирования С. Ограничимся рассмотрением вычисленных точных решений. Возвращаясь от и к функции ш, получим, учитывая произвол в выборе некоторых констант, решения
, х) = Ах + В;
/, ч atx 2/ 2« ± У 4а2 а , , , _ „
W(t. x) =--1---ír-x 1п Щ + Bx + С.
р 2р2р
a = 0, . = 0. £ — w > ъ,
4a a
b ba2t x
w(t,x) = -xln Ixl-^—--- + Ax + B. b=l//3.
p 2p(1 — p b)2
В последнем случае семейство инвариантных решений операторов Х3 + ЬХ4, b = l// расширено с помощью допускаемой группы сдвигов по переменной и, соответствующей оператору Х2.
Функции v = — преобразованием эквивалентности, соответствующим оператору Y3,
3
■\У V— и
ствуют функции д(а) — G(a + 'у)3 и модель
могут быть приведены к эквивалентному виду V = и ^ ,7 Е К. Таким функциям соответ-
2 2
wt + /aXWхх ч 2 — 0. (35)
2(1 - J3x^V
У wx+j/pJ
Нетрудно заметить, что решения (35) связаны с решениями уравнения (33) равенством w(t, х) = (u(t, х)—7х)р-1. Поэтому согласно таблице из предыдущего параграфа уравнение (35) имеет точные решения
w(t, х) = Ах + В, А = —-;
Aa2t у
w(t,х) = A ln |х| + +В — ±х, А = 0, $ = —1;
2{l + fj)2 р
g2C(C-1)t
wit,х) = Ае 2(1-p(c-1))2 хс + В — 1х, АС = 0.
Р
При этом сначала класс решений u(t, х) уравнения (33), инвариантных оператору Х2 + Х3, расширен с помощью действия допускаемого оператора Х4, вследствие чего в них появился множитель А в первых двух слагаемых.
Отметим, что в работе [29] симметрии модели (35) в случаях 7 = 0 и 7 = 0 исследуются отдельно. Этого можно было не делать, установив возможность перехода от одной из них к другой с помощью группы преобразований эквивалентности исследуемого класса уравнений (см. замечание 1).
Понятно, что если придерживаться требования монотонного возрастания функции д(а), то для рассмотренных спецификаций функции д надо наложить условие $ > 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy. 1973. V. 81. P. 637-659.
2. F. Black. The pricing of Commodity Contracts // Journal of Financial Economics. 1976. V. 3. P. 167-179.
3. J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein. Option pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. V. 7. P. 229-263.
4. J. Duan. The GARCH option pricing model // Mathematical Finance. 1995. V. 5. P. 13-32.
5. E. Derman, N. Taleb. The illusions of dynamic replication // Quantitative Finance. 2005. V. 5, No. 4. P. 323-326.
6. E. G. Haug, N. N. Taleb. Option traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black-Scholes-Merton formula // Journal of Economic Behavior and Organization. 2011. V. 77, No. 2. P. 97-106.
7. J. C. Hull, A. White. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // The Journal of Finance. 1987. V. 42. P. 281-300.
8. H. E. Leland. Option pricing and replication with transactions costs // The Journal of Finance. 1985. V. 40. P. 1283-1301.
9. U. Cetin, R. Jarrow, P. Protter. Liquidity risk and arbitrage pricing theory // Finance and Stochastic. 2004. V. 8. P. 311-341.
10. R. Frey. Market illiquidity as a source of model risk in dynamic hedging. Model Risk, ed. R. Gibson. London: Risk Publications, 2000. P. 125-136.
11. R. Frey, P. Patie. Risk Management for Derivatives in Illiquid Markets: a Simulation Study. Advances in Finance and Stochastics, eds. K. Sandmann and P. Schonbucher. Berlin: Springer, 2002.
12. M. Jandacka, D. Sevcovic. On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanation of the volatility smile // Journal of Applied Mathematics. 2005. V. 3. P. 253-258.
13. H. Liu, J. Yong. Option pricing with an illiquid underlying asset market // Journal of Economic Dynamics and Control. 2005. V. 29, No. 12. P. 2125-2156.
14. R. Frey, A. Stremme. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging // Mathematical Finance. 1997. V. 7, No. 4. P. 351-374.
15. R. Frey. Perfect option replication for a large trader // Finance and Stochastics. 1998. V. 2. P. 115148.
16. R. A. Jarrow. Derivative securities markets, market manipulation and option pricing theory // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1994. V. 29. P. 241-261.
17. P. Schonbucher, P. Wilmott. The feedback-effect of hedging in illiquid markets // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2000. V. 61. P. 232-272.
18. L. A. Bordag, R. Frey. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions. Chapter 3 in Nonlinear Models in Mathematical Finance: Research Trends in Option Pricing, ed. M. Ehrhardt. Nova Science Publishers, Inc., 2008. P. 83-109.
19. E. Platen, M. Schweizer. On feedback effects from hedging derivatives // Mathematical Finance. 1998. V. 8. P. 67-84.
20. P. Brandimarte. Numerical Methods in Finance & Economics. John Wiley & Sons Publications, 2004; Second edition, 2006. xxiv+669 p.
21. G. Bakshi, C. Cao, Z. Chen. Empirical performance of alternative option pricing models // Journal of Finance. 1997. V. 52. P. 2003-2049.
22. M. J. Morelli, G. Montagna, O. Nicrosini, M. Treccani, M. Farina, P. Amato. Pricing financial derivatives with neural networks // Physica A. 2004. V. 338. P. 160-165.
23. S. Kou. A jump diffusion model for option pricing // Management Science. 2002. V. 48. P. 10861101.
24. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
25. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
26. R. K. Gazizov, N. H. Ibragimov. Lie symmetry analysis of differential equations in finance // Nonlinear Dynamics. 1998. V. 17. P. 387-407.
27. L. A. Bordag, A. Y. Chmakova. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2007. V. 10, No. 1. P. 1-21.
28. L. A. Bordag. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model. Mathematical Control Theory and Finance, eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra and M. R. Grossinho. Springer, 2008. P. 71-94.
29. A. Mikaelyan. Analytical Study of the Schonbucher-Wilmott Model of the Feedback Effect in Illiquid Markets. Master's thesis in financial mathematics, Halmstad: Halmstad University, 2009. viii+67 p.
30. L. A. Bordag, A. Mikaelyan. Models of seJf-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // Journal Letters in Mathematical Physics. 2011. V. 96, No. 1-3. 191-207.
31. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: НГТУ, 2012. 659 с.
Михаил Михайлович Дышаев,
ФГБОУ ВО «Челябинский государственный университет», ул. Братьев Кашириных, 129, 454001, г. Челябинск, Россия E-mail: Mikhail.Dyshaev@gmail.com
Владимир Евгеньевич Фёдоров,
ФГБОУ ВО «Челябинский государственный университет», ул. Братьев Кашириных, 129, 454001, г. Челябинск, Россия
ФГАОУ ВО «Южно-Уральский государственный университет
(национальный исследовательский университет)»,
пр. Ленина, 76,
454080, г. Челябинск, Россия
E-mail: kar@csu.ru
