CC BY
13
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 1. С. 93-103.
УДК 517.95
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ
ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
В. Е. Федоров", Н. В. Филин6
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "kar@csu.ru; bnikolay_filin@inbox.ru
Проведён симметрийный анализ квазилинейного уравнения в частных производных второго порядка, содержащего свободный элемент, зависящий от фазовой функции. Найдено двумерное в нелинейном случае ядро основных групп уравнения и спецификации свободного элемента, приводящие к третьим симметриям. Вычислены инвариантные решения или подмодели для неподобных одномерных подалгебр основных алгебр Ли уравнений с найденными спецификациями, найдены законы сохранения уравнений. Исследован также линейный случай с константой в качестве свободного элемента. Показано, что результаты исследования не зависят от типа уравнения.
Ключевые слова: групповой анализ, допускаемая группа, алгебра Ли, оптимальная система подалгебр, инвариантное 'решение, подмодель, закон сохранения.
Введение
Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных дифференциальных уравнений [1], особенно уравнений механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при их выводе [2]. Методы построения инвариантных решений для допускаемых групп преобразований являются одними из очень немногих методов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных безотносительно к их типу и происхождению [1].
Данная работа посвящена групповому анализу [1,2] уравнения в частных производных гиперболического типа
ctt(x,t) = acxx(x, t) + [f (c(x,t))]x,
которое в случае функции f(c) = aie + a2c2 + a3c3 + a4c4 + a5((1 — c)ln(1 — c) + c ln c) описывает кинетику вакансионных пор в облучаемом металле [3]. При этом c(x, t) — превышение концентрации вакансий с долей примеси замещения над своим квазистационарным и однородным значением.
Для уравнения проведена групповая классификация относительно свободного элемента g = g(c) = f '(c), найдены его инвариантные подмодели [4] и частные решения в случае спецификаций, приводящих к дополнительным симметриям, а также для уравнения кинетики вакансионных пор. Получен ряд законов сохранения соответствующих уравнений. Показано, что результаты исследования не зависят от типа уравнения (гиперболический или эллиптический).
Работа выполнена при частичной поддержке лаборатории квантовой топологии Челябинского государственного университета (грант правительства РФ № 14.Z50.31.0020).
1. Симметрии уравнения кинетики вакансионных пор
Рассмотрим уравнение в частных производных
ctt = acxx + (f (c))x, (1.1)
где c = c(x, t), f(c) = aie + a2c2 + a3c3 + a4c4 + a5((1 — c)ln(1 — c) + clnc), и коэффициенты ai, a2, a3, a4, a5 вещественны и не равны нулю. Исследуем его симметрии. Обозначим для удобства JZ = , где z — некоторая переменная. Оператор группы преобразований и его второе продолжение имеют вид соответственно
X = т(t, x, c)d + £(t, x, c)dx + n(t, x, c)dc,
X = X + ^ + ^ + ôctt + ^dtx + ,
где ^ = Дп - с4 Дт - сж Д£, = Д^п - с4 д,т - сж Д4 = Д^ - сй Дт - Д£, = Д^ - С^ДхТ - Схх^хС, А = д + с45с + Сйде4 + дСх + . . . , Дх = + Схдс + с4хде(. + сххдсх +... Используя метод Ли — Овсянникова [1], получим равенство нулю многочлена относительно свободных переменных с4, сх, с4х, схх, приравняем все его коэффициенты к нулю и получим определяющую систему
П« - аПхх - я^х - 2а2спх - 3азС2пж - 4а4С3пж + а51п(1 - с)пх - а51п с^х = 0, (1.2)
-2а2п - 2а1Т - - 2апхс + «Схх + а^ - базсп - 4а2ст4 + 2а2с£ж - 12а4С2п -- базс2т + 3азс2^х - 8а4сзт + 4а4Сз£ж + 1п(1 - с)(2а5Т - а5^ж) + + 1пс(-2а5Г4 + а5^х) - П - а5П = 0,
(1.3)
2п*с - Тй + атхх + Я1Тх + 2а2СТх + 3азс2тж + 4а4С3тж - а51п(1 - с)тж + а51п стх = 0, (1.4)
Тс = 0, т - = о, = 0, £ - аТх = 0, Пес = 0. (1.5)
Уравнение (1.5) влечет равенство п = А(£, ж)с + Д(£,ж), поэтому и уравнение (1.2) имеет вид
(сАй + Дй) - а(сАхх + Вхх) - ^(сАх + Вж) - 2а2с(сАж + Дж) - 3азС2(сАж + Дж)-- 4а4С3(сАх + Вх) + а51п(1 - с)(сАж + Дл) - а51пс(сАж + Дл) = 0.
Отсюда расщеплением по переменной с получаем уравнения Ах = 0, Дх = 0, Аи = 0, Дй = 0. Тогда А(£, ж) = с1^ + с2, Д(£, ж) = сз£ + с4 и соответственно п = (с1^ + с2)с +
Сз£ + С4.
Из (1.4) следует, что т = с1^2 + с5£ + с6. Из (1.3) получаем п = Т = = = 0, тогда т = Сб, £ = с7 согласно предпоследнему уравнению в (1.5). Отсюда Х1 = Х2 =
2. Групповая клаееификация уравнения
Как видно, рассмотренное в предыдущем параграфе уравнение имеет только тривиальные допускаемые группы — переносы по переменным £ и ж. Проведём групповую классификацию общего уравнения
си = асхх + д(с)сж, (2.1)
где д = д(с) — произвольная функция, параметр а = 0.
Для этого сначала найдём обобщённые преобразования эквивалентности [5] уравнения (2.1). Генераторы групп преобразований эквивалентности будем искать в виде У = т(¿, х, c)дt + £(£, х, с)дх + п(£, х, с)дс + ((¿, х, с, д)дд. Дополним уравнение (2.1) уравнениями
gt = 0, дх = о, (2.2)
так как д = д(с). Подействуем продолженным оператором
У = У + ^ + Л, + рХХдсхх + Сдд + С tдgt + С Хддх
на систему уравнений (2.1), (2.2), затем сузим результат действия на многообразие М, в расширенном пространстве определяемое этой системой, и получим уравнения
^ - архх - рхд - СхС|м = 0, (2.3)
= 0, с1М = 0. (2.4)
Коэффициенты £t, Сх найдём по следующим формулам:
= А(С) - дД(т) - дх—;(С) - дсА(п),
Сх = -х(С) - д;Бх (т) - дх-х(£) - дс-х(п),
где Бt = дt + ..., Бх = дх + ..., -Ос = дс + дсдд + дссддс + ... Тогда уравнения (2.4) примут вид
0 - д'п = 0, Сх - д'Пх = 0. (2.5)
Рассмотрим уравнение (2.3). Подставим коэффициенты рхх, рх (см. п. 1) и сузим полученное выражение на многообразие М, выполнив замену = асхх + дсх. Тогда получится уравнение
+ ct(2п;с - - схС«; + с4 (псс - 2т(с) - 2с;схС;с-
с2схСсс сзтсс + асхх ^с 2асхх т; + дсхПс - 2дсхт - 2с ;хС; Зас;сххтс
- Здс;схтс-
асхсхх Сс " дсхСс - 2с;с;хсс - апхх + ас;тхх асх(2^хс Схх) + 2ас;схтхс асх (псс 2Схс) +
+ ас^хтсс + асх^сс + 2йс;хтх - асхх(Пс - 2Сх) + ас^ххтс + 2асх^тс + ЗасхсххСс + + (-Пх + с;тх - сх(Пс - Сх) + с;схтс + схСс)д - сх( = 0.
В полученном многочлене относительно свободных переменных с;, сх, с;х, схх приравняем все коэффициенты к нулю и получим систему уравнений
П;; - апхх - Пхд = 0, 2п;с - т;; + атхх + тхд = 0, - С;; + дПс - 2дт; - 2а^хс + аСхх - Псд + Схд - С = 0,
Псс - 2т;с = 0, -2С;с - Здтс + 2атхс + тсд = 0,
Сс = 0,
тс = 0,
-2С; + 2атх = 0, аПс - 2ат; - а^с + 2аСх = 0, -Затс + атс = 0, -аСс + ЗаСс = 0, -аПсс + 2аСхс = 0,
которая после упрощения примет вид
Тс = 0, (2.6)
Се = 0, (2.7)
т = 6x, (2.8)
6t = атж, (2.9)
Псе = 0, (2.10)
ntt - аПхх - nxg = 0, (2.11)
2ntc - Ttt + агхх + Txg = 0, (2.12)
—6tt - 2gTt - 2аПхе + + 6xg - Z = 0. (2.13)
Тогда из (2.10) следует, что
П = A(t,x)c + B (t,x). (2.14)
Подставим (2.14) с учётом (2.8) и (2.9) в (2.12):
2At(t,x) + Txg(c) = 0. (2.15)
Продифференцируем (2.15) по с, тогда rxg'(c) = 0. Далее рассмотрим 2 случая: g'(c) = 0 и g'(c) = 0.
Первый случай. Пусть g'(с) = 0, тогда тх = 0, и, значит, с учётом (2.6) т = т(t), а также из (2.15) следует, что A = A(x).
Из (2.9) получим 6t = 0, и тогда с учётом (2.7) 6 = 6(x). Подставим 6 и т в (2.8) и получим равенства т'(t) = 6'(x) = с3, т = c3t + с4, 6 = с3x + с5.
Подставим 6, т, п в (2.13), продифференцируем по t и получим Zt = 0. Из (2.5) следует, что п = 0, п = A(x)c + B(x).
Продифференцируем (2.11) по с: nxg' = -«nxxc - nxcg. Тогда в силу (2.5)
Zx = -аПххс - nxcg. (2.16)
Продифференцируем (2.13) по x и получим равенство Zx = -2апгае. Отсюда и из (2.16) получим anxxe - nxeg = 0. Подставим п и продифференцируем по с, тогда A'(x) = 0, A = ce.
Из (2.13) и (2.5) ясно, что Zx = 0, пх = 0, п = СбС + с7. В силу (2.13) Z = -c3g.
Полученному решению системы определяющих уравнений соответствует пятимерная группа преобразований эквивалентности с базисом Y1 = dt, Y2 = dx, Y3 = de, Y4 = cde, Y5 = tdt + xdx - gdg. Отсюда следует, что базис ядра основных алгебр Ли состоит из операторов Yi, Y2. Операторы Y3, Y4, Y5 в него не входят, поскольку зависят от g или от его аргумента с.
Второй случай. Пусть g'(с) = 0, тогда g(c) = g константа. Рассмотрим только класс уравнений, в которых g = 0. В силу уравнений (2.5) Zt = Zx = 0. Уравнения (2.13), (2.12) при этом в силу (2.8), (2.9), (2.14) примут вид 2aAx + 6xg = -Z, 2aAt + 6tg = 0. Последнее уравнение проинтегрируем по t и получим
2aA(t,x)+ 6(t,x)g = D(x). (2.17)
Тогда Z = -D'(x). Отсюда D(x) = с1х + с2, Z = -с1. Из уравнения (2.11) следуют два равенства:
Att - aAxx - Axg = 0,
Btt - aBxx - Bxg = 0. (2.18)
Первое из них с учётом (2.17), (2.8), (2.9) можно переписать в виде g2£x — cig = 0.
Если g = 0, то £ = c1g-1x + E(t). Тогда в силу (2.8) т = c1g-1t + F(x), а согласно (2.9) E'(t) = aF'(x) = ac3. Поэтому E(t) = a^t + с4, F(x) = c3x + с5, т = c1g-1t + c3x + c5, £ = c1g-1x + ac3t + c4. Следовательно, в силу (2.17)
c2 — ac3gt — c4g . u/, s
n =-2a—c+B(t'x).
Получена группа преобразований эквивалентности с базисом Y1 = dt, Y2 = 2aôx — gcôc, Y3 = B(t, x)dc, Y4 = côc, Y5 = tdt + xôx — gôg, Y6 = 2xdt + 2atôx — gtcôc, где B(t,x) — произвольное решение уравнения (2.18). Из этих операторов лишь Y5 не входит в базис ядра основных алгебр Ли класса уравнений с ненулевыми постоянными g.
Преобразовав последний из базисов линейной заменой, сформулируем полученные результаты.
Теорема 1. Базис алгебры Ли генераторов групп преобразований эквивалентности уравнения ctt = acxx + g(c)cx, а = 0,
1) в случае g'(с) = 0 состоит из операторов Y1 = dt, Y2 = dx, Y3 = dc, Y4 = cdc,
Y5 = tôt + xôx — gôg ;
2) при g'(с) = 0, g(c) = 0, имеет вид Y1 = dt, Y2 = dx, Y3 = B(t,x)dc, Y = côc; Y5 = tôt + xôx — gôg, Y6 = 2xdt + 2atôx — gtcôc, где B (t, x) — произвольное решение этого уравнения.
Теорема 2. Базис ядра основных алгебр Ли уравнения ctt = acxx + g(c)cx, а = 0,
1) в случае g'(с) = 0 состоит из операторов Y1 = dt, Y2 = dx;
2) при g'(с) = 0, g(c) = 0, имеет вид Y1 = dt, Y2 = dx, Y3 = B(t,x)dc, Y = côc, Y6 = 2xdt + 2atôx — gtcôc, где B(t,x) — произвольное решение этого уравнения.
3. Дополнительные симметрии
Возьмём проекцию алгебры Ли преобразований эквивалентности уравнения ctt = acxx + g(c)cx в случае g'(c) = 0 на пространство переменных с, g. Она имеет базис
Z1 = <9c, Z2 = сде Z3 = gôg. Вычислим таблицу коммутаторов этой алгебры Ли:
Z1 Z to Z со
Z1 0 Z1 0
Z to —Z1 0 0
Z3 0 0 0
Ненулевыми структурными константами являются с}2 = 1, с^ = -1. По формуле = сОв^де? [6] найдём генераторы внутренних автоморфизмов алгебры Ли:
E1
e2ôe
E2
—e1ôei.
1
Интегрируя уравнения Ли, вычислим сами внутренние автоморфизмы:
e1 = e1 + a1e2,
(3.1)
е1 = e1e-"2. (3.2)
Кроме того, из таблицы коммутаторов видно, что преобразование отражения
е1 = -e1 (3.3)
тоже является внутренним автоморфизмом.
Найдём оптимальную систему одномерных подалгебр, базис которых будем за-з
писывать в виде Z = ekZ^.
k=1
1. Пусть e2 = 0, тогда действием внутреннего автоморфизма (3.1) можно получить e1 = 0. Получим базисный вектор (0,1, b), b G R.
2. При e2 = 0, e1 = 0 действием (3.2) и (3.3) получим вектор (1, 0,1) для e3 = 0 и (1, 0, 0) для e3 = 0.
3. И, наконец, в случае e1 = e2 = 0 имеем Z = (0, 0,1).
Таким образом, оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид
©1 = «Z1>, (Z3), (Z1 + Z3), (Z2 + bZ3>, b G R}.
Для каждого из базисных операторов этих подалгебр с целью нахождения спецификаций свободного элемента, допускающих дополнительные симметрии, решим уравнение
Z(G(c) - g)|fl=G(c) = 0
и найдем следующие спецификации:
1. Оператору Z2 + bZ3 соответствует спецификация g = G(c) = Ccb при b = 0 (иначе мы выходим за рамки рассматриваемого класса уравнений с непостоянной функцией g). Действием оператора У5 получим из неё эквивалентную спецификацию G = cb. В алгебре Ли генераторов преобразований эквивалентности оператор Z2 + bZ3 является проекцией оператора У4 — bY5. Его проекцией на пространство переменных (t,x,c) является оператор
X3 = cdc — btdt — bxdx,
который задаёт дополнительную симметрию для найденной спецификации.
2. Оператору Z1 + Z3 соответствует спецификация g = G(c) = ec. Проекцией на пространство переменных (t, x,c) будет оператор
X4 = дс — tôt — xdx.
Это дополнительная симметрия уравнения в случае g(c) = ec.
3. Операторам Z1 и Z3 соответствуют спецификации G = 1 и G = 0, которые не соответствуют рассматриваемому классу непостоянных свободных элементов.
4. Инвариантные решения и подмодели уравнения
__U
со степенной функцией
Рассмотрим базис X1 = dt, X2 = dx, X3 = cdc — btdt — bxdx основной алгебры Ли уравнения
ctt = acxx + cbcx, b = 0. (4.1)
X1 X to 3X со
X1 0 0 —bX1
X2 0 0 —bX2
X со bX1 bX2 0
Ненулевыми структурными константами в этой алгебре являются с^ = —Ь, с31 = Ь, с|3 = —Ь, с22 = Ь (см. таблицу коммутаторов). Генераторы внутренних автоморфизмов имеют вид Е = —Ье3де1, Е2 = —Ье3де2, Е3 = Ье1де1 + Ье2де2, а сами внутренние автоморфизмы —
е1 = е1 — «1в3, (4.2)
е2 = е2 — «2е3, (4.3)
е1 = е"3 е1, , ч
е- =е"3,2. (44)
Найдём оптимальную систему одномерных подалгебр.
1. Пусть е3 = 0, тогда действием (4.2) и (4.3) можно получить равенства е1 = е2 = 0. Базисный вектор примет вид (0, 0,1).
2.1. При е3 = 0 и е1 = 0 получается вектор (1, Л, 0), где Л € К.
2.2. Если е3 = е1 = 0, то базисный вектор имеет вид (0,1,0).
Оптимальную систему одномерных подалгебр образуют подалгебры с базисными операторами Х2,Х3,Х1 + ЛХ2.
Оператору Х2 соответствует инвариантное решение с(^,ж) = С^ + С2.
Рассмотрим оператор Х1 + ЛХ2. Для его инвариантов имеем уравнение (д4 + Лдх) 3 = 0. Характеристическая система этого уравнения имеет вид = ^ж, её решениями являются функции 31 = с и 32 = ж — Из уравнения 31 = ^(32) выражаем функцию с(£,ж) = <^(ж — Л£), которую подставим в (4.1). После замены ж — = в и однократного интегрирования получим подмодели уравнения (4.1):
(а — Л2У(в) + Ь-+т </+1(в) = А, Ь = —1;
(а — Л2)^'(в)+1п |^(в)| = А, Ь = —1,
которые описывают его решения типа бегущей волны. При А = 0, Ь = —1, Л2 = а такие решения находятся интегрированием подмодели:
„ , ( Ь(ж — М) „\_1/'
Понятно, что случаю
Л2 = а соответствуют постоянные решения.
Инвариантами оператора Х3 являются функции 31 = с£1/ь, 32 = ¿/ж. Из уравнения 31 = ) находим вид решения с(£,ж) = ^(¿/ж)£_1/ь, которое при подстановке в (4.1) и после замены в = ¿/ж даёт подмодель
(в2 — ав4У(в) + (вУ (в) — — 2ав3^ (в) + р(в) = 0. 5. Инвариантные решения и подмодели уравнения
__и
с экспоненциальном функцией
Основная алгебра Ли уравнения
с« = асхх + есСх (5.1)
с базисом Х1 = дг, Х2 = дх, Х3 = дс — — ждх имеет согласно таблице коммутаторов
Х1 X (О X со
Х1 0 0 —X!
X (О 0 0 —X2
X со Х1 X (О 0
ненулевые структурные константы с}3 = -1, с31 = 1, с|3 = -1, с32 = 1. Поэтому внутренние автоморфизмы имеют вид
Те1 = е"3 е1,
е1 = е1 — а1е3, е2 = е2 — а2е3, < _0 0'
I е2 = е"3е2.
Отсюда видно, что, как и в предыдущем параграфе, оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид
©1 = «Х2>, (*3>, (X + йХ2>}.
Для оператора Х3 инвариантное решение ищется в виде с(Ь, х) = — 1пЬ + ^(¿/х), ему соответствует подмодель
(в2 — ав4К(в) + (в2 е^ — 2ав3 )^(в) + 1 = 0,
в = ¿/х, которую после однократного интегрирования можно привести к виду
и \ 1 + С в 1
и (в) + -2\и(в) = 1-2 ,
в(1 — ав2) 1 — ав2
где и(в) = е-^(в).
Для оператора Х1 + йХ2 получаем следующую подмодель уравнения:
(а — й2К(в) + е^У(в) = 0,
решением типа бегущей волны для которой при й2 = а является функция
, С1(х — йЬ) , . С1С2 с(Ь,х) =-—--+ 1п
а 1,2 1 С1(х-Ы) '
а — й С*2е а—- — 1
6. Подмодель уравнения кинетики вакансионных пор
Учитывая, что базис основной алгебры уравнения (1.1) кинетики вакансионных пор в облучаемом металле образуют операторы — Х2 — дх, и рассуждая, как в предыдущих двух параграфах, нетрудно получить инвариантное решение с(Ь, х) = С1Ь + С2 для оператора Х2 и соответствующую Х1 + йХ2 при любом й € К подмодель
(а — й2)^/(в) + а^ + а2^2 + а3 + а4^4 + аб((1 — 1п(1 — + ^ 1п = С,
которой соответствует инвариантное решение типа бегущей волны уравнения (1.1) вида с(х, ¿) = <^(х — йЬ).
7. Законы сохранения
Найдём условия нелинейной самосопряжённости [7] дифференциального оператора уравнения (2.1), для этого вычислим
8
8с
— [V (асхх + £СЖ — сй)] = а^хх — ^(с) — VII
и определим функции V = х, с), Л = Л(Ь, х, с) из равенства а^хх — Vxg(c) — vtt = Л (—асхх — ^(фх + сй)
Отсюда следует, что
а^хх + 2а^жссж + а^сссХ + а^ссжж — д^х — — — — ^ссс? —
— ^ссй + Ласхх + Лдсх — Лсхж =
Приравняв к нулю коэффициенты относительно свободных переменных сх, схх, сг, сгг, получим систему уравнений на ^ и Л:
а^хх — д^х — = 0, (7.1)
= —Л, (7.2)
2а^жс — д^с + Лд = 0, (7.3)
= 0, (7.4)
^с = 0. (7.5)
Из (7.2), (7.4), (7.5) следует, что = —Л(ж). Из (7.4) выражаем ^ = —Л(ж)с + В(¿, ж). Подставим функцию ^ в (7.3), получим аЛ'(ж) — Л(ж)д(с) = 0. Если д'(с) = 0, то Л (ж) = 0. Тогда из уравнения (7.1) следует, что ^ = Аг + В с постоянными А, В. В том случае, когда д — не нулевая константа, функция ^ имеет вид
= Ае а хс + В (¿,ж),
где В — решение уравнения (7.1).
Наконец, если д(с) = 0, то ^ = —Лс + В(¿, ж) с постоянным Л и при том же условии на В.
Рассмотрим случай с непостоянной функцией д(с). При А = 1 лагранжиан уравнения (2.1) будет иметь вид С = (асхх + д(с)сх — сгг) (г + В). Законы сохранения могут быть вычислены по формуле [7]
С* = ГС + т [даС — А (дсуС) + ...] + А,МдсуС + ...,
где т = п — С*с*. Здесь предполагается суммирование по повторяющимся индексам. В нашем случае роль первой координаты играет ¿, второй — ж, поэтому Д1 = Дг, Аз = Ах, с1 = с, с2 = сж, си = сй, с12 = с22 = сЖх, С1 = т, С2 = С, т = п — тс — Ссж. Таким образом, законом сохранения уравнения (2.1) в данном случае является пара функций (Сг,Сх), зависящих от ¿, ж, с и частных производных от с, для которой выражение дгСг + дхСх на решениях уравнения (2.1) равно нулю. Для оператора = дг найден вектор закона сохранения
С = с — (г + В )сй, Сх = (г + В)(д(с)с + ас**).
Оператору = дх соответствует вектор
С = сж — (г + В)сгл, Сх = (г + В )(д(с)сх — асхх).
Если здесь взять д(с) = а1 + 2а2с + 3а3с2 + 4а4с3 + а51п ^, то получим законы сохранения для уравнения кинетики вакансионных пор.
Оператор = с|С — Ьг т| — Ьж дх задаёт дополнительную симметрию уравнения (2.1) в том случае, если д(с) = сь. Для этого уравнения найден закон сохранения
С = с + Ысг + Ьжсх — (г + В)((1 + Ь)с + Ыс^ + Ьжс^),
Cx = (t + B)[cb(c + btc* + bxcx) + a((1 + b)cx + + bxcxx)].
Оператору X4 = JC — t J* — x JX, задающему дополнительную симметрию уравнения (2.1) в случае g(c) = ec, соответствует закон сохранения
C = 1 + tct + XCx — (t + B)(c* + tctt + xctx),
Cx = (t + B )[ec(1 + tct + xcx) + a(cx + tc*x + xcxx)].
Для линейного уравнения (2.1) (g — ненулевая константа) найдены следующие законы сохранения, соответствующие операторам Xi, X2, X3, X5 из теоремы 2:
C* = (—c2 + cctt)ea x, Cx = a(ctcx — ccix)e a
C* = (—c*cx + cc*x)ea x, Cx = a(cX — ccxx)ea C* = (B(t,x)c* — cB*(t, x))e ax, Cx = a(cBx(t,x) — сж B(t,x))e ax, где B — некоторое решение самого уравнения;
C* = (xc2 + atctcx — xctt — atctx — acx)eax, Cx = a(xctcX + atcX — actx — atcxx)eax. Оператору X4 = cJC соответствует тривиальный нулевой закон сохранения.
Заключение
Заметим, что в проведённых в этой работе рассуждениях нигде не использовались предположения относительно знака константы a в уравнении. Таким образом, полученные результаты не зависят от типа уравнения — они справедливы как для гиперболического, так и для эллиптического случая.
Список литературы
1. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 339 с.
2. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. — М. : Наука, 1983. — 281 с.
3. Девятко, Ю. Н. Новый механизм образования вакансионных пор / Ю. Н. Девятко, М. Ю. Каган, О. В. Хомяков // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, вып. 4. — С. 398-402.
4. Овсянников, Л. В. Программа «Подмодели». Газовая динамика / Л. В. Овсянников // Приклад. математика и механика. — 1994. — Т. 58, № 4. — С. 29-55.
5. Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды : монография / Ю. А. Чиркунов, С. В. Хабиров. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2012. — 659 с.
6. Ibragimov, N. H. Selected Works. Vol. 1, 2 / N. H. Ibragimov. — Karlskrona, Sweden : Alga Publications : Blekinge Institute of Technology, 2001. — 291 p.
7. Ibragimov, N. H. Nonlinear self-agjointness in constructing conservation laws / N. H. Ibragimov // Archives of ALGA. — 2010-2011. — Vol. 7/8. — P. 1-99.
Поступила в 'редакцию 06.09.2014 После переработки 02.02.2016
Сведения об авторах
Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: kar@csu.ru.
Филин Николай Владимирович, студент математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: nikolay_filin@inbox.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 1. P. 93-103.
GROUP ANALYSIS OF A QUASILINEAR EQUATION
V. E. Fedorov", N. V. Filinb
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "kar@csu.ru; bnikolay_filin@inbox.ru
Symmetry analysis is carried out for a second order quasilinear partial differential equation with a free element depending on the phase function. In the nonlinear case two-dimensional principal groups kernel and free element specifications leading to the third symmetries are found. Invariant solutions or submodels are calculated for non-similar one-dimensional subalgebras of the principal Lie algebras with the specifications that were obtained. Conservation laws for the equations are calculated. The linear case with a constant free element is researched also. It is shown that the investigation results don't depend on the equation type.
Keywords: group analysis, symmetries group, Lie algebra, optimal system of subalgebras, invariant solution, submodel, conservation law.
References
1. Ovsyannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. Transl. from the Russian. New York, Academic Press, 1982. 416 p.
2. Ibragimov N.H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics. Springer, 1985.
3. Devyatko Yu.N., Khomyakov O.V., Kagan M.Yu. New mechanism of the formation of vacansy voids. Low Temperature Physics, 2010, vol. 36, iss. 4, pp. 313-316.
4. Ovsyannikov L.V. The «podmodeli» program. Gas dynamics. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol. 58, no. 4, pp. 601-627.
5. Chirkunov Yu.A., Khabirov S.V. Elementy symmetriynogo analiza differentsial'nykh uravneniy sploshnoy sredy [Elements of symmetry analysis for differential equations of the continuum mechanics]. Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University Publ., 2012. 659 p. (In Russ.).
6. Ibragimov N.H. Selected Works. Vol. 1, 2. Karlskrona, Sweden, Alga Publ., Blekinge Institute of Technology, 2001. 291 p.
7. Ibragimov N.H. Nonlinear self-agjointness in constructing conservation laws. Archives of ALGA, 2010-2011, vol. 7/8, pp. 1-99.
Article received 06.09.2014 Corrections received 02.02.2016
