CC BY
22
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 3. С. 7-14. УДК 517.957
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЛЭКА — ШОУЛСА
М. М. Дышаев
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия Mikhail.Dy.shaev@gmail.com
Проведена групповая классификация одного семейства уравнений теории финансовых рынков, включающего в себя в простейшем случае уравнение Блэка — Шоулса. С помощью найденной пятимерной группы преобразований эквивалентности уравнения осуществлён поиск трёхмерных основных алгебр Ли уравнения в случае двух спецификаций свободного элемента. Для каждой из алгебр найдены оптимальные системы подалгебр и соответствующие этим подалгебрам инвариантные решения или инвариантные подмодели уравнения.
Ключевые слова: нелинейное уравнение в частных производных, нелинейное уравнение Блэка — Шоулса, уравнение Сиркара — Папаниколау, уравнение Шёнбухера — Уилмотта, групповой анализ, инвариантное 'решение, инвариантная подмодель.
Введение
В работе рассмотрен один класс нелинейных уравнений типа уравнения Блэка — Шоулса [1]
и + + г(хих - ^ = 0
2(1 - рхихх)
с произвольным множителем ^(¿,х) в главном члене. В случае когда ^(¿,х) = а2х2, исследуемая модель относится к классу моделей Сиркара — Папаниколау [2] и Шёнбухера — Уилмотта [3]
иц +--° х ихх-2 + г(хих — и) = 0, (2)
2(1 — у(их)хихх)
разработанных на основании модели Блэка — Шоулса для того, чтобы учесть эффекты обратной связи, возникающие при хеджировании на рынке базового актива купленных или проданных производных финансовых инструментов, таких, например, как опционы.
Отметим, что начало исследованиям уравнений теории финансовых рынков методами группового анализа [4] положили Р. К. Газизов и Н. Х. Ибрагимов, исследовавшие в своей работе уравнение Блэка — Шоулса [5]. Симметрийный анализ уравнения (2) при г = 0 проводился в работах [6; 7].
В данной работе найдены группы преобразований эквивалентности уравнения (1). С их помощью удалось показать, что для двух спецификаций свободного элемента т уравнение имеет трёхмерную основную алгебру Ли, а в случаях, не приводимых к указанным преобразованиями эквивалентности, основная алгебра Ли двумерная. Отмечено, что частному случаю модели (2) соответствует один из случаев
трёхмерной алгебры Ли уравнения (1). Осуществлён поиск инвариантных решений и подмоделей уравнения (1) при различных спецификациях свободного элемента.
1. Группы преобразований эквивалентности
Рассмотрим уравнение
ut +
wux
2(1 — вхихх)2
+ r(xux — и) = 0.
(3)
Для нахождения спецификаций функции ш = ш(£,х) и постоянной в, при которых появляются дополнительные к задаваемым ядром главных алгебр Ли симметрии уравнения (3), найдём непрерывную группу преобразований эквивалентности этого уравнения. Для этого далее считаем, что ш, в — это дополнительные переменные, зависящие от переменных ¿, х, и. Генераторы непрерывной группы преобразований эквивалентности будем искать в виде У = тдг + £дх + пди + ^др + , где функции т,£,ц зависят от Ь,х,и, а функции ^ и V — от Ь,х,и, в,'. Здесь и далее для краткости используется запись д = и т. п. Дополним уравнение (3) уравнениями
fa = 0, вх = о, ви = 0, wu = 0,
(4)
означающими, что в исходной постановке задачи в является константой, а w зависит только от t,x.
Будем рассматривать систему (3), (4) как многообразие N в расширенном пространстве соответствующих переменных. Подействуем на левую часть системы (3), (4) продолженным оператором
Y = Y + Vldut + дих + Vxx8Uxx + Цдet + Цхс%х + цидРи + v udWu,
сузим результат действия на многообразие N и получим уравнения
^ +
ewuXx£ w(1 + вхихх)<£х
+
+
Uxx V
+
^^U^Cu* хх ЦЦ
(1 — exu^)3 2(1 — exu^)3 2(1 — вх^х)2 (1 — exu^)3
+
+г(и,х С + x^X — п)
0,
(5)
n
Л = 0, цх|* = 0, л* = 0, V u|n = 0. По формулам продолжения на N, т. е. с учётом равенств (3), (4),
Dt = dt + wtdw + wttdWt + 1Щхдтх +
Dх дх + wxдw + wtxдwt + ^wxx^wx + . . . ,
D и
ди.
Тогда
= Цt + w^w = 0, Цх|* = Цх + wx:^w = 0, ци|* = Ци = 0,
V U|n = Vu — wtTu — wxCu = 0.
(6) (7)
В силу равенства
^ пхх + 2uxVxu + ux пии + uxxVu utTxx 2utuxTxu 2utxTx utux Tuu
2uxutxTU utuxxTu uxCxx 2ux Cxu 2uxxix ux Cuu 3uxuxxCu
перепишем уравнение (5) в виде
п + ЩЦи — ЩТг — и2ти — ихСг — ЩщСи + —-1-тз ^выи]^ + 2хти2хх^ +
2(1 — вхихх)
+ иххV — вхи2хх V + т(1 + вхихх)(Пхх + 2ихПхи + их2Паи + и^ххПа — ЩТхх (2и1ихтха 2и^хтх — ии тии 2ихиЬхти и1иххта ихСхх 2их Схи 2иххСх их Сии 3ихиххС,и) +
+ Гих С + Гх(Пх + ихПи — Щтх — ЩихГи — ихСх — ^ Си) — Г^К =
, тиххЫ — Пи) , , ,, ч т^хти
= п +----+ (гхих — ги)(п — Пи)--хх-4 —
2(1 — вхихх) 4(1 — вхихх)
2 тихх(гхих — ги)ти . ,
— (гхих — ги) ти--к--ихЫ +
(1 вхи )2 1 (1 — Рхихх)
гШихиххС,и . / \ . 1 /пп 2Л|П 2|
I--2 + (гхих — ги)ихСи I--з [2ртиххС + 2хтихх^ +
2(1 — вхихх) 2(1 — вхихх)
+ иххV — вхи2х^ + и)(1 + вхихх) ("Пхх + 2ихПхи + их^ии + иххПи + 'Шиххтхх . / \ . тихиххтхи , п/ \
I--О + (гхих — ги)тхх I--о + 2(гхих — ги)ихтхи —
2(1 вхи )2 х х (1 вхи )2 х х 2 (1 — Рхихх) (1 — Рхихх)
2 2
тихиххтии / \ 2 п тиххти
— 2и+хтх +-о + (гхих — гu)urУ,таа — 2ихи+х ти +-о +
2 (1 вхи )2 х ' х ии х 1х и 2 (1 )2
2 (1 — вхихх) 2 (1 — вхихх)
+ (гхих ги)иххти ихСхх 2их Схи 2иххСх их Сии 3ихиххС,и) +
+ гихС + гх(Пх + ихПи — их Сх — и2хСи) — гп +
гхтихх (тх I их ти) / ч/ \/л /глч
+--;-„-72--+ гх(гхих — ги)(тх + ихти) = 0. (8)
2 (1 — вхихх)
Продифференцируем последнее уравнение по щх и получим и>(1 + вхихх)(тх +
ихти) = 0, следовательно, т = т(¿) при и> = 0. Поэтому уравнения (7), (8) примут вид
^ — ^хСи = 0, (9)
. тихх(т — Пи) / ч / / ч
П* + -3-\2 + (гхих — ги)(т — Пи) — ихС1 +
2(1 — вхихх)
I--х ххЛи 2 + (гхих — ги)ихСи I--з (2втиххС + 2хчт12ххц, +
2(1 — вхихх) 2(1 — вхихх)
+ UXXV вxuxxv + т(1 + вхихх) (Пхх + 2ихПхи + их Чии + иххПи ихСхх 2их Схи 2иххСх их Сии 3ихиххС>и) + гихС +
+ гх(пх + ихПи — ихСх — ихСи) — гп = 0. Последнее уравнение умножим на 2(1 — вхихх)3, тогда
2(1 — вхихх)3(п + (гхих — ги)т + гипи — гиихСи) + (1 — вхихх)ыихх(т' — Пи)—
— 2(1 — вхихх)3ихСг + (1 — вхихх)тихиххСи + 2вти2ххС + 2хыи2ххУ +
+ UXXV вxUxxV + т(1 + вхихх) (пхх + 2ихпхи + их пии + иххпи ихСхх
2ux ^xu 2uxxCx Ux ^,'U'U 3uxuxx^u) +
+ 2(1 - ßxHxx)3(rUxC + rx(nx - UxCx) - rn) = 0. (10)
Это уравнение при ß = 0 имеет при uUl:x множитель
nt + rXUxT1 - ru(r' - Пи + UxCu) - UxCt + rUxС + rx(nx - Ux^x) - ГТ),
который после расщепления по Ux даёт два уравнения:
nt + rxnx + rwqu - rn - rur' = 0, (11)
rxr' - Ct - rx£x - rv,£u + r£ = 0. (12)
Расщепление по Ux множителя при Uxx в нулевой степени в уравнении (10) приводит к равенствам С = A(t,x)U + B(t,x), n = Ax(t,x)u2 + C(t,x)U + D(t,x) и с учётом (11), (12) — к равенствам
2nt - 2rUr' + 2rwqu + 2rxrqx - 2rn + wqxx = wqxx = 0, (13)
2rxr' - 2rUCu - 2Ct + 2rC - 2rxCx - wCxx + 2wnxu = -wCxx + 2wnxu = 0.
Из последнего равенства следует, что Axx = 0, A(t,x) = Ai(t)x + A0(t), C(t,x) = 2Bx(t, x) + E(t), С = A1(t)xU + A0(t)U + B(t, x), n = A1(t)U2 + 2Bx(t,x)U + E(t)U + D(t,x). Тогда (13) влечёт равенства Bxxx = 0, Dxx = 0, С = A1(t)xU + A0(t)U + B2 (t)x2 + Bi(t)x + Bo(t), n = Ai(t)U2 + B2 (t)xU + 2Bi(t)U + E(t)U + Di(t)x + Do(t).
Теперь из уравнения (12) следует, что Ai(t) = Fe-rt, A0 — константа, B2(t) = Ge-rt, Bi(t) = rr(t) + H, B0(t) = Jert, С = Fe-rtxU+A0U+Ge-rtx2+rr(t)x+Hx+Jert, n = Fe-rtU2 + Ge-rtxU + § (rr (t) + H)u + E(t)U + Di(t)x + D0(t).
В силу равенства (11) Di — константа, D0(t) = Kert, E(t) = 2rr(t) + P, n = Fe-rtu2 + Ge-rtxu + rr (t)u + Pu + Dix + Kert.
Приравняем коэффициент при uxx в (10) к нулю и получим уравнение
wr' + V - 2wСx - 2wUx^ + 2ßxWUxnxu + ßxWU^n-u-u - ßxwUxXxx - 2ßxwu2xСxu = 0.
Подставляя в него найденные выражения для С, n, v и расщепляя по переменной ux, получим F = A0 = 0, С = Ge-rtx2 + rr(t)x+Hx+Jert, n = Ge-rtxu+rr(t)u+Pu + Dix + Kert, v = (4Ge-rtx + 2rr(t) + 2H- r'(t))w. Поэтому уравнение (9) выполняется автоматически.
Аналогичные действия с коэффициентом при u2xx в (10) приводят к уравнению -ßxw(r' - nu) + 2ßwС + 2xwß - ßxv + ßxw(nu - 2Сx) = 0,
которое влечёт равенство ß = ß (2Ge-rtx + H - P - x ert). Поэтому ßw = 0 ив силу уравнений (6) ßt = ßx = 0. Следовательно, G = J = 0, С = rrx + Hx, n = rru + Pu + Dix + Kert, ß = (H - P)ß, v = (2rr - r' + 2H)w. В результате получено следующее утверждение.
Теорема 1. Алгебра Ли инфинитезимальных генераторов групп преобразований эквивалентности для уравнения (3) при ненулевых ß, w порождается операторами
Yi = ertdu, Y2 = xdu, Y3 = xdx + udu + 2wdw, Y4 = xdx + ßdß + 2wdw, Y5 = r(t)dt + rr(t)xdx + rr(t)udu + (2rr(t) - r'(t))wdw.
Замечание 1. Легко проверить, что бесконечномерная часть алгебры Ли из теоремы 1 состоит только из операторов вида У5.
Следствие 1. Ядро главных алгебр Ли уравнения (3) при ненулевых в, ы имеет, базис, состоящий из операторов Х1 = енди, Х2 = хди.
Замечание 2. Теорема 1 и следствие 1 справедливы, в частности, при г = 0. 2. Групповая классификация
Рассмотрим алгебру Ли проекций операторов из теоремы 1 на подпространство переменных Ь, х, в, ы, т. е. алгебру, порождённую операторами
Z1 = вдв, = хдх + 2ыд,ш, Z3 = тдг + гтхдх + (2гт — т')'шд,ш.
Она является прямой суммой подалгебр ^1) и Z3), которые соответствуют различным функциям в и ы и их различным аргументам. Поэтому подалгебры могут быть рассмотрены отдельно. При этом Z1(B — в)1в=в = —В = 0, это не соответствует возможным спецификациям константы в в условиях теоремы 1. Поэтому из дальнейших рассуждений подалгебру ^1) можно исключить.
Подалгебра Z3) не содержит нетривиальных внутренних автоморфизмов, её оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид в1 = {^2), {bZ2 + Z3),b Е К}. Тогда
Z2(W(Ь, х) — т)[ш=№ = хШх — 2W = 0, отсюда W = В(Ь)х2. Далее
(bZ2 + Zз)(W (Ь,х) — т)[ш=щ = т (ЬЩ + (гт (Ь) + b)xWx — (2гт (Ь) — т '(Ь) + 2b)W = 0,
м
о о -
W =-гт-ф хе-,1--> ^
т(Ь) ф V
при произвольных функциях ф = 0, т = 0.
Для каждого из базисных операторов оптимальной системы вычислим проекцию соответствующего генератора группы преобразований эквивалентности на пространство переменных Ь, х, и и получим дополнительную симметрию для найденной выше спецификации. Оператору Z2 соответствует рГ(г,х,и)Уз = хдх + иди, оператору bZ2 + Zз — проекция рг (г,х,и) (ЬУз + У5) = т(Ь)дг + (гт(Ь) + Ь)хдх + (гт(Ь) + ^иди. В итоге получаем следующую теорему.
Теорема 2. При ненулевых в, ы справедливы следующие утверждения. 1. Главная алгебра Ли уравнения
Б(Ь)х2ихх . . ^ .
иг +-—-+ г(хих — и) = 0, В = 0,
2 (1 — вхихх)
имеет базис
v ~'rt'^u, Х2 = xдu, Хз
2. Главная алгебра Ли уравнения
Х1 = е'ди, Х2 = хди, Х3 = хдх + иди
Т '(Ь)е2н+2ьт ф(хв-н-ьт (г))и 2(1 — вхих порождается операторами
иг + —^-—-2-+ г(хих — и) = 0, Т' = 0, ф = 0, Ь Е К,
2(1 — вхихх)
1 г г
чЩдг + V Т7^ +
Замечание 3. Теорема 2 справедлива и при г = 0.
Х1 = енди, Х2 = хди, Хз = Т7фд + bJxдx + ^^ + Ь\иди.
м
3. Инвариантные решения в первом случае
Рассмотрим уравнение
Б(Ь)х2 и
Щ +--2 + г(хих — и) = 0, (14)
2(1 — вхихх)
алгебра Ли Ь3 которого имеет базис
Х1 = енди, Х2 = хди, Х3 = хдх + иди. (15)
Её ненулевые структурные константы есть с^ = 1, с31 = —1, поэтому группы внутренних автоморфизмов имеют вид Е1 : е1 = е1 + а1е3, Е3 : е1 = е1еаз. Используя их, осуществим поиск оптимальной системы одномерных подалгебр данной алгебры Ли Ь3. Инфинитезимальные генераторы искомых базисных векторов для этих
3
подалгебр операторов будут иметь вид X = ^ екХк = (е1, е2, е3).
к=1
1. Пусть е3 = 0, тогда с помощью Е1 получим е1 = 0, поэтому базисный вектор подалгебры имеет вид X = (0, а, 1), а Е К.
2.1. При е3 = 0, е1 = 0, е2 = 0 получим X = (1,1, 0). При этом использованы внутренние автоморфизмы Е3 и ее1 = —е1.
2.2. Остались случаи X = (1,0, 0) и X = (0,1, 0).
Лемма 1. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь3 с базисом (15) имеет вид 01 = [X), X), X + X2), {aX2 + X3),a Е К}.
Используя операторы оптимальной системы, найдём инвариантные подмодели уравнения (14) и по возможности его инвариантные решения. Для подалгебр (X!), {X2), + X2) инвариантами являются Ь и х, и поэтому инвариантных подмоделей нет. Для подалгебры (aX2 + X3 ) инварианты имеют вид Ь, а 1п |х| — и/х, поэтому инвариантное решение ищется в виде и = ах 1п х + х<р(Ь). Подставив его в уравнение (14), получим решение
ах
и = ах 1п х — агЬх---:-—- Б(Ь)вЬ + Ах, а =1/в,
2(1 — ар)2 ]
где знаком интеграла обозначена первообразная, символом А — произвольная константа интегрирования. Используя допускаемую алгебру (15), получим инвариантное относительно соответствующей группы более общее решение
ах
и = ах 1п х — агЬх----— Б(Ь)вЬ + Ах + Вен, а =1/@.
2(1 — ар)2 ]
Замечание 4. Заметим, что спецификация Ш(Ь,х) = а2х2 соответствует моделям Шёнбухера — Уилмотта и Сиркара — Папаниколау и представляет собой частный случай рассмотренной в данном параграфе спецификации. При этом функция Б(Ь) имеет смысл волатильности, которая в данном случае зависит от Ь и может быть (в смысле сохранения групповой структуры уравнения) отрицательной.
4. Инвариантные решения и подмодели во втором случае
Уравнение
Т >(+)е2Н+2ЬТ (г)ф( -Н-ЬТ (Ь))и
щ + ^-Ф( 2-)Щхх + г(хих — и) = 0, Т = 0, ф = 0,Ь Е К, (16)
2(1 — вхихх)
имеет алгебру Ли Ьз с базисом
Х1 = е'гди, Х2 = хди, Хз = дг +(+ ^ хдх + (+ ^ иди. (17)
При Ь = 0 группы внутренних автоморфизмов этой алгебры имеют тот же вид, что и для алгебры (15). Поэтому оптимальная система одномерных подалгебр имеет тот же вид, что и в лемме 1. Для оптимальной системы в1 рассмотрим только существенный случай подалгебры {аХ2 + Хз). Её инвариантами являются хе-'г-ьт(и — ахТ(Ь))е-гг-ьт(г\ Инвариантное решение будем искать в виде и = ахТ(Ь) + ен+ьт{хе-н-ЬТ. Его производные подставляем в (16) и получаем инвариантную подмодель
ф(^''(г) — bzр'(z) + Ьр(г) + аг = 0, г = хе-н-ьт(г).
2(1 - I3z<p"{z))2
При Ь = 0 нетривиальных внутренних автоморфизмов алгебра (17) не имеет, поэтому оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид в1 = {(Х1), {аХ1 + Х2), (аХ1 + сХ2 + Хз),а,с > 0}. Здесь использованы автоморфизмы е1 ^ —е1, е2 ^ —е2.
Нетрудно заметить, что инвариантная подмодель может быть только у третьей подалгебры (сХ1 + аХ2 + Хз). Её инвариантами являются функции хе-н, (и — ахТ(Ь))е-Н — сТ(Ь). Решение будем искать в виде и = ахТ(Ь) + сТ(Ь)е' + е'гр (хе-н). Подставив эту функцию в уравнение (16), получим инвариантную подмодель
ф(г)р''(г) + аг + с = 0, г = хе^т^.
2(1 - ez^"(z)) Список литературы
1. Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. Scholes // J. of Political Economy. - 1973. - Vol. 81. - P. 637-659.
2. Sircar, K. R. General Black-Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies / K. R. Sircar, G. Papanicolaou // Applied Mathematical Finance. - 1998. - Vol. 5. - P. 45-82.
3. Schonbucher, P. The feedback effect of hedging in illiquid markets / P. Schonbucher, P. Wilmott // SIAM J. on Applied Mathematics. - 2000. - Vol. 61. - P. 232-272.
4. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. - М. : Наука, 1978. - 400 с.
5. Gazizov, R. K. Lie symmetry analysis of differential equations in finance / R. K. Gazizov, N. H. Ibragimov // Nonlinear Dynamics. - 1998. - Vol. 17. - P. 387-407.
6. Bordag, L. A. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives / L. A. Bordag, A. Y. Chmakova // Intern. J. of Theoretical and Applied Finance. -2007. - Vol. 10, no. 1. - P. 1-21.
7. Bordag, L. A. Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions/ L. A. Bordag, A. Mikaelyan // J. Letters in Mathematical Physics. - 2011. - Vol. 96, no. 1-3. - P. 191-207.
Поступила в редакцию 26.09.2016 После переработки 03.10.2016
Сведения об авторе
Дышаев Михаил Михайлович, аспирант кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: Mikhail.Dyshaev@gmail.com.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 3. P. 7-14.
GROUP ANALYSIS OF A NONLINEAR GENERALIZATION FOR BLACK — SCHOLES EQUATION
M. M. Dyshaev
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia Mikhail.Dy.shaev@gmail.com
Group classification is obtained for an equations family with a free parameter that contains Black — Scholes equation as a partial case. A five-dimensional group of equivalence transformations is calculated and three-dimensional principal Lie algebras in cases of two free element specifications were found. Optimal subalgebras systems and corresponding invariant solutions or invariant submodels are calculated for every Lie algebra.
Keywords: nonlinear partial differential equation, nonlinear Black — Scholes equation, Sircar — Papanicolaou equation, Schonbucher — Wilmott equation, group analysis, invariant solution, invariant submodel.
References
1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 1973, vol. 81, pp. 637-659.
2. Sircar K.R., Papanicolaou G. General Black-Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies. Applied Mathematical Finance, 1998, vol. 5, pp. 45-82.
3. Schonbucher P., Wilmott P. The feedback effect of hedging in illiquid markets. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2000, vol. 61, pp. 232-272.
4. Ovsyannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. New York, Academic Press, 1982. 416 p.
5. Gazizov R.K., Ibragimov N.H. Lie symmetry analysis of differential equations in finance. Nonlinear Dynamics, 1998, vol. 17, pp. 387-407.
6. Bordag L.A., Chmakova A.Y. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2007, vol. 10, no. 1, pp. 1-21.
7. Bordag L.A., Mikaelyan A. Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions. Journal Letters in Mathematical Physics, 2011, vol. 96, no. 1-3, pp. 191-207.
Accepted article received 26.09.2016 Corrections received 03.10.2016
