ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛИ ГЕАНА - ПУ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ И ХЕДЖИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 1. С. 42-51.

УДК 517.95 Б01: 10.47475/2500-0101-2021-16104

ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛИ ГЕАНА — ПУ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ И ХЕДЖИРОВАНИЯ

Х. В. Ядрихинский1'", В. Е. Федоров2'6

1 Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Якутск, Россия

2 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "[email protected], [email protected]

Рассмотрена одна модель Геана — Пу ценообразования опционов и хеджирования с учётом издержек исполнения и влияния рынка, относящаяся к нелинейным уравнениям типа Блэка — Шоулза. Для двумерных подалгебр пятимерной алгебры Ли исследуемого уравнения найдены инвариантные решения.

Ключевые слова: ценообразование опционов, хеджирование, уравнение типа Блэка — Шоулза, модель Геана — Пу, алгебра Ли, инвариантное 'решение.

Введение

Для учёта факторов, не принимающихся во внимание лежащими в основе модели Блэка — Шоулза [1] предположениями совершенного рынка, но часто существенным образом влияющих на рыночные процессы, в последние годы исследователи предлагают всё более сложные модели ценообразования опционов (см., например, [2; 3]). В данной работе рассматривается уравнение

1

вг = тв + (» - тв)д - »вв + —две - -7а2вг(т-) (в в - д)2 + в2д,

2 2

представляющее собой инвариантную подмодель общей модели Геана — Пу ценообразования опционов и хеджирования с учётом издержек исполнения и влияния рынка [4; 5]

вг = тв + (» - тБ)д - »вв + увзз - -7а2вг(т-г)(вв - д)2 + V(^(в,).

Для пятимерной алгебры Ли уравнения (1) рассматривается оптимальная система двумерных подалгебр, найдены соответствующие инвариантные решения. Данное исследование является продолжением серии работ коллектива авторов [6-9].

1. Инвариантные решения для двумерных подалгебр

Ранее для уравнения (1) найдена его алгебра Ли Ь5 с базисом

XI = ендв, Х2 = д, + Бдв, Хз = ф1(Ь)дв - 2 ^1($)в,8д, +

Л0

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 19-01-00244).

+ ( -{ + ^к +

Х4 = - 2 ^2(s)dsдq+

аг(Ь-Т) г-Ь

Х5 = Ф(*)д5 - 2 [ (Фф - ег^дд+ п0

---2 I (Ф - ег*)ds

+ (- () +(ФМ - + 5 (Ф

7а2

>Ь0

до

где

= /о (2^21а2егТе-гЬ/2^ , <р2(1) = Ко (2У^^О^е-^ ,

Ф(*) = 41а2егТ^(1)1 (p2(t)dt - ~г1а2егТМЪ {

/0, К0 — модифицированные функции Бесселя, Ь = С1 + С2^2^) + КФ^) общее решение уравнения

- 27а2ег(Т-Ь)Ь^) = -2К7а2е Ненулевые структурные константы в Ь5 есть

2 гТ

С1

С34

ге

-гТ

27а

С1 2 С43

ге

-гТ

27а

2 > С25 = -!, С52

им соответствуют внутренние автоморфизмы алгебры Ь5

Е2 : е1 = е1 - 02е5, Е3 : е1 = е1 + 0,3-

ге

-гТ

27а2

е4,

Е4 : е1 = е1 - о4

ге

гТ

27 а

-ез, Е5 : е1 = е1 + 05е2,

где ог — групповой параметр, г = 2, 3,4,5. При их помощи нетрудно получить следующее утверждение.

Лемма 1. Оптимальная система двумерных подалгебр для алгебры Ли Ь5 имеет, вид ©2 = «ХьаХ2+вХз + 5X4 + кХ5>, (Х2,аХ1 + вХз + 5X4), (6X2+Хз,аХ1 + + 27а2г-1егТ6КХ4 + кХ5>, (6X2 + сХз + Х4, аХ1 + вХ2 - 27а2г-1егТ6кХз + КХ5>, (6X2 + сХз + dX4 + X5, aXl + X2 + 5X3 + Л>, 6, с, d, а, в, 5, к € К}.

Рассмотрим подалгебру вида (oX2+6X3+cX4+dX5, +аX2+вX3+5X4+кX5> при условии линейной независимости векторов (о, 6, с, d) и (а, в, 5, к), так как X! не порождает инвариантов, зависящих от 0. Начинаем искать инвариантное решение для подалгебр такого вида.

Коммутатор базисных элементов подалгебры имеет вид

[0X2 + 6X3 + cX4 + dX5, + аX2 + вXз + 5X4 + ^5] =

= ( —ок + 65

ге

гТ

27а2

- св

ге

гТ

27а2

+ dа ) X1.

4

1

Ввиду того, что подалгебры, содержащие вектор Х\, не рассматриваются, получаем

—т

¿а — ак = (ев — Ь5)

те

¿а —гТ те ГТ Ь в

ка = 2^а2 е о

(3)

Положим N = Ь<1 + е<2 + <Ф, М = в<1 + 0<2 + кФ. Тогда базис подалгебры примет вид

+ -

Ы = Nдs + ^а — 2 J ^ — <ега)<^ дд+ ^ег(г-Т) _ , N ег(г-Т) *

7а2

+ ^ — <егг)д + 5

!°2 Ло

У2 = Mдs + (а — 2 1 (М — кега)йв)дя + ( кен —

+ а — 2 ^ — «ега)«в\ д

^Мег(г-Т)

£ + | а — 21 (М — ке )ав)дя +1 ие-----+

го V !°2

М'ег(г-т) гг \\

+ (М — кег)д + 5 ( ——2— + а — 2 (М — кега)<в^ ^ дв.

Имеем

<1 <1 Ф Ф'

4^а2егТ ^<1 J <2«г — ! <1 — <1 ^<2<г — Ж2 ! <1«Ь

= 47а2егТ(<1<2 — <1<2) J <<1<И.

С учётом равенства Ш(х) = — 1/х определителя Вронского для модифицированных функций Бесселя нулевого порядка и аналогичных рассуждений для <2 получается

<1 < '1 т <1 <1

<2 < '2 = 2' Ф Ф'

= — 21а2егТ

'¿о

< 2 < '2 Ф Ф'

— 21а2егТ <2<в. (6)

Л]

Определяем линейную независимость <1, <2, Ф:

<1 < '1 < '1' <1 < '1 <1е-гг <1 < '1 0

<2 < '2 < '2' = 27а2егТ <2 < '2 < 2е-г = 2/уа2егТ <2 < '2 0

Ф Ф' Ф'' Ф Ф' Фе-Н — 1 Ф Ф' — 1

2 гТ

т'уа е .

Обозначим

N а — 2 Ц ^ (в) — <ега)<в М а — 2 // (М(в) — кега)<в

Предположим, что А = 0. Тогда существуют р1, р2, такие, что р2 + р^ = 0, р^ + Р2М = 0 и р1(а — 2 /¿^(в) — <ега)<в) + р2(а — 2 ¿(М(в) — кега)<в) = 0. Ввиду независимости <1, <2 и Ф из p1N + р2М = 0 получаем, что

е \ (в

рН е + р2\ о

¿

к

0 0 0

г

г

г

Следовательно, гр-\_а + р2а = 0 и получено противоречие предположению о независимости базиса.

Рассмотрим матрицу

N N М М'

д с к 5

Ф Ф'

+

ь в

с 5

^2 ^2

д Ь

к в

Ф Ф'

Подстановка в неё равенств (6) даёт

N N'

М М'

ьв

с 5

+ 27а 2егТ

д с к5

+ 27а е

2 гТ

Далее

д а - 2 /;о(N(в) - ^е™)^ к а - 2 /¿(М(в) - кег*)^

С учётом равенств (3) получаем

д а

к а

п0

- 2

д Ь

кв

дв.

¿0

д Ь

кв

- 2 ^2^ •Ао

д с к5

о-гТ

7а2

Следовательно,

а

к а

г Ь в

2 с 5

- 2

д Ь

кв

- 2 ^2^5

д с к5

+ 27а2егТ

д с к5

+ 27а е

2 гТ

¿0

д Ь

кв

' ¿о

й а - 2 //о(N -

гТ е-гТ N N'

7а2 М М'

(7)

к а - 2 //о (М - кег*)^

Размерность пространства переменных равна 4, размерность базиса алгебры равна 2, поэтому нужно найти 2 независмых инварианта. Так как операторы не осуществляют дифференцирования по ¿, то в качестве первого инварианта берём ¿, а второй ищем в виде

/<Сег( 0-Т)

3 = в - + ^--— + п(£)52 + т(*)£д + /(¿)д2 + Д(*)£ + /(¿)д. (8)

7а2

Действуем на него оператором из (4):

0 = N -д +

^е

г( -Т)

2

+ + т(*)д + Д(*) +

7а

+ ^а - 2 у (N - deгs)dsJ (-5 + т(*)£ + 2/(¿)д + /(¿))-^ег(0-Т) . ,, т ^ . N 'ег( 0-Т)

7а2

+ ^ - дег0)д + 5

7а .70о

= N (2гс(*)£ + т(*)д + Д(*)) +

2 + а - 2 (N - deгs)ds 2 0

7 + Д(*)) +

г0 Л 'ег(0-Т)

+ а - 2 (N - deгs)ds (т(*)£ + 2/(¿)д + /(¿)) - дег0д + 5

Л0

Следовательно, получаем следующие уравнения:

NД + ^а - 2 £ ^ - deгs)d^ I = 0,

/Г0 \ N'eг(0-T)

2^ + ^а - 2 J (N - deгs)dsJ т + =

mN + 2/ ^а - 2 £ (N - deгs)d^ - дег0 = 0.

7а

2

;ю)

:и) :12)

0

Аналогично, как в случае с получаем следующие уравнения при помощи оператора у2 (5):

-Л

0,

М А + (а - 2 j (М - кегз)(^ I + кег

Г* \ М'ег(г-Т)

2пМ + т[а - 2 ^ (М - кегз + ——— = 0,

Мт + [а - 2 £(М - кегз)(^ 2/ - кег* = 0.

'13)

;14) '15)

Рассматриваем полученные уравнения как линейные уравнения с матрицей коэффициентов А. Решения (11), (14) для п, т равны

п=

Л' а - 2Ц(М - йегз)(18

ег( *-Т) М' а - 2Ц(М - кегз)(8

2^о2 А

Решения (12), (15) для /, т имеют вид

т=

/

N (

ен М к

2 А

т=е

( а - 2 Ц (Л

к а - 2 [*(М - кегз)(8

N N'

ег( *-Т) М М'

702 А

(егз)(8

16)

А

'17)

Из (7) получаем, что решение т в обоих наборах уравнений совпадает. Решения (10), (13) для А, I равны

А

кен(а - 2 /** (Л - йегз)йв)

г*

А

I = -

НЫе А

'18)

Далее ищем инвариантное решение из равенства 3 = ег*Р(г). Следовательно, из (8) получаем

в = Бд - ^----пБ2 - тБд - /д2 - АБ - ¡д + енР(г).

702

Г19)

Вводим обозначение К = -пБ2 - тБд - /д2 - АБ - ¡д + енР(г). Подставляем

с1 г(£ —Т)

в = Бд - ^ --+ К в уравнение (1) и получаем

К = гК +

^2ег( *-Т) 702

о2 1 / ,.ег( г-Т)\2

- - Ксс - - ^о2ег(Т-)(кКс - ) +(К + Б)2

^о2

Раскрытие скобок и сокращение даёт

,,2ег(*-Т) о2 1

К = Г К + Ц—^- - 0Г Ксс - 2 7о2ег(Т-)К2 + 2БКд + К2д + Б2. Подставим К:

-п'Б2 - т'Бд - /'д2 - А'Б - ¡'д + енР'(г) = -гпБ2 - гтБд - г/д2-

1

-гАБ - г1д +

^2ег( *-Т)

+ о2п - -7о2ег(т-*)(-2пБ - тд - А)2+

2^о2 ' ' ' 2

+2Б(-2/д - тБ - ¡) + (-2/д - тБ - ¡)2 + Б2

г

(20)

раскроем скобки:

-n'S2 - m'Sq - /'q2 - A'S - l'q + e:tP'(t) = -rnS2 - rmSq - r/q2-

/ 2er(:—T) i

-rAS - rlq + ^ „ + a2n - - 7a2e:(T—: )(4n2S2 + 4nSmq + 4nS A+ 27a2 2

+2Amq + m2q2 + A2) - 4S/q - 2mS2 - 2Sl +

+4/2q2 + 4/qmS + m2 S2 + 4/ql + 2mSl + l2 + S2.

Расщепляя по свободным переменным, получаем уравнения

S2 : n' = rn + 2n27a2e:(T-:) + 2m - m2 - 1, Sq : m' = rm + 2nm7a2e:(T-:) +4/ - 4/m,

q2 : /' = r/ + m2 27a2e:(T—:) - 4/2,

S : A' = rA + 2nA7a2e:(T—:) + 2l - 2ml,

q : l' = rl + Am7a2e:(T-:) - 4/l, //2pr( t—T ) -

ertP'(t) = ^ 2 + a2n - -7a2e:(T—4)(A2) + l2. 27a2 2

Проверку этих равенств начинаем с дифференцирования уравнений (10)-(15):

NA' + ^а - 2 £ (N - de:sl' + N'A - 2(N - de:t)l = 0,

M A' + ^a - 2 £ (M - Kers l' + M'A - 2(M - ке:: )l + rhert = 0,

2n'N + m' ^a - 2 £ (N - + 2nN' - 2(N - de:t)m+

N''er(t—t) r N' er(t—T)

+-— +-2— = 0,

7a2 7a2

2n'M + m' ^a - 2 £ (M - + 2nM' - 2m(M - ке::) +

M''er(t—T) rM'er(t—T)

+-2— +-2— = 0,

7a2 7a2

m'N + 2/' ^a - 2 £ (N - + mN' - 4/(N - de:t) - rde:t = 0,

Mm' + ^a - 2 £ (M - 2/' + M'm - 4/(M - ке::) - rKe:t = 0.

Переписываем их как линейные уравнения c матрицей коэффициентов A:

A (A')+a (M) - 2l ((M) - (de::))+r (¿). (21)

A (m) + 2n (Mo - 2m. (M -- £) +^ ((m:) + r (M)) = 0. (22)

A (m)+m (M) - 4/ ((M) - (de::)) - r (de::)=0. ^

С целью исключения функций в выражениях на производные (21)-(23), которые отсутствуют в (20), выделяем из уравнений (10)—(15), (2)

N' М'

-7а е

2„ г(Т-0) А

2п т

дег0 кег0

А

N'' М''

27а2е

2ег(Т-0)

т

2/ &

0

йег0

N М

А

Д

А

(24)

Подстановка в (21)-(23) полученных выражений (24) даёт Д'

А

- Д-'лг(т-0)^ то - 2'А 1--2/1 - гчд

0,

а(2пл - 2п7а2ег(Т-0)А г+ 2тА т' т

-гА (тг) +2А (¿) - 2А (т/

т - 1 2/

0,

А

т' 2/'

т7а е

2„ г(Т-0) А

2п т

- г^ /) + Ч / +4/А

т 2/

0.

Проверяемые уравнения (20) получаются сокращением невырожденной матрицы А.

Рассматриваем уравнение на Р из (20) с подстановкой п, Д, / из (16), (18):

г*

ег0Р '(¿)

^2ег(0-Т) _2 ег(0-Т) 27а2

а

N' а - 2 /00 (N - deгs)ds М' а - 2 //(М - кег*)^

-17а2ег(Т-0)

27а2 -г

Но'

А

2

йег0(а - 2 //°(N - йе™)^) \ /^е

А

г0\ 2

А

Тогда сокращение ег0 и интегрирование даёт

(

2 -гТ

Р « = с + ^ +

-гТ

N' а - 2 Д ^ - де^)^ М' а - 2 /0°°(М - ке^)^

27

А

V

(25)

^ег02 - 17а2егТй2(а - 2/00о(N - де^)2, ^

^ А)2

Из уравнений подстновкой (16)—(18), (25) в (19) получаем

в = 5д -

^ег(0-Т) ег(0-Т) Бп2 г0

1 52 + е

+

д а - 2 /00^ - deгs)ds к а - 2 /0°°(М - кег*

7а2

27а2 А

А

N

ег0 М к

2 А

йег0(а - 2 - ¿О^ Л^ег0

-д + С0ег0 +

5д-

^ег(0-Т)

А А* 27а2

е-гТ Б , ег0й2^ - 17а2егТй2(а - 2 /00о(N - deгs)ds)

27 А

+

^ А)2

/

1

0

2

где

в

Л' а - 2 ¡1 (Л - (егз)(8

М' а - 2 (М - кегз)(8

А =

N а - 2 ¡¡о (Л - (егз)(8

М а - 2 /;о (М - кегз)(8

Подстановкой в него соответствующих векторов и функций получаем инвариантные решения для оптимальной системы подалгебр, полученной в лемме 1.

Алгебра {Х\, аХ2 + вХ3 + 6Х4 + кХ5) не имеет инвариантного решения, так как инвариант не зависит от в.

Алгебра (Х2, аХ\ + вХ3 + 6Х4) имеет инвариантное решение

в = Бд +

аенБ

^Бе

г(*-Т)

(в^1 + 6^2) 102

+ б2 ^ + ^"Т) + С0ен+

2(в<Р1 + 6^2)1о2

^21ег(*-Т) 1п + 6^21ег(*-Т) 1

21о2

21

2 1

а

(в^1 + 6^2)2

(г.

Рассмотрим алгебру (ЬХ2+Х3, аХ1+вХ2+2^о2т 1егТЬкХ4+кХ5). Тогда N = М = 2^о2т-1егТЬкр2 + кФ. Вводим обозначения

А1

N

Ь - 2 £ N¿8

М в - 2 (М - кегз)(8

в1

N'

Ь - 2 £ N¿8

М' в - 2 //о (М - кегз)(8

Тогда инвариантное решение примет вид

в = Бд -

^Бе

г(*-Т)

1о2

+ Сое" +

уЧег( *-Т) 2^о2

+е

г* 2^(Г2 '

Б2В1 + к(Ь - 2 ¡1 щ(8)Бд - 1 ^кд2 - аен(Ь - 2 <р1(8)Б + а^1д

¿0

А1

ег*а2^2 - 11о2егТа2(Ь - 2 // ^ф)2 е^В

а

"А"

21А1

(г.

Для подалгебры (ЬХ2 + сХ3 + Х4,аХ1 + вХ2 - 2уо2т 1егТЬкХ3 + кХ5) имеем N = с^1 + , М = -2^о2т-1етТЬк^1 + кФ. Обозначим

Во

N'

Ь - 2 £ N¿8

М' в - 2 /; (М - кегз)(8

А2

N

Ь - 2 £ N¿8

М в - 2[*(М - кегз)(8

и получим инвариантное решение

в = Бд -

иБег(*-Т) ег(*-Т) в0 М ■ е В2 Б2 + Соег* +

+

1ол

2ю2 А2

¡л21ег( *-Т) 2^о2

+е

г*-к(Ь - 2 // Nd8)Бд - 1 Nкд2 - а(Ь - 2 Nd8)Б + аNд

А2

Ва

2^ А2

ена2N2 - 11о2егТа2(Ь - 2 Г N(8)°

+-2 У А2 (-^-- ) (г,

Рассмотрим алгебру (ЬХ2 + сХ3 + (Х4 + Х5, аХ1 + ^—Кт Х2 + 6Х3 + кХ4). Тогда

N = с^1 + 2 + Ф, М = 6^1 + к^2. Введём обозначение

Аз

N Ь - 2 ^ - егз)(8

М (^ - 2 Ц М(8

Вз

N' Ь - 2 £ ^ - егз)(8 М' Щ-КТ- - 2 Ц М(8,

е

1

+

тогда инвариантное решение имеет вид

-T) + C + ter(t-T) aeri(6 - 2/^ - ers)ds)

^ = --2--+ Coe +---—2-----S +

7a2 27a2 A3

B3S2 - (g-^ - 2 Mds)Sq + q2M/2 + aNq

. ri 27ст2 3 V 27CT2erT Ji-

A

3

ri I / eria2N2 - 17aVTa2(6 - 2 /-(N - ers)ds)2 B3 ,

+e M A2 27A3 1

Список литературы

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81. P. 637-659.

2. Sircar R., Papanicolaou G. Generalized Black — Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies // Applied Mathematical Finance. 1998. Vol. 5, no. 1. P. 45-82.

3. Schonbucher P., Wilmott P. The feedback-effect of hedging in illiquid markets // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2000. Vol. 61. P. 232-272.

4. GueantO., PuJ. Option pricing and hedging with execution costs and market impact [Электронный ресурс]. URL: http://arxiv.org/abs/1311.4342 (дата обращения: 26.01.2021).

5. Gueant O. The Financial Mathematics of Market Liquidity. From Optimal Execution to Market Making. Boca Raton, London, New York : CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016.

6. Дышаев М. М., Федоров В. Е. Симметрийный анализ и точные решения одной нелинейной модели теории финансовых рынков // Мат. заметки Сев.-Вост. федерал. ун-та. 2016. Т. 23, № 1 (89). С. 28-45.

7. Дышаев М. М. О некоторых моделях ценообразования опционов на неликвидных рынках // Челяб. физ.-мат. журн. 2017. Т. 2, вып. 1. C. 18-29.

8. FedorovV. E., DyshaevM. M. Invariant solutions for nonlinear models in illiquid markets // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2018. Vol. 41, iss. 18. P. 89638972.

9. FedorovV. E., DyshaevM. M. Group classification for a class -linear models of the RAPM type // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. Vol. 92. 10 p.

Поступила в 'редакцию 15.02.2021.

После переработки 01.03.2021.

Сведения об авторах

Ядрихинский Христофор Васильевич, аспирант, Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Якутск, Россия; e-mail: [email protected]. Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 1. P. 42-51.

DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16104

INVARIANT SOLUTIONS OF THE GUEANT — PU MODEL OF OPTIONS PRICING AND HEDGING

Kh.V. Yadrikhinskiy1a, V.E. Fedorov2b

1 North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov, Yakutsk, Russia

2 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected], [email protected]

A model of the options pricing and hedging methodology, taking into account the execution costs and market influence, related to nonlinear Black — Scholes equations, is considered. Invariant solutions are found for two-dimensional subalgebras of the five-dimensional Lie algebra of the equation under study.

Keywords: options pricing, hedging, Black — Scholes type equation, Gueant — Pu model, Lie algebra, invariant solution.

References

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 1973, vol. 81, pp. 637-659.

2. Sircar R., Papanicolaou G. Generalized Black — Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies. Applied Mathematical Finance, 1998, vol. 5, no. 1, pp. 45-82.

3. Schonbucher P., Wilmott P. The feedback-effect of hedging in illiquid markets. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2000, vol. 61, pp. 232-272.

4. Gueant O., Pu J. Option pricing and hedging with execution costs and market impact. Available at: http://arxiv.org/abs/1311.4342, accessed 26.01.2021.

5. Gueant O. The Financial Mathematics of Market Liquidity. From Optimal Execution to Market Making. Boca Raton, London, New York : CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016.

6. DyshaevM.M., FedorovV.E. Symmetry analysis and exact solutions of a nonlinear model of the financial markets theory. Mathematical Notes of NEFU, 2016, vol. 23, no. 1, pp. 28-45.

7. DyshaevM.M. On some options pricing models on illiquid markets. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2017, vol. 2, iss. 1, pp. 18-29.

8. FedorovV.E., DyshaevM.M. Invariant solutions for nonlinear models in illiquid markets. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2018, vol. 41, iss. 18, pp. 89638972.

9. FedorovV.E., DyshaevM.M. Group classification for a class -linear models of the RAPM type. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2021, vol. 92. 10 p.

Accepted article received 15.02.2021. Corrections received 01.03.2021.

The work is supported by the Russian Foundation for Basic Research (project 19-01-00244).