CC BY
113
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 4- С. 379-394.
УДК 51-77+336.76 Б01: 10.24411/2500-0101-2018-13401
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПРИ ЦЕНООБРАЗОВАНИИ МАРЖИРУЕМЫХ ОПЦИОНОВ НА МОСКОВСКОЙ БИРЖЕ
М. М. Дышаев", В. Е. Федоров6, А. С. Авиловичс, Д. А. Плетнев^
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "[email protected], [email protected], с[email protected], Л[email protected]
Рассматриваются некоторые модели ценообразования маржируемых опционов с эффектами обратной связи, возникающими из-за недостаточной ликвидности рынка или действий крупного трейдера. Приведены аналитические и полученные численные решения для стоимости опциона (премии). Разработан и продемонстрирован метод, позволяющий сравнить фактические данные по торгам с результатами численных экспериментов рассматриваемых моделей.
Ключевые слова: маржируемый опцион, ценообразование опционов, нелинейная модель типа Блэка — Шоулза, неликвидный рынок.
Введение
Традиционной моделью в теории ценообразования производных инструментов является модель Блэка — Шоулса [1; 2], описываемая обратным уравнением теплопроводности с переменными коэффициентами. Для построения этой модели сделаны следующие предположения.
1. Краткосрочные процентные ставки известны и постоянны.
2. Цена базового актива (акций) соответствует процессу случайного блуждания в непрерывном времени с дисперсией, пропорциональной квадрату цены базового актива. Таким образом, распределение возможных цен акции в конце любого ограниченного интервала является логнормальным.
3. Дивиденды или другие выплаты по акциям отсутствуют.
4. Рассматривается опцион европейского типа.
5. Отсутствуют издержки на операции с акциями или опционами.
6. Есть возможность взять в кредит любую сумму для покупки любой дробной части акции.
7. Отсутствует плата за заём ценных бумаг для продажи («короткая» продажа). Получено уравнение для стоимости опциона (премии) С
С = гС - гБСз - 1 а2Б2с^,
где Ь — время до погашения опциона, Б — цена базового актива, а — волатильность (среднеквадратичное отклонение цен базового актива за год), г — процентная ставка. Блэк и Шоулз [1] получили формулу для справедливой стоимости колл-опциона
европейского типа с платежной функцией /у = ($г — К)+ (здесь К — цена исполнения опциона, а д+ = тах(д, 0)) в виде Сг = $0Ф(у+) — Ке-гГФ(у_), где
ln S + Tlr ± ^
У±
а
VT
Здесь Ф(х) — функция стандартного нормального распределения.
Существующий рынок производных финансовых инструментов сильно отличается от модели, предложенной Блэком и Шоулзом. Для определения цены опционного контракта с учётом наличия транзакционных издержек, переменной вола-тильности или влияния крупных трейдеров к настоящему времени разработаны и используются различные модели ценообразования опционов, усоверешенствующие модель Блэка — Шоулза.
Например, модель с учётом транзакционных издержек (transaction-cost models) получена в работе [3]:
wt + 2 a2x2wxx(1 + 2pxwxx) = 0,
где t — время, x — цена акции, w — цена опциона, а — волатильность акции, р — транзакционные издержки.
Другим типом моделей являются модели с редуцированной формой стохастического дифференциального уравнения (reduced-form SDE models)
2 2
а x ^^Uxx _ , ч
wt +-= 0, (1)
2(1 — bxwxx)
рассмотренные в работах [4-7]. Здесь b — параметр ликвидности.
Как показано в работах [5; 8; 9], модель стоимости хеджирующей стратегии на неликвидном рынке с учётом влияния операций крупных трейдеров может быть представлена в виде
2 2
а x wxx
wt +---2 = 0. (2)
2(1 — px\(x)w xx)
В данном случае р является параметром, определяющим влияние операций крупных трейдеров, а A(x) выбирается таким образом, чтобы получить необходимую форму выплаты. Значения р и A(x) могут быть определены, исходя из наблюдаемых на рынке цен опционов.
Еще одной моделью ценообразования опционов является так называемая модель равновесия (equilibrium model) или модель с функцией реакции (reaction-function model). Примеры использования данной модели приведены в работах [9; 10]. Соответствующее модели равновесия уравнение [11]
2 2
а x wxx
wt +--"-Г2 = 0
2 i1 — р SS xw=)
описывает ценообразование опционов на неликвидном рынке с учётом влияния размеров открытых позиций трейдеров. В этом случае х — цена базового актива, а — волатильность цены базового актива, р > 0 — показатель, характеризующий величину позиции трейдера относительно общего объёма торгуемого базового актива. В рассматриваемой модели в работах [8; 11-13] функция реакции представляет собой
некоторую функцию ф = рФг), где Ft — фундаментальная цена акции, рФ4 — нормализованный объём спроса крупных трейдеров. В работе [12] она принимает вид ф(/, а) = /еа, в работах [8; 13] взята в виде ф(/, а) = //(1 — а). При выводе уравнения (2) в [11] предполагается, что ф(/,а) = /д(а) при некоторой возрастающей функции g = д(а).
Вышеуказаные модели исследуются различными методами: численные методы, методы теории временных рядов, теории нейронных сетей и т. д. В случае нелинейных дифференциальных уравнений одними из самых эффективных методов, позволяющих осуществлять поиск точных решений, являются методы группового анализа. Первые исследования методами группового анализа линейного уравнения Блэка — Шоулза были проведены в работе Н. Х. Ибрагимова и Р. К. Газизова [14]. Помимо линейного уравнения, в последние годы методами симметрийного анализа нередко исследуются различные нелинейные модификации уравнения Блэка — Шоулза. Например, уравнение (1) таким образом подробно исследовано в работах L. A. Bordag с соавторами [11; 15; 16].
Существует несколько моделей ценообразования опционов на неликвидном рынке. В основном для учёта недостаточной ликвидности в моделях предусматривается наличие двух различных групп трейдеров: крупный трейдер и большое число малых трейдеров, представляющих собой остальной рынок. Моделирование влияния операций крупных трейдеров на цены как раз и позволяет оценивать отличие моделей этого класса от классической линейной модели Блэка — Шоулза.
Крупным трейдером на практике может являться какой-либо институциональный инвестор, например, банк, инвестиционная компания или хэдж-фонд. Также крупным трейдером может быть стихийно сложившаяся группа малых трейдеров, которые одновременно покупают или продают значительные объёмы активов, поскольку ориентируются на одну и ту же торговую стратегию.
Опираясь на теорию страхования портфелей, R. Frey и A. Stremme [8] представили модель, включающую в себя «реферальных», эталонных трейдеров, которые в основном инвестируют в активы, ожидая их подъёма, и «программных» трейдеров, которые торгуют для страхования своих портфелей опционов, следуя стратегиям динамического хеджирования, основанным на модели Блэка — Шоулза.
В модели P. Schönbucher и P. Wilmott [17] также существует два типа участников рынка: крупный трейдер и большое число мелких трейдеров. Крупный трейдер в модели придерживается торговой стратегии /(S,t), которая может быть любой торговой стратегией, не обязательно хеджирующей портфель опционов. /(S, t) — это количество базового актива, которое крупный трейдер хочет держать в портфеле в каждый момент времени, т. е. его спрос. Уравнение модели Шёнбухера — Уилмотта записывается, как
где x(S, W,t) — избыточный спрос реферальных трейдеров, W — процесс поступления информации на рынок, r — безрисковая процентная ставка, t — время, S — цена базового актива, P — стоимость опциона.
В работе R. Sircar и G. Papanicolaou [13] на основе предположений о спросе малых трейдеров получено семейство нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с обратной связью, которые в случае отсутствия программных трейдеров (р ^ 0+) сводятся к классическому уравнению Блэка —
(3)
Шоулза:
1Г V(1 - f,c,)U-(V(1 - рс,)) I2a2x2Cxx + _ с)=0. (4
с,+2
V(1 _ pC,)U'(V(1 _ рС,)) _ рхС,
Авторы [13] ограничились рассмотрением линейной функции U(z) = @z, в > 0, в
этом случае уравнение имеет вид
2
J2J2
с+2
1 _ рС,
a2x2Cxx + r(xCx _ С) = 0,
1 _ рС, _ рхС,
и провели численное исследование модели в моменты, близкие ко времени экспирации опционов.
Замечание 1. Если сделать замены рС = u, V'/V = v в уравнении (4) и использовать формулу производной обратной функции, то его можно записать в более компактном виде
и, + Тл—a х U,\—N9 + r(xu, _ u) = 0. (5)
(1 _ xv(u,)u,x)2
Замечание 2. Уравнение (3) также сводится к уравнению (5), подробней см. [17; 18]. Данной модели соответствует случай v = в/u,.
Остановимся немного подробней на численных методах. В работе [19] построены явная и неявная конечно-разностные схемы для нахождения численного решения линейного уравнения Блэка — Шоулза.
В нескольких статьях получены конечно-разностные схемы для различных типов нелинейных уравнений Блэка — Шоулза [20-26]. В работах [27] и [28] исследовались вопросы сходимости полученных численных решений нелинейного уравнения типа Блэка — Шоулза.
Помимо общего случая, когда r = 0, особый интерес представляет случай с r = 0. Эта ситуация соответствует маржируемым опционам на фьючерсы («futures-style options»), когда покупатель опциона не перечисляет премию продавцу сразу в момент покупки, а происходит постепенный, ежедневный, «размазанный» по времени переход премии от покупателя к продавцу в рамках (опять-таки ежедневного) перечисления вариационной маржи. В этом случае нет необходимости в дисконтировании уплачиваемой премии и поэтому r = 0. Поскольку большинство опционов, которые торгуются на организованном (биржевом) рынке, являются именно маржируемыми, данный случай имеет большую практическую значимость. Спецификации маржируемых опционов и их сравнение с обычными приведены на сайте Московской Биржи [29]
Данная работа посвящена сравнению результатов моделирования цен маржи-руемых колл-опционов с фактическими данными по торгам на Московской Бирже. Для этого во втором разделе будут представлены результаты расчётов для цены опциона при логарифмической и степенной функциях спроса. Методика обработки фактических данных представлена в третьем разделе. Четвёртый раздел посвящен непосредственно анализу полученных результатов.
1. Точные решения нелинейных моделей
Согласно групповой классификации уравнения
a х u,, — ✓ „ \
u, + ---2 = 0, (6)
2 (1 _ xv(u,)u,x)
полученной в работе [30]1, наиболее широкие группы симметрий имеются при следующих спецификациях свободного элемента у(пх) (см. [30, Теорема 3.1]):
{0, если не учитывается спрос (модель Блэка — Шоулза); в, если функция спроса логарифмическая: и (г) = 11п г + А; в/их, если функция спроса степенная: и (г) = Аг1/13.
Далее будем говорить о логарифмической и степенной функции реферального спроса и обозначать соответствующие модели как «ЬСИ,-модель» и «РШИ,-модель» соответственно. Модель Блэка — Шоулза далее будет обозначаться как «ВБМ-модель».
В случае V = в (ЬСИ,-модель) найдены многопараметрические семейства точных решений
/ш(Ь, х) = Ах + В;
— о _ а2 I о± _ 2¡За2
/, \ а^Х -в 2а ± V 4а2 а , , , _ „
/ши,х) =--1--—к-х 1п |х| + Вх + С,
р -в2Р
а4 -во2
а = о, а = о, -а? — -°аг - 0;
Ь Ьо21х
■ю(г,х) = -х 1п |х| — ———--- + Ах + В, Ь =1/в.
р -р(1 — вЬ)2
В случае V = в/их (PWR-модель) найденные семейства точных решений имеют вид
-ш(г,х) = Ах + В, А = —-;
р
Ь)(г,х) = А 1п |х| + + В — ±х, А = 0, в = —1;
-(1 + в )2 р
_ ст2С(С-1)4 гу
■ш(г,х) = Ае хс + В — -х, АС = 0.
р
К сожалению, инвариантные решения уравнения (6) не пригодны для непосредственного поиска решения краевой задачи для колл-опциона, поскольку в её финальном условии присутствует кусочно-линейная функция, имеющая точку недифференцируемости, а полученные решения бесконечно дифференцируемы на своей области определения. Кроме того, проблемы при выборе решения доставляет и условие его строго линейного роста на бесконечности.
2. Численное решение
Для получения численных решений уравнения (6) была произведена замена ¿' = Т — ¿, тем самым в задаче было обращено время, и далее рассматривалась уже начально-краевая задача для уравнения (после возврата к прежним обозначениям)
и о х Чхх _0 (7)
* -(1 — V (их) хПхх)2 .
ХВ работах [31-34] проведены исследования методами группового анализа некоторых обобщений уравнения (6).
Для произведения вычислений область определения по переменной х была ограничена справа, после чего условия на границах приняли следующий вид:
и(0,г) = 0, г е [0,1], и(1,г) = 1 - К, г е [0,1], и(х, 0) = тах(х — К, 0), х е [0,1].
Здесь К — страйк-цена, т. е. цена исполнения опциона.
Для получения разностной схемы использовался двуслойный неявно-явный шаблон с весами (см. [35, с. 370-372; 36, с. 193; 37]) и следующие разностные представления функции и(х,г) и её производных:
и = ви^1 + (1 — в) иЙ щ = «" ~и2 ,
«т + 1_ „т + 1 «т т
их = в «"+1 + (1 — в) «2 ,
«т + 1_2«т + 1+«т + 1 - Ч «т -2«т +«т
ихх = в «"+1 " +«"-1 + (1 — в) «"+1 2«2 +«2-1 .
Подставив в уравнение (7) соответствующие разностные представления (8), получим разностное уравнение
1 (ит+1 _ ит) _
Т \ап ап ) /„ч
— а-итПЦхх)т)2 Р «++11 — 2<+1 + ий1) + (1 — в) «+1 — 2ит + <-0] = 0, (9)
где уй = 0, или уй = в, или уй = , вт = т т в зависимости от модели спроса
п п п («х)п «2+1-«2
(ББМ-модель, ЬОИ,-модель или РШИ,-модель соответственно).
Ниже приведены условия на границах для разностного уравнения цены маржи-руемого колл-опциона (9):
1. Левое граничное условие:
иЙ = 0, т =1, 2,..., М.
2. Правое граничное условие:
иЙ-1 = 1 — К, т =1, 2,... , М; 0 < К < 1.
3. Начальное условие по времени:
ип = тах{(п + 1)й — К, 0}, п = 0,1,..., N — 1.
Отметим, что количество временных слоёв зависит от выбора т: М = М(т). Использовались два способа определения т. Первый предусматривал фиксированный шаг по времени, задаваемый исследователем. Второй способ, основанный на принципе замороженных коэффициентов [38, §26, с. 240-243] и условии Неймана [38, §25, с. 221-223] или [36, §4.7, с. 79-80], заключается в том, чтобы варьировать величину т от слоя к слою.
Вычисление приближённых значений и(х, г) осуществлялось методом прогонки. Весовой коэффициент численной схемы принимался как в = 0.9, количество узлов по оси х задавалось как N = 120, страйк-цена (цена исполнения опциона) К = 0.4.
3. Метод сопоставления модельных и фактических данных
Для сопоставления фактических данных по торгам маржируемыми опционами на Московской Бирже с полученными приближёнными значениями цены опционов u(x,t) был разработан следующий метод.
Выбирается некоторая торгуемая на бирже серия опционов (опционы на один базовый актив, с одной датой экспирации, но разными страйками), по которой в течение дня были совершены сделки. Следовательно, для расчётов фиксируется t — время в долях года до погашения, а также цена базового актива x на конец торгового дня, единые для всех опционов серии.
Для сравнения с ценами опционов, полученных при моделировании, обозначим фактические цены «закрытия» (цена в последней за день сделке) для каждого страйка через Cf. Через Ci обозначим приведённые цены «закрытия», определяемые по формуле: Ci = KCf /Si. Аналогично находим приведённую цену базового актива для каждого страйка: xi = Kx/Si. Здесь K = 0.4 соответствует заданным параметрам при численном решении уравнения (7), а Si — величина i-го страйка из опционной серии. Таким образом были получены приведённые данные, которые в последующем сравнены с данными, полученными при численных расчётах с соответствующими параметрами.
Другой величиной, необходимой для сопоставления полученных численными методами данных с фактическими, является волатильность а. В модели Блэка — Шоулза она считается постоянной и равной среднеквадратичному отклонению цен базового актива за год. Учёт неликвидности рынка или действий крупного трейдера вносит в значение волатильности поправку, которая представляет собой знаменатель в дроби в уравнении (7).
Также необходимо отметить в фактических данных наличие эффекта «улыбки» волатильности — volatility smile (или, что то же самое, «ухмылки» волатильности — volatility skew). Он появляется из-за предположений трейдеров о различной будущей волатильности («подразумеваемой волатильности», «implied volatility») для разных страйков и разных направлений изменения цены базового актива.
На рис. 1 приведен пример «улыбки» волатильности для серии маржируемых опционов на фьючерсный контракт на Индекс РТС. По горизонтальной оси на рис. 1 отложены значения цен базового актива для исполнения опционов (страйки) по выбранной серии, а по вертикальной — расчитанные биржей значения подразумеваемой волатильности. Как видно на графике, зависимость подразумеваемой волатильности от страйк-цены имеет форму выпуклой функции, а не прямой линии, как в модели Блэка — Шоулза.
Однако в исследуемых моделях предполагается задание постоянной части во-латильности а значением из модели Блэка — Шоулза. Обозначим его как авв. Для сопоставления модельных и фактически данных было принято решение определить авв как средневзвешенную на объём торгов волатильность по всей серии опционов:
S
volilVi
_ i=l а bs = —s-,
Y^voli
i=l
где IVi — подразумеваемая волатильность («implied volatility») i-го страйка, voli — количество контрактов по заключённым сделкам с опционами i-го страйка, S — количество страйков в серии.
^15-9.18
15 100000
125000
150000 Цена базового актива
Рис. 1. «Улыбка» волатильности по опционам на фьючерс на Индекс РТС
Таким образом, получив фактические значения волатильности, времени до экспирации и набора приведённой стоимости опционов при различных приведённых ценах базового актива, можно провести сравнение с моделируемыми данными для маржируемых опционов.
4. Результаты сопоставления фактических данных по торгам и результатов численного эксперимента
Как наиболее ликвидные инструменты, исследовались колл-опционы на фьючерсный контракт на Индекс РТС и на фьючерсный контракт на курс доллар США — российский рубль. Использовались данные по состоянию на конец торгового дня 27 июля 2018 г. Для расчётов были выбраны серии, чья экспирация приходится на 20 сентября 2018 г. Таким образом, время до погашения составило Ь = 0.14246.
Цена «закрытия» базового актива х составила 115600 пунктов для фьючерсного контракта на Индекс РТС и 63052 рубля для фьючерсного контракта на курс доллар США — российский рубль. Средневзвешенная волатильность для маржи-руемых опционов составила авя = 0.21305 и авя = 0.15301 на фьючерс на Индекс РТС и на фьючерс на курс доллар США — российский рубль соответственно.
Приведены графики сравнения фактических данных и результатов численного эксперимента. Как видно на рис. 2, цены опционов на фьючерс на Индекс РТС вполне соответствуют ценам из модели Блэка — Шоулза. Видно, что фактические данные почти полностью лежат на кривой для ББМ-модели, полученной в численном эксперименте. Аналогичная картина наблюдается (рис. 3) и для колл-опционов на фьючерс на курс доллар США — российский рубль. Таким образом, цены на наиболее ликвидные инструменты действительно хорошо описываются линейной моделью Блэка — Шоулза, не учитывающей влияние эффектов недостаточной ликвидности.
т о
аз т О
X
=г 1= о с; с; О з;
го
X
О)
=Г
Г\1
о
о о
_ _ - - - - ♦ МИТ5-9.18 -в-ВБМ _ _ - - — - - - - г ■
-a-L.GR
■- /♦ ! -ж-
0.27
0.31
0.35
0.39 0.43
Цена базового актива
Рис. 2. Сравнение фактических данных по опционам на фьючерс на Индекс РТС с численными
результатами
го о
оз
X
о з: =Г с
0
1
с;
о ^
03 X Ф
=Г
гм о
о о
♦ 1х|Ш50-9.18 -в-ВБМ Г
-4-I.GR /♦/
—» ♦ ш ♦-№-*-А >—* * *Т— / ♦ /
0.27
0.31
0.35
0.39 0.43
Цена базового актива
Рис. 3. Сравнение фактических данных по опционам на фьючерс на курс доллар США — российский рубль с численными результатами
Для анализа эффектов, возникающих из-за недостаточной ликвидности, исследовались колл-опционы на фьючерс на обыкновенные акции ПАО Сбербанк. Необходимо отметить, что имеется некоторая сложность в поиске инструментов для анализа условно неликвидных активов, поскольку даже для некоторых вполне ликвидных базовых активов в течение торгового дня проходит только одна-две сделки по всем страйкам серии. Очевидно, что этих сделок недостаточно для построения кривых, позволяющих оценить характер ценообразования.
го о
2 гм
о S
X О
=г
1= о
с; с;
0
а:
ш Й
1 О
О) о
о
0.27
0.31
0.35
0.39 0.43
Цена базового актива
Рис. 4. Сравнение фактических данных по опционам на фьючерс на обыкновенные акции ПАО Сбербанк с численными результатами
100
80
пз
00
тс
пз §
О) пз со О)
пз
60
40
20
о
♦ futRTS-9 18 ж
а futUSD-S .18 > Ж Ж Ж жж ж к
» futSBER- 9.18 ж Ж Ж ж ж ж ж х ж жж ж*
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ *
▲ аамк4 ¿ААААААААА* А Л
0.8
0.9
1.1
1.2
1.3
1.4
Нормированные страйки
Рис. 5. «Улыбки» волатильности для нескольких инструментов по нормированным страйкам
В работе использовались данные по состоянию на конец торгового дня 10 августа 2018 г. Для расчётов была выбрана серия, экспирация по которой приходится на 19 сентября 2018 г. Таким образом, время до погашения составило t = 0.10685, цена «закрытия» x = 18763 рубля, средневзвешенная волатильность составила ans = 0.52829.
Приведён график сравнения фактических данных и результатов численного эксперимента. На рис. 4 заметно, что цены опционов на фьючерс на обыкновенные ак-
ции ПАО Сбербанк находятся ниже, чем соответствующие цены из модели Блэка — Шоулза. Видно, что фактические данные лежат ближе к кривым LGR-модели и PWR-модели. И хотя полного совпадения с результатами моделирования не наблюдается, схожее поведение фактических данных и данных численного эксперимента позволяет предположить, что предсказанные авторами моделей [13; 17] эффекты, возникающие из-за недостаточной ликвидности, наблюдаются на практике.
«Улыбки» волатильности для разных инструментов по нормированным страй-кам приведены на рис. 5.
Заключение
Разработан метод сравнения результатов численного моделирования ценообразования опционов на основе математических моделей с фактическими данными торгов на бирже. Проведённые на основе этого метода сравнения показывают, что для достаточно ликвидных инструментов ценообразование опционов хорошо согласуется с классической линейной моделью Блэка — Шоулза. В то же время по инструментам с условно недостаточной ликвидностью, процесс ценообразования опционов скорее согласован с LGR- и PWR- моделями, чем с BSM-моделью.
Список литературы
1. Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. Scholes // Journal of Political Economy. - 1973. - Vol. 81. - P. 637-659.
2. Black, F. The pricing of Commodity Contracts / F. Black // Journal of Financial Economics. - 1976. - Vol. 3. - P. 167-179.
3. CCetin, U. Liquidity risk and arbitrage pricing theory / U. Cetin, R. Jarrow, P. Protter // Finance and Stochastic. - 2004. - Vol. 8. - P. 311-341.
4. Frey, R. Market illiquidity as a source of model risk in dynamic hedging / R. Frey. -Model Risk / ed. R. Gibson. - London : Risk Publications, 2000. - P. 125-136.
5. Frey, R. Risk management for derivatives in illiquid markets: a simulation study / R. Frey, P. Patie. - Advances in Finance and Stochastics / eds. K. Sandmann, P. Schonbucher. - Berlin : Springer, 2002.
6. JandaCka, M. On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanation of the volatility smile / M.Jandacka, D.Sevcovic // Journal of Applied Mathematics. - 2005. - Vol. 3. - P. 253-258.
7. Liu, H. Option pricing with an illiquid underlying asset market / H.Liu, J.Yong // Journal of Economic Dynamics and Control. - 2005. - Vol. 29, no. 12. - P. 2125-2156.
8. Frey, R. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging / R. Frey, A. Stremme // Mathematical Finance. - 1997. - Vol. 7, no. 4. - P. 351-374.
9. Frey, R. Perfect option replication for a large trader / R. Frey // Finance and Stochastics. - 1998. - Vol. 2. - P. 115-148.
10. Jarrow, R. A. Derivative securities markets, market manipulation and option pricing theory / R. A. Jarrow // Journal of Financial and Quantitative Analysis. - 1994. -Vol. 29. - P. 241-261.
11. Bordag, L. A. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions / L. A. Bordag, R. Frey. - Chapter 3 in Nonlinear Models in Mathematical Finance: Research Trends in Option Pricing / ed. M.Ehrhardt. - Nova Science Publ., 2008. - P. 83-109.
12. Platen, E. On feedback effects from hedging derivatives / E. Platen, M. Schweizer // Mathematical Finance. - 1998. - Vol. 8. - P. 67-84.
13. Sircar, R. Generalized Black — Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies / R. Sircar, G. Papanicolaou // Applied Mathematical Finance. — 1998. — Vol. 5, no. 1. — P. 45-82.
14. Gazizov, R. K. Lie symmetry analysis of differential equations in finance / R. K. Gazizov, N. H. Ibragimov // Nonlinear Dynamics. — 1998. — Vol. 17. — P. 387-407.
15. Bordag, L. A. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives / L.A.Bordag, A.Y. Chmakova // International Journal of Theoretical and Applied Finance. — 2007. — Vol. 10, no. 1. — P. 1-21.
16. Bordag, L. A. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model / L. A. Bordag. — Mathematical Control Theory and Finance / eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M.Guerra, M. R. Grossinho. — Springer, 2008. — P. 71-94.
17. Schönbucher, P. The feedback-effect of hedging in illiquid markets / P. Schönbucher, P. Wilmott // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 61. — P. 232-272.
18. Дышаев, М. М. О некоторых моделях ценообразования опционов на неликвидных рынках / М. М. Дышаев // Челяб. физ.-мат. журн. — 2017. — Т. 2, вып. 1. — С. 18-29.
19. Brennan, M. Finite difference methods and jump processes arising in the pricing of contingent claims: a synthesis / M. Brennan, E. Schwartz // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1978. — Vol. 13, iss. 3. — P. 461-474.
20. Döring, B. High order compact finite difference schemes for a nonlinear Black — Scholes equation / B.Döring, M.Fournie, A.Jungel // International Journal of Theoretical and Applied Finance. — 2003. — Vol. 6, no. 7. — P. 767-789.
21. Ankudinova, J. On the numerical solution of nonlinear Black — Scholes equations / J. Ankudinova, M. Ehrhardt // Computers & Mathematics with Applications. — 2008. — Vol. 56, no. 3. — P. 799-812.
22. Numerical solution of linear and nonlinear Black — Scholes option pricing equations / R. Company, E. Navarro, J. R. Pintos, E. Ponsoda // Computers & Mathematics with Applications. — 2008. — Vol. 56, no. 3. — P. 813-821.
23. Numerical analysis and simulation of option pricing problems modeling illiquid markets / R. Company, L. Jodar, E. Ponsoda, C. Ballester // Computers & Mathematics with Applications. — 2010. — Vol. 59, no. 8. — P. 2964-2975.
24. Heider, P. Numerical methods for non-linear Black — Scholes equations / P. Heider // Applied Mathematical Finance. — 2010. — Vol. 17, no. 1. — P. 59-81.
25. Arenas, A. J. A nonstandard finite difference scheme for a nonlinear Black — Scholes equation / A. J. Arenas, G. Gonzalez-Parra, B. M. Caraballo // Mathematical and Computer Modelling. — 2013. — Vol. 57, no. 7. — P. 1663-1670.
26. Guo, J. On the numerical solution of nonlinear option pricing equation in illiquid markets / J. Guo, W. Wang // Computers & Mathematics with Applications. — 2015. — Vol. 69, no. 2. — P. 117-133.
27. Pooley, D. M. Numerical convergence properties of option pricing PDEs with uncertain volatility / D.M.Pooley, P.Forsyth, K.R.Vetzal // IMA Journal of Numerical Analysis. — 2003. — Vol. 23, no. 2. — P. 241-267.
28. Duöring, B. Convergence of a high-order compact finite difference scheme for a nonlinear Black — Scholes equation / B.Döring, M.Fournie, A.Jöngel // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 2004. — Vol. 38, no. 2. — P. 359-369.
29. Московская Биржа [Электронный ресурс]. URL: https://www.moex.com/s204 (дата обращения: 04.09.2017).
30. Федоров, В. Е. Симметрии и точные решения одного нелинейного уравнения ценообразования опционов / В. Е. Федоров, М. М. Дышаев // Уфим. мат. журн. — 2017. — Т. 9, № 1. — С. 29-41.
31. Дышаев, М. М. Симметрийный анализ и точные решения одной нелинейной модели теории финансовых рынков / М.М.Дышаев, В.Е.Федоров // Мат. заметки Сев.-Вост. федер. ун-та. — 2016. — Т. 23, № 1 (89). — С. 28-45.
32. Дышаев, М. М. Групповой анализ одного нелинейного обобщения уравнения Бл-эка — Шоулза / М.М. Дышаев // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 3. — С. 7-14.
33. Fedorov, V. E. Group classification for a general nonlinear model of option pricing / V. E. Fedorov, M. M.Dyshaev // Ural Mathematical Journal — 2016. — Vol. 2, no. 2. — P. 37-44.
34. Fedorov, V. E. Invariant solutions for nonlinear models of illiquid markets / V.E.Fedorov, M. M.Dyshaev // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2018. — doi: 10.1002/mma.4772
35. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — М. : Гл. редакция физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1978. — 512 с.
36. Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач: пер. с англ. / Р. Рихтмайер, К. Мортон. — М. : Мир, 1972. — 420 с.
37. Geske, R. Valuation by approximation: a comparison of alternative option valuation techniques / R. Geske, K. Shastri // The Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 1985. — Vol. 20, no. 1. — P. 45-71.
38. Годунов, C. К. Разностные схемы (введение в теорию) / С.К.Годунов, В. С. Рябенький. — М. : Гл. редакция физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1977. — 440 с.
Поступила в 'редакцию 20.06.2018 После переработки 14.08.2018
Сведения об авторах
Дышаев Михаил Михайлович, младший научный сотрудник кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Авилович Анна Сергеевна, ассистент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected]. Плетнёв Дмитрий Александрович, кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры экономики отраслей и рынков, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 4. P. 379-394.
DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13401
SIMULATION OF FEEDBACK EFFECTS
FOR FUTURES-STYLE OPTIONS PRICING ON MOSCOW EXCHANGE
M.M. Dyshaeva, V.E. Fedorov6, A.S. Avilovichc, D.A. Pletnevd
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Some models of the pricing of futures-style options with feedback effects that arise due to insufficient market liquidity or due to the actions of a large trader are considered. Analytical and numerical solutions for the option price are presented. A method was developed and demonstrated that makes it possible to compare actual data on transactions with the results of numerical experiments of the models in question.
Keywords: futures-style option, options pricing, nonlinear Black — Scholes type model, illiquid
market.
References
1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 1973, vol. 81, pp. 637-659.
2. Black F. The pricing of Commodity Contracts. Journal of Financial Economics, 1976, vol. 3, pp. 167-179.
3. Çetin U., Jarrow R., Protter P. Liquidity risk and arbitrage pricing theory. Finance and Stochastic, 2004, vol. 8, pp. 311-341.
4. Frey R. Market illiquidity as a source of model risk in dynamic hedging. Model Risk, ed. R. Gibson. London, Risk Publications, 2000. Pp. 125-136.
5. Frey R., Patie P. Risk management for derivatives in illiquid markets: a simulation study. Advances in Finance and Stochastics, eds. K. Sandmann, P. Schonbucher. Berlin, Springer, 2002.
6. JandaCka M., SevCoviC D. On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanation of the volatility smile. Journal of Applied Mathematics, 2005, vol. 3, pp. 253-258.
7. Liu H., Yong J. Option pricing with an illiquid underlying asset market. Journal of Economic Dynamics and Control, 2005, vol. 29, no. 12, pp. 2125-2156.
8. Frey R., Stremme A. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging. Mathematical Finance, 1997, vol. 7, no. 4, pp. 351-374.
9. Frey R. Perfect option replication for a large trader. Finance and Stochastics, 1998, vol. 2, pp. 115-148.
10. Jarrow R.A. Derivative securities markets, market manipulation and option pricing theory. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1994, vol. 29, pp. 241-261.
11. Bordag L.A., Frey R. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions. Chapter 3 in Nonlinear Models in Mathematical Finance: Research Trends in Option Pricing, ed. M. Ehrhardt. Nova Science Publ., 2008. Pp. 83-109.
12. Platen E., Schweizer M. On feedback effects from hedging derivatives. Mathematical Finance, 1998, vol. 8, pp. 67-84.
13. Sircar R., Papanicolaou G. Generalized Black — Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies. Applied Mathematical Finance, 1998, vol. 5, no. 1, pp. 45-82.
14. Gazizov R.K., Ibragimov N.H. Lie symmetry analysis of differential equations in finance. Nonlinear Dynamics, 1998, vol. 17, pp. 387-407.
15. Bordag L.A., Chmakova A.Y. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2007, vol. 10, no. 1, pp. 1-21.
16. Bordag L.A. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model. Mathematical Control Theory and Finance, eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, M.R. Grossinho. Springer, 2008. Pp. 71-94.
17. Schonbucher P., Wilmott P. The feedback-effect of hedging in illiquid markets. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2000, vol. 61, pp. 232-272.
18. Dyshaev M.M. O nekotorykh modelyakh tsenoobrazovaniya optsionov na nelikvidnykh rynkakh [On some models of options pricing on illiquid markets]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2017, vol. 2, iss. 1, pp. 18-29. (In Russ.).
19. Brennan M., Schwartz E. Finite difference methods and jump processes arising in the pricing of contingent claims: a synthesis. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1978, vol. 13, iss. 3, pp. 461-474.
20. DUring B. Fournie M., JUngel A. High order compact finite difference schemes for a nonlinear Black — Scholes equation. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2003, vol. 6, no. 7, pp. 767-789.
21. Ankudinova J., Ehrhardt M. On the numerical solution of nonlinear Black — Scholes equations. Computers & Mathematics with Applications, 2008, vol. 56, no. 3, pp. 799-812.
22. Company R., Navarro E., Pintos J.R., Ponsoda E. Numerical solution of linear and nonlinear Black — Scholes option pricing equations. Computers & Mathematics with Applications, 2008, vol. 56, no. 3, pp. 813-821.
23. Company R., Jodar L., Ponsoda E., Ballester C. Numerical analysis and simulation of option pricing problems modeling illiquid markets. Computers & Mathematics with Applications, 2010, vol. 59, no. 8, pp. 2964-2975.
24. Heider P. Numerical methods for non-linear Black — Scholes equations. Applied Mathematical Finance, 2010, vol. 17, no. 1, pp. 59-81.
25. Arenas A., González-Parra J.G., Caraballo B.M. A nonstandard finite difference scheme for a nonlinear Black — Scholes equation. Mathematical and Computer Modelling, 2013, vol. 57, no. 7, pp. 1663-1670.
26. Guo J., Wang W. On the numerical solution of nonlinear option pricing equation in illiquid markets. Computers & Mathematics with Applications, 2015, vol. 69, no. 2, pp. 117-133.
27. Pooley D.M., Forsyth P., Vetzal K.R. Numerical convergence properties of option pricing PDEs with uncertain volatility. IMA Journal of Numerical Analysis, 2003, vol. 23, no. 2, pp. 241-267.
28. During B. Fournie M., Jüngel A. Convergence of a high-order compact finite difference scheme for a nonlinear Black — Scholes equation. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2004, vol. 38, no. 2, pp. 359-369.
29. Moskovskaya Birzha [Moscow Exchage]. Available at https://www.moex.com/s204, accessed 04.09.2017. (In Russ.).
30. Dyshaev M.M., Fedorov V.E. Symmetries and exact solutions of a nonlinear pricing options equation. Ufa Mathematical Journal, 2017, vol. 9, no. 1, pp. 29-40.
31. Dyshaev M.M., Fedorov V.E. Simmetriynyy analiz i tochnye resheniya odnoy nelineynoy modeli teorii finansovykh rynkov [Symmetry analysis and exact solutions of a nonlinear model of the financial markets theory]. Matematicheskiye zametki Severo-Vostochnogo federal'nogo universiteta [Mathematical Notes of North-Eastern Federal University], 2016, vol. 23, no. 1 (89), pp. 28-45. (In Russ.).
32. Dyshaev M.M. Gruppovoy analiz odnogo nelineynogo obobshcheniya uravneniya Bleka — Shoulza [Group analysis of a nonlinear generalization of the Black — Scholes equiation]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2016, vol. 1, iss. 3, pp. 7-14. (In Russ.).
33. Fedorov V.E., Dyshaev M.M. Group classification for a general nonlinear model of option pricing. Ural Mathematical Journal, 2016, vol. 2, no. 2, pp. 37-44.
34. Fedorov V.E., Dyshaev M.M. Invariant solutions for nonlinear models of illiquid markets. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2018, doi: 10.1002/mma.4772.
35. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 512 p. (In Russ.).
36. Richtmyer R., Morton K. Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd ed. New York, John Wiley and Sons, 1967. 420 p.
37. Geske R., Shastri K. Valuation by approximation: a comparison of alternative option valuation techniques. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1985, vol. 20, no. 1, pp. 45-71.
38. Godunov S.K., Ryaben'kii V.S. Raznostnye skhemy (vvedeniye v teoriyu) [Difference schemes (introduction to theory)]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 440 p. (In Russ.).
Accepted article received 20.06.2018 Corrections received 14.08.2018
