CC BY
6УДК 514.13
А.П. Филимонова, Т.А. Юрьева
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ КАК МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НА СФЕРЕ
В статье приводится доказательство теоремы, обобщающей теоремы единственности решения квазилинейных уравнений на сфере как двумерном многообразии в пространствах постоянной кривизны, связанных с восстановлением поверхностей, гомеоморфных сфере, с заданной функцией средней кривизны.
Ключевые слова: положительно эллиптичное квазилинейное уравнение, кривизна поверхности, двумерное многообразие, квадратичная форма.
LINEARIZATION METHOD PROOF FOR THE UNIQUENESS OF THE SOLUTION FOR SOME CLASSES OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS ON SPHERE
The article provides the proof of the theorem which generalizes the uniqueness of quasi-linear equations solutions on the sphere as a two-dimensional manifold in spaces of constant curvature, related to the restoration of surfaces, homeo-morphic to a sphere with a predetermined function of the mean curvature.
Key words: positive quasilinear elliptic equations, the curvature of the surface, two-dimensional manifold, quadratic form.
Пусть дана сфера S1 единичного радиуса. Рассмотрим ее как двумерное многообразие и введем локальные географические координаты u, v. На этой сфере рассмотрим квазилинейное относительно функции p(u, v) дифференциальное уравнение вида
f(P)d(l V ) • (pip f Р 2 р, + PVP 22 2) + ф(р> (PiiPi(u ,V ) + Р2^Р 2(U,V )) + (1)
+D (u у , р, р u, Pv) = y((u ,v, p) Di u V , P,P u, Pv), где (u ,v) e S12, pe R +, pj (i, j e{1, 2}) - вторые ковариантные производные функции p(u, v) относительно метрики единичной сферы S12.
Наложим условия на входящие в (1) функции: f (p)> 0, d(u v ) > 0, p(p )> 0, p1(u ,v) > 0, p2(u ,v) > 0 .
Уравнение (1) является положительно эллиптичным на решении p=p(u, v). В самом деле, рассматривая квадратичную форму AЕ, 2- 2В^ц + С^2,
где A = f (p)d(u v ) • p, + P p ф 1 (u,v); B = f (p)d (u v )p,p v; С = f(p)d (u v )p|+ Ф p ф 2(u,v), имеем дискриминант
AC - B = f (p)d(u v ) •p ф p ф 2(u,v) + p(p)p1(u,v) f (p)d(u v )p 2+ P ф 2(u,v)) +
+p 2p ф 1(u ,v )p2(u ,v) > 0 и А>0 в силу наложенных условий на функции в уравнении (1).
Введем функции ©(р )=
ф(р)
и га = {
d р
\f (Р) (р)
Теорема. Уравнение (1) имеет на не более одного решения р=р(и, V) при условиях:
1) f е С2, ре С2, D С 2, D1 е С1, уе С1,
" Ю - уДп'
2) [ш^ф1(ы,v) + ш2 ф2(и ,v )]• ©' р +
©Ф
< 0.
Здесь D = D (и ,v , ю, ю исс v), D1 = D1 U V , ю, ю исс v).
Доказательство В (1) произведем замену переменной: ю =|
d р ©(Р)
ВыРазим рп, Р12, Р22, Ри , Pv :
р и= ю © Р ), Р v= ю © Р Р11 = ю1 © Р + ю © Р(©)Р( ), Р12 = ю1 2© Р + ю ю ©v р' © *>( ),
Р22 = «2© Р + ю ©2 Р'©)р ( )•
Из (1) и полученной замены следует, что функция удовлетворяет положительно эллиптиче-
скому уравнению:
ю„(ю2d(и v ) + ф(и,v)) - 2> ( ( vd(и v ) + Ш22(«2d(и v ) + Ф2(и v)) +
+© ' Р с Ф2 1(u ,v) + «2 Ф2 (u v )]
D(и ,v , ю, юисс v)
= V(u ,v, р)
Dи v ,ю,«исс v)
(2)
©(Р )р Р) ©(Р )р Р)
где р = р(ю(и ,v)).
Предположим, что (2) имеет два различных решения: со и к , а 5 = ю - га - их разность. Тогда
< и= 5 + ю и , Ю v= 5 + ю V , Ю 1 = 5 11 + ^ Ю 1 = 5 12 + <12 , Ю 22 = 522 + Ю22 .
Используя эти соотношения, можно показать, что 5 удовлетворяет уравнению:
5„(ю„ d (и v ) + ф (и ,v)) - 2 с® Юи vd (и v ) + 522(ю„ d (и v ) + Ф2(и ,v)) + Ф1 (и ,v )5 и+
+Ф 2 (и ,v )5 v+
D - Щ D - yD1
= 0.
(3)
©(о )р Р~) ©(р )р Р ) Здесь О = О (и V , р,со < ~ ), Д = Ю1 и V , Р,< << ~ „), У = У(u,v, р), р = р( со).
Применим теорему о конечных приращениях к функциям, стоящим в квадратных скобках уравнения (3). Получим:
M®2 d (и v ) + ф(и ,v)) - 2 сю Юи vd (и v ) + S22(«2 d (и v ) + Ф2(и ,v)) + Фl(u,v )5 и+
+Ф2(и,v)5v+ J [®2Ф1 (и,v) + юу2Ф2(и ,v)] • ©р •) ©"р +
D - yD1
©Ф
©( р)^ 5 = 0.
(4)
Здесь знак А обозначает, что соответствующая функция вычисляется в промежуточной точке.
Из условий теоремы: ©(р )=
Ф(Р) Ч (Р)
> 0, [сСф 1 (иv) + ®2 Ф2 (иv)] • ©' р +
D - уД
©Ф
<0.
Поэтому (4) является однородным положительно эллиптичным уравнением относительно 5, в (4) знак при 5 неположителен. В силу принципа максимума [2], рассмотренного для уравнения (4) на
сфере ^12, имеем: 5=0. Поэтому р - р =<—< = 0, следовательно, р = р. Теорема доказана.
к/ р
Доказанная теорема является обобщением теорем единственности решения квазилинейных уравнений на сфере как двумерном многообразии в пространствах постоянной кривизны, связанных с восстановлением поверхностей, гомеоморфных сфере, с заданной функцией средней кривизны.
Следствие 1. Пусть в евклидовом пространстве E3 p=p(u, v) задает гомеоморфную S^ поверхность F. Пусть задана функция H (u v , Р )е S12 х R+ . Тогда существует не более одной поверхности F, средняя кривизна которой в каждой точке совпадает со значением функции Н в этой точке, если выполняются условия: 1) H е С1, 2) (Hр)р > 0 .
Задача сводится к нахождению достаточных условий единственности решения положительно эллиптичного квазилинейного уравнения [1]:
2 2-2 2 2 Р + Р sin М^ рр Р + Р „7.7 ?
--Р !2 — + Р22 ^--Р 2 sin2 u - р - Р 2 2 sin2 u =
Р Р Р
3/
ти/: ч (Р2 sin2 u + р;;+ р 2 sin2 u)/2 2
= 2H u V , Р)—u-v-. Атлас на S1 выбран так, что локальные географиче-
sin u
ские координаты u, v каждой карты удовлетворяют условию sin u > х > 0, а р11 = рuu, р12 = рuv -cos u
--Рv , Р22 = + sin u COs UРu .
sin u
Здесь f (р)= — > 0, d(u V ) = 1, ф(р )= Р > 0, ^(u ,v) = sin2 u > 0, ф(и, v) = 1, Р
ч If (р) „ , ч ~ $ D (u V , сс - V (u ,v, р) D, u v , сс ) %
©(р )= = р >0, ©'р = 1, © ( р) = 0, у ' ' ' & —V , ^ * , , & v)
V ф(р ) ( ©(р )ф Р)
(, - 2 2 • 2 „22 „ 2 • 2 ч (ю2р2 sin2 u + ю2р 2+ р 2 sin2 uy2 |(-3о р sin2 u - 3) р -2 р 2 2 sin2u - -2H u V ,Р)^^-
sin up у 1
= -2(ю2 sin2 и + ю2+ sin2 и)/2--(HрУ < 0, так как (Hр)Р > 0 .
sin и
Результат совпадает с результатом работы [2].
Следствие 2. S^ - двумерное многообразие в пространстве Лобачевского H3 (эллиптическом пространстве Э3); р=р(м, v) задает гомеоморфную S12 поверхность F. Пусть задана функция H U V , Р )е S12 х R + . Тогда существует не более одной поверхности F, средняя кривизна которой в каждой точке совпадает со значением функции в этой точке, если выполняются условия: H е С1, 2) (Hthp)'p > 0 (для пространства H3) и: 1) H е С1, 2) (Htgp)'p > 0 (для пространства Э3).
Рассмотрим только случай пространства H3 (для Э3 все рассуждения аналогичны). В случае пространства H3 задача сводится к нахождению достаточных условий единственности решения положительно эллиптичного квазилинейного уравнения, полученного в работе [3]: p11(cthp • р + shp •chp)- (2 p рр и vcthp + p22(cthp • p + shp •chp cos2 v) -
3
, 2 2 2 w ,2 „ , ч ~ 2 , 2 , ~ТТ(Р 2+ Р 2 cos2 v + sh2р -cos2 v)/2 „
-(р ;+ р 2cos2v)(ch р + 2скр)~ 2cos2v -sh 2р -^р = 2HVFu 1 v---—, cosv > 0,
u v cosv
sin v
Р11 = Рщ, - sin vcos VРv , Р12 = Рuv +-Рu , Р22 = Ргг .
cos v
Здесь f (р)= с^р > 0, ф рр = sh р ch р> 0, ©(р )= = shр > 0, d(u v ) = 1, ©'р = h,
\Ф(Р)
©'Р = 'h,
D (а 2sh2p + к>2sh2pcos2v)(ch2p + 2сЛр)ь 2cos2vsh2p -скр
©Ф
-2а - а 2 ео82 V - 2оо8 2 V.
sh 2р -скр
= -2а 2 cкр - га;; cos2 vchр -
и V
[ю^ф > ,V) + а2 Ф2 (и .V)]- © 'р +
р ©ф
а + а 2 cos2 V] sкр - [о + а 2 cos2 V] sкр = 0.
г _ /
р
_ ¥©ф. р
- 2Н( а2sk2 р+ а2sк2 рсоБ2 V + sк2 реоБ2 V) sк2 р рсоъ V
-2Н
/ 2 2 2 2 sкр аа+ а ,, cos V + cos V
^р ) cosV
< 0 при условии (Н^р)' > 0 .
Единственность решения показана. Теорема единственности в [3] не доказана. Для эллиптического пространства результат получается аналогичным способом, условия единственности (Htgр)'g > 0, Н е С1. В работах по дифференциальной геометрии не рассматривался.
1. Бакельман, И.Я., Кантор, Б.Е. Существование гомеоморфной сферы поверхности в евклидовом пространстве с заданной средней кривизной // Геометрия и топология: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. А.И. Герцена. - Л., 1974. - Вып. 1. - С. 3-10.
2. Кантор, Б.Е. О единственности гомеоморфной сферы гиперповерхности с данной функцией средней кривизны в евклидовом пространстве // Геометрия: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. А.И. Герцена. - Л., 1975. -С. 59-61.
3. Трайнин, Я. Л. Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского. - Новосибирск, 1974. - 285 с.
