Априорные оценки решения некоторого дифференциального уравнения типа Монжа - Ампера в метрике на сфере как двумерном многообразии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.13

Т.А. Юрьева, А.П. Филимонова

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА В МЕТРИКЕ С ) НА СФЕРЕ Sf КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ

В статье рассматривается процедура построения априорных оценок вторых производных решения нелинейного дифференциального уравнения Монжа -Ампера.

Ключевые слова: гиперболическое пространство, уравнение Монжа - Ампера, отрицательная эллиптичность, бельтрамиевы координаты.

PRIORI ESTIMATES OF THE SOLUTION OF A CERTAIN DIFFERENTIAL EQUATION OF THE MONGE - AMPER TYPE IN A METRIC C2(S?) IN THE SPHERE Sf OF TWO-DIMENSIONAL MANIFOLD

The article discusses the procedure for constructing a priori estimates of the second derivatives of the solution of the nonlinear Monge - Ampere differential equation.

Key words: hyperbolic space, Monge - Ampere equation, negative ellipticity, bel-tramia coordinates.

К задачам дифференциальной геометрии относится, в частности, задача восстановления поверхностей того или иного типа в пространствах постоянной кривизны по заданным геометрическим характеристикам (гауссова кривизна, средняя кривизна, сумма главных радиусов кривизны и др.).

Будем рассматривать трехмерное пространство Лобачевского Н3 постоянной отрицательной кривизны (гиперболического пространства Н3). Фиксируем в нем некоторую точку О. Через Sf обозначим сферу единичного радиуса с центром в точке О . Sf - двумерное многообразие, атлас на Sf выбран так, что локальные координаты и, v каждой карты подчиняются неравенству: cos V > а > 0 .

Далее будем рассматривать класс регулярных выпуклых гомеоморфных S? поверхностей звездных относительно выбранной точки О (центра ¿Sf). Каждую поверхность из этого класса можно явно задать в сферических координатах функцией р - р{и, v). Обозначим произвольную поверхность этого класса через F . Итак, F: р = р(и, v).

Если в Н3 \ {О} определена некоторая функция Kmt (и, v, р) = Ki р), то функция р - р{и, v), задающая поверхность F, в каждой точке которой внутренняя (гауссова) кривизна равна значению функции Kmt в той же точке, является решением следующего уравнения на ¿Sf :

РпР22 ~ Рп ~ Pni^cthp • p2v + shp • chp) + 2pnpupvcthp - p22{lcthp • p2 + shp • chpcos2 v) -

, 9 2 А? ч 2 ~ 2 ~ 2 2 т2 2 ^ ч (O^ + cos2 v + stf P ' cos2 v)2

-(p2 cos2 v + +2p2u+ 2p2 cos2 v + sh2p cos2 v = = К,(и9у,р)-и Hv И }

cosv cos2v

где p12, p22 - вторые ковариантные производные функции p = p(u,v) относительно метрики

единичной сферы S2 [1].

Геометрическая задача о восстановлении поверхности F: р- р{и, v) в пространстве Н3, гауссова кривизна которой в каждой точке равна значению функции Kmt{u,v,p) в той же точке, сводится к нахождению достаточных условий существования и единственности решения обозначенного выше уравнения.

Исследуемое уравнение является отрицательно эллиптичным уравнением типа Монжа - Ампера при условии: Kmt > -1 (Kext > 0, Kext - внешняя кривизна).

Получение априорных оценок исследуемого нами уравнения в метрике С2 {S2) предполагает:

а) наличие оценок в метрике C°(Sf), т.е. оценок самого решения p(u,v) уравнения;

б) наличие оценок в метрике Cl(S2), т.е. оценок первых производных решения p = p(u,v) уравнения;

в) наличие оценок вторых производных решения р - р{и, v) данного уравнения на S2.

При этом нужно выявить условия, которым должна подчиняться функция Kmt(u,v,p).

Имеем следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть S2 и S^ - две концентрические сферы (с центром О) в Н3, причем рх < р2 {рх и р2 - радиусы сфер). Пусть функция Kmt{u,v,p) определена на SxxR+ и подчиняется условиям: 1) Kmt > -1 (условие эллиптичности уравнения); 2) Kmt = —\—ь h(u,v,p), где h > 0 внутри сфе-

shp

ры S2 и h < 0 вне сферы S2^ . Тогда любое решение р - р{и, v) исследуемого уравнения задает поверхность F, которая расположена между сферами S2 и S^ .

Это означает, что решение исследуемого уравнения p(u,v) имеет априорные оценки в метри-ке С0 (S?): pi<p(u,v)<p2 [2].

Лемма 2. Пусть Kmt(u,v,p) удовлетворяет условиям леммы 1, а р - р(и, v) е С2(S2) - решение исследуемого уравнения. Тогда первые производные функции р - p(u,v) ограничены некоторой

is//2 0 sh2 0

постоянной, зависящей только от чисел рх и р2: \pu(u,v)\<--, \pv(u,v)\<-- [4].

thpx thpx

Теперь перейдем к процессу установления априорных оценок вторых производных решения р = p(u,v) рассматриваемого уравнения.

Схема их получения в общем аналогична той, которая использовалась для получения оценок первых производных решения уравнения [градиент].

В работе [5] указан процесс получения априорных оценок вторых производных решения уравнения: rt-s2 = ф(х,y,z,p,q) (r = zxx,t = zyy,s = zxy,p = zx,q = zy) в предположении выпуклости функции <fi(x,y,z,p,q) попеременным р и q в плоскости этих переменных и любом z.

На самом деле здесь оценки можно получить, если предполагать выпуклость функции (j)(x,y,z,p,q) попеременным р и q в области, заданной априорными оценками решения в метрике

С1. Данный факт и позволяет воспользоваться результатом при доказательстве существования оценок вторых производных исследуемого уравнения.

Имеет место следующее утверждение.

Пусть функция Kmt(u,v,p) принадлежит классу С2(S2 х R+) и удовлетворяет условиям леммы 1. Тогда всякое решение р - р{и, v) е С4 (S2) исследуемого нами уравнения ограничено в метрике C2(S2) постоянной, зависящей от р19 р2 и свойств функции Kmt.

Рассмотрим доказательство данного утверждения.

Пусть M0(u0,v0,p(u0,v0)) - некоторая фиксированная точка поверхности F, заданной решением p = p(u,v) исследуемого уравнения.

x = thl sinv,

Рассуждения будем вести в карте у атласа сферы S2, где у~х : <у = Ш cos v sin г/, cos v > a > 0 .

z = thlcosucosv,

Пусть D:

r cos v0 - sin v0 sin u0 - sin v0 cos u0 Л

0 cos uQ — sin Uq

v-sinv0 -cosv0sinw0 -cosv0 cosw0y

- движение пространства H3.

Обозначим через со - область на сфере S2, а через со = D(a>). Соответствующие им при гомеоморфизме р области на F и D{F) = F обозначим соответственно через Q и Q.

Пусть QcF является такой окрестностью точки М0, что со и со - D(co) принадлежат области определения выбранной карты у сферы S2. Это возможно, так как точка D(u0,v0) = (я-,0) принадлежит карте у .

Покажем сначала, что ограниченность вторых производных функции р - р{и, v) в некоторой

области следует из ограниченности вторых производных функции p(u,v), задающей поверхность

F = D{F) в соответствующей при движении D области.

Движение D переводит точку M{u,v,p{u,v))<E F в точку M(w,v,/}(w,v)) <е F .

Из формул, с помощью которых определены у~х и движение D, следует, что г/ = г/(г/, v) ?

v = у {и, V), причем обе эти функции аналитические.

Покажем, что первые и вторые частные производные функций й(w,v) и v(w,v) по и и v

ограничены в некоторой окрестности точки (w0,v0).

- dv - dv

Из равенств cos v--= sin v0 cos v sm(w - u0), cos v--= cos v0 cos v + sin v0 sin v cos(w - u0),

du dv

- du . - . - dv , ч - du . - . - dv . . , ч г.п

cosvcosw---sinvsinw--= cosvcos(u-u0), cosvcosu---sinvsinw--= -smvsm(w-w0) [4] сле-

du du dv dv

dv dv du du

дует ограниченность производных —, —, —, — в некоторой достаточно малой окрестности точ-

du dv du dv

ки (u0,v0), так как v в такой окрестности достаточно близок v0 = v(u0,v0) = 0, а угол й в ней же достаточно близок й0 = u(u0,v0) = п .

Напомним, что v - угол между ОМ и проекцией ОМ на плоскость (zOy), й - угол между проекцией ОМ на плоскость (zOy) и осью (Oz).

Дифференцируя приведенные выше равенства еще раз по и и v , имеем:

- d2v . -eos V--г— sin V ■

du2

= sin v0 eos v sin(w - u0) ,

- d2v . - dv dv

eos v---sinv----= - sin v0 sin v sm(w -u0),

dudv dv du

- d2v . -

COSV----SinV'

dv2

Гdv^

Kdv

= - eos v0 sin v + sin v0 eos v cos(w - u0),

- д2 и . - - dv du - . -

cosvcosw----smvcosw----cosvsmw

du du du

Г du^

KduJ

. - . - d2v -sinvsinw---

du2

r dv*

-COSVSinM'

\duJ

. - - dv du

- sin v eos и---= - eos v sm(w - u0),

du du

- d2u . - - dv du - . - du du . - . - d2v

cosveos и---sin veos г/----cosvsmw----sin v sin w---

dudv dv du du dv dvdu

- . - dv du . - - du dv

- eos v sin и----sinv eos и---- - sin v eos(u - u0),

dv du dv du

cosveosu-

- d2u

dv2

--sin veos w-

- dv du

dv dv

--sin г/cosv

Г du^

Kdv ;

- d2v -sinvsinw---■

av2

-cosvsmw

fdv^

Kdvj

. - - dv du

- sin v eos и---= - eos v sm(w - u0).

dv dv

Из этих равенств и ограниченности первых производных функций u(u,v), v(u,v) в достаточ-

но малой окрестности точки (и0,у0) следует ограниченность

той же окрестности точки (и0,у0). Отсюда и из соотношений

d2v d2v d2v d2u d2u d2u

du dudv dv du dudv dv

Puu Puu

fдиЛ

ydU;

_ du dv _ d2u _ du du

du

fdv^ \duj

_ d2v

+ Pv

du2

_ _ du du _ dudv _ d2u _ dudv _ dv dv _ d2v

Puv ~ PüS Z Z ^ Puv ~Z Z ^ Pü - - ^ Рш - "Z ^ Pvv - "Z ^ Pv - - • du dv du dv dvdu dv du dv du dudv

Av = Pm

/du^

Kdv J

dvdu _ d2и _

+ 2P«v——+P«^T+Pv, dv dv dv

f dv^

\dvy

_ (fv dv2

+ p_ —— следует ограниченность вторых про-

изводных функции p{u,v) в некоторой достаточно малой окрестности точки (w0,v0), которую обозначим через сох, при условии ограниченности первых и вторых производных функции p(u,v) в соответствующей окрестности со\.

Обозначим через со2=сохглсо. На плоскости (хОу) возьмем круг Кх с центром в точке О и

радиусом гх таким, чтобы цилиндр вырезал из F = D(F) область fi3 с D(C12). Область fi3 содержит точку М0(л",0,р(л",0)) и однозначно проектируется на плоскость (хОу) и, следовательно, в круге Кх может быть задана явным уравнением в бельтрамиевых координатах: z = z(x, у). Напомним, что, как и в работе [4], мы использовали модель Кэли - Клейна пространства Н3.

Покажем, что ограниченность первых и вторых производных функции z = z(x, у) внутри круга Кх влечет за собой ограниченность вторых производных функции р = p(ü,v) в некоторой подобласти соз .

Дифференцируя равенства [4]:

р- (cos V cos и - zx • sin v - z^ cos v sin и) = shpchp eos v{zx sin и + zy eos и),

/}-(cosvcosw-zx -smv-zycosvsmu) = shpchp{smvcosu +zxcosv-zysinvsmu) еще раз по й и V , будем иметь:

р-и-(cos V cos и - zx • sin v - z cos v sin и) + p- [- cos v sin и - zxx p- sin2 v • —

chp

-zxysmv

ch p

= p- COSvsinw + thpQOSVQOSU

-Zyy eos V sin w-

p- eos v sin и+ thp eos v eos и

ch2 p

- z eos v eos u] = {sh2 p + ch2 p) •

1

-p- eos v(sin и + z eos ú) + sh pch p eos v[cos и + z eos и sin v--p- +

ch p

eos и

' 1 "

—p- eos v sm u + thp eos v eos и ch p

-zv sin u\

p-- (eos v eos и - zx • sin v - z eos v sin и) + p- [- sin v eos и - zxx sin v •

1 - . - - -—p- sin v + thp eos v

ch p

-zv cosv-

j

/

-zi;

p- eos v sin uúnv + thp sin2 v sin u-thp eos2 v sin и

ch2 p

-z cosvsmw-

' i - -. - 7- . -. -Л —-= p- eos v sm u-thp sin v sin и ch p

+ z sin v sin и = {sh2 p + ch2 p) •

•p- cosv(sinw + z eos u) - shpchpsmv{smu + z eos u) + shpchp eos v[z eos и

1

ch p

=p- sinv + thpcosv

+ zyy eos и

1

ch p

=p- eos v sin u-thp sin v sin и

p— (eos v eos и - zx • sin v - z eos v sin u) + p- [- eos v eos и - zx

1 - . - -—p- sin v + thp eos v

ch p

sinv-

J

ch p

=cosvsinwsinv + ¿/z/}sin v sin г/-й/} eos vsinи

r

•z — z cosv —z

yy x J yy

1 - -.---.-=p- cosvsmu-thpsmvsmu

ch2 p

eos v sin и + z sin v sin u] =

= {sh2 p + ch2 p) • p- (sin v eos и + zx eos v - z sin v sin u) + sh pch p{ eos v eos и +

1 - . - -—p- smv + thpcosv

\

ch p

cosv-zv smv +

j

-2^/z/7SÍnVCOSVSÍnW +-Z=Pv sinw(cos v-sin V

ch p

-z eos vsin u\

Вырежем прямым цилиндром на круге К2 с центром в точке О и радиусом г2 (гх < г2) такую область Q4cQ3, чтобы для точек области со4 выражение cosvcosw-z^sinv-z^cosvsinw было бы

близко к (-1). Это возможно, так как о-. - окрестность точки (я. 0). Тогда в области со4 вторые производные функции /'(//. V) ограничены, если в круге К2 ограничены первые и вторые производные функции г(х, у) .

Область О, задается явным уравнением в бельтрамиевых координатах: г - г(х.г).

Поверхность г = г(х, у) имеет гауссову кривизну Кы = А , которая определяется из соотношения

где

К,, +1 =

Ь =

ш-м2

ЕС-Г2

(1 -х2-у2-г2)2Н

N = -

(1-х —у - г ) Н

М = (1-х2-У2-2УН (' = *«>' = *„>' = **>> Е^(х + гр)2 +(\-х2-у2-г2)-(\ + р2),

Н2 =ЕО-Е2 А1 + Р2+(12)-(Рх + <1У-г)2 [6].

(1-Х — у — 2 )

(1-х2-/- -г2)2

(у + гд)2+(\-х2-у:

(1-х2-/- -г2)2

(х + + гд) + (1 - х2-у2-г2 )рд

Отсюда поверхность г = г(х, у), имеющая данную гауссову кривизну А,, удовлетворяет в А

уравнению: гг-&2 = (К1 +1)

[(1 + р2+д2)-(рх + ду-2)2]2 (1-х2-/-г2)2

Для этого функция ф(х,у^,р,д) = (К1 +1)- 2-^-^- правой части этого

Ограниченность |^(х,>0||С2 в круге К2 следует из результата работы [5].

\(\ + р2+д2)-(рх + ду-г)2}2 (1-х2-у2-г2)2

уравнения должна удовлетворять условиям: 1) ф> 0; 2) ф является замкнутой по переменным р и д-Ъ) ф^С2.

Первое и третье условия с очевидностью следуют из условий приведенных ранее. Второе условие выполняется, так как справедливо утверждение [3].

Для любых действительных чисел а и /? имеет место неравенство:

сррра2 + 2(рма[5 + сртР2 > C(z,^,g)(a2 + /?2), = 4(к +1)(1 + р2 + - положитель-

ная и непрерывная по всем аргументам функция, к = т{ ; А; существует в силу компактно-

сти х [/?1?/?2] • Тогда из работы [5] следует, что в К2 имеет место оценка: |^(х?>у)||с2 < С , где С зависит от рг, р2, к = т£ и |^г |с2 • Отсюда следует существование априорной оценки функ-

,Рг ]

ции р(и,у) в метрике С2(й74), а это, в свою очередь, показывает существование априорной оценки

функции р = р(и,у) в метрике С2(£)_1(й74)), В - движение пространства Я3, приведенное выше соответствующей матрицей.

Если бы точка попала в область определения какой-либо другой карты ух сферы £2, то рассуждения были бы полностью аналогичны тем, которые приведены для карты у атласа сферы £2.

В силу компактности сферы £2 и доказательства нами существования «локальных» оценок в результате имеем существование априорных оценок решения р - р{и, V) исследуемого исходного уравнения в метрике С2(£2). Эта оценка зависит лишь от рх, р2, к = т£ и

Таким образом, априорная оценка в метрике С2(£2) решения р = р{и,у) исследуемого исходного уравнения получена.

1. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Аналог теорем расположения замкнутых выпуклых поверхностей с заданной функцией внутренней кривизны в пространствах постоянной кривизны // Вестник АмГУ. - Вып. 79. -2017.-С. 17-21.

2. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Априорные оценки решения в метрике С° уравнения типа Монжа

- Ампера на сфере как двумерном многообразии в пространстве постоянной кривизны // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - № 9-2(51). - С. 132-136.

3. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Свойство выпуклости функции внешней кривизны поверхности в трехмерном пространстве Лобачевского // Вестник АмГУ. - 2015. - Вып. 69. - С. 22-25.

4. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Априорные оценки градиента решения уравнения некоторого класса Монжа - Ампера // Вестник Бурятского государственного университета. «Математика, информатика». — 2019. — № 1.-С. 49-55.

5. Бакельман, И .Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений. - М.: Наука, 1965. - 340 с.

6. Трайнин, Я.Л. Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского. - Новосибирск: Наука, 1974. -285 с.