Равномерные по параметру оценки решений семейства дифференциальных уравнений типа Монжа - Ампера в метрике C0(S12) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выпуск 89, 2020

Вестник ЛмГУ

3

Математика, Прикладная математика

УДК 514.13

Т.А. Юрьева

РАВНОМЕРНЫЕ ПО ПАРАМЕТРУ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ СЕМЕЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА В МЕТРИКЕ (Д^2)

В статье рассматриваются построение и исследование однопараметри-ческого семейства дифференциальных уравнений типа Монжа - Ампера для определения равномерных по параметру оценок решений семейства в метрике С()(8}2).

Ключевые слова: уравнение Монжа - Ампера, однопараметрическое семейство уравнений, метод продолжения по параметру, гауссова кривизна.

PARAMETER-UNIFORM ESTIMATED DECISIONS OF THE FAMILY OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF MONGE - AMPER TYPE IN METRIC (Д^2)

The article discusses the construction and study of a one-parameter family of differential equations of Monge - Ampere type to determine uniform parameter estimates of family solutions in the metric ^(Sj2).

Key words: Monge - Ampere equation, one-parameter family of equations, parameter extension method, Gaussian curvature.

DOI: 10/22250/jasu.l

Рассмотрим уравнение [1]: PuPn ~ P\2 ~ Pn(2cthp • pi + shp-chp) + 2pX2pupvcthp- p22(2cthp- pi + shp-chpcos2 v)-

✓ ? ? pl ч? ~ ? ~ ? ? 7? ? ч {pl + A2 cos2 v + s/zV-cos2 v)2 -{pi cos2 V + -^-f +2pl+ 2pl cos2 V + sh2pcos2 v = Кг(и,у,р)———--2---—,

COSV COS V

где pn, pl2, p22 - вторые ковариантные производные функции р = р(и, v) относительно метрики Si единичной сферы с центром в точке О; и, v — локальные географические координаты на . Конечный атлас на как двумерном многообразии введен таким образом, что в каждой карте этого атласа локальные координаты и, v подчиняются условию: cosv>a> 0.

Напомним, что уравнение, приведенное выше, является аналитической трактовкой задачи дифференциальной геометрии о восстановлении замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией внутренней (гауссовой) кривизны в трехмерном гиперболическом пространстве Н3 (пространстве Лобачевского, являющемся пространством постоянной отрицательной кривизны). А именно:

пусть в Я3/ {О}, где О - центр Sf в Я3,а поверхность F: р = p(u,v) принадлежит классу регулярных выпуклых гомеоморфных поверхностей, звездных относительно точки О, задана функ-

ция Км(и,у,р) = = К1. Тогда вопрос о восстановлении поверхности ¥, внутренняя (гаус-

сова) кривизна которой в каждой точке равна значению функции Кш (и,у,р) = К1 в той же точке, сводится к исследованию введенного выше уравнения на однозначную разрешимость.

Доказательство существования решения исследуемого дифференциального уравнения вида Монжа - Ампера проводится методом продолжения по параметру г £ [0,1] и с помощью топологических методов. Исследуемое уравнение включим в однопараметрическое семейство ФТ = 0 .

Пусть Т - множество значений параметра т е [ОД], для которых Фт = 0 разрешимо, на отрезке [ОД] не является пустым множеством, одновременно замкнуто и открыто, - следовательно, совпадает со всем сегментом [ОД]. Вследствие этого исходное уравнение разрешимо, поскольку ему в семействе уравнений Фт = 0 соответствует некоторое значение т £ [ОД].

Зафиксируем в Н3 две концентрические сферы и с центрами в точке О и радиусами рх и р2 {рх < р2). В исходном исследуемом уравнении заменим функцию К^и,у,р) на функцию

р0сИ4р0

(К;)т(и,у,р) следующим образом: (Ki)T(u,v,p) = TKi(u,v,p) + (\ — T)

psh2 pch2 р

-1

, где те[0,1],

а р0е(р{,р2).

В результате получаем следующее семейство уравнений Фт = 0 :

рпр22 ~р?2 - pn(2cthp- pi + shp• chp) + 2pl2pupvcthp — р22(Icthp• pi + shp chpcos2 vj-

-(p2 cos2 v +

Pu

cosv

(pi + p2v cos2 v + sh2p • cos2 v)2

COS2 У

■)2 +2p2u +2p2 cos2 v + sh2p cos2 v =

tK^ u,v,p) + (\ — r)

p0ch4p0

psh pch p

-1

Исходная поверхность Т7 с гауссовой кривизной К^и,у,р) входит в семейство поверхностей ¥т, заданных решениями рг = рг(и,у) уравнений Фг = 0 .

Данной поверхности Т7:р = р(и,у) соответствует единичное значение параметра г, т.е.

В семейство поверхностей ^ входит также сфера с центром в точке О и радиусом р0, которой соответствует нулевое значение параметра т .

В самом деле, при т = 0 имеем следующее уравнение: рпр22 - р2Х2 - рп(2сЖр- р1 +8Ьр-сЬр) + 2рХ2рирусгЬр- р22(2сгЬр- р2и +8кр скрсо82 у) —

р0сИ4р0

-(p2vcos2v + -^—)2 + 2pl +2р2 cos2 v + sh2р cos2 v = cosv

2 , Л2 2 . I /2 \2

psh pch р

— 1

(ри + pv cos v + sh p- cos v) cos2 V

щается в тождество:

p0ch4p0

-1

p0sh2p0ch2p0 ch2 p0 — sh2 p0

, так как при подстановке р = р0 = const в это уравнение оно обра-ch2p0

sh4р0 cos2 v =

--1

sh р0

sh р(

sh4p0 cos2 v = sh2p0 cos2 v,

sh4p0 cos2 v =

что соответствует при обращении вторых и первых производных функции левой части уравнения в нули тому же выражению.

Выпуск 89, 2020

Вестник АмГУ

5

Кроме того, решение р = р0 является единственным при т = О .

Напомним, что условием единственности решения исходного уравнения является следующее: [(К,+1)зк2рск2р]/ <0 [2].

В данном случае (Кг )0 = Р°сН Р\--1.

рзк рек р

Рассмотрим выражение + 1)як2рск2р\ , получим

р0ск4р0

-1

Р

Р0сЬАр0 Р2

< 0, что

удовлетворяет условию единственности решения указанного типа уравнения.

Итак, Фт = О при т = О однозначно разрешимо и решением его является сфера с центром в точке О и радиусом р0.

Далее, функция (К^т(и,у,р) является выпуклой комбинацией функций К/и,у,р) и

РрСк4Ро х /^/г2 рек2 р

Так как исходное уравнение отрицательно эллиптично при К/и, V, р) > — 1,

р ск4 р р ск4 р

-^-1--1 > — 1 в силу положительности -^-1—, то и (К1)т(и,у,р)> — 1. Это означает, что

рзк рек р рзк рек р

семейство уравнений Фт = О есть однопараметрическое семейство отрицательно эллиптических уравнений.

Снова напомним лемму 1 работы [3].

Лемма 1. Пусть в Н3 зафиксированы две концентрические сферы - и (рх и р2 - радиусы сфер соответственно, причем рх < р2) с центром в точке О . Пусть функция Км(и,у,р) определена на £2х7?+ и подчиняется условиям: 1) Кш> — 1; 2) Кш=—\—\-к(и,у,р) при к>0 внутри

р

сферы £2 и // < 0 вне сферы ^ . Тогда всякое решение р = р(и, у) исследуемого уравнения задает поверхность ¥ : р = р(и,у), лежащую между сферами Б2 и Б2 .

Аналогичный результат для поверхности Рх, которому соответствуют уравнения Фт = О од-нопараметрического семейства с гЕ [ОД] можно сформулировать следующим образом. Если функция К/и,у,р) удовлетворяет условиям леммы 1, то при любом значении параметра ге[0Д] решение рт = рг(и,у) семейства Фг =0 задает замкнутую выпуклую поверхность, лежащую между концентрическими с сферами и .

Покажем справедливость этого утверждения - докажем, что (К^ =—\—Ь кт(и,у,р), где

зк р

функция \ > 0 внутри сферы £2 и йг < 0 вне сферы £2 .

1

Имеем: ГйТ.) =т —г—\-к(и,у,р) v 1)т \stfp тУ 1

зк р

1— + т(кг(и,у,р)) + (\-т)

+а-т)

р0ск4р(

1 , РосН Ро 1

як р рзк рек р ^кр

-1 —

р^/г рс// зк р

зк р

+ кт(и,у,р),

где кт = тк + (\ — т)

р0ск4р0

р8к рек р 8к р

1 р ск4 р

Предположим, что р< рх. Тогда по условию леммы 1 к > 0, а--—— =-^-у

8к р р8к рек р

_, = Рос^4Ро - Р^рс1гр - рск2р > рхсклрх - рА2РА2Р, - Р^~Р = 0 в силу равенства нулю

рзк рек р рзк рек р

числителя дроби: рхск2рх(ск2рх — як2рх —1) = рхск2рх(\ — 1) = 0, а, р0> рх, так как р0 Е(рх,р2) . Отсюда кт> 0 при р< рх как выпуклая комбинация положительных функций. Допустим теперь, что р> р2. Тогда по условию леммы 1 к < 0 ,

Р^р2-р^р2с^р2-р2с^р2 =(К так как ро<р2 (ро рзк рек р зк р рзк рек р

а числитель дроби

р2ск4 р2 — р28к2 р2ск2 р2 — р2ск2 р2 = р2ск2 р2( ск2 р2 — зк2 р2 —1) = р2ск2 р2(\ — \) = 0. Кроме того, имеем к < 0 . В этом случае кт < 0 при р> р2 как выпуклая комбинация отрицательных функций.

Таким образом, —\-кт(и,у, р), где кт> 0 внутри сферы и кт < 0 вне сферы

Р2

Применим теперь к функции (К^ (и,у,р) лемму 1 и получаем, что при любом значении параметра ге[0Д] решение рт=рт(и,у) однопараметрического семейства уравнений Фт = О задает замкнутую выпуклую поверхность Рт, лежащую между концентрическими с сферами и .

В свою очередь, это означает, что имеет место априорная оценка при любом значении параметра ге[0Д] решений однопараметрического семейства уравнений Фт = 0 в метрике С°(82), т.е.

для всякого значения т Е [ОД] есть оценка: рх < рт < р2. В частности, эта оценка справедлива для решения исходного уравнения (т = 1) и для сферы (р0 Е (рх ,р2) ), для которой т = 0 .

1. Филимонова, А.П. Оценка в метрике С2 и единственность выпуклой гомеоморфной сфере поверхности с заданной гауссовой кривизной в Н3 // Вопросы глобальной геометрии: Сборник научн. трудов. ЛГПИ им. А.И. Герцена. - Д., 1979. - С. 64-68.

2. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Единственность решения уравнения Монжа - Ампера некоторого класса на сфере как двумерном многообразии // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. -№6-5 (48).-С. 107-110.

3. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Априорные оценки решения некоторого дифференциального уравнения типа Монжа - Ампера в метрике С2(5Х) на сфере Б* как двумерном многообразии//Вестник Амурского гос.

ун-та. Серия «Естественные и экономические науки». -2019. - № 85. - С. 9-15.

4. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Априорные оценки градиента решения уравнения некоторого класса Монжа - Ампера // Вестник Бурятского гос. ун-та. Серия «Математика, информатика». - 2019. - № 1. -С. 49-55.