Аналог теорем расположения замкнутых выпуклых поверхностей с заданной функцией внутренней кривизны в пространствах постоянной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.3

А.П. Филимонова, Т.А. Юрьева

АНАЛОГ ТЕОРЕМ РАСПОЛОЖЕНИЯ ЗАМКНУТЫХ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ЗАДАННОЙ ФУНКЦИЕЙ ВНУТРЕННЕЙ КРИВИЗНЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

В статье рассматривается один из первых этапов в исследовании дифференциального уравнения Монжа - Ампера общего вида - установление априорных оценок решения этого уравнения на сфере. Доказывается утверждение, которое в аналитическом плане аналогично теореме о расположении поверхности, заданной гауссовой кривизной между концентрическими сферами в евклидовом трехмерном пространстве.

Ключевые слова: восстановление поверхности, уравнение типа Монжа-Ампера, отрицательная эллиптичность, априорные оценки.

THE ANALOGUE OF THE THEOREMS OF LOCATION OF CLOSED CONVEX SURFACES WITH A PREDETERMINED FUNCTION OF THE INTERNAL CURVATURE IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE

The article discusses one of the first steps in the study of differential equations of Monge - Ampere general form, namely, the establishment of a priori estimates of the solutions of this equation on the sphere. We prove the claim that the analytical plan is similar to the theorem about the location of the surface defined by the Gaussian curvature of the concentric spheres in Euclidean three-dimensional space.

Key words: the restoration of the surface, an equation of Monge-ampere type, the negative ellipticity, a priori estimates.

Известно, что геометрические задачи восстановления поверхностей по тем или иным геометрическим характеристикам тесно связаны с исследованием дифференциальных уравнений определенного вида на многообразиях.

Приведем пример задачи такого рода.

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Е3 ( Kr3 = const = 0) фиксированы некоторая

точка О и сфера S^ единичного радиуса с центром в этой точке. Сфера S12 является двумерным многообразием, атлас которого можно выбрать так, чтобы для локальных сферических координат u , v выполнялось неравенство: sinu >ц> 0 в каждой карте.

Зададим функцию в Е3 / {0} : Kint(u, v, р) = K(u, v, р) ((u, v) e S12, pe R+ ).

Пусть F - поверхность в E3, обладающая следующими свойствами: F - регулярная поверхность; F - выпуклая гомеоморфная сфере S12; F - звездная относительно точки О .

Поверхность F можно задать в координатах и, V, р уравнением: р = р(и,V) . Если в каждой точке поверхности F внутренняя (гауссова) кривизна равна значению функции К1пЭ(и,V, р) = К(и, V, р) в той же точке, то функция р(и, V), задающая F, является решением отрицательно эллиптичного уравнения Монжа - Ампера на [1]:

2 2 2 2 2 п п п2 п Pv + р sin и 2 2риРу р + П

Р11Р22 - р12 - р11 -+ 2р12--Р22 ■

Р р р

2 (1)

( 2-2 2 2 • 2 \2

рм sin и + р„ + р sin и) 2 2 2 2 2 = к (и, у, р)-2--(2ри sin и + 2ру + р sin и).

sin2 и

В уравнении (1) рп, р12, р22 - вторые ковариантные производные р = р(и,v) относительно метрики S^, sin и > 0 .

Таким образом, задача восстановления поверхности F в Е3 с заданной геометрической характеристикой - гауссовой кривизной - сводится к выявлению достаточных условий однозначной разрешимости уравнения (1).

Одним из первых этапов в исследовании уравнения (1) является установление априорных оценок решения этого уравнения в метрике С0(S12).

Имеет место утверждение о расположении поверхности F между сферами Бр и Sр2

(р1 < р2) приусловии: К(и, v, р) <—у, если р> р2 и К(и, v, р) > Дг, если р< р1 [1].

р р

Аналитически это означает, что при указанных ограничениях на функцию К (и, v, р) имеют место оценки р1 < р < р2 в метрике С0(S12) решения р(и, v) уравнения (1).

Перейдем к рассмотрению дифференциального уравнения типа Монжа - Ампера общего вида на S12 [2]:

рцр22 - р22 " рИ[f (р)р^ + У(р) • Ч\v)] +

+2р12 • f (р) • риPу " р22[f (р) • рр + У(р) • V2(U,v)] + (2)

+ D(U , V, P, ри , ру ) = ^(U, V, р) • D1(^ V, P, ри , ру ).

Здесь (и, v) - локальные географические координаты S12; ре ; р11, р12, р22 - вторые ковариантные производные р = р(и, v) относительно метрики S12.

В [2] указаны условия отрицательной эллиптичности уравнения (2):

1. f (р) > 0, (р(р) > 0, (р1(и,v) > 0, (р2(и,v) > 0;

2. АС-В2 -D + ^D1 > 0, А,B,С - коэффициенты при -р11, 2р12, -р22 соответственно; D и D1 есть функции от и,v, р, ри, рv.

Для уравнения (2) докажем утверждение, которое в аналитическом плане аналогично теореме о расположении поверхности F, заданной гауссовой кривизной в Е3, между концентрическими сферами Sl и ^ (р <р2).

Теорема. При наложении на функцию у/ = щ(и, v, р) уравнения (2) следующих условий:

1. у (и, v, р) > у0, если р < р1;

D(u, v, р,0,0)

2. у (и, v, р) < у0, если р> р2, где р1 < р2 и у0 есть отношение -, справедливы

D1(u, v, р,0,0)

оценки решения р(и, v) уравнения (2): р1 < р(и, v) < р2.

Доказательство.

Прежде всего отметим, что в силу компактности сферы решение уравнения (2): р = р(и, V) класса С0(^12) достигает на ^12 минимального и максимального значений соответственно в точках К, ^ и (и1, у1) . в экстремальных точках ри = рии, р = рш, р22 = р„, ри = Pv = Получим оценку сверху для решения р(и, V) уравнения (2). Введем квадратичную форму:

(-/(P)Pv2 " Я(р) ■ Я(u, у))£ 2 + 2/(р) • риру^П +(-/(р) • рр - я(р) ■ ^2(u, V))^2.

Эта форма не является положительной. Действительно, дискриминант ее равен

(-/(P)Pv2 - Я(р) ■ Я(u,V))(-/(р) ■ рг2 - Я(р) ■ Я2(u,V)) - 2/2(р) ■ р2иP2v =

= Я(р) ■ Я(и, V) ■ П(р) ■ Pu2 + Я(р) ■ Я2(и, V) ■ П(р)р2 + Я2(р) ■ Яl(u, V) ■ я2(u, V) > О в силу наложенных на входящие функции условий [2]: /(р) > О , я(р) > О , Я (u,V) > О , Я2(и,V) > О . Первый коэффициент формы: -/(р)рр - я(р) ■ Я (и,V) < О вследствие тех же условий. Тогда введенная выше форма

(-П(р)р2 - Я(р) ■ Я (u,+ 2/(р) ■ рирЛп + (-П(р) ■ р2 - Я(р) ■ %(и,у))л2 < О . В точке (и1,v1) максимума функции р(и,V) имеем: Н2р = рииНи2 + 2риуНиНу + ртНу2 <О,

-рц =-рии > 0, р22 = -Руу > О. Исследуем выражение:

рц[-/(р)р1 - Я(р) ■ Я(u,у)] + 2р12 ■П(р) ■ риру + р22[-П(р) ■ ри2 - Я(р) ■ Я2(u,у)] , которое представляет собой часть уравнения (2).

В точке (и1,У1) данное выражение принимает вид: -р11Я(р)■Я(и,у)-р22Я(р)Я2(и,у) и является неотрицательным, так как -р11 > О, -р22 > О, а я(р) , Я (и, у), Я2(и, у) положительны по условию.

Итак, -рцЯ(р) ■ Я (и,у) - р22Я(р) ■ Я2 (и,у) > О .

Уравнение (2) в точке (и1, у1) представляет собой следующее равенство: р11р22 - р122 - рцЯ(р) ■ Я(u, у) - р22Я(р) ■ Я2(u, у) + ^ V P, ри , ру ) =

= У(u,V,р) ■ Dl(u,V,P,ри,ру).

Здесь р11р22 -р12 >О, так как Н2р в (и1,у1) определена.

Тогда р11р22 - р122 - р11Я(р) ■ Я (и,у) - р22Я(р) ■ Я2(и,у) есть сумма неотрицательных слагаемых уравнения (2) в точке (и1, у1). Это означает, что у(и, V, р) ■ Д(и, V, р,О,О) - Б(и, V, р,О,О) > О, т.е. ч Б(и, V, р,О, О)

У(иV,р) > "п7-ОТО) У

Ц(и, V, р,0,0) Итак, в точке максимума функции р = р(и, у) :

у(и, V, р) >у (3)

Примем допущение, что р(и,у) > р2, тогда по условию теоремы у/(и,V, р) <у0, что противоречит (3). Следовательно, р(и1,у1) < р2. В этом случае р(и,у) < р(и1,у1) < р2, т.е. р(и,у) < р2. Тем самым оценка сверху на решение р(и, у) уравнения (2) получена. Оценим теперь решение р(и, у) уравнения (2) снизу.

Пусть (и0,v0) - точка минимума р(и,v), тогда d2р > 0, следовательно, р11р22 - р12 > 0 . Отрицательная эллиптичность уравнения (2) означает, что квадратичная форма Т(Ф,р) = (р22 - р(р) • р(и,v))£2 + 2ри%г] + (рп - р(р) • р(и,v))n2 < 0 [2]. Исследуем выражение:

р11 (р22 - f (р)р2у - р(р) • Р (U, v)) + 2(р12 - f (р)риPу )р12 + р22(р11 - f (р)P2и - рр) • P2(и, v)) . В точке (и0, v0) это выражение принимает вид:

P11 (P22 - P(P) • Р (и,v)) - 2P212 + P22(P11 - P(P) • Р2(и, v)) . Определим знак данного выражения.

В (и0, v0) d 2р> 0, поэтому р11 > 0, р22 > 0; р22-р(р) •((и, v) < 0, р11 -р(р) •р2(и, v) < 0

вследствие того, что Т(Ф, р) < 0, -2р212 < 0 , поэтому

P11 (P22 - р(р) • р1(и,v)) - 2р212 + р22(рц - р(р) • р2(и,v)) < 0, или

P11P22 - P212 + P11P22 - P212 - рпр(р) • р(и,v) - р22р(р) • P2(и,v) < 0 . Так как р11р22 - р212 > 0, то

P11P22 - P212 - рпр(р) • р(и,v) - р22р(р) • P2(и,v) < (4)

Уравнение (2) в точке (и0,v0) преобразуется:

P11P22 - P12 - рцр(р) • р(и, v) - р22р(р) • р^(и,v) + D(u, v, р,0,0) = = у (и, v, р) • D1 (и, v, р, 0,0).

Из (14) имеем у(и, v, р) • D1(u, v, р,0,0)-D(u, v, р,0,0) < 0 .

ч D(u, v, р,0,0)

Отсюда у (и, v, р) < —-—— = у.

D1(u, v, р,0,0)

Таким образом,

У (и, v, р) <у (5)

Если предположить, что р(и0, v0) < р1, то по условию теоремы у (и, v, р) > у0, что противоречит (5). Это означает, что р1 < р(и0,v0) < р(и,v), или р1 < р(и,v), т.е. оценка снизу в С0(S12) для решения р = р(и,v) уравнения (2) получена. Теорема доказана: р1 < р(и,v) < р2.

2

Следствие 1. Уравнение (1) - частный случай уравнения (2) при р(р) = р > 0, f (р) = — > 0 ,

Р

р(и,v) = sin2и >0, р2(и,v) = 1 > 0, у(и,v,р) = К(и,v,р), D(u,v,р,ри,Pv) = 2P2sin2и + 2р2 + P2sin2и),

( 2-2 2 2-2 Pu sin U + Pv + р sin и

D1(U у, р, Pu , Pv ) =-—1-

2

sin и

^ D(u,v, р,0,0) P2sin2 и . 2 1

далее: ус = ^t-^^ = 4 ■ 4 sin U = "Т.

D1(u,v, р,0,0) р sin и р

Если К (и, v, р) = ус при р< р1, К (и, v, р) ^^ = ус при р> р2, то F: р = р(и, v) распоР Р

ложена между концентрическими сферами S2 и S^^ (р1 < р2), т.е. имеет место оценка р(и,v) в метрике сферы S12: р1 < р(и,v) < р2.

Как видно, следствие теоремы полностью совпадает с результатом, полученным в [1].

Следствие 2. Задача восстановления регулярной выпуклой гомеоморфной сфере «SJ2 поверхности F с заданной функцией гауссовой кривизны в трехмерном гиперболическом пространстве Н3 (KH3 = const < 0) в аналитическом аспекте приводит к исследованию дифференциального уравнения

на сфере Sj2 как двумерном многообразии следующего вида [3]:

РпР22 - Р\2 - Ри (2cthp • р2 + shp • chp) + 2pj2pupvcthp - p22(2cthp • p,2 + shp • chpcos2 v) -

2

-{pi cos2 v + )2 + 2pU + 2pv2 cos2 v + sh2p cos2 v = (6)

cos v

K (u v p) (pU+pvcos2 v+sh2p •cos2 v)2

= K int(u' vp)-2-.

cos v

Уравнение (6) - отрицательно эллиптично при Kint(u, v, p) >-1; атлас Sj2 выбран так, что в каждой карте локальные координаты u,v удовлетворяют условию: cosv >ц> 0. По-прежнему pjj, pj2, p22 - вторые ковариантные производные p = p(u, v) относительно метрики Sj2. Уравнение p = p(u, v) определяет поверхность F, в каждой точке которой гауссова кривизна совпадает с заданной в Н3 \ функций пространства Kint(u,v, p), О - фиксированная точка Н3, SJ2 имеет центр в точке О .

Уравнение (6) есть частный случай уравнения (2):

p(p) = shpchp> 0, f (p) = 2cthp> 0, p(u,v) = J > 0, P2(u,v) = cos2 v > 0,

2

D(u,v, p, pu, pv) = 2pi + 2p2 cos2 v + sh2pcos2 v - (p2 cos2 v + )2,

cos v

2 . 2___2 . ___2 \ 2

Dj(u, v, p, Pu, pv) = (p" + pv cos v + Sh p ^cos v)

cos2 v

следовательно, D(u, v, p,0,0) = sh2p cos2 v, DJ(u, v, p,0,0) = (sh p c2°s v) = shAp • cos2 v,

cos2 v

D(u, v, p,0,0) J

a =---= ——.

DJ(u,v, p,0,0) sh p

Если Kint > —= при p < pJ, Kint < —= при p > p2, то решение p(u, v) уравнения sh p sh p

(6) имеет оценки p(u,v) в С0(SJ2): pJ < p(u,v) < p2.

С геометрической точки зрения это означает, что поверхность F: p = p(u, v) лежит между

концентрическими сферами с центром О и радиусами pJ и p2 соответственно (pJ < p2).

Результат следствия 2 аналогичен результату работы [3].

1. Верещагин, Б.М. Восстановление замкнутой выпуклой поверхности по данной функции гауссовой кривизны // Вопросы глобальной геометрии. Сб. науч. трудов ЛГПИ им. А.И. Герцена. - Л., 1979. - С. 7-12.

2. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Единственность решения уравнения Монжа - Ампера некоторого класса на сфере как двумерном многообразии // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - № 65 (48). - С. 107-110.

3. Филимонова, А.П. Оценка в метрике С2 и единственность выпуклой гомеоморфной сфере поверхности с

заданной гауссовой кривизной в Н // Вопросы глобальной геометрии. Сб. науч. трудов ЛГПИ им. А.И. Герцена. - Л., 1979. - С. 64-68.