Единственность решения уравнения Монжа-Ампера некоторого класса на сфере как двумерном многообразии Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18454/IRJ.2016.48.196 Филимонова А.П.1, Юрьева Т.А.2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент,

2

кандидат педагогических наук, Амурский государственный университет ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МОНЖА-АМПЕРА НЕКОТОРОГО КЛАССА НА СФЕРЕ

КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ

Аннотация

Восстановление поверхностей по заданным геометрическими характеристикам является одной из важных и сложных задач современной дифференциальной геометрии. В статье приводится доказательство теоремы единственности решения отрицательно эллиптичного дифференциального уравнения Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии методом линеаризации. На основании рассмотренной теоремы доказывается следствие о единственности выпуклой гомеоморфной сфере поверхности в евклидовом пространстве с заданной функцией гауссовой кривизны. Сформулированы условия единственности поверхности в гиперболическом пространстве и эллиптическом пространстве.

Ключевые слова: отрицательно эллиптичное уравнение, кривизна поверхности, двумерное многообразие, квадратичная форма.

Filimonova A.P.1, Yuryeva T.A.2 1PhD in Physics and Mathematics, assосiate professor, 2PhD in Pedagogy, The Amur State University UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF THE MONGE-AMPERE A CLASS AT A SPHERE AS TWO-DIMENSIONAL MANIFOLDS

Abstract

Restoring surfaces for given geometric characteristics is one of the most important and difficult tasks of modern differential geometry. The article presents the proof of uniqueness of solutions adversely elliptical differential equation of the Monge-Ampere equation on the sphere as a two-dimensional manifold linearization method. On the basis of the theorem proved considered a consequence of the uniqueness of a convex surface homeomorphic to a sphere in Euclidean space with a predetermined function of the Gaussian curvature. The conditions for the uniqueness of the surface in the hyperbolic space and elliptic space.

Keywords: negative elliptical equation, curvature of the surface, two-dimensional manifold, quadratic form.

Рассмотрим на единичной сфере S2 как двумерном многообразии дифференциальное уравнение Монжа-Ампера:

2 2 2 Р11Р22- Pj2 -PllfP) Pv + ^(P)^l(u, v)]+ 2pi2 fp)pupv- P22f0)- pu +^(p)^2(u, v)] +

+ D (u, v, p, Pu, Pv)=W(u, v, P)• Dj (u, v, p, Pu, Pv). (1)

В уравнении (1) (u,v) e S2 (локальные географические координаты), ре R+, а p11, p12, p22 - вторые

ковариантные производные функции p(u, v) относительно метрики единичной сферы S2.

Наложим следующие ограничения на входящие в уравнение (1) функции: ф(р)>0, ^1(u, v)>0, y2(u, v)>0.

2 2 Далее введем обозначения: A=fp)d(u, v)- pv + ф(р)^ф1(ы, v), B=fp)d(u, v)pu-pv, C=fp)d(u, v)- ри +^(p)^2(u, v), то

есть А, В и С являются соответственно коэффициентами при -p11, 2p12 и -p22.

В таком случае условие AC-B2- D Dl >0 обеспечивает отрицательную эллиптичность уравнения (1). Здесь D =

D (u, v, p, pu, pv) и Dj = Dj (u, v, p, pu, pv).

(a, J3 e R), для нашего

- №• рv -

Или Т(Ф, p)=

=(p22-A>a2-2(p12-B)ae+(p„-C)e2

Ее дискриминант равен: (p22-Ay(p11-C)-(p12-B)2=p11p22-(p12)2-

-Ap11+2Bp12-Cp22 +AC-B2=AC-B2-D Dj , что следует из уравнения (1). Так как AC-B2-D +щD >0 в силу наложенного выше условия, то Т(Ф, p) определена. Далее, так как в точке максимума функции p(u, v) имеем р22 < 0,

-A=-f(pyd(u, v) P2 v)<0 (по условию f(p), ф(о), ^1(u, v) - положительные функции), то отсюда следует, что

Т(Ф, p) для уравнения (1) определена отрицательно. Это и показывает отрицательную эллиптичность исходного уравнения (1).

Действительно, пусть р(и, V) есть решение уравнения Ф(и, V, р, ри, рт рии, рт, ри„)=0.

ч дФ , ч 2 дФ , ч _ дФ , ч о2 Квадратичная форма 1 (Ф, р) =-(р) • а Н--(р) • ар Н--(р) • р

дРии дРщ, р

уравнения (1) имеет следующий вид: (р22

-ф(рУфг(и, v)Уa2-2(рl2-f(рУрu■рvУafi+(рu-f(рУ р^ -ф(р)ф2(и, v))в2.

- Г ^р

Далее введем в рассмотрение новую функцию: а — I (ф(р)>0).

(р{р)

Теорема. Дифференциальное уравнение (1) имеет на единичной сфере Б2 как двумерном многообразии не более одного решения р=р(и, у) при выполнении следующих условий:

1) ф е с2 ¥ е с2, б е с2, де с1;

2) ф '(р) -А(рУф(р)=С(и, V), то есть не зависит от р;

3)

Р -уРх ((р)

— 0, В=В(и, V, р, ти, Юу), Д = Б^и, V, р, Юи, Юу).

_ dр

Доказательство. В силу замены переменной в уравнении (1): а — I " ~ имеем ри=тиф(р), ру=ту-ф(р),

— Г-

1 (р)

2

рп=Ю1Гф(р)+ а2 ф '(р)-ф(р), р12=ю^ф(р) +

2

+ЮиЮуф'(рУф(р), р22=Ю22ф(р)+ ®2 -ф'(рУф(р).

Подставим в уравнение (1) вместо ри, ру, р11, р12, р22 их выражения через производные функции ю. В результате

2 2 2 2 получим: [озиф(р)+аи ф'(рУф(р)\[ю22ф(р)+ а2 -ф'(рУф(р)~\ - [о^2ф(р) + ЮиЮуф'(рУф(р)\ -[юп^ф(р)+а2

2 2 2 2 2 ф'(рУф(р)1ЩрУ®2 •ф (р)+ф(рУф1(и,у)\+2[ю12ф(р)+ЮиЮуф'(рУф(р)Ц(рУ ЮиЮу-ф (р) -[Ю22ф(р)+ а2 -ф'(рУф(р)]•[ ЯрУ®2

•ф2(р)+ ф(р) ф2(и, у)\+Р (и, V, р, Юи, Юу)= щ(и, V, р)• (и, V, р, Юи, Юу), где р=р(т(и, у)).

Проведя соответствующие преобразования, для функции т получим следующее уравнение:

2 2 2 Ю11Ю22- Ю 12+ а)ц[®2 •ф'(р)-®2 ф(р) Яр) - ф1(и, V)] -2 ю^юЮуфЩ - ф(р) Яр) ЮиЮу\+Ю22[а2 ф'(р) -

р1(и, 2, р®2 ®2 )

,®2)

„ -=ш(и.у. р)

(\р)

2 В(и, 2, р,а„ ) т2(п)

ф(р)Яр) а2 - ф2(u,v)\+ 4 7 7/ ^ =¥(и,у, р) ( (р) . (2)

Здесь р=р(т(и, V)).

Полученное уравнение (2) отрицательно эллиптично. Доказательство аналогично таковому для уравнения (1). Если т=т(и, V) есть решение уравнения (2), то соответствующая квадратичная форма Т(Ф, р)=(ю22+А)^а2-

2(ю12+Вуав+(ю11+С)\в, где А, В и С коэффициенты при ю11, -2ю12, ю22 соответственно: А= а2 •ф '(р) -а^ ф(р) Ар) -

22

ф1(иу), В= о^иО^ф'(р) - ф(р) Ар) Юи/Юу, С=а2 ф'(р) - ф(р)Ар) а2 - ф2(и, V); а, ве Я. Дискриминант Т(Ф, р) равен: (ю22+АУ(ю11+С)-(ю12+В)2=ю11ю22-ю212+Аю11-2Вю12+Сю22+АС-В2=АС-В2-

В(и, 2, раи ,®У ) , , .рС^^А®®) П Лгп2 -----+щ(и, V, р)---. При наложении условия А С-В -

( (Р) ( (р)

Р Р!

-—---+щ(и, V, р)—-->0, где В=Б(и, V, р, юи, юу), Д = Б1(и, V, р, юи, юу), дискриминант Т(Ф, р) положителен,

((р) ( (р) следовательно форма Т(Ф, р) определена.

Отрицательная определенность формы Т(Ф, р) следует из того, что в точке максимума функции ю=ю(и, у) имеем: 2 2

ю22<0, А=а 'ф'(р) -а ф(р) Ар) - ф1(и,у)= - ф1(и,у)<0, так как по условию теоремы ф1(и,у)>0. Таким образом,

Р (\р)

уравнение (2) отрицательно эллиптическое при выполнении указанного выше условия: А С-В2--——- +у(и, V, р)

А

, 1 >о. ((р)

Предположим, что уравнение (2) имеет два различных решения ю=ю(и, у) и &=&(иу), разность &-ю обозначим через д: &-ю=д. Имеют место соотношения: ти=ди+юи, &у=ду+юу, т11=д11+ю11, &12=д12+ю12, т22=д22+ю22. Можно показать, что при выполнении условия теоремы: ф '(р) -А(рУф(р)=С(и, V) (то есть независимости данного выражения от функции р) и применении теоремы о конечных приращениях функция д удовлетворяет линейному однородному уравнению следующего вида:

р

1 1

— 811(ю22+ Л1+т22+Л)- 812(ю12+Б1+ю12+Б)+— 822(&11+C1+m11+C)+ 2 2

+Ф1(м, v) Su+ Ф2(и, v) áv+

D -yDx (\p)

л

• ^ (р)^=0. (3)

р

Здесь А, В и С и А1, В1 и С1 - коэффициенты при ®ц, -2ю12, ю22 и ®ц, ю12, т22 соответственно в уравнении (2) для т=т(и, у) и т=т(и,у), которые являются его решениями. Знак Л обозначает, что соответствующая функция вычисляется в промежуточной точке.

1

Уравнение (3) отрицательно эллиптично, так как квадратичная форма — (&222+А1+ю22+Луа. -(т12+Б1+т12+Б)^аф+

2 (а,1+С,+»„+0.в2= 2 [(й22+,41)а2-2(а12+Б1)-а в+(йп+С1)-в2+(»!2+.)а2-2(»12+Б)-а.в+(»н+С.в2] о^ц™

определена в силу отрицательной эллиптичности уравнения (2) на решениях ю=ю(м, у) и т=т(и,у).

Итак, (3) является линейным однородным отрицательно эллиптичным уравнением относительно 5. Из условий

теоремы следует, что коэффициент

D -yDx

р\р)

Л

• ( (р) неотрицателен. В силу принципа максимума,

Р

рассмотренного для уравнения (3) на сфере Б2 как компактном многообразии получаем, что 5 = 0. Следовательно,

~ -с ~

р — р = = 0, следовательно р = р . Единственность решения уравнения (1) доказана.

СО р

Следствие 1. Рассмотрим геометрическую задачу. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Е фиксирована

некоторая точка О. Пусть, далее, Б2 - сфера единичного радиуса с центром в этой точке. Будем рассматривать класс

регулярных выпуклых гомеоморфных сфере Б2 поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность Е этого класса может быть задана уравнением Е: р=р(и, у), где и, у, р - сферические координаты в Е3.

Рассмотрим Б2 как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах и, у каждой карты

выполнялось неравенство: Б1т>х>0. Тогда, если в Е3\{0} определена функция К(и, V, р) е Б1 X К , задающая поверхность Е, в каждой точке которой гауссова кривизна равна значению функции К в той же точке, является решением отрицательно эллиптичного уравнения типа Монжа-Ампера, которое на сфере Б2 имеет следующий вид [1]:

2,2-2 2.2 П П п2 П Р2 +Р Sln U Ри Pv п Р2+Р

PllP22 - Р 12 - Р11 - + 2Р12--Р22 ■

12

Р 12 Р Р

(р2 sln2 2 + р2 + Р2 sln2 2) , , , , , ,

= К(2,2, р) —-^^-- -(2р2 sln2 2 + 2pv2 + Р2 sln2 2),sln2 2 > 0 . (4)

sln 2

Существует не более одной поверхности F: р=р(и, v), указанного выше класса, гауссова кривизна которой в каждой точке совпадает со значением функции K в этой точке, если выполняются условия: 1) K е С , 2)

(Кр)'р < 0.

Действительно, задача сводится к нахождению достаточных условий единственности решения уравнения (4). Уравнение (4) является частным случаем уравнения (1).

2

Имеем р(р) = р> 0 , f (р) = — , р (2,2) = sln2 2 > 0, р2 (2,2) = 1 > 0.

Р 2

Далее р'(р) - р(р) f (р) = 1--Р = -1 = const (не зависит от р );

Р

Л

Л

D -уЮг . ?2(p)

р = (2«2p2 sin2 u + 2a2 p2 + р2 sin2 u -

(alp2 sin2 u + alp2 +p2sin2 u\ l

-К(u,v,p)-—-)—) p =

sin u p

l

= (-Kp2) p(a2 sin2 u + + sin2 u)2—-—> 0

u v sin2 u

2 ' - [dP

при условии (Kp ) p < 0. Здесь a = I .

J p

Результат следствия 1 теоремы совпадает с результатом работы [1], где теорема единственности решения уравнения (4) была доказана геометрическим методом.

Следствие 2. Условия единственности поверхности для аналогично сформулированной задачи в гиперболическом

пространстве H3 и эллиптическом пространстве Э3 соответственно имеют вид: (K^sh2pch2p)< 0 (H3) и

(Kxttg 2p)P< 0 (Э3).

Для пространства Лобачевского H3 результат был получен в работе [2]. Для пространства Э3 результат получен как следствие сформулированной в статье теоремы. Аналогичная задача единственности решения квазилинейного уравнения на сфере в пространствах постоянной кривизны рассмотрена в работе [3].

Литература

1. Верещагин Б.М. Восстановление замкнутой выпуклой поверхности по данной функции гауссовой кривизны // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. А.И. Герцена. - Л., 1979. - С. 7-12.

2. Филимонова А.П. Оценки в метрике С2 и единственность выпуклой гомеоморфной сфере поверхности с

заданной гауссовой кривизной в H3 // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. А.И. Герцена. - Л., 1979. - С. 64-68.

3. Филимонова А.П., Юрьева Т.А. Линеаризация как метод доказательства единственности решения для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений на сфере // Вестник Амурского государственного университета. Серия: Естественные и экономические науки. - 2016. - № 73. - С. 25-28.

References

1. Vereshhagin B.M. Vosstanovlenie zamknutoj vypukloj poverhnosti po dannoj funkcii gaussovoj krnizny // Voprosy global'noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. - LGPI im. A.I. Gercena. - L., 1979. - S. 7-12.

2. Filimonova A.P. Ocenki v metrike S2 i edinstvennost' vypukloj gomeomorfnoj sfere poverhnosti s zadannoj gaussovoj kriviznoj v // Voprosy global'noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. - LGPI im. A.I. Gercena. - L., 1979. - S. 64-68.

3. Filimonova A.P., Yuryeva T.A. Linearizacija kak metod dokazatel'stva edinstven-nosti reshenija dlja nekotorogo klassa nelinejnyh differencial'nyh uravnenij na sfere // Vestnik Amurskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Estestvennye i jekonomicheskie nauki. - 2016. - № 73. - S. 25-28.