Априорные оценки решения в метрике С0 ( ) уравнения типа Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии в пространстве постоянной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18454/IRJ.2016.51.061 Филимонова А.П.1, Юрьева Т.А.2 кандидат физико-математических наук, доцент, 2кандидат педагогических наук, Амурский государственный университет АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ В МЕТРИКЕ С0 ( S? ) УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА НА СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Аннотация

В статье приводится решение задачи о нахождении достаточных условий однозначной разрешимости дифференциального уравнения Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии в пространствах постоянной кривизны, в частности в трехмерном пространстве Лобачевского. Рассматриваемая задача связанна с восстановлением поверхностей, гомеоморфных сфере, с заданной функцией гауссовой кривизны. В ходе доказательства теоремы получены априорные оценки решения уравнения типа Монжа-Ампера в метрике С0 (S2). Приведены следствия для частных видов уравнений Монжа-Ампера в трехмерном пространстве Лобачевского и в трехмерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: уравнение Монжа-Ампера, двумерное многообразие, априорные оценки, гауссова кривизна.

Filimonova A.P.1, Yuryeva T.A.2

:PhD in Physics and Mathematics, 2PhD in Pedagogy, The Amur State University

PRIORI ESTIMATES OF SOLUTIONS IN THE METRIC С0 () EQUATIONS OF MONGE-AMPERE

ON THE SPHERE AS A TWO-DIMENSIONAL MANIFOLDS IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE

Abstract

The article provides a solution to the problem of finding sufficient conditions for the unique solvability of a differential equation of the Monge-Ampere equation on the sphere as a two-dimensional manifold in spaces of constant curvature, in particular three-dimensional Lobachevskii space. This problem is connected with the restoration of the surfaces, homeomorphic to a sphere with a predetermined function of the Gaussian curvature. In the course of the proof, a priori estimates of solutions of equations of the Monge-Ampere equation in the metric С0 (). Results investigation for particular

types of Monge-Ampere equations in three-dimensional Lobachevskii space, in three-dimensional Euclidean space. Keywords: Monge-Ampere equation, two-dimensional manifold, a priori estimates, the Gaussian curvature.

Рассмотрим следующую геометрическую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве постоянной отрицательной кривизны (гиперболическом пространстве Лобачевского) Н фиксирована некоторая точка О. Пусть, далее, S2 - сфера единичного радиуса с центром в этой

точке О. Будем рассматривать класс регулярных выпуклых гомеоморфных сфере S2 поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность F этого класса можно задать аналитически уравнением: F: p=p(u, v), где р, u, v - сферические координаты в пространстве Н3.

Рассмотрим сферу S2 как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u, v

каждой карты выполнялось неравенство: cos v > x > 0.

Пусть в Н3\{0} определена некоторая функция Kint(u, v, р)= Kint. Тогда задача о восстановлении поверхности F: p=p(u, v) в гиперболическом трехмерном пространстве Н3, гауссова (внутренняя) кривизна которой в каждой точке равна значению функции Kint в той же точке, сводится к нахождению достаточных условий однозначной

разрешимости дифференциального уравнения типа Монжа-Ампера, которое на сфере S2 как двумерном многообразии имеет следующий вид [2]:

PllPll - Pl2 (2cthP ■ Pi + shP • chp) + 2Pli ■ 2PuPv ■ CthP - P22 ■

^ ^ (1)

■(icthppl + shpchpcos2 v) — I p2 cosv+--— + 2p2 + 2p2cos2 v + sh2pcos2 v =

v u ' ^ v cos v J u v

(picos2 v + pI + stfp cos2 v )2

= Kint (u, v,py ---7

cos2 v

Здесь pjj (i, jG {1, 2}) - вторые ковариантные производные функции p=p(u, v) относительно метрики единичной сферы S2.

В работе [2] показано, что уравнение (1) является отрицательно эллиптичным уравнением Монжа-Ампера при условии, что функция Kint(u, v, р)>-1 (Kext(u, v, р)>0). Это означает, что если p=p(u, v) есть решение уравнения

Ф(иv P, Pu, Pv, Pun, Puv, Pvv ) = 0, то квадратичная форма T (Ф, p) = -^(pW+-^(p)a(3 + -^(p)p2

dPuu dPuv SPvv

(a,fle R) отрицательно определена.

В [2] также доказана теорема о расположении поверхности F: p=p(u, v) (p=p(u, v) - решение уравнения (1)) при некоторых ограничениях на функцию Kint(u, v, р).

Теорема 1. Пусть в трехмерном гиперболическом пространстве Н фиксированы две концентрические сферы Б^ и S2p с центром в точке О и радиусами р1 и р2 (р1<р2) соответственно.

Пусть функция Кт1(и, V, р), определенная в 52 х Я+ (Я+ - множество положительных действительных чисел),

удовлетворяет следующим условиям:

1) КЛы, V, р)>-1;

2) Кы (и, V, = + И (и, V, р), где И (и, V, р) > 0 внутри сферы Б2^ и И (и, V, р)< 0 вне сферы Б2^ .

sh р 1 2

Тогда любое решение р=р(ы, V) дифференциального уравнения (1) задает поверхность р=р(ы, V), лежащую между сферами Б2^ и Б2 .

Аналитически результат теоремы означает, что при наложении условий теоремы 1 на функцию К^К^ы, V, р)

а

2

имеем априорные оценки решения дифференциального уравнения (1) в метрике С°( Б2): рх< р < р.

Рассмотрим теперь обобщенное дифференциальное уравнение типа Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии [3]:

р11р22 "Л22 ~рЦ [/(р)' р] +Ф(р)'Ф1 (И, V)] + 2р12 • / (р)PuPv -Р22 ' • [ / р рИ+ф(р)•ф2(u, ])]+° (иv, р, ри, р] )=^(u, v, р)-а! V р, ри, р] )•

В уравнении (2) ру (/, уе {1, 2}) - вторые ковариантные производные функции р(ы, V) относительно метрики единичной сферы Б2 , ре Я+ , а (и,V) е Б2 (локальные географические координаты).

В работе [3] показано, что при наложении ограничений на входящие в (2) функции: ф(р)>°, ф1(ы, v)>0, ф2(ы, v)>°, .Др)>°, АС - Б2 - Б + > 0, (А, В, С коэффициенты при -р11, 2р12, -р22),

О = Б (и, V, р, ри, р ), Б = О (и, V, р, ри, р ) уравнение (2) отрицательно эллиптично.

Квадратичная форма Т(Ф,р)= дФ (р\а2+ дФ (р\а/3+ дФ (р)Рг для уравнения (2) имеет следующий

др др др

~ ии ~ их г VV

вид:

(р22 - /(р) • рр -ф (р) • ф1 (u, v))°2 - 2 (р12 - / (р) рирV+

+ (р„ -/(р)'р -Ф(р)'Ф2 (и,V))Р2.

Докажем аналог теоремы 1 для обобщенного дифференциального уравнения (2), тем самым получим априорные оценки решения уравнения (2) в метрике С°( Б2).

Теорема 2. Пусть функция у = у (и, V, р) удовлетворяет следующим условиям:

1) у(и,V, р) > у при р<р;

2) у(и, V, р) < у при р> р 2, где у О (u, v, р,0,0) , р < рг .

О (и, V, р,0,0)

Тогда имеют место априорные оценки решения р=р(ы, V) обобщенного дифференциального уравнения (2) в метрике °(Б2): р< р (и, V) < р.

Доказательство. Пусть р(и,V)е С2 (Б2) является решением дифференциального уравнения (2). Функция р = р(и,V) достигает на единичной сфере Б2 минимального значения в некоторой точке (и0,V) в силу того, что сфера Б2 является компактным многообразием. В точке минимума (и0, ^ ) выполняются условия: ри = р= 0, й2р = риийи2 + 2ртйи^ + рdv2 > 0. В экстремальных точках вторые ковариантные производные относительно

метрики сферы Б12 равны соответственно рии, рш, рw : рп = рии , рХ2 =рт, рии =рт. Тогда й2 р в точке (и0, V ) имеет вид: й 2р=рхх йи2 + 2р12 ^^^ + р22 dv2 > 0. Квадратичная форма Т (Ф, р) в точке минимума

принимает вид: Т (Ф, р) = (р -ф(р)ф (и, V - 2р12ос/3 + (ри-ф(р)-ф2(и, V < 0 в силу отрицательной

эллиптичности дифференциального уравнения (2). Рассмотрим выражение

ри (рии - /(р)' рр - ф (р)' ф1 v)) - 2р2 - / (р)рир,)ри +

+р22 (р11 - /(р) ' р1 -ф (р) ' ф2 (U, V)) •

В точке (и0, v0 ) минимума функции р = р(и, v ) данное выражение преобразуется: Pu ( Pu-ф(р)-ф\ (и, v )) — 2р\2 + р22 (рп—ф(р)'ф2(и, v)) . Это выражение не является положительным в силу того, что рп > 0, р22 > 0 вследствие d 2р > 0, а р22 — ф(р)-фх (и, v ) < 0, рп —ф(р)-ф2(и, v ) < 0, так как T (Ф, р)< 0.

Al (р22 — f (р)' р1 — ф(р)ф1 (U, v)) — 2 (р12 — f (р)рuрv )А2 +

Таким образом,

+р22 (р11 — f (р) ' р1 —ф (р) ' ф2 (U, v)) < 0 Из полученного неравенства имеем:

рр — р11Ф (Р) ' ф1 (U, v) — 2Р12 + Р22Р11 — р22Ф (Р) ' ф2 (U, v) < 0 ,

р^рц— р\2 р2г — р\\Ф(р)'А(и, v ) — рцФ^р)'Ф (и, v)< 0. В силу определенности формы d2 р в

точке (и0, v0 ) р11р22 — р122 > 0, отсюда следует, что р11р22 — р22 — р11ф (р) ' ф1 (и, v) — р22ф (р) ' ф2 (и, v) < 0 . Дифференциальное уравнение (2) в точке минимума функции р = р(и, v ) переходит в равенство: рр —р12 — р1ф(р)ф1 (и, — р 'ф(р)'ф2 (и, v ) + D (и, v, р,0,0) = щ(и, v, р)' D (и, v,р,0,0). Из этого равенства и полученного выше неравенства в точке (и0, v0 ) минимума функции р = р (и, v) следует

W (и, v, р) ■ D (и, v, р, 0,0) — D (и, v, р, 0,0) =

справедливость следующего неравенства:

= р^р22 — р22 — р11ф (р) ■ ф1 (U, v) — р22 ■ ф (р) ■ ф2 (и v) < 0,

следовательно, ^ (и, v, р) • D1 (и, v, р, 0,0) < D (и, v, р, 0,0) или ^(и, v, р) < D (u v, р,°0) ,

D (и, v, р,0,0)

щ(u, ^ р)<Щ0 (3)

Предположим, что р(и0, v0 )<р. Тогда по условию теоремы 2 ^(и, v, р)>щ0, а это противоречит полученному выше неравенству (3). Следовательно, р < р(и0, v0 ) < р(и, v). Оценка в метрике С0 ( S2 ) снизу для решения дифференциального уравнения (2) получена р < р (и, v).

Получим априорную оценку в метрике С0 ( S2 ) решения р (и, v ) дифференциального уравнения (2) сверху. Рассмотрим следующую квадратичную форму:

(—f (р) ' р1 —ф(р)'ф11v))+ 2f (р) рирт>аР + (—f (р) ■ р1 —ф (р) ■ ф2 (u, v)) P. Ее дискриминант равен (——f (р)'р —ф(р)'ф1 (и,v))(—f(р)'р2 —ф(р)'ф2 (и,v)) — f2 (р)р2р2 = = f2 (р)р2р2 +ф(р)'ф1 (и,v) f (р)'р2 + ф(р)'ф2 (и,v) f (р)'р2 + +ф2 (р)'ф1 ( и, v )ф ( и, v ) — f2 (р)р2р2 =

= ф (р) ' ф1 (и, v) f (р) ' р2 + ф(р)' ф2 (и, v) f (р) ' р] + ф2 (р) ' ф1 (и, v)ф (и, v) > 0,

так как на функции ф(р)0, ф1(и, v), ф2(и, v) и /(о) были наложены условия: ф(р)>0, ф1(и, v)>0, ф2(и, v)>0, fp)>0. Далее, коэффициент при а2 : — f(р)'рр —ф(р)'ф(и,v)<0 в силу тех же условий. Тогда

(—f (р) ' рр —ф(р)'ф1 (и, v))а2 + 2f (р) f^^^^^P + (—f (р) • р2 — ф (р) • фр (и, v)) А2 < 0.

Пусть, далее, (щ, vl ) является точкой сферы, в которой функция р(и, v) достигает максимального значения. Это возможно в силу компактности сферы S2 как двумерного многообразия. Тогда в этой точке

d2р = ртdl12 + 2+ р^2 < 0 , ри =рv = 0 , р11 =рии , р12 =рт , р22 =рw . Рассмотрим выражение:

рп (—f (р) ' р1—ф(р)-ф1 (u, v)) + р f (р) PuPv + ррр • (—f(р) • р1—ф(р)-ф2 (и v)) . В точке (и1, v1 )

максимума функции р = р(и, v ) приведенное выше выражение примет вид:

—р1ф(р)'ф (u,v) — р22-ф(р)-ф2 (u,v). Так как ф(р)>0, ^(u, v)>0, ф2(и, v)>0, а в точке максимума — рп > 0 ,

—р22 > 0, то имеем следующее неравенство : —р ф(р)' ф (и, v) — р22 ' ф (р) ф2 (и, v) > 0 .

Дифференциальное уравнение (2) в точке (и, v ) максимума функции р = р(и, v) преобразуется в неравенство:

рр22 - р2 - рцф (Р) ' ф1 (и v) -ргг 'ф (р) ' ф2 (u, v) + О (u, v, Л 0,0) = У (и v, Р) ' О (и v, P, 0,0) •

В точке (щ, V) й2р < 0, следовательно, рр -р22 > 0 силу определенности формы й2р. Тогда

рцр22 - р22 -рф(р) • ф1 (и V) - р22ф (р) • ф2 (и V) > 0 .

Из последнего неравенства и полученного из уравнения (2) равенства имеем: у (и, V, р)- О (и, V, р, 0,0) — О (и, V, р,0,0)> 0. Это означает, что

, , , , , , , \ О (и, V, р,0,0) У (и, V, р) ■ О (и, V, р,0,0)> О (и, V, р,0,0) или и, V, р)>^-. Таким образом, функция

у/(и, V, р) в точке (щ, V ) максимума функции р = р(и, V) удовлетворяет неравенству: и, V, р)>у0......(4).

Допустим, что р(щ, V )> р . Тогда по условию теоремы 2 имеет место неравенство: У (и, V, р)<у0 , что

противоречит полученному неравенству (4). Следовательно, р(и,vl)<р. Это означает, что

р(и, V) < р(и, V )<р или р( и, V )<р. Оценка сверху в метрике С0 (Б2) решения дифференциального уравнения (2) получена.

Таким образом, в целом имеем р < р(и, V) < р. Теорема доказана.

Следствие 1. Результат теоремы 2 совпадает с результатом теоремы 1 в случае рассмотрения уравнения (1) на Б2

в трехмерном пространстве Лобачевского Н3.

Уравнение (1) есть частный случай уравнения (2). В самом деле, здесь

D{и,v,р,ри,p) = -1 pi cosv + p + 2p2 + 2pp cos2 v + sh2 pcos2 v

2 Л

2

cos v J

{pp cos2 v + pp + sh2p cos2 v) . . . .

D {и, v, p, pu, pv ) = ±-2-, f {p) = 2 cthp > 0, ф{p)= shp■ chp > 0, ф {и, v) = 1 > 0:

ф2 {и, v) = cos2 v > 0. Тогда D{и, v,p, 0,0) = sh2pcos2 v, D {и,v,p,0,0) = {Sh ^^ V) = shpcos2 v,

cos v

D {и, v, p, 0,0) sh2pcos2 v 1 v 1 , w, ^ ч ^ = —--- =---=-. Второе условие теоремы 1: Kint = —-—+ h(n,v,p) , где

D {и, v, p, 0,0) sh4p cos2 v sh2p sh p

2 1

h(u, v, p) > 0 внутри сферы S , равносильно условию Kmt > —-— при p< p, то есть Kint > у/0 при p < p.

pi sh p

Аналогично, условие: Kint (м, v, p) = —i--+ h(w, v, p) , где h(w, v, p) < 0 вне сферы S2 равносильно условию

sh p p

Kmt < —1— при p> p, то есть Kint {и, v, p) > ц/0 при p> p, что совпадает с условиями теоремы 2. sh p

Следствие.2 Геометрическая задача восстановления замкнутой выпуклой гомеоморфной сфере поверхности F в трехмерном евклидовом пространстве Е. Рассматривается класс регулярных выпуклых гомеоморфных S2 поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность F этого класса задается уравнением: F: р=р(и, v), р, u, v - сферические координаты в Е3. Рассмотрим S2 как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u, v каждой карты выполнялось неравенство: sin и > x > 0. Пусть в Е3\{0} определена функция K(u, v, р) е {S2 х R + ). Тогда функция р=р(и, v), задающая поверхность F данного класса, в каждой точке которой гауссова кривизна равна значению функции K(u, v, р) в этой же точке, удовлетворяет

следующему отрицательно эллиптичному уравнению типа Монжа-Ампера на S2 [1]:

2 2-2 2 2 , p+psin^^ „ p p p + p

pp - p22 - p pv-p-+ 2p2 ■ 2 pp - p22 ■ pM-p =

p p p (5)

\ 2

2*2 ° ° * °

( 2-2 2 2 • 2 \

p„ sin и +p2 +P sin и) H 2 • 2 0 2 2 • 2 \

= К 1И, v,p)-----—12p sin и + 2pv+p sin и),

sin и v и v '

sin и > 0.

2

Уравнение (5) есть частный случай уравнения (2). Здесь f (р) = — > 0, ф{р) = р> 0, ф (и, v ) = sin2 и > 0,

р

ф(и, v) = 1 > 0,

D(и v, р, ри, Pv) = 2Ри2 sin2 и + 2Рр + Р2 sin2 и, Di (и, v, р, Ри, Pv ) = (р1 sin2 и + 2рр + р2 sin2 и)2,

Sin и

у (и, v, р) = K (и, v, р),

D(uv,р'°'°) =_p2sin2 u_= p2sin4 u =±. Тогда A < p(u,v) < p2, если K(u,v,p) >± при

D (uV P,°,0) ^V(p2sin2 u)2 P4sin4 u P2 p

2

sin2 u

p < p и K (u, V, p) < —- при p> p2, то есть поверхность F при данных условиях расположена между сферами

Sp и Sp2 в Еъ с радиусамир\ ир2 соответственно. Результат следствия 2 совпадает с результатом работы [1].

Литература

1. Верещагин Б.М. Восстановление замкнутой выпуклой поверхности по данной функции гауссовой кривизны // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. Л. И. Герцена. - Л., 1979. - С. 7-12.

2. Филимонова А.П. Оценки в метрике С2 и единственность выпуклой гомеоморфной сфере поверхности с заданной гауссовой кривизной в Н3 // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. Л. И. Герцена. -Л., 1979. - С. 64-68.

3. Филимонова А.П., Юрьева Т.А. Единственность решения уравнения Монжа-Ампера некоторого класса на сфере как двумерном многообразии // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - т № 6-5 (48). -С. 107-110.

References

1. Vereshhagin B.M. Vosstanovlenie zamknutoj vypukloj poverhnosti po dannoj funkcii gaussovoj krivizny // Voprosy global'noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. - LGPI im. L. I. Gercena. - L., 1979. - P. 7-12.

2. Filimonova A.P. Ocenki v metrike С2 i edinstvennost' vypukloj gomeomorfnoj sfere poverhnosti s zadannoj gaussovoj kriviznoj v Н3 // Voprosy global'noj geometrii: Sb. nauchn. trudov. - LGPI im. L. I. Gercena. - L., 1979. - P. 64-68.

3. Filimonova A.P., Jur'eva T.A. Edinstvennost' reshenija uravnenija Monzha-Ampera nekotorogo klassa na sfere kak dvumernom mnogoobrazii // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. - 2016. - t № 6-5 (48). - P. 107-110.