Лагранжева форма условий оптимальности для выпукло-гладких экстремальных задач в R𝑛 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

А. Г. Бирюков

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Лагранжева форма условий оптимальности для выпукло-гладких экстремальных задач в Мп

Предложено определение выпукло-гладких функций и выпукло-гладких экстремальных задач в М". Доказаны теоремы о необходимом условии экстремума выпукло-гладких задач математического программирования.

Ключевые слова: выпуклые функции, гладкие функции, выпукло-гладкие функции, выпуклые задачи математического программирования, гладкие задачи математического программирования, выпукло-гладкие задачи математического программирования, необходимые условия оптимальности, экстремальные задачи в М".

A. G. Biryukov Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Lagrangian form of optimality conditions for convex-smooth extremal problems in 1

The definition of convex smooth functions and convex smooth extremal problems is proposed. Theorems of the necessary condition for the extremum of convex-smooth problems of mathematical programming are proved.

Key words: convex functions, convex problems of mathematical programming, smooth problems of mathematical programming, convex smooth problems of mathematical programming, necessary optimality conditions, extremal problems in 1".

1. Введение

В статье рассматриваются условия оптимальности для экстремальной задачи в Мга:

min f (х), (1)

xEGcMn

где G = {х £ Мга : <fi(x) ^ 0, i = 1 ,m; hj(х) = 0,j = 1,1; х £ П} , П С Rra - выпуклое замкнутое множество.

Задача 1 называется общей задачей математического программирования (ОМП). В учебно-научной литературе ([1^4] и др.) условия оптимальности в форме Лагранжа обычно рассматриваются:

а) для гладких задач ОМП, в которых функции / и^, г = 1,т дифференцируемые, а функции hj, j = 1,1 - непрерывно-дифференцируемые;

б) для выпуклых задач ОМП, в которых функция f выпукла и множество G выпуклое. В настоящей работе рассматриваются необходимые условия оптимальности (НУО) для

более широкого класса экстремальных задач, названного выпукло-гладкой задачей ОМП, для которой выпуклая и гладкая задачи ОМП являются частными случаями.

Бирюков А. Г., 2018

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2018

Определение 1. Функция f : М С Кга ^ R1 называется выпукло-гладкой (ВГ), если она представлена в виде: f(x) = fB(x) + /д(x), х £ М, где fB(x) - выпуклая недифференцируемая функция, f^(x) - гладкая (дифференцируемая) функция.

Так как функция /в = 0 - выпуклая и /д = 0 - гладкая, то если f - выпуклая или f -гладкая, то она выпукло-гладкая.

Определение 2. Вектор а = а + Vf^(x) называется квазиградиентом выпукло-гладкой функции, если а £ dfB(x), dfB(х) - субдифференциал функции fB(x), а - его субградиент, V ffl(x) - градиент функции /д (x).

Очевидно, что производная ВГ функции f(x), x £ Rra в точке xo по направлению у f'(xo у) = lim /(Х°+av)-f (Х°) существует.

' а^+0 а

Определение 3. Задача 1 называется выпукл о-гладкой, если в ней хотя бы одна из функций f и tpi, i = 1,т, hj, j = 1,1 - выпукло-гладкая, множество П С Шп - либо выпукло, либо определяется системой ограничений, которые задаются выпукл о-гладкими функциями.

Определение 4. Множество J(xo) называется множеством индексов активных ограничений задачи 1 в точке xo £ G, если J(xo) = (г £ [1,т] : ^i(xo) = 0}. Ограничения ^i(xo), i £ J(xo) называются активными ограничениями в точке xo £ G, а ограничения <ßi(xo), i £ J(xo) — неактивными.

Термин «выпукло-гладкая задача ОМП» был введен в [5], но определение 3 ВГ задачи более общее, чем в [5], и поэтому приведем доказательство НУО. В настоящей работе рассматривается вариант ВГ задачи, в которой функции hj(x), j = 1,1 непрерывно дифференцируемы в окрестности некоторой точки xo £ G. При этих условиях все

G

Определение 5. Пусть G С Мга— некоторое множество, и xo £ G (замыкание множества G). Касательным (контингентным) конусом ко множеству G в точке xo £ G называется множество Т(xo, G) = (Xz : 3(xk} С G, xk ^ xo, Jim цХ^-Х°ц = z, X ^ 0}.

Если xo - изолированная точка, то Т(xo) =0 = 0га £ Мга. Очевидно, ||z|| = 1.

Определение 6. Пусть в некоторой точке xo £ G существует ненулевой конус Т(xo, G), и для функции f(x) на (xk} С G определена последовательность (f(xk)} ,k ^ ж. Производной функции f(x), x £ G, по касательному направлению z £ Т(xo,G) назовем величину /1(xo, z) = lim ^^)-Х(х°), если предел в правой части равенства существует.

2. Условия оптимальности для выпукл о-гладких экстремальных задач

Сначала рассмотрим некоторые свойства конуса Т(xo, G) и производной //(xo, z).

Лемма 1.

1) Конус Т(xo,G) замкнут, (из [4]).

2) Если G = (x £ Мга : hj(x) = 0,j = 1,I}, функции hj,j = 1,1 - непрерывно дифференцируемы в некоторой окрест,ност,и точки xo £ G, Vhj(xo),j = 1,1 линейно независимы, то Т(xo, z) = (z £ Rra : Vhp(xo)z = 0,j = 1,1} (из [6]).

3) Если С = [х £ Мга : <(х) ^ 0, { = 1,т; ^(х) = = 1,I}, х0 £ С; <г, г = 1,т - дифференцируемы в точке х0, ^ - непрерывно дифференцируемы в окрест,ноет,и точки х0, У<г(хо), г £ 3(х0), Vhj(хо), ] = 1,1 - линейно независимы, то Т(хо, С) = [г£ Мга : (хо)г < 0, г£ 3(хо); ЧЩ(хо)г = 0, ] = М} (из [61).

4) Пусть G = (x £ Мга : ^>i(x) ^ 0, i = 1,т}, функции <рi, i = 1,т выпуклы на Rra, intG = 0, тогда Т(xo,G) = (z £ Rra :ajz < 0, i£ J(xo) Vai £ dißi(xo), i £ J(xo)} (из [5]).

Теорема 1 (из [4]). Пусть в задаче 1: min f(х), х £ G С Мга в точке х* £ G существует ненулевой касательный конус Т(x*,G) и существует производная fT (х*, z) Vz £ Т (х* ,G). Тогда, если х* - решение задачи (1), то

fT(x*,z) ^ 0 Vz £ Т(x*,G). (2)

Если функция f дифференцируема в х*, то условие (2) имеет вид Vf (x*)Tz ^ 0 Vz £ Т(x*,G).

Если f выпукла на Мга, то условие (2) имеет вид f(x*,z) ^ 0 Vz £ Т(x*,G), где f(x*,z)= lim f(** +a)-f(**). □

а^+0 а

Лемма 2. Пусть Gi С Мга, г = 1,т непустые множества, и П Gi = G = 0, в точке

г=1

т

х £ G для всех множеств существуют касательные конусы, тогда Т(x,G) С П Т(x,Gi).

i=1

Доказательство. Очевидно, что С С Сг, г = 1,т и Т(х,С) С Т(х,Сг), г = 1,т,

т

тогда и Т (х, С) С П Т (х, С г). Для сопряженных конусов справедливо обратное включение:

г=1

*

\*

(д т

Т(х, Gi) ) С Т(x,G)*. □

Ле мма 3. Пусть множество G = G1 Р| G2 = 0 и замкну то, intG1 = 0, intG2 = 0, и intG1f] G2 = 0*; х0 £ dG1 Р| G2, где dG1 - граница, множества G1 .Пусть конусы Т (х0, G1) и Т(хо, G2) выпуклые. Тогда Т(х0, G) = Т(х0, G{) П Т(х0, G2). Если же вместо условия * -intG1f] G2 = 0, то существуют а1 £ Т(x0,G1)* и а2 £ Т(x0,G2)*, не равные нулю такие, что а1 + а2 = 0.

Доказательство. Так как по лемме 2 Т(x0,G) С Т(жсьС^П Т(x0,G2), рассмотрим

z £ Т(жсьС^П Т(х0, G2). Вектор z £ Т(x0,G2), тогда в достаточно малой окрестности

точки х0 : xk = х0 + akz + o(ak) £ G2, lim = 0, и т.к. intG1C\ G2 = 0, то

ak ^+0 ak

xk = x0 + akz £ intG1 и xk £ intG1, т.е. xk £ G. Значит, akz £ T(x0,G), z £ T(x0,G) и TT(x0,G2) С T(x0,G). Учитывая обратное включение (лемма 2), получим

Если же предположить, что intG-i^f] G2 = 0, то и intT(x0,G1)^\iiT (x0,G2) = 0, т.к. в противном случае intT(ж^С^П^(x0,G2) = 0, intG1f) G2 = 0 - имеем первое

Известно, что если ÜM2 = 0, где М1,М2 - выпуклые конусы, то существуют

а1 £ М* и а1 £ М* такие, что а1 + а2 = 0 [7]. Лемма доказана. □ Также легко доказывается следующая лемма:

Лемма 4. Пусть G1, G2— замкнутые множества, множество G = ^ Р| G2 и х0 £ dG1['\ dG2, int^ П intG2 = 0, конусы T(x0G1), T(x0, G2) выпуклые.

Тогда T(х0, G) = Т(х0, G1 ) Р| Т(х0, G2). Если же intG1f] intG2 = 0, то найдутся т,акие а1 £ Т(х0, G1)* и а2 £ Т(х0, G2)*, что а1 + а2 = 0.

□□

Замечание 1. Очевидны обобщения (пусть Х0 £ G):

1) Если G = П Gi; intGi = 0, г = 1,т1; intGi = 0, г = т1 + 1,т

i=1

(mi \ I т \ m

mi П^П П Gi\ = 0, то Т(X0,G) = П^(x0,Gi); а также,

i=1Z \i=mi+1 / г=1

(mi \ ( m \

n intGA П П Gn = 0, то существуют не все равные нулю г=1 ) уг=т1+1 J

если ( П intGi] т п G

,i=mi+1

ai £ Т(х0, Gi)*, i = 1,m такие, что Y^r[=1 аг = 0.

2) Если П™1 intGi = 0, то Т(xo,G) = П Т(xo,Gi); если же П™1 intGi = 0, то

г=1

\*

существуют не все равные нулю сц £ Т(x0, Gi)*, такие, что YH=1 аг = 0. 1=1 Функция Лагранжа выпукло-гладкой (ВГ) задачи ОМП имеет вид

m I

L(x, X, ß) = Xof (x) + Xiipi(x) + ßjhj(x), Xi > 0, i = 0,m, x £ П, i=i j=i

где П С Rra - выпуклое замкнутое множество.

Определение 7. Пусть дана экстремальная задач а (ЭЗ): найти min f(x),x £ G С Rra, где G = P|i=iGi = 0; x*- решение задачи. Множество G называется регулярным в точке x0 £ G, если Т(x0,G) = Р||=1Т(x0, Gi). ЭЗ называется регулярной, если множество G в x* £ G

Замечание 2. Если ЭЗ регулярна, то в функции Лагранжа множитель Xo можно взять равным 1(из [2]). Обозначим:

а) V f (x) - градиент, если f - дифференцируемая функция и а £ df (x) - субградиент функции f, если f - выпуклая, а = а + V fд(x) - квазиградиент ВГ функции f.

б) Ci = Vpi(x), г £ [1,m], если pi - дифференцируемая функция, сц - субградиент, Ci £ dipi(x), если pi— выпуклая функция, äi = а + Vpi(x) - квазиградиент ВГ функции pi.

в) Vhj (x) - градиент непрерывно дифференцируемой функции hj (x), j = 1,1. Также введем обозначения:

Gi = {x £ Rra : tfi(x) < 0}, i = 1, m,

GH = {x £ Rra : Pi(x) < 0, i = 1m},

Gp = {x £ Rra : hj(x) =0, j = 1J},

Т(xo, Gi) = {z £ Rra : alz < 0, а £ d<pi(xo)}, i £ J(xo),

Т(x0, GH) = {z £ Rra : ajz ^ 0, Ci £ dpi(x0), i £ J(x0)}, если intGH = 0, Т(xo,GB)* = {a £ Rra :a = Ei(-Xi)ai, Xi > 0, а £ dpi(xo), i £ J(xo)} (из [5]),

Т(xo, П) = {z £ Rra : aTz > 0}, где an £ Т(xo, П)*,___

Т(xo,Gp) = {z £ Rra : Vhj(x^ z = 0, j = 1, l}, если Vhj(xo), j = 1,1 линейно независимы,

Т(xo, Gp)* = {a £ Rra :a = Y!=1 Vh3(xo)} (из [6]).

Лемма 5. Пусть p(x) - ВГ функция, множество G = {x £ Rra : p(x) ^ 0} , intG = 0, ((xo) = 0.

Тогда Т(xo, G) = {z£ Rra :Ctz < 0} , a = Vpd(xo) + a, a £ дрв(xo). Доказательство. Пусть z £ Т(x0, G). Тогда x = x0 + az + o(a) £ G, а > 0, а ^ 0.

0 > v(x)-f(xo) H 0 > Iim <f(x)-<f(xo) = <f(xo+az+o(a)) = <f(xo)+a<f'(xo,z)+o(a) =

a ^ am a am a am a

= p'(x0, z) = VpÄ(x0)T z + p'(x0, z) > VpÄ(x0)T z + aTz = äTz Va £ dpB(x0), т.к. ((x0, z) > aTz (из [2]).

Обозначим T(xo,G) = {z £ Rra : Ctz ^ 0}. Очевидно, T(xo,G) - выпуклый конус. Так как intG = 0, то и iиЪТ(x0,G) = 0. Пусть z £ гиЪТ(x0,G), тогда и xk = (x0 + аz) £ G

при достаточно малом а > 0. Взяв lim xk-x° = z, получим, что z £ Т(xo,G)

am а

и тЬТ(xo, G) С Т(xo, G), где ШТ (xo,G) = { z £ Rra : Ctz < 0} . Поэтому замыкание

ЫТ(xo, G) = Т(xo, G) и Т(xo, G) = Т(xo, G) = {z£ Rra :äTz < ^ , ä £ Т(xo, G)*.

Следствие 1. Если в лемме 5 положить, что G = {x £ Rra : p(x) > 0} , то очевидно, что Т(xo, G) = {z £ Rra : äTz > 0} .

Лемма 6. Пусть в задаче 1 П = Мга, функции ¡, (рг, г = 1,т выпукло-гладкие, Ъ^, ] = 1,1 - непрерывно дифференцируемые, хо € О, С = 0.

Тогда л,ибо Т(хо,С) = Т(жо,Ср)П(ПТ(хо,Сг)), г € 3(х0), либо существуют

не все равные нулю Хг ^ 0, г € 3(х0), ^^, ] = 1,1 т,акие, что й = ^г&г + ^=-1. УЪ^(хо) = 0, г € 3(хо), где а^ € Т(хо,Сг)*. Доказательство.

1) Предположим, что ^Ъ(хо), ] = 1,1 - линейно зависимы. Тогда существуют не все равные нулю , ] = 1,1, такие что а = ^^=1 ^з= 0. Взяв Хг = 0, I € 3(жо), получим доказательство леммы для этого случая.

2) Предположим, что шШг = 0, г € 3(хо), то ^\гпЪСг = 0, г € 3(жо). Тогда по лемме

4 существуют такие Xi, i = 1,т, что Yli^i= 0, i £ 3(х0). Взяв ßj = 0, j = 1,1, получим доказательство леммы для этого случая.

3) Предположим теперь, что Р| intGi = 0, i £ 3(х0) и Y^!j=1 ßjVhj(x0) = 0, где хотя бы для одного j ßj = 0. Если int (f|iGi)f]Gp = 0, i £ 3(x0), то по лемме 3 и замечанию к лемме 4 Т(x0,G) = Т(x0,Gp) П ^ П^(%0,Gi)^ , г £ J(ж0), т.е. получили

4) Пусть теперь int (П^ G{)f) Gp = 0, но int (П^ Gi) = 0 и Y^j=1 ßjVhj(x0) = 0, i £ 3(x0), тогда по Лемме 3 и замечанию к Лемме 4 существуют Xi ^ 0, ^^ Xiäi = 0 такие, что

а = - Y^i käi + T!j=1 ßjVhj(x0) = 0, i £ J(X0). □□

Рассмотрим условия оптимальности регулярной ВГ задачи математического программирования (МП), когда множество П = Жп.

Пусть f (х) = Д(х) + Д(х), х £ G С Мга

Задача: найти

min (Д(х) + Д(х)), х £ G С Мга, (3)

где Д(х) - выпуклая на Шп, Д(х) - дифференцируемая на Шп.

Теорема 2. Пусть точка х* £ G - решение регулярной задачи МП, тогда 3 а такой, что а = а + УД (ж*) £ Т (x*,G)*, где Т (x,G) и Т (x*,G)* - касательный и сопряженный ему конусы, а £ dfB (х).

Доказательство. По теореме 1, если ж* £ G решение задачи, то f (x*,z) > 0 Vz £ Т(x*,G).

Т.к. f'B(x,z) = aTz, где а £ dfB(x) - некоторый субградиент, f (x,z) = УД(x)Tz, то (а + УД(х*)) z ^ 0 Vz £ Т(х*,М), т.е.

а + УД(х*) £ Т(x*,G)*. (4)

Следствие 2. Пусть задача, математического программирования (МП) регулярна, G = {х £ Мга : (р(х) ^ 0, i = 1,т, hj(x) = 0, j = 1,1} .Тогда, если х* - решение задачи 3, то существуют тлкие ß*, X* ^ 0, что

m

а0 + УД(х*) + Х*аг + ß*yhj(x*) = 0, (5)

=1 =1

где

X* =0, i£ 3(х*0), h j(x*) = 0, j = 1,1

X* > 0, Xia(x*) = 0, i = 1,m; hj(x*) = 0, j = 1, l. Доказательство. По лемме 6

Т(x, G) = {z £ Rra : hz < 0, i£ J(xo); Vhj(x*)Tz = 0, j = 1J} (6)

и Т(x, G)* = {d £ Rn : d = - Y.?=i Xiai + YJlj=l ßjVhj(x), ßj £ R1, i = м} . Теперь из включения 4 и 6 получаем утверждение 5. □

Следствие 3. Пусть задача безусловной минимизации (БМ) - выпукло-гладкая. Если точка x* £ Rn - ее решение, то существует a £ dfe(x*) такой, что a + V fg(x*) = 0. □

Утверждение следует из теоремы 2, т.к. в задаче безусловной минимизации (БМ) Т(x*, Rra)* = 0.

Лемма 7 (из [5]). Пусть П С Rra— выпуклое множество. Тогда, П = Щ Р| П2, где П1 = (П + (LinP)*);П2 = Af Щ; int (n + (LinP)*) = ггП + ri(LinP)*, где Af fn

- аффинная оболочка множества П, Linn и (Linn)* - линейное подпространство, параллельное П и сопряженное к нему (ортогональное дополнение) подпространство. □

П1 : П1

является множество П, а образующими - подпространство (LiпП)* . Рассмотрим теперь свойства конуса Т(xo,G) для ВГ задачи ОМП (1).

Теорема 3. Пусть задача, ОМП 1 - выпукло-гладкая, x0 £ G, G = 0, hj, j = 1,1

- непрерывно дифференцируемые функции, множество П С Rra - выпуклое и

замкнутое. Тогда, либо Т (x0,G) = Т (x0, П)Р|Т (x0,Gp)^ ( Р|Т (x0,Gi)) ,i £ J (x0), либо

\ г /

существуют не все равные нулю ап, ^ ^ 0, i е 3(х0), , ] = 1,1 т,акие, что а = ап - + У^(х0) = 0, iеJ (хо), сц еТ (хо,Сг)*.

Доказательство. Если множество аффинное, то его всегда можно представить в виде Ах = Ь, х е Мга, Ье М5, А е М^га (из [4]), т.е. П2 = А/Щ = {х е Мга : Ах = Ь, Ье М5}.

Тогда задачу 1 можно представить в виде: найти шт/(х), х е С С Мга, где С = Ср Р| Съ,

~Ор = П р| Ср = {х е Мга : к](х) = 0, 2 = 1,1; Ах = Ь} = {х е Мга : к] (х) =0, ] = И^Тз},

(7)

С = П^(ПсЛ , гез(хо).

ПН

Таким образом, в этом случае задача ОМП 1 сведена к задаче МП, рассматриваемой в лемме 6, в которой вместо множества Gp надо поставить Gp, а вместо множества Gi, i £ J(жо) - множества Щ и те же Gi, i £ J(хо), пересечение которых есть GB. Теперь, применяя к задаче ОМП 1 Лемму 6, в регулярном случае получим

Т (хо, G) =Т (хо, П1) р|Т (хо, П) П (xo,Gi)^j , i £ J (хо).

Так как П1, П2 и П = П^ Р| П2 - выпуклые множества, i пШ-1 Р| г i П2 = Ч>, то ([5], стр. 105)

Т(хо, П) = Т(хо, П1) П Т(хо, П2)

и

Т (хо, G) =Т (хо, П) р|Т (хо^р) П(^ПТ (хо, , Í£J (хо). (8)

В нерегулярном случае, учитывая в лемме 6 п. 4 конус Т(хо, П), для которого существует ап € Т(хо, П)*, получим, что существуют не все равные нулю элементы сопряженных

конусов, такие, ЧТО а = ап — £г ^г^г + У^(ж0) = 0, ! € ■](хо), а,г € Т(х0,Ог)*.

□

Замечание 3.

Если ограничение ^г, г € ^(хо) неактивно, то ^г(хо) < 0 и хо внутренняя точка множества Сг, г € ^(х0). Следовательно, Т(х0, С^ = М" и Т(х0, Сг)* =0, \ = 0, г € ^(ж0). Тогда в теореме 2 вместо ^.¡^ Х^ц, г € 3(жо), можно поставить '^[=1 ^г&г.

Теорема 4. Пусть в ВГ задаче ОМП функции Ъ*(х), ] = 1,1 непрерывно дифференцируемы в окрест,ност,и точки х* € О, множество П С М" - выпукло и замкнуто. Тогда, если х* - решение задачи 1, то существуют не все равные нулю числа,

А* ^ 0, % = 0, т, числа ц,*, ] = 1,1 и векторы а,г € М", % = 0,т такие, что

т

I

Ч

А0а + X*сц + $УЪ* (х*) I (х — х*) ^ 0 Ух € П С М", (9)

гел(х*) з=1

X* ^ 0, X*&(х*) =0, г = 1,т.

Доказательство. По теореме 2 необходимое условие экстремума для задачи 1 имеет вид

а = а + УД(х*) € Т(х*,С). Если задача регулярна, тогда, используя теорему 2, запишем

^з=1 ^зУ

при АО = 1 а = Х*оа = ап — £Т=\ Ксц + £)=1»*УЪ(х*), где А* = 0, г € 3(х*).

Если задача нерегулярна, то ап — £г[=1 А*сц + УЪ*(х*) = ХОа = 0 при АО = 0.

Представим

т I

ап = ХОа + ^ А* щ + ^ ц* УЪ* (х*) (10)

г=1 3=1

для регулярного и нерегулярного случая.

Для выпуклого множества П : а^х — х*) ^ 0 Ух € П (из [4]). Подставляя в неравенство значение ап, получим

т

Х*оа + ^ йг + ^ УЪ*(х*)| (х — х*) ^ 0 Ух€ П. (11)

г=1 *=1 )

Так как числа , ] = 1,1, не ограничены по знаку, то числа в (10) равны (—у*) в (11), но для упрощения записи их обозначения оставлены без изменения. Теорема доказана. □

Замечание 4. Выпукло-гладкая задача ОМП является наиболее общей задачей, рассматриваемой в настоящей работе.

а) Если задача МП - выпукло-гладкая (П = И""), то условие (9) будет иметь вид

I

Х*оа + ^ X*сц + ^ V*УЪ*(х*) = 0, (12)

íeJ(х*) *=1

X* ^ 0, X*&(х*) =0, г = 1,т.

б) Если задача (1) выпукло-гладкая (П = И"), ограничения ^ч(х) ^ 0, { = 1,т отсутствуют, то условие (12) будет иметь вид

I

Хоа + ^ УЪ* (х*) = 0, Хо ^ 0. (13)

*=1

Приведем примеры решения ВГ задач, используя НУО (13) и (12). Задача 1. Найти шт(|х| + 1у1 — х2 — 2у2), если х2 + 2у2 = 4. Квазиградиент целевой функции:

(

а — 2х

Р — 4У

где а Е [—1,1} : а = 1, если х > 0; а = — 1, если х < 0; Р Е [—1,1} : Р = 1, если у > 0; Р = — 1, если у < 0.

Задачу будем считать регулярной, тогда условие (12):

а — 2 х Р—4 х2 + 2 у2 = 4.

Ч 4х)=0•

Из первого уравнения этой системы получим

= 2Ху и 2ау = рх; М =

а) Пусть |а| = 1Р| = 1. Тогда 1у Имеем 4 стационарных точки:

|х|

а) Пусть а = иРl = 1. Тогда Ы = -Х, х2 = §, у2 = 3, X = = 1 — ^ = 1 — ~ 0, 694.

(х \ =( (х\ =( -I ( х \ =( 3 (х \ =( — ¿■Л ^

ил = 1 $ • и Л = 1 ^ Л = 1 = 1 —■$ )

В этих точках функция Лагранжа дважды дифференцируемая, и /* = —1, 552.

тп = ( 2(Х — 1) 0 \ Тху V 0 4(Х — 1) )

и при X < 1 матриц а Ь'Ху — отрицательно определена. Значит, указанные 4 стационарных точки - это точки максимума.

б) Пусть теп ер ь х = 0 и ^ = у/2. Касательный конус в этих точках Т(0,у/2) = {г Е И2 : х2 = 0} . Квазиградиент в этих точках:

а — 4У ).

Применим теперь достаточное условие острого минимума.

Теорема 5 (из [5]). Пусть / - функция, определенная на множестве С; существует ненулевой касательный конус в точке х* Е С и непрерывная по г Е Т(х*,С), ||,г|| = 1 производная, по касательному направлению /^(х*, г). Тогда х* - точка острого (строгого) локального минимума функции /(х) в том и только в том случае, если /!г (х*, г) > 0. □

Производная по направлению /'(х,у, г) = аТг, аТг = аг\, |г^ = 1. Направлений два: х\ = —1, Х\ = 1.

аТг = аг\ = 1 > 0, т.к. при г\ = —1 а = —1; при г\ = 1 а = 1.

Т.к. аТг > 0, то по теореме 5 точки х = 0, у = ±у/2 - точки локального острого минимума,

/* = /2 — 4 ~ —2, 586.

в) Пусть теперь у = 0, ^ = 2.

Касательный конус в этих точках Т(|х| =2; 0) = {г Е К2 : = 0} .

Квазиградиент в этих точках а = ^ Са 2х ^ и атг = Рх2, |= 1. атг = Рг2 = 1 > 0,

т.к. при = —1, Р = —1; при Х2 = 1, Р = 1; таким образом, точки ^ ±2 ^ _ точки

* = 2 - 4 = -2.

Задача 2. Найти тт(х2 + 2у2), если 1x1 + 1у1 — х2 — 2-у2 ^ —4.

Квазиградиент функции ограничения-неравенства а = ^ ^ Т0Т же' ЧТ0 И В

задаче 1 для целевой функции.

Задачу будем считать регулярной; ограничение-неравенство активно, тогда условие (12):

2:)+* (т)=-•

х1 + у —х2 — 2 у2 + 4 = 0. Из этого уравнения, как и в задаче 1, следует, что = 2Ху и 2ау = 3х; 1-1 = ■ Ы .

а) Пусть |а| = Ц3| = 1, 1у1 = Щ-; х2 — |ж| — | = 0 —^ |ж| = 2, 208, 1у1 = 1,104.

( а — 2х \ \3 — 4у ¡,

В этих точках функция |ж| + |у|—ж2—2у2+4 дифференцируемая, У(р(х, у) = 1 а 2Х

где а = ±1 и 3 = ±1.

-„ ¡2(1 — X) 0 \ 2х

)

\х\

1Х* =( 0 4(1 — ) 'х = 1'293 > 0

Так как Ь < 0иА> 0, то точки ( не могут быть точками максимума или

минимума. В этих точках значение целевой функции $ = 7, 31.

б) Пусть х = 0. Тогда ^ — 2у2 + 4 = 0 и |у| = 1,686, А=> 0. В этих

а — 2х \ = ( а 3 — 4у ) = \3 — 4у

у = 1,686,3 = 1, а ={ а~-лл \ , а € [—1,1}иатг = — 5, 744x2 < 0

точках касательный конус Т = (г : атг ^ 0| , где а = ( а 2 \ = \ а ). Пусть

1 1 V 3 — 4у ) V 3 — 4у ) '

—5, 744

Значит, Т = {г € М2 : г1 — 5, 744г2 ^ 0; г1 + 5, 744г2 ^ 0} - выпуклый конус.

( 0 \ / 0 \ .. 1 1 ( 0,172 \ 2 ( 0,172 \ У/ ) = {0, 744 ); ^^ ^ ={°,, 972 ) , * ={—0,985 )

1 2

У^ = ( 0у ) ; ^'(0, у, Х) = 6, 744г1 = 6, 744 ■ 0, 985 = 6, 64 > 0.

0

±1, 686

/* = 2у2 = 5, 685

в) Пусть ^ = 0, тогда — х2 + 4 = 0 и = 2, 562, Х=тХ—- = 1, 242 > 0

а — 2х\ = (а — 4,124

3 — 4 = 3

атг = —4,124л + 3¿2 < 0.

Для значений 3 = ±1 Т = {г : —4,124Х1 + Х2 ^ 0; 4,124Х1 + Х2 ^ 0} - выпуклый конус.

Касательный конус Т = {г : аг ^ 0}, где а = ^^^ ^у^ = ^ а 4, ^^ ^ и

У / (х, у)=( 0х ) = (0 124 У / (X, у)тг = 2х ■ = 5,124 ^

1И1 = 1, г1 ^ 0,, г2 ^ , У / (*,у)Т* = 5,124 ■ 0, 235 = 1, 204 > 0.

Таким образом, ^ 0^ ^ - точки острого локального минимума, /* = 2, 5622 ~ 6, 56.

Заключение

Отметим основные результаты, полученные в статье:

- Предложено определение выпукл о-гладких функций, которые представляют собой сумму выпуклой недифференцируемой функции и гладкой (дифференцируемой) функции.

- Предложено определение выпукло-гладких (ВГ) задач математического программирования, в которых функции f,pi, г = 1,m, hj,j = 1,1 - выпукло-гладкие. Выпуклые и гладкие задачи ОМП являются частными случаями предложенного класса ЭЗ.

- Используя свойства выпуклых касательных конусов и производных функций по касательному направлению, доказано необходимое условие оптимальности (9) для ВГ задачи ОМП.

Литература

1. Галяев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Издательство МГУ, 1989.

2. Сухарев А.Г., Тим,охов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Физматлит, 2008.

3. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

4. Жадан В.Г. Методы оптимизации. Часть 1. М: МФТИ, 2014.

5. Бирюков А.Г. Методы оптимизации. Условия оптимальности в экстремальных задачах. М.: МФТИ, 2010.

6. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003.

7. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

References

1. Galyaev Е.М., Tikhomirov V.M. Course in the theory of extremal problems. Moscow: Publishing House of Moscow State University, 1989. (in Russian).

2. Sukharev A.G., Timokhov A.V., Fedorov V.V. Course of optimization methods. Moscow: Fizmatlit, 2008. (in Russian).

3. Pohjak, B.T. Introduction to optimization. Moscow: Nauka, 1983. (in Russian).

4. Zhadan V.G. Optimization methods. Part 1. Moscow: MIPT, 2014. (in Russian).

5. Biryukov A.G. Optimization methods. Optimalitv conditions for extremal problems. Moscow: MIPT, 2010. (in Russian).

6. Izmailov A.F., Soldatov M.V. Numerical optimization methods. Moscow: Fizmatlit, 2003. (in Russian).

7. Pshenichny B.N. Convex analysis and extremal problems. Moscow: Nauka, 1980. (in Russian).

Поступим в редакцию 13.06.2018