CC BY
26
УДК 530.145+535.33
КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА МОДЕЛИ ДИКЕ БЕЗ ПРИБЛИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ВОЛНЫ: МЕЖДУ ПОРЯДКОМ И ХАОСОМ1
В. П. Карасев, Л. Е. Коньков2, С. В. Пранц2
Сравниваются две квазиклассические версии точечной одномодовой модели Дике без приближения вращающей ся волны, которые основаны на двух схемах расцепления корреляторов высших порядков: одна содержит только корреляторы первого порядка, а другая включает корреляторы второго порядка. Показано, что обе модели демонстрируют одинаковую тонкую структуру перехода от регулярной динамики к хаотической, которая характеризуется зависимостью максимального показателя Ляпунова от величины атомно-полевой связи.
Как хорошо известно, различные варианты модели Дике [1], описывающей на квантовом уровне взаимодействие находящегося в конечном объеме (резонаторе) ансамбля двухуровневых атомов с полем излучения в дипольном приближении, широко использу ются для выявления и анализа разнообразных кооперативных и динамических эффектов: сверхизлучения, затухания и восстановления осцилляций Раби и т.д. (см., например, [2 - 7] и цитированную там литературу). В последнее время большое внимание уделяется анализу динамических режимов в таких моделях при использовании различных, в частности, квазиклассических приближений [5 - 10].
Так, в работах [4 - 6] в рамках приближений вращающейся волны (ПВВ) и среднего поля были получены решения динамических уравнений в терминах двоякопериодиче-ских эллиптических функций Вейерштрасса или Якоби, которые характеризуют хотя
Работа выполнена в рамках совместного проекта, поддержанного РФФИ (грант N 96-02-18746-а)
2Тихоокеанский океанологический институт ДВО РАН.
и сложную, но регулярную динамику системы и адекватны для анализа эффектов затухания и восстановления осцилляций Раби. В то же время в работах [8, 9] (и ранее в работах [11 - 13]) в рамках (полу)классического анализа была установлена (при некоторых значениях константы атомно-полевой связи - своеобразного "параметра порядка") возможность перехода от регулярной динамики системы к хаотической для моделей типа Дике без ПВВ. При таком анализе использовался (в явной или неявной форме) переход от операторных уравнений Гейзенберга к уравнениям для средних с помощью тех или иных процедур расцепления атомно-полевых корреляторов, которые, однако, не учитывали квантовые корреляции атомной и полевой подсистем. С другой стороны, в работах [6, 10, 14] для решения спектральных и эволюционных задач в моделях Дике в рамках ПВВ был разработан формализм, вводящий коллективные динамические переменные, которые позволяют учитывать такого рода корреляции.
Цель настояйщей работы - получить соответствующие квазиклассические динамические уравнения для одномодовой модели Дике без ПВВ с использованием коллективных переменных [10, 14] и сравнить динамические свойства полученной модели с изученной в работах [8, 9].
Одномодовая точечная (когда размер атомного образца предполагается много меньше длины волны излучения) модель Дике вне рамок ПВВ описывается гамильтонианом [1, 2]
Н = ПшИ^ + Ьш + £) + Ш0(а + а*)(Д+ + Я_) = (1)
= Ядим + + аЯ_),
где Нл\уа ~ гамильтониан модели в ПВВ, По - константа связи, коллективные атомные операторы И0 = \ — 12^=1 °± {а1,± ~ матрицы Паули) удовлетворяют коммутационным соотношениям "атомной" группы 5£/а(2) и частота моды поля в резонаторе для простоты полагается равной частоте атомного перехода (резонансное взаимодействие). Пространство Ьн квантовых состояний модели порождается базисными векторами [2]
1.7, го, {*»,}; к >= [¿!]-1/2(а+)*|0 > Ь\т,0,п,} >, (2)
где то, {_7,пг} > - базисные векторы пространств неприводимых представлений Б3
группы SUa{2), получаемые из базисных векторов отдельных атомов с помощью обобщенных коэффициентов Вигнера группы SUa(2) [2], a [&!]_1/2(a+)fc|0 > - фоковские состояния поля.
Квантовая модель (1), (2) имеет два операторных интеграла движения: гамильтониан (1) и оператор Казимира группы SUa{2) Cf = -^о + \(R+R- + R-R+), которым на классическом уровне анализа соответствуют "классические" интегралы движения: полная энергия Е и "радиус Rb сферы Блоха" Sg [8]. Поэтому "динамическое" фазовое пространство системы М.н С Sg <g> С, определяемое орбитами соответствующего гамильтонова фазового потока и задаваемое с помощью обобщенных когерентных состояний (ОКС) групп SUa(2) и Вейля W (1) [15, 16], представляет собой (некомпактное) подмногообразие, задаваемое пересечением прямого произведения сферы Sg и (полевой) комплексной плоскости С с гиперповерхностью Е = const (см. (6)).
Уравнения Гейзенберга для атомных (Я,) и полевых (а,а+) динамических перемен ных модели (1) - (2) имеют вид
^ = По (а + а')Д2, dR1
IT =
= uRx - 2П0(а + a^Ro, (3)
.daf +
г—— = —uia — 2n0Ri, dt
.da г.глп
г— = ша + ziloRi, dt
где Rx — \(R+ + R-), Л2 = x(R+ — R-)- Переход от операторных уравнений (3) к квазиклассическим уравнениям для средних осуществляется с помощью процедур расцепления корреляторов, использующих те или иные приближения, которые характе ризуют степень учета квантовых флуктуаций и корреляций между атомной и полевой подсистемами.
Простейшая система (квази)классических динамических уравнений получается из (3) с помощью использования приближения среднего поля, при котором средние от любых функций операторов Ro±,a,at заменяются теми же функциями от корреляторов первого порядка - средних < a >,< a* >,< Rq± >, что соответствует факторизации корреляторов второго порядка в произведения корреляторов первого порядка. Такая процедура расцепления корреляторов, не учитывающая квантовые флуктуации и
dRi dt
атомно-полевые корреляции, может быть реализована на ОКС прямого произве-
дения групп SUa(2) и Вейля W (1):
а) = exp(£R+ - <f ехр(с*а+ - a*a)\j, -j, {j,„<}; 0 > = = exp(tR+ - CR-)\j, {jint} > exp(aa+ - a* a)|0 > . (4)
Тогда, вводя следующие обозначения для средних
< > < R2> 2 1 t- г t
x = = = N <Ro>^=vn <a + a >>/?=7* <a~a >*
можно представить получаемую из (3) замкнутую систему динамических уравнений для корреляторов первого порядка в безразмерной форме, которая удобна для численного анализа [8, 9]:
х = -у, у = х — 4Г
z = 4flay, (5)
С = -Р,
/3 = ( + 4Пх,
где точка обозначает производную по г = uit, а ft = - безразмерная коллективная
частота Раби О. Переменные х,y,z,(,f3 задают "естественные" координаты динамического фазового пространства системы Мн, определяемого двумя вышеупомянутыми интегралами движения системы (5), которые в переменных ж, у, z, /3 задаются уравнениями
х2 + у2 + z2 = 1, (2 + р2 + 2z + 8П(х = const. (6)
Известно, что для модели Дике в ПВВ, описываемой гамильтонианом Hrwa , имеется третий интеграл движения, связанный с сохранением числа возбуждений И-о = Ro+a+a. что делает эту модель точно решаемой в ПВВ, тогда как его разрушение при отказе от ПВВ приводит к возможности возникновения динамического хаоса в классической модели Дике без ПВВ [8, 11 - 13]. Точная решаемость модели Дике в ПВВ наиболее четко проявляется при использовании вместо атомных динамических переменных R, их
кластерных аналогов V+ = aR+, Vq = Ro, V.1 = a^R- (описывающих "одетые" атомы и учитывающих явно атомно-полевые корреляции) [б]. Тогда уравнения Гейзенберга для динамических переменных V\ = |(V+ + V-), V2 = V+ - VI), V0,a,a* будут содержать в ПВВ замкнутую подсистему для переменных 14,2,0, которая решается в приближении среднего поля в терминах эллиптических функций [4-6]. Поэтому представляется естественным иследовать динамические режимы в других по сравнению с (5) квази классических моделях, порождаемых гамильтонианом (1) и использующих кластерные переменные Vi,2,о-
Простейший вариант таких квазиклассических моделей может быть получен при применении к (выводимым из (3)) уравнениям Гейзенберга для переменных
Vi> Vo, а, а* "кластерного" приближения среднего поля, при котором, в частности, расцепляются полевые и кластерные корреляторы; на языке исходных атомно-полевых переменных эта процедура соответствует факторизации трехчастичных корреляторов в произведения одно- и двухчастичных корреляторов. Тогда, вводя вместо средних значений х и у новые средние и = < V+ + V- >, v = < V+ — V- >, в итоге придем к системе нелинейных уравнений
й = -2ПСЛ» + 8П(<—+
^ Т (£2 + ^2)2 '
¿ = -2ftC2.-8ft^|?£ (С2 + Р2)2
со
которая описывает квазиклассическую динамику поля и "одетых" атомов. Система (7), как и модель (5), также имеет два интеграла движения, задаваемые в переменных и, v, z, 0 уравнениями
___ + _ = const, £ + /5 + 2z + 16ft с2 + ^2 = const.
На первый взгляд, системы (5) и (7) различны, поскольку вторая содержит двухчастичные корреляторы и и v. Однако нетрудно показать, что они математически эквиваленты, так как система (7) при нелинейном гомеоморфизме и = (£х + (Зу)/2, v =
((у—/Зх)/2 преобразуется в (5). Тот факт, что учет двухчастичных корреляторов не привел к новой информации, с физической точки зрения объясняется прежде всего тем, что сделанная при выводе системы (7) факторизация атомно-полевых корреляторов привела, как и в системе (5), к потере источников спонтанного излучения. С математической точки зрения такая эквивалентность означает, что оба приближения реализуются на одном и том же классе квантовых состояний (типа ОКС (4)), так что расцепление полевых корреляторов с кластерными автоматически влечет их расцепление и с атомным г корреляторами. Поэтому исследование динамических режимов, в частности, переходов "порядок-хаос-порядок", в модели (7) полностью соответствует их анализу для модели (5). Резюмируем полученные при этом результаты.
А.
Рис. 1. Зависимость максимального показателя Ляпунова А классической версии модели Дике от силы атомно-полевой связи (величины безразмерной коллективной частоты Раби Я).
В квазиклассической модели (5), не учитывающей спонтанное излучение, переход к гамильтонову динамическому хаосу наступает при превышении управляющим параметром Г2 некоторого критического значения Пс, которое определяется начальными условиями [8, 11 - 13]. Мы тщательно численно исследовали переход от регулярности к
хаосу в этой модели. Наилучшую характеристику такого перехода дают так называе мые А-карты динамической системы, представляющие собой в рассматриваемом случае двумерную зависимость максимального показателя Ляпунова А от величины О, и от не личины начальной плотности атомной инверсии ;г(0) [9]. На таких топографических картах области хаоса (А > 0) представляются в виде "континентов" или "островов" , окруженных "морями", где А = 0 (области регулярного движения). Использование более мелкого шага при численном интегрировании систем (5) и (7) позволило выявить (одинаковую для обеих моделей) тонкую структуру перехода от регулярности к хаосу, ускользавшую ранее [8, 9, 11, 13] при численном анализе полуклассических моделей Джейнса-Каммингса и Дике. На рис. 1 изображена зависимость для системы (5) мак симального показателя Ляпунова А от безразмерной коллективной частоты Раби Я при начальных условиях, которые соответствуют изначально полностью инвертированным атомам (х(0) = у(0) = 0, г(0) = 1) и когерентному начальному состоянию поля со средним числом фотонов < а+а >= 1/2.
Полученная выше эквивалентность двух квазикласических моделей (5) и (7), поро ждаемых гамильтонианом (1), ставит вопрос о поиске других приближений, которые позволили бы выявить новые характерные черты динамики модели (1) - (2). Укажем некоторые возможности совершенствования проведенного анализа. Одна из них связана с выбором альтернативных к использованным динамических переменных (например, набора Ух, Уг, Иь Ио = ^о + а+а, = Я+а\ = описывающего "кластерную"1
динамику и удобного для сопоставления версий модели (1) - (2) как в , амках, так и вне ПВВ), а другая - с использованием по аналогии с работами [10, 14, 16] более тонких, чем приближение среднего поля, процедур расцепления атомно-полевых корреляторов, основанных на применении техники ОКС типа (4) (но с другими, коллективными группами динамической симметрии) и приводящих к приближениям типа Хартри Фока с зависимостью от времени [10].
ЛИТЕРАТУРА
[1] D i с k е R. Н. Phys. Rev., 93, 99 (1954).
[2] К а р а с е в В. П. , Ш е л е п и н Л. А. Труды ФИАН, 144, 124 (1984).
[3] Андреев А. В., Емельянов В. И., Ильинский Ю. А. УФН, 31. вып. 4, 653 (1980).
[4] К u m а г S. and М е h t а С. L. Phys. Rev., А 21, 1573 (1980).
[5] Hassan S. S., А Ь d а 1 ] а М. S., О Ь a d a A.-S. F., and В a t a f г i Н. A. J. Mod. Opt., 40, 1351 (1993).
[6] К а р а с е в В. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 3 - 4, 51 (1993); К а г a s s i о v V. P. J. Phys., А 27, 153 (1994).
[7] С h и ш а к о v S. М. and Kozierowski М. Quant. Semicals. Opt,., 8, 775 (1996).
[8] П p а н ц С. В., К о н ь к о в JI. Е. Квантовая электроника, 23, 93 (1996).
[9] П р а н ц С. В., К о н ь к о в JI. Е. Известия РАН. Серия физич., 60, 178 (1996).
[10] Karassiov V. P. E-archive: QUANT-PH/9608016 (1996).
[11] Белобров П. И., Заславский Г. М., Т а р т а к о в с к и й Г. X. ЖЭТФ, 71, 1799 (1976).
[12] Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем, М., Наука, 1984.
[13] А с k е г h а 1 t J. R., М i 1 о n n i P. W., and S h i h M. L. Phys. Rep., 128, 205 (1985).
[14] Karassiov V. P. Proceedings of VII Conference on Symmetry in Physics (JINR. Dubna, July 10-16, 1995), eds N. A. Sissakian and G. S. Pogosyan. Dubna, JINR 1996, v. 1, p. 306.
[15] Переломов A. M. Обобщенные когерентные состояния и их приложения. М., Наука, 1987.
[16] J е z е k D, М. and Н е г n a n d е z Е. S. Phys. Rev., С 35, 1555 (1987); Phys. Rev., А 42, 96 (1990).
Поступила в редакцию 7 февраля 1997 г.
