Квантовая космология и проблема времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

поверхности ^ и Б] с касательными плоскостями и в точке А, соответственно. Замечание 2.2. Из (2.6-2.8) в силу [1, (1.1)] следует, что в случае многообразия К,1" существуют два

* ^ _ * ^

голономных распределения Л2а:А->£2-

__\ ,2 _ " .2; ' ' ,1

= [А,г1,б2) и Ь2Л:А->1г=(А,%,\)1.17, где

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. Распределение двумерных плоскостей в четырехмерном эвклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. - № 6. - С. 5-7.

■ _ Ъ _ _ __ Ь_- _ Ь*

е4 -ё4--ё2. При этом плоскости ^ и ^ изменяются параллельно самим себе вдоль интегральных 1 i ,1 ,2 кривых =0, (В, =0 распределения д24 или д24

описываемых точкой А.

2. ОстиануН.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RNR). - 1962. - № 2. - P. 231-240.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Кдртана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. -432 с.

УДК 530.12.531,51 ...

КВАНТОВАЯ КОСМОЛОГИЯ И ПРОБЛЕМА ВРЕМЕНИ

В.В.Ласуков

Томский политехнический университет Тел.: (382-2)-56-37-92

Работа посвящена исследованию проблемы введения переменной времени для различных космологических моделей Вселенной. Известно, что в силу масштабной инвариантности данные космологические модели являются системами со связями первого рода, что приводит к проблеме введения времени и к проблеме квантования. В данной работе показано, что учет уравнений связи Логунова обуславливает отличие от нуля гамильтониана, что позволяет решить проблему времени квантовой космологии вне рамок традиционных подходов решения этой проблемы.

Введение

Считается, что во второй половине прошлого столетия научным сообществом был осознан статус теории гравитации как системы со связями первого рода [1] . При таком подходе неизбежно возникает проблема времени в квантовой космологии из-за гамильто-новой связи, обусловленной требованием инвариантности относительно изменения масштаба времени, а не выбором замкнутой модели Вселенной. В данной работе проводится краткий обзор методов классического квантования Дирака-Уиллера-Де Витга и Арно-витта-Дезера-Мизнера в применении к рассматриваемым космологическим моделям, в рамках которых переменная времени может быть введена на основе квазиклассического приближения либо как параметр калибровочного условия. При использовании данных методов квантования возникают такие проблемы, как отсутствие положительной определенности скалярного произведения волновых функций и зависимость физических величин от выбора калибровочных условий.

В этой связи в данной работе на основе исследования уравнений связи Логунова [2] решена проблема времени, возникающая в эффективной геометродина-мике, вне рамок традиционных подходов решения этой проблемы. В первом и втором разделах данной

работы проводится краткий обзор методов классического квантования Дирака-Уиллера-Де Витта и Арно-витта-Дезера-Мизнера, согласно которым переменная времени может быть введена на основе квазиклассического приближения либо как параметр калибровочного условия. В заключительном разделе предлагается альтернативный способ решения проблемы времени.

Квантование Дирака-Уиллера-Де Витта

Классическое квантование общей теории относительности в рамках геометродинамического подхода было развито в работах Дирака, Уиллера, Де Витта [1, 3-6]. В рамках их подхода гамильтониан равен нулю, следствием чего является независимость физических состояний от времени. Проиллюстрируем формализм квантования Дирака-Уиллера-Де Витта для двумерного пространства (а,ф), где а(х°) - масштабный фактор заполненной однородным скалярным полем Ф Вселенной с метрикой

dS2=N2(dx0)2-a(x°)2dl2, . (1) здесь - функция, определяющая масштаб, в

котором измеряется время; пространственный элемент длины равен

di2 = —y+r2 (sin2 (3)rfv|/2 + dtf). (2) 1 kf

В рамках общей теории относительности значения к= 0,+1,-1 соответствуют пространственно-плос-кой, замкнутой и открытой моделям Фридмана. Действие плоской модели однородной Вселенной имеет вид [7]

м

з М'р , а-

1пМ2 [ а

2 ' Л

2Ы2 У '

Шск°,

г/(ф) - потенциал самодействия

I/ 4п 3

где у = '

скалярного поля. Сопряженные координатам а и (р обобщенные импульсы по определению равны

П" ~ да~

ааМ) N

N '

В этом случае гамильтонова связь и уравнение Уиллера-Де Витта принимают вид

Н = Ы

2Мра IV

+ =0,

. 1 ¥(й,фН0, (3)

2М2а " IV Х; ^ ;

. 1 д 15 где Па=-, Я, = т—.

I да г Эф

Для замкнутой модели Вселенной уравнение Уиллера-Де Витта выглядит следующим образом [8]

1

2 М1ра

-2 К 9п2 т. -тг+— +—V

£/(ф)-

8 пва2

IV 4

хЧ'(а,ф) = 0. (4)

Действие 5(й,ср), вычисленное на классической экстремали, удовлетворяет уравнению Гамиль-тона-Якоби, получающемуся из (3) или (4) заменой

дБ дБ

импульсов па, л(р на производные ~0а'~ду''

2 М'раК

да ) IV

3Ф.

+К£/(Ф)1 = 0, (5)

2 М\ау 4

да

и{ ф)-

8л ва2

= 0.

(6)

Исторически первый метод введения времени основан на квазиклассическом приближении. В этом приближении волновую функцию ищут в виде

¥(й,ф) = ехр(/^г)Ф(а,ф), (7)

где Бр<2 представляет собой функцию Гамильтона-Якоби, удовлетворяющую (5) или (6) без кинетичес-

кого члена скалярного поля

IV

дБ.

\2

<5ф

. Подста-

новка (7) в уравнения Уиллера-Де Витта (3) или (4) приводит к новому уравнению для вектора состояния материальных полей Ф((р,а), параметрически зависящего от а,

М\а

дБ

да

да 9

д2 Б„

2М2 а да1

2 Мградаг

Ф(Ф,«) = 0, (8)

где = - оператор кинетической энергии скалярного поля. Пренебрегая в (8) третьим и четвертым слагаемыми, получим уравнение Шредингера квантованного скалярного поля во внешнем классическом гравитационном поле, определяющем введенное таким образом квазиклассическое время,

М\ а

дБ,

Р.*

Р \

да

N(11

да Мрада

ф(ф,а(?))=Гфф(ф,а(г)),

(9)

5 ^ 1 * здесь —Ф = -т—Ф, я.

аа'М\

да

2 ¡11

N

в случае плос-

кой Вселенной, па = -

Зл аа'М2

N

— для замкнутой мо-

дели Вселенной, так что = А^фФ. физически

этот способ введения времени означает, что функцию временной переменной выполняет гравитационный фон, квантовыми свойствами которого пренебрегают, а квантуются только материальные поля.

В уравнении (9) время спрятано в масштабном факторе а и вводится с помощью импульса. Например, при и(<р) = и0

Прямым следствием уравнений (3), (4) является независимость физических состояний от времени

I — ¥ = #¥ = 0. Однако, уравнения (3), (4) яв-<3/

ляются уравнениями гиперболического типа. Поэтому считается, что их можно интерпретировать как уравнения, описывающие эволюцию волновых функций во времени, спрятанном среди переменных фазового пространства (а,Ф,я<,,яф).

2 10а и

о'

Ч/± = ехр

3

,. о р 3

±1-— а

(10)

С другой стороны, по определению классичес-

кий импульс, сопряженный а, равен

=

8L аа'М

(П)

да' N Для закрытой модели ВселеннЬй

{г)= Зя аа'Мгр 2 '

Приравнивая (10) и (11), получаем, что волновая функция (7) зависит от времени через временную зависимость координаты а(?) = а0ехр(±Я0г), где введено собственное время Ж = Ы(Ьс0. Аналогично, для замкнутой модели Вселенной а ) = Щ1 совЬ (¿V) • Помимо проблемы времени в подходе Дирака-Уиллера-Де Витта возникает проблема знаконеопределенности нормы. Действительно, из (3) или (4) можно получить уравнение непрерывности, из которого следует, что

'J

= const. Видно, что норма

1\с1а

\

комплексных волновых функций

может быть отрицательной из-за наличия производ-

8

ной —- со структурой вронскиана в подынтегральна

ном выражении.

В случае релятивистской частицы проблема знаконеопределенности нормы решается путем отбрасывания отрицательно-частотных волновых функций, обоснованного принципом причинности теории уравнения Клейна-Гордона. Теория же уравнения Уиллера-Де Витта лишена такого обоснования, так как динамика в пространстве переменных (а, ср) возможна во всех направлениях, в том числе и вне светового конуса метрики Де Витта. Поэтому распространено мнение, что единственная возможность решения проблемы знаконеопределенности нормы заключается в использовании гравитационного аналога вторичного квантования, называемого третичным квантованием.

Таким образом, в формализме Дирака-Уиллера-Де Витта возникают следующие проблемы:

1) Из-за уравнений связи время выпадает из квантового описания гравитации.

2) Отсутствие положительной определенности скалярного произведения затрудняет возможность вероятностной интерпретации волновой функции.

Квантование Арновитта-Дезера-Мизнера -

Существует подход, в рамках которого квантование Дирака-Уиллера-Де Вйта редуцируется к квантованию в переменных Арновитта-Дезера-Мизнера (АДМ) [9]. Этот подход основан на редукции АДМ к физическим переменным, для которых

гамильтониан отличен от нуля. Время в методе квантовой редукции АДМ задается выбором калибровки без использования квазиклассического приближения. В формализме АДМ решаются обе отмеченные выше проблемы, но возникают другие проблемы.

Проведем редукцию АДМ исходных зависимых фазовых переменных к независимым

физическим переменным (ф,лф). В этом подходе время вводится с помощью калибровочного условия, фиксирующего систему отсчета,

Детерминант Фадцеева-Попова У, функция хода ТУ и физический гамильтониан НрЬуз выражаются через импульс па:

дН К|

дка м\/' . Ж

j = -

N =

1

(12)

J dt

я„

dt

и - + dfw

pkys dr

(13)

(14)

где 7са - функция физических переменных, полученная решением уравнения связи й=Ых

2 М'а

2V

ного условия (12)

!- + ги( Ф)

= 0 с учетом калибровоч-

М„

Л„ =-

АО

4л

/п2М = у/6(^Х(<Р)>

SnG

U{ ф).

(15)

Квантовая динамика определяется уравнением Шредингера

Из теорем Пенроуза и Хокинга о сингулярности, как считают их авторы, следует, что проблему сингулярности удастся разрешить лишь в рамках квантовой теории гравйтации, основанной на постулате о том, что время и пространство конечны и не имеют границ. Поэтому они отдают предпочтение исследованию замкнутой модели Вселенной с мнимым временем.

В случае замкнутой модели Вселенной уравнение Шредингера имеет вид

где т1{^ЪпъГ{1)М;(Г-н1-\).

Линейно независимые квазиклассические (т2 »тг2) решения уравнения (16) с учетом калибровки (12) равны .

ехр{±4}, /(0Яо<1 ехр{±[/±^]}, /{1)Н0>1

(17)

здесь

пМ] 2 Н1

Л=/(я02/2-1)3/\

1-(1-я02/2)3'2

(18)

Они связаны с известными волновыми функцйями Хартла-Хокинга *РЯ и Ч^ Виленкина в классически разрешенной области (Н0а > 1), описываемой лоренцевой деситтеровской метрикой:

« ехр(+/)соз^х +

л

Величина I совпадает с евклидовым действием вычисленным на евклидовой экстремали а = Н~х с о${Нй г) евклидовой деситтеровской метрики:

Е р

2 Г I

Щ-

1

2пга3 <И = /,

3 М

-. Из лоренцева уравнения Гамильто-

где т„ =--

р 8тс

на-Якоби (6) следует, что функция совпадает с лоренцевой функцией Гамильтона-Якоби в классически разрешенной области Н0 а > 1, а из евклидова аналога уравнения Гамильтона-Якоби (6) следует, что §Е является евклидовой функцией Гамильтона-Якоби в области Н0а < 1.

Поэтому амплитуда /волновых функций (18) интерпретируется как величина, описывающая рождение лоренцева пространства-времени нашей Вселенной из евклидовой области. Так как Нрку.

является эрмитовым оператором, то 'х*') = 0> так что норма по координате ф физического пространства |Лр1РчР в отличие от соответствующего выражения теории Уиллера-Де Витта

да ~

является положительно опреде-

сог^ и /

1

с/ф = сопз1:, то

для положительно-частотных решений справедливо выражение

|с/ср¥*Ч' = » Ц(1(рс1а5(а-/^))л¥' да У,

так что интерпретация уравнения Уиллера-Де Витта в терминах унитарной редукции к квантованию АДМ справедлива лишь при /> 0.

Как видно, результатом редукции к физическим переменным является решение проблемы времени вследствие того, что физический гамильтониан Нр1)у5 не равен нулю, что достигается ценой наложения калибровки (12), явно зависящей от времени и Однако существует опасение, что квантовые теории АДМ, построенные при различных выборах калибровок, могут оказаться физически неэквивалентными. Из (15) видно, что при па = О определитель Фаддеева-Попова /равен нулю в классически разрешенной области, в которой т2+< 0, а функция хода ^приобретает сингулярность, так что нарушается условие единственности решения уравнения гамильтоновой связи относительно импульса па. Это означает, что глобально на фазовом пространстве в калибровке типа (12) процедура редукции АДМ не работает.

Таким образом, в квантовой редукции АДМ возникают следующие проблемы:

- Физические предсказания могут зависеть от выбора калибровочного условия.

- Возникает гравитационный аналог проблемы копий Грибова, которые не позволяют использовать фиксирующую время калибровку во всем пространстве (а,<р).

Поэтому считается, что эти проблемы являются причиной необходимости третичного квантования.

Альтернативный способ квантования

Отмеченные выше проблемы традиционных подходов диктуют необходимость поиска альтернативного подхода к проблеме квантования гравитации. В этой связи рассмотрим проблему времени в рамках релятивистской теории гравитации Логунова. В релятивистской теории гравитации [2] постоянная /¿-метрики (1,2) определяется однозначно и равна нулю, что следует из полевых уравнений релятивистской теории гравитации

дтётп+у"рт§тр = 0, (19)

где ¿Г" у"тр - символы Кристоффеля

пространства Минковского, отличные от нуля компоненты которых в сферических координатах

имеют значения У\г=^г> Узз =-г8Й12(9), Узз =-5ш(8)со5(3),

г

ч у

ленной величиной и рфЧ^ = соп81. Так как

2 3 1 3 У12=У13=->У23: Г

= (20) Подставляя в (19) выражения (20), получим

• д

дх°

а

N

= 0,

дг

Л<

1Г-

кг2

2г

\ll-kr2

из которых следует, что к = 0 и

а"=а60М2, (21)

здесь а0 - константа интегрирования, имеющая размерность длины.

Действие рассматриваемой модели Вселенной с учетом связи Логунова (21) имеет вид [7]

* 5=

где функция Лагранжа равна выражению

L = Na

da

8nW2UJ 2 N2 K '

с/ф

ф"+3 - ф' = -

\а J «ф 3

£„ -s„ =-Х-fjVxl.

dN

здесь введены следующие обозначения

е„ =

Тогда с учетом (26) и (27)

■ Л—= -х

dNL AJ

X + N

5% dN

■-XN

OX; 8N ''

3 da

3 da

dN

dN

-1 a ,

+ 2

f N2

В силу связи (21) выберем функции Xi,2 в виде

х,(а) =

С учетом равенств (31, 32) и соотношения (28)

уравнение (24) примет вид еф - е„ = (33)

На уравнение же (23) связь (21) не оказывает влияния.

Используя плотность функции Лагранжа рассматриваемой модели Вселенной

где ^ ~ множитель Лагранжа,

х(а,Л^) - функция связи, учитывающая (21), . С = М~2 - гравитационная постоянная, Мр - масса Планка.- Из действия путем варьирования по метрическим коэффициентам и по ф,ф можно получить уравнения Лагранжа

[ха'] = 0, (22) \а ) \а) За da[- -1

¿и( ф)

--™ (23)

(24)

1 =

3 {"'У ф'2 > • (25)

с =-!---К£/(ф),

а замена дл - N сЬс° произведена после проведения процедуры варьирования, так что в уравнениях

(22-24) а' =—,ф' =—. Представим связь (21) в с11 ¿г

виде

, = (26) где функции Х1,2 такие, что при условии (21)

(27)

(28)

(29)

Из соотношений (28), (29) и уравнения (24) с учетом обозначений (25) вместо уравнения (22) возникает уравнение, полученное в работе [7]

-8яСгУ(ф) = 0. (30)

(31)

с учетом (33) можно получить отличную от нуля плотность гамильтониана

■ -Мт)'»^ -' <з4)

что автоматически решает проблему времени, так как вместо уравнения Уиллера-Де Витта

д

i—4> = H4' = О dt.

возникает обладающее репараметризационной инвариантностью относительно замены временной координаты уравнение [10] [н = аъ (еф - га))

= о,

следствием чего является зависимость у от собственного времени t{dt = Ndx°) и в стационарном случае вместо уравнений (3,4) вида #¥ = 0 возникает традиционное уравнение Н*¥ = ЕХ¥. В этом случае отсутствует возникающая при квантовании АДМ проблема неоднозначности калибровки, так как связь (21) является однозначным следствием фундаментального, уравнения Логунова (19), а не вводится "руками" как при квантовании АДМ.

Ранее в работе [2] для множителей Лагранжа rj" (и = 0,1,2,3) были получены уравнения g*"1 Dm Dt т|" = 0, где Dk— оператор ковариантного дифференцирования относительно метрики пространства Минковского; gh" =,f^gkm. Отсюда следует, что уравнение имеет ненулевое решение г]1 = г|2 = ri3 = 0, ц° = т]0 ) = Х0х°, = const.

При этом полная плотность энергии рассматриваемой модели Вселенной равна

В силу принципа геометризации Логунова ~тп _ -т» +фтл ддЯ метрики (1) при ^ = о гравитационная полевая функция ф00 = о вследствие чего

' А,

fi° = 0, так что в согласии с (33) s9

Заключение

Проведенное рассмотрение позволяет сделать следующие выводы:

Связь Логунова N =

можно учесть до про-

ведения процедуры варьирования. При этом уравнение (33) не является независимым и возникает как следствие решений уравнений (30) и

(23), относительно которых замена N

г V а

V ао у

процедура варьирования коммутируют.

- Связь (21) оказывает влияние лишь на уравнение (24). При этом, в силу равенства (34), гамильтониан отличен от нуля, что решает проблему времени вне рамок традиционных подходов. Приведенные в данной работе результаты позволили решить следующие научные проблемы:

Решена поставленная Эйнштейном задача определения инертной массы через кривизну пространства-времени [10, 11], и реализован план количественного понимания спектра вещества, сформулированный Гейзенбергом [12].

Реанимирован для плоской Вселенной принцип Маха в форме: нет вакуумоподбной среды [Щ = 0) - нет инертной массы, так что идея Маха соответствует не только конечной, ограниченной в пространстве Вселенной, но й согласуется с квазиевклидовой бесконечной Вселенной [13].

Показано, что в отличие от классической теории [7] . в квантовой теории при Щ = 0 метрика отсутствует, так как волновая функция = 0 [10], либо вероятность туннелирования равна нулю [14]. Поэтому постоянное и однородное скалярное поле, обладающее свойствами вакуумоподобной среды, способно порождать не только обычную материю [ 11] и взаимодействие ее частиц [ 14], но и пространство - время, а также может служить их материальным носителем.

В работах [15,16] показано, что однородность и изотропия метрики может сочетаться с неоднородностью скалярного поля, что решает загадку Хаб-бла, заключающуюся в подобии локального и глобального темпов расширения Вселенной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. - М.: Наука, 1979. - 475 с.

2. Логунов А.А., Мествиришвили М. А. Релятивистская теория гравитации. - М.: Наука, 1989. - 302 с.

3. De Witt B.S. Quantum theory of gravity. I. The canonical theory// Phys. Rev. - 1967. - V. 160. - P. 1113-1135.

4. De Witt B.S. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory // Phys. Rev. - 1967. - V. 162. - № 5. -P. 1195-1239.

5. Пономарев B.H., БарвинскийA.O., Обухов Ю.Н. Гео-метродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - С. 116-145.

6. Hisner C.V. Quantum cosmology // Phys. Rev. D. - 1973. -V.8.-P. 3271-3294.

7. Ласуков В.В. Вселенная в метрике Логунова // Известия вузов. Физика. - 2002. - № 2. - С. 39-42.

8. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. - М.: Наука, 1990. - С. 210.

9. Альтшулер Б.Л., Барвинский А.О. Квантовая космология и физика переходов с изменением сигнатуры пространства-времени // Успехи физических наук. -1996. - Т. 166. - С. 46-60.

10. Ласуков В.В. Атомная модель ранней Вселенной // Известия вузов. Физика. - 2003. - № 4. - С. 70-75.

11. Ласуков В.В. Рождение материи в ранней Вселенной // Известия вузов. Физика. - 2003. - № 9. -С. 49-55.

12. Гейзенберг В. Природа элементарных частиц // Успехи физических наук. - 1977. - Т. 121. - С. 657-668.

13. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. - М.: Мир, 1977.-Т. 2.-С. 374.

14. Ласуков В.В. Квантовое рождение Вселенной // Известия вузов. Физика. - 2002. - № 5. - С. 88-92.

15. Ласуков В.В. Спирали Вселенной // Известия вузов. Физика. - 2003. - № 9. - С. 91-92.

16. Ласуков В.В. Вселенная в метрике Логунова с неоднородным скалярным полем // Известия вузов. Физика. - 2002. - № 8. - С. 91-92.