CC BY
82
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 4. 2009. Вып. 4
УДК 517.9
Л. Ц. Аджемян, Н. В. Антонов, П. Б. Гольдин, Т. Л. Ким, М. В. Компаниец
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ й ТРЕТИЙ ПОРЯДОК е-РАЗЛОЖЕНИЯ*
Введение. В. А. Фок (1898-1974) внёс уникальный вклад в развитие современной теоретической физики, но наиболее значительными, несомненно, остаются его работы в области квантовой теории поля. Владимир Александрович оказал огромное влияние на формирование математического аппарата современной квантовой теории поля: достаточно упомянуть пространство Фока, метод функционалов Фока, приближение Хартри-Фока и метод собственного времени Фока-Швингера. Аппарат теории поля, развитый первоначально в связи с потребностями физики высоких энергий и элементарных частиц, нашёл впоследствии широкое применение в других областях физики: в физике твёрдого тела и конденсированного состояния (в частности, в теории сверхпроводимости и сверхтекучести), в физике полимеров и жидких кристаллов, в статистической физике (особенно в теории фазовых переходов) и теории турбулентности. Наиболее ярким примером является ренормгрупповая теория критического поведения (теория фазовых переходов второго рода), позволившая объяснить явления критического скейлинга и универсальности и вычислить соответствующие критические показатели в форме последовательной теории возмущений - е-разложения. С другой стороны, такие приложения стимулировали дальнейшее развитие самого математического аппарата и имели сильное обратное влияние на квантовую теорию поля: например, открытие спонтанного нарушения симметрии и ультрафиолетовой асимптотической свободы неабелевых калибровочных теорий произошло под непосредственным влиянием ренормгрупповой теории критических явлений.
Настоящая статья является кратким обзором недавних результатов, полученных нашей группой на физическом факультете СПбГУ, в которых квантово-полевые методы (функциональная и диаграммная техника, теория перенормировок и ренормали-зационная группа) применялись к интересной и до сих пор неразрешённой проблеме неравновесной статистической физики - проблеме теоретического описания развитой гидродинамической турбулентности. Мы благодарны М. Гнатичу, П. Мураторе-Джи-наннески, М. Ю. Налимову, Ю. М. Письмаку и Ю. Хонконену за многочисленные обсуждения затронутых в этой работе вопросов. Мы пользуемся случаем, чтобы выразить чрезвычайную признательность нашему учителю и товарищу Александру Николаевичу Васильеву (1940-2006), чей постоянный интерес к данному исследованию нельзя переоценить. Мы также благодарим организаторов Международного семинара «Фо-ковские чтения: проблемы современной физики» за возможность представить нашу работу в данном издании.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаметальных исследований (грант № 08-02-00125а), программы «Российские научные школы» (грант № 5538.2006.2) и Министерства образования России, грант № РНП.2.1.1/1575.
© Л. Ц. Аджемян, Н. В. Антонов, П. Б. Гольдин, Т. Л. Ким, М. В. Компаниец, 2009
Отсутствие малого параметра в теории развитой турбулентности. Теоретическое описание развитой гидродинамической турбулентности часто называют последней открытой проблемой классической физики [1]. Одной из актуальных задач является обоснование на основе динамических уравнений явления аномального скейлинга для структурных функций поля скорости и вычисление соответствующих аномальных показателей в форме последовательной теории возмущений, подобной известным е- или 1/Ж -разложениям критических индексов в теории критических явлений.
Первая встречаемая здесь трудность состоит в том, что обычная теория возмущений - разложение по нелинейности для уравнения Навье-Стокса - является фактически разложением по числу Рейнольдса, т. е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности. Возникает необходимость каким-либо образом перестроить ряды обычной теории возмущений. Подобная проблема известна и в теории критического поведения, где она решается с помощью метода ренормализационной группы. Это приводит к представлению критических индексов в виде рядов по параметру е = 4 — ! - отклонению размерности пространства ! от верхней критической размерности ! = 4, выше которой критическое поведение тривиализуется; (например [2, 3]). Другой подход основан на использовании уравнений самосогласования со скелетными диаграммами (бутстрап) и приводит к 1/Ы-разложению, где N - число компонент параметра порядка. Однако применение этих методов к развитой турбулентности не привело до сих пор к удовлетворительному решению проблемы аномального скей-линга.
Важное различие состоит в том, что для турбулентности (а точнее говоря, для стохастического уравнения Навье-Стокса) не существует верхней критической размерности, так что параметр разложения е в теоретико-полевом ренормгрупповом подходе имеет совершенно иной физический смысл. Именно, корреляционная функция случайной силы, моделирующей «накачку» энергии в систему от внешнего источника, выбирается в степенном виде
(II) ж к4-л-2е, (1)
где к - волновое число [4, 5]. Физическое значение е = 2 отвечает идеальной накачке вихрями бесконечно большого размера: (II) ж $(к). При этом размерность пространства ! остаётся свободным параметром и может изменяться независимо от е. Общей чертой с моделями критического поведения является то, что предел е ^ 0 соответствует логарифмической теоретико-полевой модели, а ультрафиолетовые расходимости проявляются как полюсы по е в диаграммах теории возмущений.
Результаты ренормгруппового подхода к модели (1) достоверны и внутренне непротиворечивы при асимптотически малых е, но возможность их экстраполяции к физическому (не малому) значению е = 2 отнюдь не очевидна. Разумеется, физическое значение е = 4 — ! = 1 не мало и в теории критического поведения. Но там нет серьёзных оснований ожидать появления каких-либо качественных изменений в поведении системы при увеличении е из области малых значений е ^ 1 к реальным конечным е ~ 1, так что возможность такой экстраполяции обычно не подвергается сомнению [2, 3].
Для стохастического уравнения Навье-Стокса с накачкой (1) ситуация заведомо иная. Известно, что новые физические эффекты возникают с ростом е, и они легко могут быть потеряны, если е-разложение применяется неосторожно или некритично. Один
из таких эффектов, возникающий при е ^ 3/2, связан с известным явлением переноса турбулентных вихрей как целого вихрями существенно больших масштабов. Это приводит к сильной зависимости корреляционных функций скорости от интегрального (внешнего) масштаба турбулентности С, исчезающей лишь в галилеево-инвариантных величинах (например, в одновременных структурных функциях). Другой ожидаемый эффект - переход (кроссовер) при некотором (пока неизвестном) значении е от кол-могоровского скейлинга (теории «К-41») к аномальному (мульти)скейлингу - сингулярной зависимости галилеево-инвариантных корреляционных функций от масштаба С, характеризующейся бесконечным набором независимых показателей; (например, [1]).
В ренормгрупповом подходе подобные эффекты могут объясняться возникновением в соответствующих операторных разложениях так называемых опасных составных полей («составных операторов» в квантово-полевой терминологии), имеющих отрицательные критические размерности [6]. В модели (1) таковыми оказываются, в частности, все операторы вида Vй, степени поля скорости V, при е ^ 3/2. Суммирование их вкладов в операторных разложениях, выполненное в [6], позволяет выйти за рамки обычного е-разложения и дать адекватное описание вышеупомянутых эффектов переноса и связанных с ними сингулярностей при С^ж; [4, 5].
Что касается аномального скейлинга в структурных функциях, то он, по-видимому, может быть связан с существованием в модели (1) галилеево-инвариантных опасных операторов. Эта идея была успешно реализована [7] в популярной модели Обухо-ва-Крейчнана, описывающей турбулентное перемешивание пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси и т. п.) «синтетическим» гауссовым полем скорости с заданным коррелятором вида ж 5(Ь — Ь )/к^+е; [8]. Первоначально аномальные индексы в ней были вычислены в порядках 0(1/!) [9] и О(е) [10] в рамках метода нулевых мод, который можно рассматривать как некоторую разновидность уравнений самосогласования. В ренормгрупповом подходе к модели Обухова-Крейчнана, развитом в работе [7], аномальные показатели были отождествлены с размерностями опасных галилеево-инвариантных операторов, именно, степеней локальной скорости диссипации скалярных флуктуаций. Это позволило построить для них систематическое разложение по показателю е и выполнить практические вычисления в порядках е2 [7] и е3 [11]. Обсуждение ренормгруппового подхода к проблеме аномального скейлин-га в моделях турбулентного перемешивания и подробную библиографию можно найти в [12].
Однако осуществить подобную программу для стохастической модели с накачкой
(1) пока не удалось. Причина в том, что в отличие от модели Обухова-Крейчнана, критические размерности всех галилеево-инвариантных составных операторов при малых е в модели (1) строго положительны. Если некоторые из них и становятся отрицательными при каких-то конечных значениях е ~ 1, этот факт невозможно установить в рамках е-разложения, так как известны лишь один-два члена ряда по е и лишь для немногих операторов. Несколько размерностей известно точно, но все они при е ^ 2 остаются положительными [13]. Подробное обсуждение этих вопросов и ссылки можно найти в [3-5]. Таким образом, возникает потребность в альтернативной е-разложению теории возмущений.
Предел й и ренормгруппа. Весьма многообещающей представляется идея
построения теории возмущений по 1/!, обратной размерности пространства, высказанная в различном контексте и в разной форме в целом ряде работ [14-19]. Ожидается [14], что в пределе ! задача упростится (например, аномальный скейлинг исчезнет,
и классическая теория Колмогорова-Обухова станет справедливой) и, возможно, окажется точно решаемой, так что её можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1/d. Добавим, что для реальной трёхмерной турбулентности он действительно мал: 1/d = 1/3. Ранее подобное явление было обнаружено для упоминавшейся выше модели Обухова-Крейчнана, причём в ней удаётся найти и аномальные показатели в порядке O(1/d) [9]. Однако построить регулярное разложение по 1/d или хотя бы вычислить аномальные показатели в порядке O(1/d2) до сих пор так и не удалось.
Аргументы в пользу исчезновения аномального скейлинга при d = ж, основанные на некотором замыкании уравнений для корреляционных функций, были приведены в работе [15]. Имеются, однако, и аргументы в пользу сохранения нетривиального скейлинга для развитой турбулентности в этом пределе [16]. Выполненный в [14] анализ диаграмм нестационарной теории возмущений для стохастического уравнения Навье-Стокса, как и ренормированной стационарной теории возмущений с одетыми линиями, не обнаружил каких-либо диаграмм или классов диаграмм, которые исчезали бы при d ^ ж. Не было найдено и каких-либо радикальных упрощений в самих диаграммах, которые позволили бы получить явное общее выражение для их суммы, как это удаётся сделать для O(N)-симметричной модели критического поведения, где предел N ^ ж описывается в замкнутом виде точнорешаемой сферической моделью [2].
Ключевая идея недавних работ [20, 21] - совмещение асимптотики d ^ ж для модели (1) с аппаратом ренормгруппы и е-разложением. Ранее уже было отмечено в [17, 18], что переход к пределу больших d приводит к значительным упрощениям в ренорм-групповых вычислениях. Так, в исключительно важной работе [17] скейлинговые размерности всех составных операторов - степеней скорости локальной диссипации энергии - были вычислены в первом порядке по е. Для конечных d эта задача оказывается чрезвычайно сложной из-за смешивания операторов при ренормировке, так что она не была полностью решена даже для простейшего случая квадрата оператора диссипации [13]. Найденные в [17] размерности положительны при е < 2, монотонно убывают с ростом е и обращаются в нуль при физическом значении е = 2, в согласии с аргументами работ [14, 15] об отсутствии аномального скейлинга для d = ж. Поэтому вполне вероятно, что поправки порядка O(e/d) к результату [17] окажутся отрицательными (т. е. степени скорости диссипации окажутся опасными операторами), так что аномальный скейлинг в модели (1) будет корректно обоснован в рамках двойного разложения по е и 1/d. (Отметим, что именно степени скорости диссипации «ответственны» за аномальный скейлинг в модели Обухова-Крейчнана [7, 11, 12].) Для векторного аналога этой модели, где вычисления аномальных показателей оказываются весьма громоздкими уже в порядке О(е) из-за смешивания составных операторов, дополнительное разложение по 1/d также приводит к существенным упрощениям [18, 19].
В наших недавних работах [20, 21] предел больших d для стохастического уравнения Навье-Стокса был систематически исследован в рамках ренормгруппового подхода. Мы обнаружили радикальные упрощения в диаграммах функции Грина (линейной функции отклика), что позволило вычислить основные ингредиенты ренорм-групповой теории - константу ренормировки, в-функцию, координату неподвижной точки, ультрафиолетовый поправочный индекс и скейлинговую функцию парного коррелятора скорости - в третьем порядке е-разложения (трёхпетлевое приближение). Это позволило вычислить [20] в ведущем порядке по 1/d ив третьем
порядке по е две интересные физические величины - константу Колмогорова в спектре турбулентной энергии и фактор асимметрии (skewness factor) в инерционном интервале, в неожиданно разумном согласии с существующими экспериментальными оценками.
Хотя нам и не удалось найти точное решение задачи при d = ж или построить аналог сферической модели критического поведения, полученные результаты позволили предложить гипотетические непертурбативные (т. е. без разложения по е) выражения для ряда интересных величин, во многом напоминающие полученные нами ранее точные ответы для известной модели Гейзенберга [22].
В дальнейшем приводится краткое изложение результатов работ [20, 21], которые, как нам представляется, являются важным шагом в попытках построения 1/^разло-жения для развитой гидродинамической турбулентности.
Стохастическое уравнение Навье—Стокса. Выбор коррелятора случайной силы. Ниже мы кратко напомним необходимые сведения о ренормгрупповом подходе к теории развитой турбулентности; подробное изложение и библиографию можно найти в [3-5].
В качестве микроскопической динамической модели развитой однородной изотропной турбулентности несжимаемой вязкой жидкости обычно выбирается стохастическое уравнение Навье-Стокса с внешней случайной силой:
VtVi = vod2vi — d{P + fi, Vt = dt + Vidi, (2)
где vi - поперечное (в силу условия несжимаемости divi = 0) поле скорости, P и fi - давление и поперечная внешняя сила (все эти величины зависят от x = {t, x}), vo - кинематический коэффициент вязкости, д2 - оператор Лапласа и Vt - лагранжева производная. Для f выбирается гауссово распределение с нулевым средним и заданным парным коррелятором:
{fi{x)fj{x')) = J Pij (k) df (k) exp [ik (x — x') ], (3)
где Pij (k) = bj — kikj/k2 - поперечный проектор, df (k) - некоторая функция модуля k = |k| и параметров модели и d - размерность пространства х. Отсутствие корреляций во времени обеспечивает галилееву инвариантность стохастической задачи
(2), (3).
Случайная сила моделирует поступление энергии в систему за счёт взаимодействия с крупномасштабными модами. Идеализированной накачке бесконечно большими вихрями отвечает функция df (k) вида
df (k) = 2(2n)d E b(k)/(d — 1), (4)
где E - это средняя мощность накачки (равная со знаком «минус» средней скорости диссипации энергии). Амплитудный множитель в (4) возникает из точного соотношения
!,'kdi{k) (5)
Однако для использования стандартного аппарата ренормгруппы важно, чтобы функция df (k) имела степенную асимптотику при больших k. Это условие обеспечивается выбором df (k) в виде
df (k) = Do k4-d-2 (6)
с амплитудным множителем Бо > 0 и показателем е > 0. Физическим значением последнего является е = 2, что вытекает из известного степенного представления !-мер-ной 5-функции:
8(к) = Б-1к-л Иш [(4 — 2е)(к/Л)4-2е] , (7)
в котором Л - некоторый масштаб размерности импульса. Здесь и далее мы обозначаем
= 2па/2/Г(]/2), = Бл/(2п)а, (8)
где - площадь поверхности единичной сферы в !-мерном пространстве и Г - гамма-функция Эйлера. При е ^ 2 функция (6) превращается в идеальную накачку (4), если связать амплитуду До с мощностью £ соотношением
4(2 — е) Л2е—4
V-1) гд"^г- (9)
Как уже упоминалось, в ренормгрупповом подходе к задаче (2), (3), (6) показатель е играет роль, аналогичную параметру 4 — ! в теории критического поведения, тогда как размерность ! остаётся свободным параметром. Более реалистической моделью накачки является
<!,{ (к) = Бо к4-а-2е0(к — т), (10)
где т = 1/С - величина, обратная интегральному (внешнему) масштабу С, и 0-функция Хевисайда обеспечивает инфракрасную регуляризацию. (Явный вид такой регуляризации несуществен. Резкое обрезание (10) наиболее удобно с точки зрения практических вычислений.)
Как хорошо известно (например [3-5]), стохастическая задача (2), (3) эквивалентна теоретико-полевой модели удвоенного набора полей Ф = {у', у} с функционалом действия вида [ ]
Б(Ф) = V/2 + V [—^г + УоЗ2] V, (11)
где - коррелятор случайной силы (3) с функцией с]^ (к) из (10) и все необходимые интегрирования по х = {Ь, х} и суммирования по векторным индексам подразумеваются. Вспомогательное поле («поле отклика») также поперечно, д^V’ = 0, что и позволило опустить в (11) вклад давления.
Удобно ввести новый параметр («константу связи») соотношением
до = До/ч3, (12)
так что до ж Л2е с ультрафиолетовым импульсным масштабом Л из (7). Отсюда ясно, что модель (11) логарифмична (константа связи безразмерна) при е = 0 независимо от значения размерности пространства !, так что ультрафиолетовые расходимости имеют вид полюсов по е в корреляционных функциях полей Ф = {V, V1}.
Ренормировка и уравнения ренормгруппы. Стандартный анализ размерностей, дополненный соображениями галилеевой инвариантности, показывает, что поверхностные ультрафиолетовые расходимости в нашей модели возникают лишь в одно-частично-неприводимой корреляционной функции {V’V), а устраняющий их контрчлен сводится к виду V’д2ги; подробнее об этом, например, в [3-5]. Введение такого контрчлена в действие (11) воспроизводится мультипликативной ренормировкой параметров Уо и до с помощью единственной независимой константы ренормировки £у:
Уо = vZv, до = ду.2^д, д = Z-‘3 (Бо = gоv3 = дц2^3). (13)
Здесь ц - ренормировочная масса (дополнительный произвольный параметр ренорми-рованной модели), д и V - ренормированные аналоги затравочных параметров до и Уо и Z = Z(д, е,&) - константы ренормировки в схеме минимальных вычитаний, которую мы используем в дальнейшем в практических вычислениях. Ренормировки полей и инфракрасного масштаба то = т не требуется, то есть Zф = 1 для всех Ф и Zm = 1. Ренормированное действие имеет вид
Б(Ф) = V1 /2 + V {-^г + vZvд2} V, (14)
где амплитуда По в П выражена через ренормированные параметры с помощью последнего соотношения (13). В схеме минимальных вычитаний все константы ренормировки имеют вид «1 + только полюсы по е», например:
ОО ОО П
Zv = 1 + аи(д')е к = 1 + дп^2 аике к, (15)
к=1 п=1 к=1
где коэффициенты апк зависят только от &
Так как поля не ренормируются, ренормированные корреляционные функции Шп совпадают с исходными неренормированными Ш = (Ф... Ф); отличие лишь в выборе переменных и форме теории возмущений (по д вместо до):
Ш п(д, V, ц, т,...) = Ш (до, Уо, то,...). (16)
Многоточия здесь означают другие переменные типа времён, координат или импульсов. Обозначим символом дифференциальную операцию цдц при фиксированных затравочных параметрах до, Уо,то и применим к обеим частям равенства (16). Это даст основное дифференциальное уравнение ренормгруппы:
ВпоШп(д, V, ц,т,...) = 0, Впо = Вц + в(д)дд - уу(д)Ву, (17)
в котором Впо есть операция Вц, выраженная в ренормированных переменных, обозначено Вх = хдх для любой переменной х, а аномальная размерность уУ и в-функция определены следующим образом:
Уу(д) = Вц 1п Zv = в(д, е)дд 1п Zv,
в(д, е) = Вцд = д [—2е +3уу(д)]. (18)
Последнее соотношение между в и уУ следует из определений и последнего равенства в (13). Объединяя соотношения (18) и подставляя в них представление (15), получаем
у-у(д) = -2Вда1(д) + вклады с полюсами по е. (19)
Из ультрафиолетовой конечности ренормированных функций Шп вытекает конечность величины уУ, поэтому полюсные вклады в (19) обязаны взаимно сокращаться, что окончательно даёт
О
Уу(д) = -2Вда1(д) = -2 ^ пап1 дп (20)
п=1
с а1(д) и ап1, определёнными в (15).
Однопетлевой результат
ац = -(& — 1)Б^/8(й + 2) (21)
с Б4 из (8) хорошо известен, тогда как двухпетлевой вклад а21 был вычислен относительно недавно в [23] для некоторых значений & включая & = 3, и в интересующем нас сейчас предельном случае & ^то:
«21 = а2ц |-- + <Э(1/й)| . (22)
Уже из однопетлевого результата (21) видно, что в-функция нашей модели имеет
в физической области д > 0 нетривиальную инфракрасно-притягивающую неподвижную точку
9*^= %+-!)+0^ ^
в которой в(д*) = 0 и ю = в7(д*) = 2е + 0(е2) > 0. Эта точка управляет инфра-
красными асимптотиками корреляционных функций, что обеспечивает их масштабноинвариантное (скейлинговое) поведение [3]. Значение аномальной размерности
у; = уу(д*) = 2е/3 (24)
в точке (23) находится точно благодаря соотношениям (18).
Соотношения (21) и (22) иллюстрируют следующий факт: конечными при & ^ то являются не сами коэффициенты ап1, а конструкции типа Ьп1 = ап1 §-п. Поэтому удобнее перейти к новой константе связи
и = дБл. (25)
Теперь корреляционные функции Ш и Шп, константы ренормировки (15) и функции уУ и в = Вци имеют конечные пределы при & ^ ж, если они выражены через новый параметр и и он считается в этом пределе фиксированным. С точки зрения физики, такой выбор отвечает фиксации при & ^ ж мощности накачки на одну компоненту поля скорости (или на одно пространственное измерение), как видно из соотношений
(8), (9) и (12). Он также согласуется с тем фактом, что именно значение параметра и;
в неподвижной точке (23) конечно в пределе больших &. В дальнейшем предел & ^то всегда понимается именно в таком смысле.
В работах [20, 21] было показано, что при & ^ то значительная часть диаграмм функции Грина исчезает, а остальные упрощаются и допускают явное аналитическое вычисление. Это позволило явно вычислить константу ренормировки ZV в порядке и3, т. е. в трёхпетлевом приближении (тогда как полученный в [23] для случая & =3 двухпетлевой ответ основан на численном расчёте фейнмановских диаграмм). Приведём этот результат:
1 1 \ 3 ( 5 3 7
гу = 1------и1 ---^ +----- - и6 [ -------------------------------5- +-^ +- (26)
8 є 'у64е 128 еУ 'у1536е 1024 є2 3072 г) к }
с поправками порядка и4 по введённой в (25) константе связи и.
Для аномальной размерности (18) с помощью соотношения (19) получаем
11 7
у у(и) =-и+—и2 +—и3+ 0(и4), (27)
а трёхпетлевая в-функция находится из второго соотношения в (18). Решая уравнение в(и;) = 0 итерациями по е, для координаты неподвижной точки находим
Поправочный показатель
2 10
со = Р'(м*) = 2е + - е2 + — е3 + <Э(е4) (29)
завершает список трёхпетлевых результатов [20, 21].
Расчёт константы Колмогорова в третьем порядке е-разложения. Константа Колмогорова Ск определяется как безразмерный коэффициент в асимптотическом выражении S>2(r) = Ск(Eг)2/3 структурной функции второго порядка, предсказываемом классической теорией Колмогорова-Обухова для инерционного интервала [1, 24]. Здесь E - средняя скорость диссипации энергии (сравните (5)) и (продольная, одновременная) структурная функция порядка n определяется соотношением
Sn(r) = (К(t, x + г) - Vr(t, x)D, Vr = (viri)/r, r = |r|. (30)
Сейчас принято считать, что истинный показатель слегка отклоняется от простого
значения 2/3 как результат явления перемежаемости [1]. Мы интересуемся пределом больших d, где перемежаемость ослабляется или исчезает, поэтому принимаем классический «закон 2/3». Важно, что такой выбор самосогласован в рамках е-разложения. Пусть
Dij(k)= Pij(k) D(k) (31)
есть одновременная парная корреляционная функция скорости в импульсном представлении. С помощью определения (30) функция S2 может быть связана со скалярным множителем в G(k) точным соотношением
/dk
G{k) [1 - (kr)2/(kr)2] {1 - exp [i(kr)]} . (32)
Константа Колмогорова С'к может также быть введена через феноменологическое соотношение E(k) = С'к£2/3k-5/3, где спектр энергии E(k) связан с функцией (31) как E(k) = Sd(d — 1)kd-1G(k)/2. Из определений можно получить точную связь между этими константами:
3 • 21/3Г(2/3)Г(й/2)
Ск~ (й + 2/3)Г(й/2+1/3)Ск’
сравните [24] для случая d =3. Все приведённые выше соотношения относятся к реальным физическим величинам в инерционном интервале, что для стохастической модели
(2), (3) отвечает выбору е = 2 и m = 0 в корреляторе (10).
Вычислению константы Колмогорова в рамках ренормгруппового подхода посвящено множество работ [5, раздел 2.10]. Решение уравнения (17) для функции (31) с m = 0 даёт
D(k) = gv2k-d+2R(s, g) ~ Dl/3 gl/3k-d+2AvR(1, g*), s = k/ft, (34)
где R - некоторая функция двух безразмерных переменных g и s = p/ft. Второе равенство справедливо в области s = p/ft ^ 0 и включает координату g* неподвижной точки (23) и критическую размерность поля скорости Av = 1 — 2е/3. Функция R вычисляется
и
=1=
по диаграммам теории возмущений в форме ряда по д; подстановка д ^ д* приводит к е-разложению амплитуды Д(1,д*). Развитая в [20] методика вычисления диаграмм при ! позволила вычислить её в третьем порядке:
(35)
с точностью до членов высшего порядка в предположении и ~ е (в (35) мы перешли к введённой в (25) константе связи и). Подстановка координаты неподвижной точки (28) даёт
Этот результат будет использован ниже при расчёте Ск в третьем порядке е-разло-жения.
Для нахождения Ск ренормгрупповое представление (34) обычно комбинируют с каким-либо соотношением, связывающим физический параметр E с амплитудой Do в корреляторе (10). Так, в работах [25, 26] для этой цели использовалось так называемое EDQMN-приближение (Eddy-damped quasinormal Markovian approximation) для функции переноса, взятое прямо при е = 2. Более элементарный вывод, использующий точное соотношение (5) между E и функцией df (k) из (10), был приведён в [6], а также [4, 5]. Несмотря на разумное согласие с экспериментом, все такие вычисления не вполне удовлетворительны с теоретической точки зрения. Их общий недостаток в том, что любое соотношение между E и Do однозначно только в пределе е ^ 2 (9), так что коэффициенты е-разложений для Ск оказываются фактически произвольными, как впервые было указано в [27] на примере работ [25, 26]. Эта проблема - следствие того факта, что само понятие константы Колмогорова не имеет однозначного обобщения на нефизическую область 0 < е < 2. Опыт теории критического поведения также показывает, что хорошо определённые е-разложения могут быть получены лишь для универсальных величин, таких как критические показатели или отношения амплитуд, не включающих затравочных параметров D0.
Для преодоления этой трудности, в работе [23] был предложен новый способ вычисления константы С к, не использующий какого-либо соотношения между Do и E, связывающий Ск непосредственно с универсальной (в смысле теории критического поведения) величиной и приводящий при d = 3 к разумному согласию с экспериментом. В работе [20] этот подход был применён к случаю d ^ж. Рассмотрим отношение
где Т>г = тЗ/Вт. Как будет показано ниже, эта величина универсальна и может быть вычислена в форме однозначного е-разложения. С другой стороны, её значение при е = = 2 связано с константой Колмогорова точным соотношением
вытекающим из определений и тождества Т>г т? = ^т? для произвольного показателя ?.
Из уравнений ренормгруппы (17) можно получить аналог представления (34) для входящих в (37) структурных функций
R(1, u*) = 1/2 + е/12 + (5/36 - я2/108)е2 + 0(е3).
(36)
д(е) = Dr S2(r)/\S3 (r)\2/3 = Dr S2 (r)/(-S3(r))2/3,
(37)
Ск = [3Q(2)/2] [12/d(d +2)]2/3 ,
(38)
S3 (r) = Dor-3Av /э(е), DrS2(r) = D20/3r-2Av ^(е).
(39)
Здесь т = 0, цт ^ 1, 0 < е ^ 2 и Лу = 1 — 2е/3, сравните (34). Введённая в (37) операция Хг «убивает» постоянный вклад {у2) в Б, который не существует без ультрафиолетового обрезания при е < 3/2 (см. ниже); в Бз подобный вклад отсутствует. Как видно из (39), амплитуда Во выпадает из отношения Q(е) = /2/—/з)2/3, так что оно представляется в виде Q(е) = е1/3р(е), где р(е) - степенной ряд по е.
Приведённые выше результаты для неподвижной точки (28) и парного коррелятора
(36) позволяют найти три первых члена разложения р(е). В этом смысле можно говорить о вычислении константы Колмогорова в третьем порядке е-разложения (предшествующие попытки ограничивались, как правило, первым порядком, за исключением двухпетлевого расчёта [23]). Во избежание недоразумений подчеркнём, что такой подход не является попыткой расширить определение константы С к на нефизическую область 0 < е < 2 и построить её е-разложение на основе известного разложения для Q(е). Последнее используется для нахождения значения Q(2), которое, в свою очередь, определяет С к через точное соотношение (38), имеющее смысл только при реальном значении е = 2.
Применение операции Т>г к выражению (32) даёт
/!к
[1 — (кг)2/{кг)2] (кг) зт(кг). (40)
Чтобы получить выражение для функции Т>г ^(т) в инерционном интервале, достаточно подставить асимптотическое выражение (34) в (40). Важно, что получаемый такой подстановкой интеграл сходится при всех 0 < е < 2. Сходимость обеспечивается применением операции Т>г: исходный интеграл (32) с функцией (34) расходился бы при 0 < е < 3/2. Прямолинейное вычисление даёт
V Я-Аг) = ~-0^(2 ~ 2£/3) а1/3д(1 и ) £)2/3('г/2')~2А1’ ('41')
г 2( ) (4зг)й/2Г(!/2 + 2е/3) Я* Уг/2> (41)
с амплитудой Д(1,и*) из (34).
Нужные члены е-разложения для /3 могут, в принципе, быть получены прямым
вычислением по теории возмущений, но гораздо удобнее вычислить их из точного
ответа
5„(г) = _ 3(^ ~ 1)г(2 ~ е) д /г/2)-заф (42)
3[) (4я)<*/2Г(<*/2 + е) ' ] 1 К >
который вытекает из уравнения баланса энергии и который обобщает известный «закон 4/3» Колмогорова [1, 24] на случай произвольных ! и е. Тогда из (41) и (42) для Q(е) получается
Q(е) = [4(! — 1)и*/9]1/3 А(е) Е(1, и*), (43)
где
Г(2 — 2ё/3)Г1/3(^/2)Г2/3(^/2 + е) и Г(!/2 + 2е/3)Г2/3(2 — е) ' 1 '
С помощью формулы Стирлинга для Г можно показать, что
Г1/3(!/2)Г2/3(!/2 + е)
Г(!/2 + 2е/3)
1 + 0(1/!),
так что в пределе ! получается
А(г) = —— ----- — {..]---- = 1 Н— {1 — зт2/б} е2 + 0(е3)- (45)
Г(!/2 + 2е/3)Г2/3(2 — е) 9 ' Х ^ У ’
Подстановка выражений (28), (36) и (45) в (43) даёт
д(е) = + Т8+ ~ I?)е2 + °(е3)} • (46)
Константа Ск теперь получается из выражения (38), с заменой !(! + 2) ^ д? в нём. Тем самым, в ведущем порядке асимптотики больших д получаем Ск ж 1/д, а из (33) находим С'к ж д1/3 в согласии с полученными ранее в [4, 5, 14] результатами.
Хотя полученный результат относится к ведущему члену асимптотики больших д, можно попытаться рассматривать его как некоторое приближение к реальному трёхмерному случаю. Подстановка первого, второго и третьего приближений по е для (46) в соотношение (38), с заменой в нём !(! + 2) ^ д?, при физических значениях е = 2 и д =3 даёт
С(1) « 1,75, С(2 « 1,94, С(3} « 1,50. (47)
Все эти результаты находятся в разумном согласии с рекомендованной в [24] экспериментальной оценкой Ск ~ 1,9. Это является дополнительным серьёзным аргументом в пользу 1/д-разложения для стохастического уравнения Навье-Стокса.
Гипотетические точные результаты. Выход за пределы е-разложения. Полученные явные выражения довольно просты: так, все коэффициенты разложений по д в константе ренормировки Zv и в-функции и по е в координате неподвижной точки и* и поправочном индексе ю - рациональные числа, хотя для динамических моделей типично появление трансцендентных величин (логарифмы, гипергеометрические функции и т. п.) уже в двухпетлевом приближении. Можно предположить, что этот факт останется верным и для всех старших членов разложений. Интересно попытаться угадать их общий вид и, тем самым, предложить какие-либо гипотетические точные (т. е. без разложения по е) выражения для этих величин. Подобные точные выражения для всех фигурирующих в уравнениях ренормгруппы величин удаётся найти [22] в хорошо известной модели развитой турбулентности Гейзенберга [24]. В частности для ю и и* в схеме минимальных вычитаний имеем [22]:
е(1 — е/3)/(1 — 5е/12), и* = (е/3)(1 — е/3)1/4, (48)
ю
где все параметры имеют тот же смысл, что и для стохастического уравнения Навье-Стокса с накачкой (1,9). Допустим, что координата неподвижной точки и в нашей модели имеет подобный вид:
и* = (сіє)(1 - ЄС2)С3.
Тогда сравнение с отрезком е-разложения (28) позволяет найти три коэффициента сі, которые оказываются очень простыми, причём показатель степени - тот же что и в модели Гейзенберга (что заранее отнюдь не очевидно!):
и* = (8е/3)(1 - 4Є/3)1/4. (49)
Теперь точное выражение для ю может быть найдено из (28). Дифференцируя равенство (18) для функции Р„ = 1?^и по и и полагая и = и*, с учётом и* = 0 получаем
ю = Р'(и*) = 3у^(и*), а дифференцируя (24) по е, находим у^,(и*)и*(е) = 2/3 (первое дифференцирование по и, второе - по е). Объединяя эти равенства, получаем точное равенство
Подставляя в него явное выражение (49) для функции и* = и* (е), получаем искомый гипотетический точный ответ для поправочного индекса:
также весьма близкий по виду к ответу (48) для модели Гейзенберга и согласующийся, как легко убедиться, с разложением (29).
Выражения (49), (50), если они верны, указывают на исчезновение ИК-устойчивой и положительной неподвижной точки при е = 3/4, т. е. ещё до достижения физического значения е = 2. Это может приводить к какому-то качественному изменению поведения ИК-асимптотик корреляционных функций, что ставит под сомнение возможность экстраполяции результатов е-разложения к реальному значению е =2. Но, разумеется, не следует слишком доверять гипотетическим выражениям, которые не являются, конечно, единственно возможными.
Обсуждение результатов и выводы. Был выполнен трёхпетлевой расчёт основных величин, фигурирующих в процедуре ренормировки и уравнениях ренорм-группы стохастической модели развитой турбулентности (2), (3) в пределе большого числа пространственных измерений d [20, 21]. Аналитическое вычисление оказалось выполнимым благодаря радикальным упрощениям, происходящим в функции отклика (функции Грина) при d ^ ж: подавляющее большинство диаграмм теории возмущений исчезает, а остальные сравнительно легко вычисляются явно. Хотя нам и не удалось найти точное решение задачи при d = ж вне рамок е-разложения, мы полагаем, что как сами результаты, так и обнаруженные упрощения окажутся полезными в дальнейших попытках построения систематического l/d-разложения для данной модели.
Знание трёхпетлевых ответов (26)—(29) позволяет улучшить (на один порядок по е) имеющиеся результаты для ряда интересных физических величин - константы Колмогорова C к в спектре турбулентной энергии и так называемого фактора асимметрии [20, 21]. Для этого потребовалось с должной точностью вычислить скейлинговую функцию парного коррелятора скорости, выражения (34)-(36), а также использовать предложенный ранее [23] подход к вычислению этих величин через универсальные (в смысле теории критического поведения) отношения корреляционных функций. Полученные для C результаты находятся в разумном согласии с существующими экспериментальными оценками, что является новым серьёзным стимулом для дальнейших попыток построения l/d-разложения развитой гидродинамической турбулентности.
Литература
1. Frisch U. Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge: University Press, 1995. 296 p.
2. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon, 1996. 1008 p.
3. Васильев А. Н. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998. 774 c.
ю = 2є(1 — 4є/3)/(1 — Бє/3),
(50)
4. Аджемян Л. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Квантово-полевая ренормгруппа в теории развитой турбулентности // Успехи физ. наук. 1996. T. 166. Вып. 12. C. 1257-1284.
5. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasiliev A. N. The field theoretic renormalization group in fully developed turbulence. London: Gordon&Breach, 1999. 202 p.
6. Аджемян Л. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Проблема инфракрасных расходимостей и ренормгруппа в теории развитой турбулентности // Журн. эксп. теор. физ. 1989. T. 95. Вып. 4. C. 1272-1288.
7. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasil’ev A. N. Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in a model of advected passive scalar // Phys. Rev. (E). 1998. Vol. 58. N 2. P. 1823-1835.
8. Falkovich G., Gawedzki K., Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. N 4. P. 913-975.
9. Chertkov M., Falkovich G. Anomalous scaling exponents of a white-advected passive scalar // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. N 15. P. 2706-2709.
10. Gawedzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling of the passive scalar // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. N 21. P. 3834-3837.
11. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A. et al. Calculation of the anomalous exponents in the rapid-change model of passive scalar advection to order е3 // Phys. Rev. (E). 2001. Vol. 64. P. 056306-(1)-056306-(28).
12. Antonov N. V. Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of turbulent advection // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. N 25. P. 7825-7865.
13. Антонов Н. В., Борисёнок С. В., Гирина В. И. Ренормализационная группа в теории развитой турбулентности. Составные операторы канонической размерности восемь // Теор. мат. физика. 1996. T. 106. № 1. C. 92-101.
14. Fournier J.-D., Frisch U., Rose H. A. Infinite-dimensional turbulence // J. Phys. (A). 1978. Vol. 11. N 1. P. 187-198.
15. Yakhot V. Strong turbulence in d-dimensions // E-print LANL chao-dyn/9805027. 1998. 10 p.
16. Frisch H. L., Schultz M. Turbulence effects in the high dimensionality limit // Physica (A). 1994. Vol. 211. N 1. P. 37-42.
17. Runov A. V. On the field theoretical approach to the anomalous scaling in turbulence // E-print LANL chao-dyn/9906026. 1999. 4 p.
18. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Runov A. V. Anomalous scaling, nonlocality and anisotropy in a model of the passively advected vector field // Phys. Rev. (E). 2001. Vol. 64. P. 046310-(1)-046310-(20).
19. Аджемян Л. Ц., Антонов Н. В., Гольдин П. Б., Компаниец М. В. Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля: высшие структурные функции // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2009. Вып. 1. C. 55-66.
20. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Gol’din P. B. et al. Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: Third-order results // J. Phys. (A). 2008. Vol. 41. P. 495002-(1)-495002-(25).
21. Аджемян Л. Ц., Антонов Н. В., Гольдин П. Б. и др. Ренормализационная группа
в теории турбулентности: трёхпетлевое приближение при d // Теор. мат. физика. 2009.
T. 158. № 3. C. 460-477.
22. Аджемян Л. Ц., Антонов Н. В. Ренормализационная группа в теории турбулентности: точно решаемая модель Гейзенберга // Теор. мат. физика. 1998. T. 115. № 2. C. 245-262.
23. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Kompaniets M. V., Vasil’ev A. N. Renormalization-group approach to the stochastic Navier-Stokes equation: Two-loop approximation // Int. J. Mod. Phys. (b). 2003. Vol. 17. N 10. P. 2137-2170.
24. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика: в 2 т. Т. 2. СПб, 1996. 743 c.
25. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 57. N 14. P. 1722-1724.
26. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory jj J. Sci. Comp. 1986. Vol. 1. N 1. P. 3-51.
27. Lam S. H. On the RNG theory of turbulence jj Phys. Fluids. (A). 1992. Vol. 4. N 5. P. 1007-1017.
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
