CC BY
26
2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. ' Сер. 4• Вып. 1
ФИЗИКА
УДК 517.9
И. В. Антонов, Ю.Р. Хонконен*'
АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В ПРОСТОЙ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА: ВЛИЯНИЕ АНИЗОТРОПИИ И СЖИМАЕМОСТИ**)
1. Введение. Теоретическое описание развитой турбулентности пока остается в значительной степени нерешенной задачей. Одними из наиболее характерных открытых проблем являются обоснование в рамках микроскопической модели классической феноменологической теории Колмогорова-Обухова и исследование отклонений от нее, если таковые имеются (подробнее см. [1, 2]).
Известны как экспериментальные, так и теоретические свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний теории Колмогорова-Обухова. Они проявляются в сингулярной зависимости корреляционных функций от внешнего. (интегрального) масштаба Ь с некоторыми нетривиальными степенными показателями (аномальный скейлинг, аномальные показатели). В рамках многочисленных моделей, обзор которых можно найти в [1, 2], эти показатели связываются со статистическими свойствами локальной диссипации или с фрактальной размерностью структур, образуемых мелкомасштабными турбулентными вихрями. Как правило, такие модели носят полуфеноменологический характер, слабо связаны с исходными уравнениями'гидродинамики и включают произвольные подгоночные параметры, так что остаются серьезные сомнения в универсальности аномальных показателей, да и в самом существовании отклонений от колмогоровского скейлинга.
Как численные, так и натурные эксперименты подсказывают, что отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова-Обухова для переносимой турбулентным потоком скалярной величины (например, температуры турбулентной среды или концентрации примеси в турбулентной атмосфере) проявляются еще сильнее^ чем для самого поля скорости. В то же время эта задача оказывается более доступной теоретическому анализу: даже сравнительно простые модели, описывающие перемешивание «пассивной» (т.е. не оказывающей обратного воздействия на поведение турбулентной жидкости) скалярной величины «синтетическим» полем скорости с заданной (простой, обычно гауссовой) статистикой, обнаруживают некоторые аномальные черты, свойственные реальному турбулентному переносу.
Тем самым проблема турбулентного перемешивания пассивной скалярной величины, важная сама по себе (например, в связи с изучением распространения загрязнений в турбулентной атмосфере или океане), может рассматриваться и как отправная
'^Университет г. Хельсинки, Отделение физических наук.
'^Работа выполнена при финансовой поддержке Совета Северных стран (грант № ГШ-6/2002), программы «Университеты России» и Академии Финляндии (грант № 203122).
© Н.В. Антонов, Ю.Р. Хонконен, 2004
точка при описании аномального скейлинга для развитой турбулентности в целом.
Наиболее заметный прогресс был достигнут недавно для модели с некоррелированным во времени полем скорости, предложенной в работах Обухова, Бэтчелора, Казанцева и Крейчнана: впервые аномальные показатели были вычислены на основе микротеории и в рамках регулярных пертурбативных схем (см. работы [3, 4], обзорную статью [5] и литературу в них). В этих исследованиях нетривиальные аномальные показатели связывались с нулевыми-модами дифференциальных операторов, входящих в замкнутые точные уравнения, которым удовлетворяют одновременные корреляционные функции пассивного скаляра, если поле скорости имеет время корреляции, равное нулю.
В альтернативном подходе, основанном на квантово-полевых методах ренормали-зационной группы и операторного разложения, аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных операторов с отрицательными размерностями, которые и определяют аномальные показатели [6]. Такой подход позволил развить для аномальных показателей последовательную теорию возмущений, подобную известному ^-разложению для критических индексов, и вычислить их во втором и третьем порядках по е (обсуждение этого подхода и ссылки на оригинальные работы можно найти в [7, 8]).
Другой важный вопрос, интенсивно обсуждаемый в последнее время,— влияние крупномасштабной анизотропии на статистику пассивных скалярных и. векторных величин и самого поля скорости в инерционном интервале. Согласно теории Колмогорова-Обухова [1, 2], анизотропия, вносимая на больших масштабах «накачкой» (граничные условия, геометрия препятствия и т.п.), вымирает, по мере того как энергия переносится ко все меньшим и меньшим масштабам в результате каскадного процесса. Ряд недавних работ подтвердил эту картину для четных корреляционных функций и тем самым предоставил количественное подтверждение гипотезы о восстановлении локальной изотропии в инерционном интервале для развитой ,турбулентности и турбулентной конвекции [9-13].
Точнее говоря, показатели, описывающие скейлинг в инерционном интервале, обнаруживают универсальность и иерархию, связанную со степенью анизотропии, при этом ведущий вклад для четных функций дается показателем изотропной «моды». Тем не менее анизотропия выживает в инерционном интервале и проявляется в нечетных корреляционных функциях вопреки тому, что можно было бы ожидать в соответствии с идеями каскадного переноса энергии по спектру.
2. Описание модели. Для случая сжимаемой жидкости существуют два варианта уравнения, описывающего турбулентный перенос [1]. Пассивный перенос поля плотности 9(х) = 6(t, х) какой-либо сохраняющейся величины (например, плотности примеси) описывается уравнением
dte + дг(у{в) = и0д2в + /, (1)
тогда как перенос полей температуры, удельной энтропии, концентрации частиц примеси (общее название —«tracer») описывается уравнением вида
dt9 + (Vidje = и0д2в + /. (2)
Здесь dt = d/dt, дг = d/dxt, щ — молекулярный коэффициент температуропроводности или диффузий, д2 — оператор Лапласа, у(ж) — поле скорости, а / = f(x) —
искусственно вводимая гауссово-распределенная случайная сила (шум) с нулевым средним и парным коррелятором
(/(« = ^-ОС(г), г = х-х', (3)
где функция С(г) заметно изменяется лишь на масштабах порядка г = |г| ~ Ь, интегрального масштаба турбулентности. Вклад случайной силы поддерживает стационарное состояние и одновременно вносит крупномасштабную анизотропию. С физической точки зрения он имитирует, например, заданную разность температур жидкости на двух удаленных границах. Явный вид функции С (г) не существенен. Для общности будем рассматривать пространство х произвольной размерности й.
В дальнейшем ограничимся случаем одноосной анизотропии, когда в задаче имеется выделенное направление, задаваемое единичным постоянным вектором п (этого достаточно, чтобы выявить все независимые показатели). В присутствии вектора п функция С (г) может быть записана в виде
С(г) = ^а(тг)Рг(^), zs—. (4)
■ ' Г -
1-0
Здесь т = 1/L — обратный внешний масштаб турбулентности, Ci(mr) — коэффициентные функции, конечные при тг — 0 и быстро убывающие при тг —оо, z — косинус угла между направлениями п и г, Pi(z) — полиномы Гегенбауэра (d-мерное обобщение полиномов Лежандра), удовлетворяющие уравнениям
(1 - z2)P¡'(z) + z( 1 - d)P[{z) + l{l + d- 1 )Pt{z) = 0. (5)
В реальной ситуации поле v(a;) описывается уравнением Навье-Стокса. В модели Обухова-Крейчнана оно выбирается, гауссово-распределенным, с нулевым средним и коррелятором вида
= (6)
где
Здесь Pij(k) — óij —kikj/k2 и Qij(k) = kikj/k2 •— поперечный и продольный проекторы соответственно, А; = |k|, Do и D'0 — положительные амплитудные множители, d — размерность пространства х. Для D'0 — 0 (несжимаемая жидкость) поле скорости становится поперечным (<9¿u¿ = 0), а модели (1) и (2) совпадают.
Параметр m обеспечивает инфракрасную регуляризацию, ее конкретный выбор несущественен (например, другой возможный выбор — чисто степенной коррелятор k~d~e с резким обрезанием интеграла при k <т). При 0 < е < 2 вихревая вязкость
Sy(rj=tfy(0)-tfy(r). (8) имеет конечный предел при т 0:
Síj (г) = Dr£ [{d + £- 1 + a) óij - е(а - 1)^-], (9)
где
—Рр Г(—g/2) л--П'/п пт
4т ' 5
импульсы соответствующими производными (iki dt и т.д.), получаем
2и0д2В{т) + [Sy (г)0ф] D(r) + С(г) = 0 (22)
с функцией С (г) из (4), а Sa (г) определяется выражением (8) с подстановкой а = 0.
Как нетрудно проверить, для несжимаемой жидкости (т.е. для а = 0 в (8)) выполняются соотношения diSij = 0, didjSij = 0 (срабатывает поперечный проектор в (7)), так что уравнение (22) можно тождественно переписать так:
• 2v0d2D{r) + didj [Sy(r)r>(r)] + С (г) = 0. (23)
При 0 < £ < 2 уравнения (22) и (23) допускают конечный предел m -4 0: возможная инфракрасная расходимость интеграла в (21) при q = 0 подавлена благодаря исчезновению выражения в квадратных скобках. Тогда для функции Sij (г) можно использовать представление (9) с подстановкой а — 0, а сами уравнения становятся дифференциаль-. ными, как и было указано ранее.
В общем случае а ф 0 имеем diSij ф 0, и следует быть внимательным при расстановке производных: уравнения (22) и (23) перестают быть эквивалентными. Повторяя приведенные выше вычисления для а > 0, находим, что уравнение (22) справедливо для модели (2), тогда как (23) — для случая плотности (1). При этом функция Sij (г) дается полным выражением (8) с а > 0, а в пределе гп —> 0 (который также существует для обеих моделей и приводит к дифференциальным уравнениям) она переходит в (9).
Добавим, что точное уравнение для парной корреляционной функции было выведено и решено (для несжимаемой жидкости и в отсутствие анизотропии) еще в 1968 г. в работе Крейчнана [16]. Приведенный выше квантово-полевой вывод следует работам [17, 18]. Можно получить подобные уравнения и для всех старших корреляционных функций, но их точное решение оказалось возможным лишь в рамках теории возмущений по 1/d или е [3-5]. •
4. Аномальные показатели для парного коррелятора: точные результаты. В присутствии выделенного направления, которое задается введенным в функцию С (г) единичным вектором п, одновременная корреляционная функция поля в{х) может быть представлена рядом по полиномам Гегенбауэра (при d = 3 это сводится к разложению по полиномам Лежандра) •
оо
,Dir) = '£Dl(T)Pl(z), (24)
. ;- - 1=0
где коэффициентные функции ищутся в степенном виде
Di(r)~Dir°. ' (25)
В силу четности по п вклад в (24) дают только полиномы четного порядка.
Как показано в ряде работ (см., например, [3-5]), ведущие члены асимптотик инерционного интервала даются нулевыми модами, т.е. решениями уравнений (22), (23), в которых отброшены и вклады случайной силы [С (г) = 0], и вклады с коэффициентом диффузии (i/o = 0), т.е. вклады с накачкой и диссипацией энергии. Поскольку такие однородные уравнения SO (¿)-ковариантны, уравнения для различных коэффициентных функций в (24) расцепляются.
Подставляя представления (24), (25) в уравнения (22), (23) и используя соотношения ад, (г) = ae(d + e)Dr,r-2+e, = ae(d + e){d - 2 + e)Dr~2+e, получаем
квадратные уравнения для показателей Q из (25). Именно, для модели «tracer» находим
О (С/ + d- 2) - 1(1 + d - 2) + - 0 (26)
с решениями
С/ = 2- d- I + 0(e) (27)
а для случая плотности —
С, к, + д - 2) - щ + „ - 2) + , с. (О -1) (а -1) + « ±±-А + «> , о (29)
с решениями
. Ci = -d-¿ + 0(£) (30)
• 0 = " (d + 2l - 2)(d — 1 + о) +Р(е)- (31)
Принципы отбора физических решений уравнений типа (26), (29) основаны на идее «склеивания» степенных решений однородных уравнений с решениями точных уравнений (при наличии накачки и диссипации) в областях Лг ~ 1 и mr ~ 1 (см. [3-5]). Вывод интуитивно ясен и сводится к требованию, чтобы физически допустимое решение в области тг 1 имело конечный предел при г = 0 (по крайней мере при асимптотически малых е). Из числа найденных выше этому условию удовлетворяют только решения (28) и (31), имеющие вид Q = 1 + 0(e). Точные выражения для них таковы:
С/ = [2(-1-М + а + ае)]-1{ - 2 + 3d-d2 + 2a-da + £-de + ae +
/[(2 - 3d + d2 - 2а + da - е + de - ае)2-4l (—2 + 3d — d2 + l-dl + 2a-da-la + 2£-d£-le)(-l + d + a + as)]1/2}
(32)
для поля типа «tracer» и
О = [2 (-1+ d + a + a£)]_1 j -2 + 3d-d2 + 2a-da + £-d£-|-a£-2da£-2a£2 +
[(2-3d + d2 -2a + da -£ + d£-Q£ + 2dae + 2a£2)2 - 4 (-1 + d + a + as) x
(~2l + 3dl - d2 I + l2 - dl2 + 2la - dla - I2 a + 2le - die - I2 e - 2dae+
j j 2
- d2 a £ — 2 a e2 + 2 d a £2 + a £3) j >
(33)
для плотности. Как и следовало ожидать, для а = 0 решения (32), (33) совпадают как друг с другом, так и с ответом, полученным ранее в ¡3] для несжимаемой жидкости.
Решения (27), (30) также имеют физический смысл и описывают асимптотику в коротковолновой области Лг 1 (см., например, [3]).
5. Иерархия аномальных показателей и влияние сжимаемости. Итак, были получены точные явные выражения для двух бесконечных семейств аномальных показателей, связанных с анизотропными вкладами в парной корреляционной функции поля пассивного скаляра в моделях (1) и (2), обобщающих модель Крейчнана на случай сжимаемой жидкости. Перейдем к их обсуждению.
Как нетрудно убедиться, показатели (32), (33) при всех значениях параметров е, а и й удовлетворяют неравенствам
0 > 0' если I > V, ' (34)
выражающим своего рода иерархию анизотропных вкладов: чем меньше индекс I, тем меньше соответствующий показатель Сг и, следовательно, тем важнее его вклад в асимптотику инерционного интервала тг —»• 0. Следовательно, главный вклад дается показателем Со изотропного вклада, а остальные показатели 0 с / > 2 определяют лишь поправки, которые в глубине инерционного интервала убывают тем быстрее, чем больше их степень анизотропности I. Это, в частности, означает, что главный вклад в асимптотику одинаков для изотропной и анизотропной моделей.
Хотя иерархические соотношения (34), которые можно выразить одним неравенством <90 ¡01 > 0, справедливы при всех значениях а > 0, с ростом а поправочные вклады становятся все ближе друг к другу и к ведущему вкладу, т.е. иерархия ослабевает: 920/9Ша< 0.
Обсудим отдельно главные (изотропные) вклады с показателями Со- Нетрудно видеть, что для модели (2) такой показатель тривиален, Со = 0, что отвечает постоянному (не зависящему от г = |г|) вкладу в коррелятор. Поскольку уравнение (2) инвариантно, очевидно, относительно сдвига в —> В+сопвЬ, вместо корреляционных функций для него уместно рассматривать структурные функции, обладающие той же инвариантностью при сдвиге:
5„(г) = <[0(4, х) - 0(г,х')П, г = х - х'. (35)
Аналогичное (24), (25) разложение по полиномам Лежандра (Гегенбауэра) из (5) для них имеет вид
оо
5П( = (36)
с некоторыми числовыми коэффициентами 5П/. Сравнение (36) с представлениями (24), (25) дает Сг* = 0 с 0 из (32) для всех I > 0. Что касается' I — 0, то постоянный член с Со = 0 выпадает из разности (35), и поведение изотропного вклада будет определяться поправочным показателем (2-е). Этот показатель связан уже не с нулевой модой, а с решением полного (неоднородного) уравнения (22) со вкладом накачки; его вид находится из баланса размерностей в уравнении и потому прост (см., например, [16]). Отметим, что иерархические соотношения (34) остаются справедливыми и для структурной функции 5г = [£>(0) — Г>(г)]/2, т.е. когда под Со понимается Со = (2 - е) вместо Со = 0.
Для случая поля плотности показатель
Со = ,, , < о (зт)
(квадратный корень в (33) извлекается явно) нетривиален; он дает главный вклад как для корреляционной функции D(r), так и для структурной функции S2 в (35). Выражение (37) совпадает с ответом, полученным ранее в [17] прямо для изотропного случая (для d = 1 см. также [19]). В этом случае аномальный скейлинг возникает уже на уровне парного коррелятора, как и в модели Казанцева-Крейчнана для пассивного векторного (магнитного) поля [20].
6. Обсуждение результатов. Дальнейшие задачи. Хотя приведенные выше результаты получены на основе конкретной модели, можно ожидать, что они носят весьма общий характер. Описанное выше иерархическое поведение наблюдается для пассивного магнитного поля [11,21], старших корреляционных функций скаляра [9] и магнитного поля [21] и для пассивного скаляра, переносимого негауссовым полем скорости, генерируемым двумерным уравнением Навье-Стокса в режиме обратного каскада энергии [10]. Подобное поведение (суперпозиция степенных законов с универсальными показателями и неуниверсальными амплитудами) оказывается довольно типичным и наблюдается также для турбулентности Навье-Стокса при численном моделировании течения в канале и натурных экспериментах в поверхностном слое атмосферы (см. работы [12,13] и литературу в них). В этих исследованиях структурные функции поля скорости разлагались по неприводимым представлениям группы вращений; было обнаружено, что в каждом секторе такого разложения возникает степенное поведение, а показатели, по-видимому, являются универсальными. Напротив, амплитуды при различных вкладах оказываются неуниверсальными, так как зависят от положения в потоке, локальной степени анизотропии и неоднородности и т.п. [12,13].
Ослабление иерархических соотношений jc ростом сжимаемости также имеет место для различных моделей с участием скалярных и векторных пассивных полей [22-24].
Тем самым точное решение упрощенной модельной системы демонстрирует важные универсальные свойства развитой турбулентности в целом и позволяет уточнись и дополнить известные феноменологические представления о локально изотропной турбулентности, изотропизации в инерционном интервале и т.п. . \
Помимо значения для теории турбулентности и турбулентного переноса, модель Обухова-Крейчнана и ее математические «родственники» интересны и собственно для квантовой теории поля как примеры нетривиальных квантово-полевых моделей, в которых иногда удается получать точные (непертурбативные) результаты. Как уже указано во введении, существует два дополняющих друг друга подхода к подобным моделям: метод нулевых мод и метод ренормгруппы и операторных разложений. В данной работе использовался метод нулевых мод, что позволило получить точные ответы для аномальных показателей, связанных с парной корреляционной функцией.
В ренормгрупповом подходе аномальные показатели отождествляются с критическими размерностями некоторых составных полей (составных операторов в квантово-полевой терминологии), что-позволяет построить для них регулярную теорию возмущений, аналогичную известному е-разложению критических индексов, и выполнить практические вычисления до порядка £3 (трехпётлевое приближение) (см. [25]). Точных ответов (без разложения по е) здесь получить, как правило, не удается, зато такой метод работает и для старших корреляционных функций, когда метод нулевых мод оказывается менее эффективным.
Вместе с тем знание точных ответов для критических размерностей составных операторов дает уникальную возможность полностью ответить на ряд вопросов о свойствах е-разложений, что редко удается сделать для содержательных моделей квантовой теории поля или критических явлений: характер й радиус сходимости рядов, положе-
ние и тип особенностей, зависимость радиуса сходимости от размерности пространства d или порядка корреляционной функции, возможность экстраполяции рядов по е к конечным значениям е = 0(1), асимптотики высших порядков и т.д. (см., например, обсуждение в [25]). Можно также построить точные выражения для таких величин, как аномальная размерность вне неподвижной точки или константа ренормировки, как было сделано в [26] на примере точно решаемой модели Гейзенберга для спектрального баланса энергии.
Для этого важно в каждом конкретном случае правильно отождествить точно известный аномальный показатель с определенным составным оператором. В частности, полученные выше показатели Q, по-видимому, соответствуют неприводимым тензорным операторам ранга I с участием минимально возможного числа полей в(х) и не сводящимся к полным производным. Такие операторы имеют вид
I.R.P. [6{x)dh ...ДДа:)], (38)
где I.R.P. обозначает операцию отбора неприводимой части тензора, например
I.R.P. \e(x)didj6{x)] = в(х)дгдэв(х) - (dif/d) в{х)д2в(х). (39)
В общем случае вычитаемые члены обеспечивают исчезновение свертки получаемого неприводимого тензора типа (39) по любой паре его индексов.
Прежде всего необходимс^убедиться в справедливости такого отождествления, для чего следует вычислить критические размерности операторов (38) в моделях (1) и (2) в первом порядке по е с помощью метода ренормгруппы и сравнить результат с соответствующим членом разложения точных ответов (32) и (33) по е. Эта работа будет выполнена в дальнейшем.
Н. В. Антонов благодарит за гостеприимство Отделение физических наук Университета г. Хельсинки (Финляндия) и Международный институт математической физики им. Эрвина Шрёдингера (Вена, Австрия).
Summary
Antonov N. V., Honkonen Ju.R. Anomalous scaling in a simple model of turbulent transport: effects of anisotropy and compressibility.
The effects of compressibility and large-scale anisotropy on anomalous scaling behavior are considered for two models, describing turbulent transport of passive scalar fields. The correlation functions of the scalar fields are represented by superpositions of power laws with non-universal amplitudes and universal anomalous exponents. The complete set of anomalous exponents for the + pair correlation functions is found exactly, using the zero-mode technique. The exponents exhibit an hierarchy related to the degree of anisotropy. The hierarchy becomes weaker as the degree of compressibility increases.
Литература
1. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика: В 2т. СПб., 1996. Т. 2. ,
2. Prisch U. Turbulence: Legacy of A.N. Kolmogorov. Cambridge, 1995. 3. Chertkov M., Falkovich G., Kolokolov I., Lebedev V. // Phys. Rev. 1995. Vol. E52. P. 4924-4953. 4. Bernard D., Gaw§dzki K., Kupiainen A. // Phys. Rev. 1996. Vol. E54. P. 2564-2567. 5. Falkovich G., Gaw§dzki K., Vergassola M. // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 913-975. 6. Adzhemyan L. Ts.,
Antonov N. V., Vasil'evA.N. // Phys. Rev. 1998. Vol. Б58. P. 1823-1835. 7. Антонов H.B. // Зап. науч. семинаров Петерб. отд. Матем. ин-та РАН. 2000. Т. 269. С. 79-91. 8. Ад-жемяп Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н., Перекалин М.М. // Физическая мысль России. 2002. Т.2. С.143-150. 9. Antonov N. V. // Phys. Rev. 1999. Vol. E60. P. 6691-6707. 10. Celani A., Lanotte A., Mazzino A., Vergassola M. // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 2383-2385. 11. Lanotte A., Mazzino A. // Phys. Rev. 1999. Vol. E60. P. R3483-R3486.
12. Arad I., Dhruva В., Kurien S. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 5330-5333.
13. Arad I., Biferale L., Mazzitelli I., Procaccia I. // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 50405043. 14. Васильев A.H. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998. 15. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. JL, 1976. 16. Kraichnan R.H. // Phys. Fluids. 1968. Vol. 11. P. 945-953. 17. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V. // Phys. Rev. 1998. Vol. E58. P. 7381-7396. 18. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Hnatich M., Novikov S. V. // Phys. Rev. 2000. Vol. E63. P. 016309. 19. Vergassola M., Mazzino A. // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79. P. 1849-1852. 20. Vergassola M. // Phys. Rev. 1996. Vol. E53. P. R3021-R3024. 21. Antonov N. V., Lanotte A., Mazzino A. // Phys. Rev. 2000. Vol. E61. P. 6586-6605. 22. Antonov N. V, // Physica. 2000. Vol. D144. P..370-386. 23. Antonov N. V., Honkonen J., Mazzino A., Muratore Ginanneschi P. U Phys. Rev. 2000. Vol. E62. P. R5891-R5894. 24. Antonov N. V., Honkonen J. // Phys. Rev. 2001. Vol. E63.' P. 036302. 25. Adzhemyan L.Ts., Antonov N. V., Вarinov V.A. et al. // Phys. Rev. 2001. Vol. E64. P. 056306. 26. Аджемян Л.Ц., Антонов H.B. // Теор. мат. физика. 1998. Т. 115. С. 245-262.
Статья поступила в редакцию 1 апреля 2003 г.
