CC BY
29
Сер. 4. 2009. Вып. 1
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 517.9
Л. Ц. Аджемян, Н. В. Антонов, П. Б. Гольдин, М. В. Компаниец
АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ:
ВЫСШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ *)
Введение. В последние годы прошедшего века был достигнут значительный прогресс в понимании явлений перемежаемости и аномального скейлинга развитой гидродинамической турбулентности [1]. Ключевую роль в этих исследованиях играла модель турбулентного переноса (конвекции) пассивного (т. е. не оказывающего обратного влияния на турбулентную среду) скалярного поля 9(4, х), известная как модель Обухо-ва-Крейчнана. Поле скорости в ней описывается гауссовым статистическим ансамблем с парным коррелятором вида (уу) х 8(4 — 4')к-а-е, где к - волновое число, й - размерность пространства и е - произвольный показатель (подробнее в следующем разделе). Структурные функции скалярного поля в инерционном интервале масштабов демонстрируют аномальный скейлинг
Бп(т) = ([9(4, х) — 9(4, х')]2п> <х тп(2-е^ (т/Ь)Ап, (1)
т. е. сингулярную зависимость от расстояния т = |х — х' | и внешнего масштаба турбулентности Ь, характеризуемую бесконечным набором показателей Дп. В рамках так называемого метода нулевых мод эти показатели были вычислены в первом порядке разложений по е и 1/й:
Дп = —2п(п — 1)е/((1 + 2) + 0(е2) = —2п(п — 1)е/(1 + 0(1/32). (2)
Обзор работ этого направления можно найти в [1].
В работе [2] к модели Обухова-Крейчнана был применён аппарат квантово-полевой ренормгруппы и операторного разложения. В этом подходе аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных полей (операторов) с отрицательными критическими размерностями (так называемые «опасные операторы»), которые удаётся отождествить с аномальными показателями Дп в (1). Это позволило построить для последних систематическую теорию возмущений по е (аналог известного е-разложения критических индексов) и выполнить практическое вычисление во втором [2] и третьем [3] порядках. Помимо вычислительной эффективности, важным достоинством ренормгруппового подхода является его универсальность: он позволяет рассмотреть турбулентный перенос негауссовым полем скорости с ненулевым временем корреляции, детально изучить влияние анизотропии и сжимаемости и, наконец, исследовать случай пассивного векторного поля см. обсуждение и ссылки в [4].
В настоящей работе рассматривается проблема аномального скейлинга для пассивного векторного поля, при этом турбулентная среда моделируется ансамблем Обухо-ва-Крейчнана. Такая модель была предложена ранее в работах [5, 6] и в дальнейшем
*) Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 08-02-00125a, Российской национальной программы, грант № 2.1.1.1112, и программы «Российские научные школы», грант № 5538.2006.2.
© Л. Ц. Аджемян, Н. В. Антонов, П. Б. Гольдин, М. В. Компаниец, 2009
изучалась в [7-11]. С точки зрения физики, её можно рассматривать как некоторую приближённую линеаризацию стохастического уравнения Навье-Стокса, либо как модель турбулентной конвекции примесных частиц с внутренними степенями свободы. Наша мотивация, однако, состоит в определённом формальном сходстве, которое с точки зрения ренормгруппового подхода существует между такой моделью и нелинейным стохастическим уравнением Навье-Стокса, описывающим реальную турбулентность. Для скалярной задачи составной оператор, определяющий главный член асимптотики инерционного интервала (1), единственен - это (д^9д^9)п, степень оператора локальной диссипации флуктуаций скалярного поля, а показатель Дп в (2) - его критическая размерность [2-4].
Для векторного поля операторов одинаковой размерности и симметрии можно построить много, они смешиваются при ренормировке, так что асимптотика структурных функций определяется не индивидуальными операторами, а целыми семействами операторов. Ренормировка семейств составных операторов и вычисление соответствующих матриц критических размерностей - достаточно трудоёмкая задача, которая для каждого семейства должна решаться отдельно, так что на получение простых явных ответов типа (2) надеяться, казалось бы, не приходится. Проблема смешивания операторов является существенным препятствием для получения результатов, подобных (1), (2), для стохастического уравнения Навье-Стокса: её не удалось полностью решить даже для относительно простого случая семейства, включающего квадрат оператора диссипации; см. также обсуждение в [2] и [4].
Поэтому предложенная в [5, 6] модель пассивного векторного поля представляет особый интерес: в ней также присутствует проблема смешивания операторов, но теперь это не является непреодолимым препятствием: ведущие аномальные показатели определяются критическими размерностями операторов определённого типа, именно, (д9)2п (со всевозможными вариантами свёрток по векторным индексам), причём операторы с данным значением п образуют семейства, ренормировку которых можно рассматривать независимо [5, 7]. Более того, для невысоких размерностей пространства между членами данного семейства имеются линейные связи, которые значительно сокращают число независимых операторов [8-11]. Для 3 =2 это позволило получить явные выражения для ведущих аномальных показателей в порядках е [9] и е2 [10], а для случая 3 =3 - найти эти показатели в порядке е до п = 9 включительно [8].
В настоящей работе мы рассмотрим проблему аномального скейлинга в модели пассивного векторного поля [5, 6] при 3 ^ ж. Как и в случае скалярной модели Обухо-ва-Крейчнана, аномальные показатели при больших 3 убывают как 0(1/3), так что аномальный скейлинг при 3 = ж исчезает; сравните (2). При этом для нахождения всех отрицательных размерностей оказывается достаточным рассматривать некоторое подсемейство полного семейства (д9)2п, а соответствующая матрица критических размерностей может быть построена с помощью определённого алгоритма [7]. Это позволило явно найти все отрицательные критические размерности в семействах до п = 28 (включительно) в порядке О(е); они определяют ведущие и поправочные аномальные показатели для структурных функций вплоть до $28.
При больших п прямые вычисления становятся слишком трудоёмкими, но в них и нет необходимости: полученные результаты позволяют предложить простые явные эмпирические выражения для ведущих и поправочных аномальных показателей, которые становятся практически точными для больших п. Таким образом, при 3 ^ж удаётся получить полное описание аномального скейлинга при всех п.
Остаётся заметить, что исследование асимптотики 3 ^ ж представляет отнюдь не только академический интерес. Весьма многообещающей представляется высказанная впервые в работе [12] идея построения теории возмущений по 1/3 для реальной развитой турбулентности, где других малых параметров нет и обычная теория возмущений неприменима. Ожидается, что в пределе 3 ^ ж задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет, и теория Колмогорова-Обухова станет справедливой), так что её можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1/3 (отметим, что для реальной трёхмерной турбулентности он действительно мал: 1/3 = 1/3). Полученные в настоящей работе результаты являются серьёзным аргументом в пользу идеи 1/3-разложения.
Описание модели. Следуя работам [5-10], будем рассматривать стохастическое уравнение конвекции-диффузии для поперечного пассивного векторного поля 9(х) = = {9*(4, х)} и турбулентного поперечного поля скорости у(ж) = {у^, х)} вида
V^9j + д{Р = VoД9j + fi, = дг + (у- д-), (3)
где Р(х) - давление, V0 - вязкость, Д - оператор Лапласа и /Дх) - поперечная случайная сила, описывающая поступление энергии в систему от некоторого внешнего источника. Для неё выбирается гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором вида
Шх)-(х')) = 8(4 — О с-(т/Ь), т = 1х — А (4)
где Ь - интегральный (внешний) масштаб и С— - безразмерная функция, явный вид которой несуществен; требуется лишь конечность при т/Ь ^ 0 и убывание при т/Ь ^ ж.
Поле скорости у(х) также предполагается гауссово-распределённым с коррелятором вида
/3к
■^-р- Р^-(к) кгл-г ехр(1кг). (5)
Здесь и далее к - импульс (волновой вектор), к = |к|, Р— (к) = 8— — ^к-/к2 - поперечный проектор, £>о > 0 - положительный амплитудный множитель и 3 - размерность пространства х. Показатель 0 < е < 2 играет в ренормгрупповом подходе к модели
(3)-(5) такую же роль как е = 4 — 3 - в теории критического поведения.
Инфракрасная регуляризация обеспечивается обрезанием интеграла в (5) снизу на к = т, где 1/т - величина порядка внешнего масштаба Ь. Соотношения
Do/vo = до = Ле (6)
определяют константу связи до (параметр разложения в простой теории возмущений) и характерный ультрафиолетовый масштаб Л.
В силу условий поперечности полей дi9i = д^ = 0, вклад давления может быть выражен через решение уравнения Пуассона:
ДР = —ду- д-9i. (7)
Стохастическая задача (3)-(5) эквивалентна теоретико-полевой модели для расширенного набора полей Ф = {9', 9, V} с функционалом действия вида
5(Ф) = 9'De9'/2 + 9' [—^ + VoД] 9 — vD-1v/2. (8)
Первые три вклада в (8) представляют действие де-Доминисиса-Янссена для стохастической задачи (3), (4) при заданном V, тогда как последний вклад описывает гауссово усреднение по V с коррелятором (5). Функции De и Dv суть корреляторы (4) и (5), соответственно, 9' - вспомогательное поперечное векторное поле (поле отклика), все необходимые интегрирования по х = (4, х) и суммирования по векторным индексам подразумеваются, например:
В силу поперечности вспомогательного поля оно действует как проектор, отбирающий поперечную часть выражения в квадратных скобках, поэтому вклад давления в действии (8) может быть опущен:
Ренормгруппа, операторное разложение и аномальный скейлинг. Основным предметом исследования является поведение одновременных структурных функ-
в инерционном интервале, определённом неравенствами 1/Л ^ т ^ Ь ~ 1/т (функции нечётного порядка в нашей модели исчезают в силу симметрии действия относительно преобразования 9 ^ —9, 9' ^ —9'). Здесь 9Г = 9т/т - компонента пассивного поля вдоль направления г = х — х'. Величина (9) - аналог экспериментально измеряемых структурных функций для реальной развитой турбулентности.
Выполненный в работах [5, 7] анализ показал, что ультрафиолетовые расходимости в модели (8), имеющие вид полюсов по е в диаграммах теории возмущений, устраняются с помощью единственной независимой константы ренормировки коэффициента вязкости, для которой однопетлевое приближение даёт точный ответ. Таким образом, модель (8) является мультипликативно ренормируемой, причём соответствующие уравнения ренормгруппы при всех 32 > 3 имеют инфракрасно-притягивающую неподвижную точку. Это позволяет получить для структурных функций в инфракрасной асимптотике (т. е. при Лт ^ 1) скейлинговое представление
в котором зависимость от ультрафиолетового масштаба Л исчезает в согласии со Второй гипотезой Колмогорова, а зависимость от внешнего масштаба т содержится в скей-линговых функциях (тт), вид которых не определяется из самих уравнений ренорм-группы.
Инерционному интервалу отвечает дополнительное условие тт ^ 1. Как и в теории критического поведения, асимптотика скейлинговых функций в этой области определяется с помощью операторного разложения Вильсона и имеет вид:
Суммирование в (11) идёт по всевозможным ренормированным составным полям (в квантово-полевой терминологии - локальным составным операторам) с определён-
литичны по (тт)2. Для функций типа (10) вклад в разложение (11) дают лишь
ций
(9)
Бп(г) = Б-п тп(2-) $п(шт),
(10)
(11)
Р
ными
критическими размерностями Ар, а коэффициентные функции АрП\шт) ана-
скалярные операторы, имеющие ненулевое вакуумное среднее; тем самым, операторы, имеющие вид полных производных, могут игнорироваться. Очевидно, главный вклад в асимптотику (11) даёт оператор с наименьшей критической размерностью Др. В обычных моделях критического поведения (как например в ф4-модели) это - простейший оператор Р =1 с Др = 0. Отличительной чертой моделей развитой турбулентности является наличие в операторных разложениях так называемых опасных операторов с отрицательными размерностями Др < 0. Именно они определяют главные члены асимптотик типа (11) и приводят к сингулярной (степенной) зависимости структурных функций от внешнего масштаба т в противоречии с Первой гипотезой Колмогорова; в этом и состоит явление аномального скейлинга.
Как и в скалярной модели Обухова-Крейчнана, в модели (8) наиболее «опасными» являются простые степени основного поля 9 с точно известными размерностями Д[9п] = пД9 = п( — 1 + е/2). Однако они не дают вклада в разложение (11) в силу инвариантности действия (8) и самих структурных функций (9) относительно сдвига 9 ^ 9 + 001181;. Поэтому главные члены асимптотик (11) в модели (8) связаны с операторами, содержащими минимальное число производных, обеспечивающее инвариантность при таких сдвигах; все они имеют вид д9 ...д9 с произвольным чётным (чтобы можно было получить скаляр) числом сомножителей д9 и различными вариантами свёрток по индексам полей и производных. Для случая скалярного поля 9 вариант свёртки при заданном числе сомножителей единственен, (дi9дi9)”, а размерность такого оператора в главном порядке е-разложения вычисляется аналитически и даётся выражением (2); поправки до порядка е3 включительно также известны [3]. Размерности (2) при п > 1 отрицательны, причём их набор не ограничен снизу. Однако, основываясь на линейности исходного уравнения (3), можно показать, что оператор вида (д9)2к даёт вклад в представление (11) для функции Бп, только если число полей в нём не превосходит числа полей в самой Бп, т. е. при к ^ п. Поэтому в представлении вида (11) для любой конкретной функции ^п (тт) всегда найдётся оператор с наименьшей размерностью (в данном случае это (д9)2”), который и определяет ведущий член её асимптотики.
Для векторного поля 9 число вариантов свёртки для структуры (д9)2” будет быстро расти вместе с п. При этом все операторы из семейства с заданным п смешиваются при ренормировке, так что ведущие показатели Др в (11) определяются не индивидуальным оператором (как в скалярном случае), а являются собственными числами матрицы критических размерностей. Наименьшее собственное число определяет главный член асимптотики, остальные дают поправки, которые при малом е могут быть очень близки к главному члену.
Для п =1 вариант свёртки по-прежнему один: дi9- дi9-. Как и в скалярном случае, его размерность Дп = 0 может быть найдена точно из уравнения Швингера, так что функция $2 не обнаруживает аномального скейлинга [7]. (Второй возможный вариант д-19-д-9i = дд-(9-9,,) является полной производной в силу поперечности поля 9 ине должен учитываться.) Однако для п = 2 имеется уже 7 вариантов [5, 7], а для п = 9 - 47 246 [8, 11]. Между операторами имеются неочевидные линейные связи, которые сокращают число независимых мономов для невысоких размерностей пространства (до 6 при п = 2 и произвольном 3 и до 154 при п = 9 и 3 = 3), но порождают непростую задачу нахождения независимых операторов и исключения «лишних». Эти вопросы подробно рассмотрены в работах [8-11]. В случае 3 =2 поперечное векторное поле выражается через скалярное с помощью антисимметричного тензора Леви-Чивита: 9i = дь^. Это позволило автору [9] решить задачу диагонализации матриц критических размерностей операторов (д9)2” для произвольного п и найти явное выражение для ведущего
показателя, которое в первом порядке е-разложения совпадает с (2). Вклад порядка е2, вычисленный в [10], оказался отличным от его аналога для скалярного случая.
В случае произвольного 3 семейства с разными п нужно рассматривать отдельно, так что здесь уже не приходится рассчитывать на получение простого явного ответа для ведущих показателей. Удивительным образом, задача радикально упрощается в асимптотике 3 ^ ж, что позволяет дойти до очень высоких значений п и получить для ведущих показателей простые приближённые явные выражения.
Размерности операторов (д8)2п при в ^ ж. Критическая размерность А произвольного оператора вида (д8)2п в первом порядке е-разложения имеет вид А = = Аі(3)є + 0(е2) с некоторым зависящим от 3 коэффициентом Аі (3). Как показано в [7], первые члены его разложения по 1/3 имеют вид
А1(3) = 2к + А11/3 + 0(1/32),
где к - некоторое целое число, удовлетворяющее неравенствам 0 ^ к ^ п, и Аіі - числовой коэффициент, не зависящий от е и 3. При этом оказывается, что в первом порядке по 1/3 семейства с разными к «отщепляются» друг от друга, так что их можно рассматривать независимо.
Очевидно, что при больших 3 опасные операторы с Ац < 0 могут присутствовать лишь в подсемействах с к = 0. Им соответствуют операторы (д8)2п строго определённого вида - именно, все операторы, в которых поля сворачиваются по векторным индексам только с полями, а производные - только с производными. Для данного п все такие операторы представляются в виде произведений
Р =(фі)пі (ф2)п2 ...(ф, )п, (12)
где У:\=1 кпк = п и фк - скалярный оператор, включающий 2к сомножителей д8 и уже не сводящийся к произведению. Такой объект всегда может быть представлен [7] в виде
фк = дк 86к дк 8«1 дІ2 8«1 дІ2 8 52 дІ3 8 52 дІ3 8^3 - .д1к 8°к-1 д1к 8°к . (13)
Приведём несколько примеров. Для п = 2 есть два оператора типа (12):
Р = {фІ ф2}:
для п = 3 - три оператора: для п = 4 - пять:
Р = {ф^, фіф2, фз},
Р = {ф^, ф2ф2, ф2, ф і фз, ф4},
а для от п = 5 до 11 число операторов нужного типа равно 7, 11, 15, 22, 30, 42 и 56, соответственно. Таких операторов существенно меньше, чем всех операторов вида (д9)2” с данным п: например, 2 вместо 6 для п = 2 и 30 вместо 47 246 для п = 9. Однако для п = 28 имеется уже 3718 операторов типа (12), так что задача и при 3 остаётся далеко не тривиальной. Приведём ещё для примера всё семейство операторов типа (12) для п = 7:
Р = {ф1, ф5ф2, ф?ф2, Ф1Ф2, ф4фз, Ф1Ф3, Ф?Ф4, ф1 ф5,
ф1 фб, Ф1Ф2фз, Ф2Фз, Ф1Ф2ф4, Ф2Ф5, фзф4, фт} (14)
и для п = 8:
Р = {ф^, ф>2, фіф2, ф2ф3, ф4, ф 1 фз, ф2фз, ф2ф3, ф3ф2фз, фіф2фз, ф4, ф>4,
фі ф2ф4, ф2 ф4, ф і фз ф4, фіфі, фіф2 фб, фзфб, ф2фб, ф2фб, фі фг, фв}. (15)
Ренормировку семейств операторов типа (12) с различными п можно рассматривать независимо: в силу линейности исходной задачи (3) операторы вида (д8)2п не примешиваются к операторам (д8)2к если п > к. Как показано в [7], искомый главный член двойного разложения по е и 1/3 для матрицы смешивания семейства операторов типа (12) с некоторым заданным п имеет вид
е
Д = -5Л + ..., (16)
где многоточие обозначает поправки по степеням е и 1/3, а /А - матрица с неотрицательными целочисленными элементами, которые можно найти по следующим простым правилам. Диагональный элемент /Ааа, отвечающий некоторому определённому оператору Ра с заданным п, имеет вид
А аа = п — пі - ^2 пк к (к - 1), (17)
к=2
где пк - число входящих в Ра сомножителей типа фк .
Недиагональные элементы определяются «процессами слияния и распада» простых множителей типа фк. Выберем в некотором операторе Ра пару простых множителей фк и фр с некоторыми к и р (допускается к = р) и заменим его одним простым множителем фк+р. При этом образуется некоторый другой оператор Рр с прежним значением п. Такой «процесс слияния» фкфр ^ фк+р даёт в матричный элемент /Аар вклад 4кр с суммированием по всем парам сомножителей фкфр, входящим в Ра. Например, из оператора Рі = фз слиянием фіфі ^ ф2 с к = р = 1 можно получить оператор Р2 = фіф2; это даёт матричный элемент /Аі2 = 4крС| = 24, где сомножитель С| возникает как число способов выбрать пару фіфі из трёх множителей фі в Рі. Далее, выберем в операторе Ра простой множитель фк и заменим его множителем фк-рфр с некоторым 1 < р < (к — 1), при этом образуется некоторый новый оператор Рр с тем же п. Такой «процесс распада» фк ^ фк-рфр даёт в матричный элемент /Аар вклад 2к на каждый входящий в Ра множитель типа фк, если операторы фк-р и фр различаются, т. е. р = к — р, и к на каждый множитель фк , если они одинаковы, т. е. р = к - р.
Пример: два возможных распада в операторе Рі = ф4 (к = 4) порождают операторы Р2 = ф2 (к = р — к = 2) и Рз = фіфз (р =1, р — к = 3); соответствующие матричные элементы равны /Аі2 = к = 4 и /Аіз = 2к = 8. Другой пример: распад ф2 ^ фіфі в операторе Рі = ф2 порождает оператор Р2 = фіф| с матричным элементом /Аі2 = = 3к = 6; множитель 3 учитывает наличие трёх мономов ф2 в исходном операторе Рі.
Если оператор Ра порождает другой оператор Рр в результате некоторого слияния фкфр ^ фк+р, то, очевидно, Рр порождает Ра в результате «обратного распада» фк+р ^ ^ фк фр. Поэтому матричные элементы /Аар и /Ара либо оба равны нулю (что встречается довольно часто), либо оба отличны от нуля (но при этом не обязательно равны друг другу).
Для п = 2 и 3 матрицы Д имеют вид
0 4 2 0
Для семейств операторов, смешивающихся при ренормировке, показатели Др в (11) определяются собственными числами матриц Д с последующей подстановкой в (16). Собственные числа матриц (18) для п = 2 равны ±2у/2, а для п = 3 они таковы:
1 + 10 соэ \|/ = 9,673557, 1 — 5 сову — Бд/Звту = —7,64689, 1 — 5 сову + Бд/Звт \|/ = = 0,973333, где обозначено \|/ = (1/3) (6-\/434); для больших значений п они на-
ходились численно. Явный вид следующих матриц до п = 6 включительно приведён в [7], здесь мы приведём для примера матрицы для случаев п = 7:
0 84 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 40 0 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 4 0 12 0 0 16 0 0 48 0 0 0 0 0
0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 24 48 0 0 0
0 6 0 0 3 0 48 0 0 24 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 6 0 0 36 12 0 0 0 24 0
0 0 4 0 8 0 8 48 0 0 0 12 0 0 0
0 0 0 0 0 0 10 15 40 10 0 0 4 0 0
0 0 0 0 0 6 0 12 24 0 0 12 0 0 24
0 0 6 0 2 16 0 24 0 3 4 24 0 0 0
0 0 0 6 0 0 0 0 0 4 3 0 48 16 0
0 0 0 4 0 0 2 0 32 8 0 8 16 8 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 10 10 15 0 40
0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 4 6 0 11 48
0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 14 14 35 у
и для п = 8:
( 0 112 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 60 0 0 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 4 0 24 0 0 0 0 64 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 6 0 4 0 0 0 0 48 0 0 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 96 0 0 0 0 0 0 0 0
0 6 0 0 0 3 0 0 40 0 0 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 6 4 12 0 0 0 0 0 48 0 0 0 36 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 6 0 12 0 0 0 0 0 0 0 48 0 36 0 0
0 0 6 0 0 2 24 0 3 12 0 0 36 0 0 24 0 0 0 0 0 0
0 0 0 6 0 0 0 16 4 3 0 0 0 12 16 0 48 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 8 16 0 0 0 0 0 0 64
0 0 4 0 0 8 0 0 0 0 0 8 24 0 0 64 0 0 0 0 0 0
0 0 0 4 0 0 0 0 8 0 0 2 8 4 16 0 32 0 32 0 0 0
0 0 0 0 4 0 0 0 0 8 16 0 4 8 0 0 0 0 0 64 0 0
0 0 0 0 0 0 8 0 0 4 12 0 6 0 11 0 0 16 0 0 48 0
0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 10 0 0 0 15 12 0 60 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 10 0 0 2 15 8 0 20 40 0
0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 6 18 0 0 0 60
0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 12 0 0 12 0 0 24 4 48 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 14 0 14 0 35 28
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 16 0 16 16 48 )
В обоих случаях операторы пронумерованы в соответствии с их порядком в (14) и (15).
Описанный выше алгоритм построения матриц /А был реализован на компьютере; это позволило нам найти все матрицы и их собственные числа до п = 28 включительно. Вычисления для высших п требуют уже слишком больших затрат времени (главным образом - для нахождения собственных чисел), но они оказываются ненужными: найденные явно собственные числа демонстрируют интересные закономерности, что позволяет предложить для них простые эмпирические формулы, которые для больших п оказываются практически точными.
Все матрицы /А диагонализуемы, все их собственные числа вещественны и отличны от нуля. Среди собственных чисел для данного п всегда есть как положительные, так и отрицательные. Начиная с п = 3, положительных чисел больше чем отрицательных (для достаточно больших п, грубо говоря, вдвое больше). Максимальные по модулю для данного п положительное и отрицательное собственные числа монотонно растут вместе с п, причём максимальное положительное собственное число всегда больше (по модулю) максимального отрицательного (для больших п, грубо говоря, вдвое больше). Приведём несколько примеров.
Для п = 28 имеется 3718 операторов вида (12), 2569 положительных собственных чисел и 1149 отрицательных. Максимальное положительное собственное число матрицы /А есть 1484,5, минимальное (т. е. максимальное по модулю отрицательное) равно —782,1. Для других значений п те же пять чисел таковы: 1072; 503; 1575; 1080,5; —574,12 для п = 24, 1337; 621; 1958; 1175,5; —623,11 для п = 25, 1674; 762; 2436; 1274,5; —674,11 для п = 26 и 2070; 940; 3010; 1377,5; —727,11 для п = 27.
В силу соотношения (16), именно положительные собственные числа отвечают опасным операторам с отрицательными критическими размерностями и потому наиболее интересны. При этом максимальные по модулю положительные собственные числа для данного п определяют ведущий вклад в асимптотике структурной функции Бп в (9), (10), т. е. главные аномальные показатели; остальные собственные числа определяют поправки к ним. Эти поправки растут при (тг) ^ 0 для положительных собственных чисел /А и убывают для отрицательных.
Приведём все максимальные по модулю собственные числа ^о(п) матриц /А для п от 2 до 28:
2,828; 9,67356; 20,617; 35,5888; 54,5717; 77,5602; 104,5518; 135,55; 170,54059; 209,5366;
252,5334; 299,53063; 350,52832; 405,53; 464,5246; 527,52308; 594,52175; 665,52055;
740,51949; 819,51852; 902,51765; 989,51686; 1080,5; 1175,5; 1274,5; 1377,5; 1484,5.
Как показано на рис. 1, собственные числа ^о(п), рассматриваемые как функция порядка п, хорошо «укладываются» на плавную кривую (верхняя сплошная линия). Удивительным образом эта кривая хорошо описывается очень простым аналитическим выражением:
Х0(п) = 2п2 — 3п +1/2 + 0(1/п), (19)
причём поправка порядка 0(1/п) очень мала уже для сравнительно небольших значений п. Действительно, по приведённым выше значениям максимальных собственных чисел Хо(п) легко проверить, что выражение 2п2 — 3п даёт точно (и без единого исключения) их целые части, а уточнённое выражение 2п2 — 3п + 1/2, начиная с п = 5, верно предсказывает и первую цифру после запятой (для всех п ^ 5 она равна 5).
Рис. 1. Собственные числа матриц Д как функции номера семейства операторов п: главные ветви (19), (20)
Положительные собственные числа, следующие за максимальными, также хорошо ложатся на плавную кривую, следующие за ними образуют собственную ветвь и т. д. Эти ветви описываются простыми явными формулами, которые быстро становятся практически точными с ростом п. приведём их для нескольких следующих за (19) ветвей:
п) п - 7п + 7/2,
2 с-1 п - 11п +13, 3,
2 с-1 п - 11п + 7, 7,
2 со п - 15п + 31, 2,
2 со п - 15п + 22, 5,
2 со со п - 15п + 13, 9,
2 п - 19п + 57,1,
2 п - 19п + 44, 3,
с поправками порядка 0(1/п).
Выражения (19), (20) демонстрируют интересные закономерности, которые ещё ждут своего объяснения: главный (квадратичный по п) вклад у них одинаков, следующий (линейный по п) - отрицателен, причём коэффициент при нём растет с шагом 4. По коэффициенту при линейном члене ветви группируются в серии, причём число членов в каждой серии растет: по одному в первых двух сериях, два - в третьей,
три - в четвёртой. Отметим также, что если округлить постоянные (не зависящие от п) слагаемые в (19) до ближайшего целого числа и отбросить поправки порядка 0(1/п), то полученные выражения будут точно описывать целые части всех собственных чисел.
Все эти закономерности также иллюстрируются рис. 1, на котором показаны все положительные собственные числа матриц Д для п от 3 до 15, отвечающие, согласно (16), «опасным» составным операторам с отрицательными критическими размерностями. Сплошные линии соответствуют представителям главных серий: Ао из (19) и Аі, ^2,1 и Аз,з из (20). Они построены по явным формулам (19) и (20) без учёта вкладов порядка 0(1/п). Другие ветви серий А2,* и Аз,* сплошными линиями не показаны, чтобы не загромождать рисунок. Кружками обозначены максимальные собственные числа матриц Д, квадратиками - следующие за ними; видно, что они в точности ложатся на главные ветви Ао и А,і из (19), (20). Собственные числа, отвечающие двум ветвям серии А2,*, обозначены треугольниками, а звёздочками - собственные числа трёх ветвей очередной серии Аз,*.
Для сравнения показаны и некоторые отрицательные собственные числа (для п от 4 до 6) - видно, что для них общие формулы (19), (20) выполняются не столь хорошо. Однако оказывается, что отрицательные собственные числа формируют собственные ярко выраженные ветви, главная из которых описывается эмпирической формулой
Сравнение выражений (19) и (21) показывает, что отношение максимального и минимального собственных чисел матрицы Д стремится к 2 с ростом п, в согласии с приведёнными выше численными значениями для п > 24.
Заключение. С помощью теоретико-полевых методов ренормализационной группы и операторного разложения была исследована проблема аномального скейлинга в модели турбулентного переноса пассивного поперечного векторного поля (3), (4). Поле скорости турбулентной среды моделировалось гауссовым статистическим ансамблем Обухова-Крейчнана (5). Аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных полей (операторов) с отрицательными критическим размерностями («опасные операторы»). Ведущие члены асимптотик структурных функций (10), (11) определяются матрицами критических размерностей семейств составных полей (операторов) вида (д0д0)2п. При 3 ^ то опасные операторы могут присутствовать лишь в подсемействах операторов специального вида (12), (13), а соответствующие матрицы критических размерностей могут быть найдены с помощью относительно простого алгоритма. Это позволило нам вычислить их в главном порядке двойного разложения по £ и 1/3 до п = 28 включительно. Собственные числа этих матриц (т. е. критические размерности соответствующих семейств операторов) обнаруживают интересные закономерности, что позволяет предложить для них простые эмпирические формулы, становящиеся практически точными с ростом п. В частности, ведущий член асимптотики структурной функции (9) в инерционном интервале имеет вид
имеются явные выражения и для поправочных показателей. Таким образом, получено полное описание аномального скейлинга для модели при всех п.
Авторы выражают благодарность В. Д. Ляховскому, М. Ю. Налимову, С. В. Новикову и А. В. Рунову за полезные обсуждения.
(21)
Бп (г) = Б-™ тп(2 е) (тт)Ап, Дп = — (е/й) (2п2 — 3п +1/2);
Литература
1. Falkovich G., Gawgdzki K., Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 913-975.
2. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasil’ev A. N. Renormalization group, operator product
expansion, and anomalous scaling in a model of advected passive scalar // Phys. Rev. (E). 1998. Vol. 58. P. 1823-1835.
3. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A., Kabrits Yu. S., Vasil’ev A. N. Calculation of the anomalous exponents in the rapid-change model of passive scalar advection to or-
der £3 // Phys. Rev. (E). 2001. Vol. 64. P. 056306-(1)-056306-(28).
4. Antonov N. V. Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of turbulent advection // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. P. 7825-7865.
5. Аджемян Л. Ц., Рунов А. В. Модель переноса векторной пассивной примеси. Вестник СПбГУ // Сер. 4: Физика, химия. 2001. Вып. 4. С. 85-91.
6. Arad I., Procaccia I. Spectrum of anisotropic exponents in hydrodynamic systems with pressure // Phys. Rev. (E). 2001. Vol. 63. P. 056302-(1)-056302-(19).
7. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Runov A. V. Anomalous scaling, nonlocality, and anisotropy in a model of the passively advected vector field // Ibid. Vol. 64. P. 046310-(1)-046310-(20).
8. Новиков С. В. Перенос пассивной векторной примеси турбулентным потоком // Вестник СПбГУ. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 4. С. 77-81.
9. Новиков С. В. Перенос пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком // Теор. мат. физика. 2003. T. 136. С. 52-68.
10. Аджемян Л. Ц., Новиков С. В. Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля // Там же. 2006. T. 146. С. 467-487.
11. Novikov S. V. Anomalous scaling in two and three dimensions for a passive vector advec-tion // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. P. 8133-8140.
12. Fournier J.-D., Frisch U., Rose H. A. Infinite-dimensional turbulence // Ibid. 1978. Vol. 11. P. 187-198.
Принято к публикации 16 сентября 2008 г.
