Модель Крейчнана с замороженным полем скорости: инстантонный анализ констант ренормировки и предела сильной связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2009. Вып. 4

УДК 539.12

М. В. Комарова, И. С. Кремнёв, М. Ю. Налимов

МОДЕЛЬ КРЕЙЧНАНА С ЗАМОРОЖЕННЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТИ: ИНСТАНТОННЫЙ АНАЛИЗ КОНСТАНТ РЕНОРМИРОВКИ И ПРЕДЕЛА СИЛЬНОЙ СВЯЗИ*

Введение. Исследование квантово-полевых моделей на основе теории возмущний (ТВ) и метода ренормализационной группы (РГ) является традиционным инструментом современной физики. Результатами вычислений обычно оказываются ряды, которые обрабатываются разнообразными методами (пересуммируются) для получния численных значений физических величин. При этом особенно затруднены вычисления в динамике, где даже вычисление 2-3 порядков теории возмущений связаны с серьёзными вычислительными сложностями. Информация о типе сходимости рядов, так называемая асимптотика высоких порядков, оказывается очень важной. С её помощью можно корректно выбирать процедуру пересуммирования и адекватно оценивать погрешность получаемых результатов.

Оценка асимптотики высоких порядков производится на основе предложенного в работе [1] вычисления инстантона - перевальной точки функционального интеграла. Развитие данного метода по отношению к различным задачам критической статики и динамики [2-4] привело к появлению инстантонного анализа, позволяющего вычислять асимптотики высоких порядков для различных РГ-параметров моделей. Данный анализ достаточно сложен, поэтому в некоторых работах (например, [5]) вместо корректной оценки для асимптотик высоких порядков используются упрощённые соображения, касающиеся числа диаграмм в высоких порядках теории возмущений. А именно, утверждается, что все диаграммы дают примерно одинаковый вклад в ТВ, откуда и следует необходимая оценка.

В данной работе мы исследуем асимптотику констант ренормировки в модели Обухова-Крейчнана с замороженным полем случайной скорости. Термин «замороженный» означает, что коррелятор поля скорости независим от времени. На основе найденого ранее инстантона, мы исследуем свойства рядов ТВ для констант ренормировки данной модели и показываем, что, несмотря на факториальный рост числа диаграмм, с ростом порядка ряда ТВ, их асимптотика высоких порядков растёт существенно медленнее, а ряды оказываются сходящимися. Мы также приводим радиус сходимости упомянутых рядов.

Интересным случаем данной модели является ситуация, когда коррелятор поля скорости выбран продольным (т. е. поле скорости потенциально). Как изветстно из [6], при этом ^-функция уравнения РГ, оказывается, имеет тривиальный вид, и соответствующая ей инфракрасно (ИК) устойчивая фиксированная точка метода РГ отсутствует. В ИК-асимптотике инвариантный заряд стремится к бесконечности, что требует рассмотрения предела сильной связи. На основе найденного инстантона нам удалось провести соответствующий аназиз.

* Работа поддержана РФФИ (грант № 8-02-00125а).

© М. В. Комарова, И. С. Кремнёв, М. Ю. Налимов, 2009

Модель Крейчнана с замороженным полем скорости. Распространение пассивной скалярной примеси в d-мерной вязкой сжимаемой жидкости происходит посредством диффузии и турбулентного перемешивания случайным полем скорости. Описание задачи в рамках модели Обухова-Крейчнана основывается на стохастическом уравнении

dtф(х, t) + gV(V(х)ф(х^)) - уДф(х, t) = (1)

здесь ф(х, t) - скалярное поле, описывающее примесь, V(x) - случайное векторное поле скорости, ^(х, t) - случайная сила, v - вязкость, g - константа связи. Стандартная теория возмущений приводит к рядам по константе взаимодействия g, свойствами которых мы и интересуемся.

Для случайных величин ^ и V предполагаются гауссовы распределения, коррелятор случайной силы D| произвольный, коррелятор же поля скорости в отличие от стандартной модели Обухова-Крейчнана рассматривается не зависящим от времени:

{Vi(х^)^ (х',^)) = Dij(х - х').

Данная модель описывает диффузию в случайных средах [7, 8] и имеет непосредственное отношение к проблеме развитой турбулентности [9].

В координатном представлении коррелятор имеет степенной вид

§ •• z•z •

Dij(z) = + а2 z2|3+2 ’ Р = — а = 1 — е/2,

где

ai = —-——— -----\(^т(2о — 1) + ^ь), о,2 = йт — п—зт!—;— Tj (2)

1 22a+1jtd/2r(a +1) v ; { 22ajtd/2r(a +1) v ;

и Xl - поперечная и продольная константа связи импульсного представления. Параметр Xl определяет сжимаемость жидкости.

Стохастическое уравнение (1) с помощью MSR-формализма [10] (MSR - сокращение от фамилий авторов - Martin, Siggia и Rose) стандартным образом преобразуется к квантово-полевой модели со следующим действием и функцией отклика:

5.MSR = + ф/ + gZgV(Vф) - vZvAф

_ / ^ф^ф/ф(хьіі)ф/(х2,І2)ехр(5'М311)

У / ^ф^ф'ехр(5м311|3=о) "

Мы ренормируем модель посредством введения двух ренормировочных констант Zg и Zv аналогично [7]. Объектом исследования теперь становятся корреляционные функции. В частности, после стандартных необходимых доопределений [11] и интегрирования по V, ренормированная функция отклика принимает вид

Сц = (ф(хі,Іі)ф/(х2,І2))п = -----------------;-------------• (3)

т ’ ^ ’ ИП I !?уе-У!(х)С..1(х-х'№(х')/2 V >

Переменные Лагранжа. В работах [12, 13] обсуждалось, что в рамках MSR-формализма инстантон в модели Обухова-Крейчнана не существует (по крайней мере,

на классе гладких убывающих функций). Поэтому, как и в [2, 12], введём лагранжевы переменные, т. е. от скалярных полей ф, ф' перейдём к векторным полям е/(х), е/(х), которые играют роль координат и импульсов жидких частиц и зависят только от времени. Итак, функция отклика модели Обухова-Крейчнана в лагранжевых переменных имеет вид (подробный вывод в [12]):

Оу

&(І2 - іі)

/ 2>е2С ехр(Бь«г)

(4пу)Л/2(І2 — ІіУІ2 / 2е2С ЄХр(БЬ8г|д=0) ’

(4)

5Ь®Г = 1 dт ^vZVc'2(т) — гс'(т)дтс'(т) — gZgc'(т)V(c'(т))^ ,

фх) = Х1, с'^2) = Х2.

Введём для удобства величины

Т1 = £о — tl, Т2 = t2 — ^0, Х = Х2 — Х1, Х(1) = Хо — Х1, Х(2) = Х2 — Хо.

С помощью лагранжевых переменных можно исследовать асимптотики высоких порядков данной модели.

Асимптотика высоких порядков констант ренормировки. Чтобы определить ренормировочные константы ZV, Zg, продифференцируем (4) по V и д, соответственно. Вся зависимость от этих переменных содержится в Оу. Очевидно, что после такого дифференцирования получатся выражения, отличающиеся только предэкспоненциаль-ными множителями. Переписав полученные выражения в лагранжевых переменных, проинтегрировав по V и совершив преобразование Фурье по х, получаем следующие выражения для производных:

дСп

ду

С1 (*1 )=Х1 С2(І2)=Х2

Zv J dx0dt0 J Ве1 J Ве2 J Ве!1Ве!2 1уе8,

Сі(4о) = Хо С2 (4о) = Хо

(5)

дС* 7 [ А ЛЬ

-у— — Zg J dxodto

Сі (^ )=Х1

С2 (^2 )=Х2

Веі

Ве2 ВСіВС21д е8;

С1(4о) = Хо С2 (4о) = Хо

нормировка при д = 0 подразумевается, действие Б имеет вид

(6)

Б = гд(х2 — хі) + vZv(е/12 + е22) — іе/д еі — іе2 д е2 + ZuБu

(7)

нелинейная часть действия собрана в слагаемое

= о с1і(Хі)Щ(сЛХі) - С!«))%'(О + 2)Аі(с2(х2) - с 2(х2))%'(х2) +

+ 2с/В (еі — е2)с2,- ), и = д2

Необходимые интегрирования по полевым аргументам подразумеваются здесь и в аналогичных формулах в дальнейшем. Пределы интегрирования по времени здесь и далее

І1 < Ті, ті < І0 < Т2,т2 < ь.

Через I обозначен результат применения к вБ операции дСі(І0)дС2(І0); 1д соответствует операция У(с2(£о))дс2(е0) + дУ(с2^о)), т. е.

/ скЬс^ / <Ыс'2 б2^

У Т{Т2 +5жі5ж2’

Ig = ~ J dc\D'(ci - х0) + J dc2D'{с2 - х0) -

- г J dt( J dc\D(c\ - х0) + J dc2D(с2 - х0) j

На этапе поиска инстантона предэкспоненциальные факторы несущественны, поэтому последующая часть анализа одинакова для обеих констант ренормировки. Обозначим поэтому для удобства I = Ig, Iv; Z = Zg, Zv.

Константа ренормировки содержит полюсы по е при е ^ 0, которые должны устранять расходимости модели. Ренормированная функция отклика (3) конечна при е ^ 0. Таким образом, выражения (5), (6) также конечны; после их логирифмирования получим

res ln Z = — res ln / dx0dt0G, (8)

e^0 e^0 J

где G - составной оператор, соответствующий выражениям (5), (6). Отсюда видно, что корреляционная функция с составным оператором G содержит всю информацию о полюсах константы ренормировки Z.

Ампутация внешних пропагаторов будет подразумеваться.

Инстантонный анализ. Для выделения N -го члена ряда квантово-полевой теории возмущений в работе [1] было предложено пользоваться формулой Коши

G(u) = V G^un, GW = — І K J ^ ’ 2л if uN+1

N = 0 J

Интегрирование ведётся по замкнутому контуру в комплексной плоскости, охватывающему ноль.

Вычисление интегралов по с', с и и в Обудем осуществлять методом стационарной фазы. Основной вклад в ] при N даёт область интегрирования в окрестности инстантона - значений с^ и^, реализующих экстремум функционала действия,

т. е. решений уравнений стационарности.

Симметрия модели нарушается только вектором х; таким образом, естественно положить вектора сі и с[ I = 1, 2 коллинеарными х и искать их модули с и с[. Такое предположение было успешно использовано в инстантонном анализе обычной модели Обухова-Крейчнана [12]. При таком подходе уравнения стационарности проецируются на вектор х, а коррелятор скорости принимает следующий вид:

^(х) — і ion ; Do — ai + а2, |x|2P

аі и Я2 определены в (2). Рассматриваемое действие теории сингулярно по є вследствие присутствия констант 2У, Zg в действии, а также степенного поведения коррелятора В.

В [14] было показано, что соответствующие сингулярности могут корректно рассматриваться лишь в рамках ТВ и должны быть вынесены в предэкспоненту перед вычислением инстантонного вклада. Описанный порядок действий существенен, так как соответствует правильному порядку предельных переходов є, l/N ^ 0. Иными словами, действие (7) следует представить в виде Я = Ягев + Я8;пв,

ЯГе% — Я$;пв — v(Zv — 1) (с\ + с'2) + (ги — 1)Яи.

\гу=і V у

Теперь Яг^ определяет инстантон, по £8;^ предполагается разложение в ряд. Уравнения стационарности имеют вид

= 0 ис'^Ъ)^ ([£>цс/1](У + [£»12с2](У) = -г^с'^сь

бсі(£) 5Я

8с1 (£)

где

[Війс'к](£) ЗхиВ(сі(£) - си)с'к; 1,к = 1, 2.

При решении полученной системы уравнений оказывается возможным найти первый интеграл движения [15]:

<%сг(Х) = - п-с£(£); / = 1, 2,

с1\^)

где содержится произвольный параметр Г, каждому значению которого соответствует частное решение со своими граничными условиями. Нам удалось предъявить аналитическое выражение лишь для частного решения, соответствующего Г = 0. Соответствующее ему граничное условие имеет вид

**- = 4- = иаТ ■ т = ■Г‘",(1.Г”)Г-,- (!»

(1 - є)у/0і/2 /(у)Лу’ ^-є + (1 - ^)і-є'

Однако это частное решение полностью восстанавливает аналитический ответ для асимптотик высоких порядков констант ренормировки. Действительно, упомянутые константы не зависят от координат и импульсов. Перейдём в импульсно-частотное представление, рассматривая преобразование Фурье по х и Т. Частота при вычислении констант ренормировки без ограничения общности может быть положена равной нулю. Включим переменные х, хо, £о в метод перевала и выберем импульс q таким образом, чтобы решение уравнения стационарности на х дало значение, точно совпадающее с граничным условием, соответствующим случаю Г = 0:

гВои

Ч = Чо

(1 - є)хі-єУ2 "

Таким образом, произвол в выборе q позволяет использовать для инстантонного счёта именно найденное частное решение.

Действие Ягев в точке стационарности принимает следующий вид:

(Ю)

у2е

Что касается предэкспоненциальных факторов (5), (6) в точке стационарности, то для дальнейшего анализа нам будет достаточно указать, что

.2 —2е г 1 /™2—е

х

Выделение простых полюсов по є. Как уже было отмечено, вследствие (8) корреляционная функция с составным оператором содержит полную информацию о полюсах констант ренормировки; скейлинговые размерности, в свою очередь, определяются вычетами в простых полюсах по є констант ренормировки.

Учёт явного вида В (є) демонстрирует, что полученное нами действие в точке стационарности (10) содержит расходимости вида ~ (х^ — 1)/є и ~ 1/є. Корректное рассмотрение порядка предельных переходов методов РГ и инстантонного анализа требует [14], чтобы соответствующие вклады были исключны из Ягев и добавлены к Я^пв. При этом регулярная часть действия должна быть положена равной

/ \ є/(2-є)

Яге8 = (иТ°'2)2№-*Р(е), Р(є) = Щ І ------------%-2-------- І ,

где В о (є) = А + єВ(є), В (є) = В0 + Віє + 0(є2), и исследуемый коррелятор с составным оператором приобретает вид

С[ЛЧ = І ^Мехр(ЖЯГЄ8(Є,Т)) х

ОО 1

х^-^^+ОГ1)). (И)

р!

р=0 1

Здесь 2 обозначает I в точке стационарности и вклад от флуктуационного интеграла. 2 обеспечивает нам безразмерность рассматриваемой ампутированной корреляционной функции с составным оператором, поэтому множитель Т-1в последнем выражении выделен из 2 явно.

Удобно ввести новую, безразмерную переменную и = иТ£/2. Выражения для ) может быть проинтегрировано по Т при малых Т, что даст простой полюс 2/(Же). Отметим, что различие на е размерностей 1д и 1У здесь становится несущественным по сравнению с множителем им ~ Тке/2, поэтому разложение констант ренормировки Zg и Zv имеют однотипные асимптотики высоких порядков.

Оставшийся интеграл по и может быть вычислен методом перевала. В результате, в главном порядке по N:

Вычисление амплитуды С(е) и константы р требует детального исследования флуктуационного интеграла и в данной работе рассмотрено не будет.

Чтобы решить проблему учёта всех членов, возникающих в результате разложения по полюсам Я8іпв, используем конечную ренормировку константы связи:

Данная ренормировка не изменяет скейлинговых размерностей. Выберем к(е) таким образом, чтобы исключить из регулярной части действия зависимость от Nе:

Очевидно, ренормировка к(е) может быть записана в виде ряда теории возмущений

После такой ренормировки все полюсы по є из суммы по р не дают вклада в простой полюс. В результате, разложение по и вычета в простом полюсе по є имеет асимптотическое поведение при больших N:

что соответствует конечному радиусу сходимости рядов теории возмущений.

Коэффициенты уравнения ренормализационной группы определяются логарифмами констант ренормировки. Выражение (8) позволит найти их, если исследовать расходимость по е логирифма составного оператора.

Одним из простейших способов представить логарифм произвольного интегрального выражения в интегральной форме является метод реплик

В результате, переменная Т становится г-мерным вектором в репличном пространстве [11] . Используем это представление для коррелятора составного оператора О. При этом оказывается, что метод стационарной фазы не может быть применён ко всем полученным интегралам по компонентам вектора Т - одна из них играет роль масштабного параметра интегрирования, аналогично параметру Т в (11). Остальные же интегралы могут быть вычеслены методом перевала.

При этом, метод реплик не изменяет ответ предыдущего раздела [15]:

Иными словами, радиус сходимости функции 1п Z определяется радиусом сходимости О. В принципе, функция 1п Z может содержать сингулярности, которые лежат внутри найденного нами радиуса сходимости, однако соответствующие вклады принципиально находятся вне рамок метода перевала в функциональном интеграле.

Асимптотика сильной связи в модели с продольным коррелятором скорости. Вышепредставленное исследование было ориентировано на стандартный РГ-подход к исследованию ИК-асимптотик корреляционных функций в рамках регулярного е разложения. При этом логарифмы констант ренормировки определяют у-функ-ции - коэффициенты уравнения РГ, а их значения в ИК-устойчивой фиксированной

res G[n] = const NconstKN/N!, N ^ю,

0

res ln Z = const NconstKN/N!, N

є^0

точке и* ~ е позволяет получить скейлинговые размерности параметров теории. Однако для рассматриваемой модели (1) с чисто продольным коррелятором скорости известно [6], что независимо от порядка теории возмущений для в-функции справедливо в = -еи. Следовательно в модели отсутствует ИК-устойчивая фиксированная точка, инвариантный заряд в ИК-асимптотике стремится к бесконечности. Часто в таких случаях принято говорить, что в системе имеет место фазовый переход первого рода, и РГ-подход неприменим.

Действительно, в рассматриваемом случае уравнение РГ определяет инвариантную вязкость V как

( [ _

V = Vехр I / у-ч(и(х))вх \о

где у-у = еиди 1п ZV, и - инвариантный заряд, £ = 1п(д/ц) (д - импульс, ц - ренормиро-вочная масса), £ ^ —ю в ИК-области.

Учитывая определение инвариантного заряда дьи = в(и) и начальное условие и|(=о = и, данное выражение может быть приведено к виду

*= -уехр | / М|. (12)

В области, где импульсы д порядка величины ц (т. е. при малых |£|) инвариантная вязкость совпадает с обычной. Нас будет интересовать область малых импульсов, когда и ^ ю.

Вследствие у-Ди) ~ и при малых и, подынтегральное выражение (12) не расходится, поведение V определяется асимптотикой у.^ при больших и, т. е. так называемой асимптотикой сильной связи.

Асимптотика сильной связи в квантовой теории поля - сложная и интересная проблема (например [16], где методом пересуммирования ищется таковая для теории ф4). В данном случае проблема сильной связи может быть решена методом инстантонного анализа.

Чтобы определить асимптотику константы ZV при больших значениях константы связи и, используем (8) с О, определённым из (5), и вынесем большой параметр из действия. Для этого достаточно в действии Я (7) сделать следующие замены переменных: с;, с[, х ^ и1/(2-е)с;, с[, х. После этих преобразований действие принимает вид и2/(2-е)Я|и=1. Легко увидеть, что уравнения стационарности и их решения будут такими же как и ранее за исключением того, что теперь нужно положить и = 1, и величина и не является переменной интегрирования.

Вследствие (10), (9), действие в точке стационарности имеет вид

=

Вох^ Во

ВоТ/2

_(1 — е^ /(У2/(у)сЬ-

е/(2 е)

Описаные выше приёмы, такие как конечная ренормировка для устранения вкладов разложений по сингулярным частям действия в простой полюс по е, размерная оценка предэкспоненциальных факторов, дословно переносятся сюда из предыдущих

V2е

V2е

разделов, применения метода реплик можно избежать, ограничившись простым логарифмированием корреляционной функции и Zv.

В результате, аналогом (11) в данном случае является выражение для вычета в простом полюсе Zv по е:

irejZ.-„=№-) f exp (V№->r"=->|P(iO|) , (13)

предэкспоненциальные множители и2/(2-е) и T(2-2е)/(е-2) являются следствием вычисления Iv в точке стационарности.

Замена переменной т = Те/(2-е) позволяет легко установить, что интеграл в правой части (13) действительно содержит простой полюс по е, а исследуемый вычет resZv ведёт себя как константа при и ^ж. Следовательно, yv(u) стремится к нулю в исследуемой асимптотике.

Таким образом, в ИК-пределе выражение (12) демонстрирует следующее поведение:

СЮ \

J Yv(u(T))dT I .

Итак, наблюдается конечный скачок вязкости на величину Av = v — v|g=o при стремлении импульса q ^ 0. Отметим здесь некоторое сходство с фазовым переходом первого рода, в котором величина v в некотором смысле играет роль параметра порядка, а точке фазового перехода соответствует ИК-предел.

Выводы. Исследование асимптотик высоких порядков квантово-полевых разложений констант ренормировки в модели Крейчнана с замороженным полем скорости было проведено с использованием инстантонного анализа. Результаты свидетельствуют, что разложения констант ренормировки и РГ-функций - коэффициентов уравнения ренормализационной группы - имеют конечный радиус сходимости, несмотря на факториальный рост числа диаграмм в высоких порядках разложения.

В данной модели инстантонный анализ позволил также определить асимптотику сильной связи константы ренормировки Zv, что позволило использовать уравнение ре-нормализационной группы для исследования ИК-асимптотик корреляционных функций модели, в которой нет ИК-устойчивой фиксированной точки.

Литература

1. Липатов Л. Н. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика // Журн. экс-пер. и теор. физ. 1977. T. 72., Вып. 2. C. 411-427.

2. Chertkov M. Instanton for random advection // Phys. Rev. (E). 1997. Vol. 55. N 3. P. 2722-2735

3. Honkonen J., Komarova M., Nalimov M. Large-order asymptotes for dynamical models near equilibrium // Nucl. Phys. (B). 2005. Vol. 707. N 3. P. 493-508.

4. Iidem. Instantons for Dynamic Models from B to H // Ibid. Vol. 714. N 3. P. 292-306.

5. Orszag S. A., Yakhot V. Analysis of the e-expansion in turbulence theory: approximate renormalization group for diffusion of a passive scalar in a random velocity field // J. of Scientific Computing. 1999. Vol. 14. N 2. P. 147-178.

6. Honkonen J., Pis’mak Yu. M., Vasil’ev A. N. Zero beta function for a model of diffusion in potential random field // Nordita-88/18 s.

7. Honkonen J., Karjalainen E. Diffusion in a random medium with long-range correlation // J. Phys. (A). 1988. Vol. 21. N 22. P. 4217-4234.

v ^ const = v exp

8. lidem. Random walk in random environment with constrained long-range correlated drift forces // Phys. Lett. (A). 1988. Vol. 129. N 5-6. P. 333-338.

9. Bouchaud J. P., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media: Statistical mechanisms, models and physical applications // Phys. Rep. 1990. Vol. 195. N 4-5. P. 127-293.

10. Martin P. C., Siggia E. D., Rose H. A. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. (A). 1973. Vol. 8. N 1. P. 423-437.

11. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998.

12. Andreanov A. Yu., Komarova M., Nalimov M. Large-order asymptotes of the quantum-field expansion for the Kraichnan model of passive scalar advection // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. N 25. P. 7801-7813.

13. Balkovsky E., Lebedev V. Instanton for the Kraichnan passive scalar problem // Phys. Rev. (B). 1998. Vol. 58. N 5. P. 5776-5795.

14. Комарова М. В., Налимов М. Ю. Асимптотика старших порядков теории возмущений: скейлинговые функции 0(те)-симметричной теории ф4 в (4 — е)-разложении // Теор. мат. физика. 2001. Т. 129. № 3. P. 357-402.

15. Комарова М. В., Кремнёв И. С., Налимов М. Ю. Семейство инстантонов модели Крейч-нана с замороженным полем скорости // Теор. мат. физика. 2009. Т. 158. № 2. P. 200-213.

16. Kazakov D. I., Shirkov O. V. Asymptotic series of quantum field theory and their summation // Fortschr. der Physik. 1980. Bd. 28. P. 465-499.

Принято к публикации 1 июля 2009 г.