Инстантонный анализ в простой динамической модели: ломаные экстремали Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

И. С. Кремнев, М. Ю. Налимов, В. А. Сергеев

ИНСТАНТОННЫЙ АНАЛИЗ В ПРОСТОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ: ЛОМАНЫЕ ЭКСТРЕМАЛИ

Введение. Среди явлений, для исследования которых применяются квантовополевые методы, в статистической физике в настоящее время особого внимания заслуживают разнообразные динамические процессы, описываемые стохастическими уравнениями В качестве примеров можно привести модели развитой турбулентности, модель турбулентной адвекции Крейчнана, модели динамики равновесных флуктуаций вблизи точек фазовых переходов второго рода. В основе данных методов лежит теория возмущений в функциональных интегралах, поэтому для получения представительных результатов необходима информация о поведении получаемых разложений, о круге сходимости рядов, положении и типе особенностей исследуемых функций. Такую информацию дает исследование асимптотики высоких порядков разложений, т. е. поведения при больших N коэффициентов разложений ^\4['vlg'v. Это исследование традиционно осуществляется методом инстантонного анализа, т. е. методом стационарной фазы (перевала) в функциональных интегралах. Инстантонный подход для такого рода задач был предложен в статье [1], его применение позволило определить асимптотики высоких порядков квантовополевых разложений в разнообразных статических и известных квантово-полевых теориях [2]. Однако в стохастических динамических моделях обычно отсутствует решение уравнений стационарности метода стационарной фазы, по крайней мере в естественном функциональном классе (см. [3], где был использован метод, предложенный в [4]).

Отсутствие решения уравнений стационарности заставляет нас искать другие функциональные переменные (например, лагранжевы, использованные для модели Крейчнана в [5, 6, 7]), или новый функциональный класс — как было сделано для описания динамики равновесных флуктуаций [3, 8, 9]. Для последнего семейства динамических моделей асимптотики высоких порядков определяются экстремалями, т. е. гладкими функциями, не убывающими при больших временах, но стремящимися к конечному пределу—статическому инстантону. Важно отметить, что в требование стремления к статике при t —> +оо является ключевым. Таким образом, предложенная методика не является универсальной и ограничивается классом нелинейных динамических моделей с предельным ненулевым статическим пределом.

Возникает вопрос: как определить асимптотики высоких порядков разложений в моделях, не имеющих статического предела, и в которых введение лагранжевых переменных затруднено существенной нелинейностью исходных стохастических уравнений? Для ответа на этот вопрос мы в настоящей статье рассмотрим в исходных MSR переменных простейшую («нульмерную») стохастическую динамическую модель, заданную уравнением

d,9(0 + gv(0<p(0 + v<p(0 = ^(0, (1)

где ф(0 —основное поле, £,(0 —случайная сила, v(t) —случайное поле (аналог поля скорости) и g —константа связи. В отличие от более реалистичных моделей, поля

© И. С. Кремнев, М. Ю. Налимов, В. А. Сергеев, 2007

ф(0, £(0, v(/) в модели не зависят от координат. Для случайных полей \ и v подразумеваются гауссовы распределения с Ô-образными по времени корреляторами Д и Dv соответственно, уравнение дополнено заданным нулевым начальным условием, ф|_вв=0. В данной статье мы покажем, что в модели инстангонный анализ приводит к ломаным экстремалям. Точки изломов зависят от исследуемых фукций Грина модели.

Известно, что инстангонный анализ достаточно сложен с технической точки зрения. Он требует поиска решений нелинейных дифференциальных уравнений, для которых отсутствует даже теорема существования и единственности глобального решения. Применимость метода стацфазы—т е. результаты инстантоиного анализа—всегда проблематичны: возможно существование других экстремалей или неаналитичностей исследуемых функций, дающих более существенный вклад в асимптотики высоких порядков разложений. Поэтому обычно инстангонный анализ сложных полевых моделей дополняется демонстрацией метода на примере обычных числовых интегралов [1, 2]. В работе [7] для аппробации различных методов исследования асимптотик высоких порядков в динамике и была предложена модель — «нульмерная» модель Крейчнана. Данная модель является точно-решаемой, что позволяет проверять предлагаемые методы инстантонного анализа.

В данной работе для модели в качестве исследуемого объекта выбрана функция отклика G(t{ —t2). Было найдено инстантонное решение в исходных MSR переменных. Определено функциональное пространство метода и класс функций (кусочно-непрерывные функции с разрывами производной в точках Для контроля полученного результата использовалось точное выражение для коэффициентов разложения по константе связи g функции отклика.

В первом разделе статьи приводится точное выражение для функции отклика и доказывается факт отсутствия интегрируемого инстантонного решения в стандартных MSR переменных. Во втором разделе приведен инстангонный анализ в классе кусочно-непрерывных функций, получены главные вклады в асимптотику высоких порядков теории возмущений. В заключительной части статьи рассмотрены флуктуаци-онный интеграл данной модели и применимость предлагаемого подхода для более сложных стохастических динамических моделей.

Точное решение, MSR переменные. Точным решением уравнения (1), является функция

ф(0 = JVcÇ(T)exp[gJV/‘v(O + v(t-0J. (2)

Функция отклика в произвольном внешнем поле v задана выражением

Несложно, проинтегрировав по полю v, вычислить функцию отклика модели G(tl -t2) = 0(Г)ехр(-уГ + Dvg2T/ 2). TV-ый порядок ее разложения по g при больших N определяется выражением w+l

G(tl-t2)[N]=^p-(DvT)N'2N~eNI2e-vT. (4)

V7t

С другой стороны, стандартный MSR формализм приводит к выражению для производящего функционала функции Грина (ффО модели в виде континуального интеграла по полям (у,ф,ф7)

(3)

GihA)= (фЮФ^))» =R~l \Dv\Dq>D<$i ($>(ty)<$>Xt2)es

(5)

с действием

(6)

Нормировочный множитель здесь определяется выражением

Я =

где 50 —действие свободной теории, т. е. 5 (см. 6) при я = 0 .

Инстангонный подход к исследованию асимптотики старших порядков (большие Ы) разложения функции отклика (фф'), заключается в вычислении методом стационарной фазы интеграла 1 .

Л) - — |л|лр£>ф' <рй )<р'((г К*-“1"'. (7)

Система уравнений стационарности (равенство нулю первой вариации действия по полям ф', ф, V и константе связи g) имеет следующий вид:

Э,<рГ(0 - я(уф0(0 - уф'(0 = о Э,ф(0 + яИ>)(0 + уф(0 + Ю^'(0 = 0 Аг40-&(ф<р0(0 = о N

/ |ф(0Ч0<р'(0^ =

(8)

=0

5<р

ф/(+°°)= о

ф(-оо) = 0

Предпоследнее уравнение отражает свободные условия на поле ф при / —> накла-

дывая тем самым граничное условие на поле ф', последнее—начальное условие на поле ф. Из второго и третьего уравнения получаем выражения для ф' и V

Э,ф + Уф

iD,+ig Дф

2 ’

V = igDv ф'ф.

(9)

Подставляя их в первое уравнение системы и выражая ф, получаем

•2"' ' ~2 О ггот2

Р( Ф) = Э,ф,

откуда находим стационарное решение фл(. В результате имеем

С2

Р Эф д. + #2дф2

ф„

Ф:

5/2 (Су(*-/0))

1 ус

Сск(С\^ -/„)) + 5/г(Су(/ - /0)) С2+(С2-1)5Й2(Су(/-/0)) :

где С,*0—независимые константы, фиксируемые начальным и граничным условиями.

Начальное условие на поле ф требует использования предела (0 —> -оо. При этом расходится интеграл в левой части четвертого уравнения системы, если только С Ф 0. С = 0 приводит к нулевым полям ф5(, ф'л, при этом зануляется предэкспонента в исследуемом выражении. При анализе обычных числовых интегралов в таких случаях принято включать предэкспоненциальный фактор в уравнения стационарности. Так мы и поступим в рассматриваемой модели.

Инстантонный анализ. Исследуя функцию отклика, которая не зависит от можно положить Ц, = 0 в действии (6). При этом в теории появилась дополнительная

симметрия относительно преобразования ф —» фС, ф' —> ф' / С с произвольной константой С. Чтобы устранить соответствующие бесконечные вклады в функциональные интегралы в числителе и знаменателе, достаточно, например, зафиксировать значение любого из полей в произвольной точке. Выражение может быть преобразовано к виду

о" (г, л)=, (io)

где

51 = 5'-1пф(^,)-1пф/(/2). (11)

Система уравнений стационарности для действия £ + N ln g имеет следующий вид

/Э,ф'(0 - £0*10(0 - ™ф'(0 - = о

ф(0

/Э,ф(0 + /'я(уф)(г) + 7Уф(0 + 5^2 ^ = о

ф('2)

А>(0 = 'Жф'фХО /Г“л(ф'уфхо=—

J- g

с граничными условиями

ф'(+°°) = 0, ф(-°°) = 0.

Решая систему получаем

Ф » (0 = '^77T“P(T-(r - /('» + v(< - /, )). ф„(0 т

Q(t-t0) .N ... . NN

Ф* 0 = / , „ exp(—/(0-v(/-f2)),

Ф j/ (2 ) Т

где f(t) = (t-t2)Q[t2<t<tl\ + TQ(t-ti)Q(t-t2), 0[/2 </</1] = @(/-/2)@(/1 -0 , предполагается /, > /2 , ____

g,=Æ- (i2)

Из выражений для ф^, ф^( следует ф^,(/2)ф^(0 = iexp(N- vT), поэтому допу-

стима нормировка полученных решений ?/ф'й(?2) = С(р, 1/ф(/,) =С~’ехр(7У-уГ), где Сф —отражает вышеупомянутую дополнительную симметрию. Для простоты положим Сф=1. Окончательно для полей ф'^ ф ^ можно написать

Ф',, (0 = Щ - 0ехр(-^ /(0 + v(t-t2 )),

N (13)

Ф„(0 = е(' - '2)ехр(у Л0 v(/ -12)),

Заметим, что фД0ф,,(0 = /©1Л </<:М’ Подставляя эти вьфажения в экспоненту и предэкспоненциальный фактор в (10), имеем

1 1 ^+1 A'+l

Gm(t.-t2)~ — = —e~]Q(T)(DvT) 2 N 2 eNne~vT, (14)

2ni gc 2n

что с точностью до константы по N при больших N совпадает с точным ответом.

Флуктуационный интеграл. Таким образом, нам осталось рассмотреть зависимость от параметра N флуктуационного интеграла, т. е. интеграла по отклонениям

переменных ф', ф, V, g от их стационарных значений:

|£(5у)£(5ф)£>(8ф'У.^

|/}у£>ф£>ф'<Г5(г=0) ’ (15)

где Л5 = 5(фл + 8ф,фя' + 8ф',Ул +_6у)-5(фй,ф^',у^) + //1п(1 + 6я/я^), стационарные значения приведены в (12, 13). определяется выражением

= —/5ф/(Э| + V + gslvsl )6ф - /улфл'6ябф - igsl<?sl'Ьq>bv - /у^б^бф' --^ф^йф'^ - 7'Ф„'Ф„%§у +1 8у(А Г' §у - /^бф'бубф- /у^бф'бф -

• IX 5 X ■ Я * 5 / -8 X '8 X 1 (бф(/,))2 1 (бф^))3 (16)

-кр„ б£бу5ф - /ф^бябубф - гб^бф бубф + -,/'г - - . ТГччз - ■ • ■

2(ф„(0) 3(ф„(0)

( 1 (бф-(/2))2 1 (бф-(/2))3 , ДГ(бя)2 , А^(бя)3

2(ф',(/2))2 3(Ф'л(/2))3 - 2 я2 3 я3

Кроме явной зависимости, Д5” зависит от N посредством стационарных значений полей и константы g. Наша задача—определить зависимость от N выражения (15). Для этого сперва избавимся от экспоненциально зависящих от N посредством ф^, ф' множителей в действии с помощью замены функциональных переменных.

8ф-»фА /</,; бф'-^/бф', />/2. (17)

Для сокращения функционального детерминанта необходимо аналогичным образом растянуть переменные ф, ф' в нормировочном множителе /?.

Замена переменных выводит нас из класса гладких функций, поэтому удобнее ее совершать, разбив функциональный интеграл на произведение интегралов по функциям с носителями, сосредоточенными на интервалах /</2, /2 </</,, О /,. Соответственно, интеграл по отклонениям |/)(5ф) (аналогично и по 8ф'), можно понимать как

|д(5ф)=|в(&р1)|£)(а<рг)|л(а<р,). (18)

ще В(5ф) = П,«'(5ф). 0(&р1) = П,<,/(&1>).

Интегрирование в нормировочном интеграле Я также понимается с точки зрения представления (18).

После замены Д5” на существенном интервале представления, приобретает вид _ _ _ _

= бф'Э,бф-б£бф,р^ + бфбу — -+ бф'5учI М '

Т У ВТ V Т VВТ

1_______1/в ч2 I N с- ,с с ШВ.,

+6я6у + -^У (6у) + бф'бубф - у-у^бф'бф + бябубф +

+5я5у5Ф' + 8Я6ф'8у5ф + |(5ф(/,))2 - -1(5ф(/, ))3 +... +|(&р'(/2 ))2 -

а в нормировочном множителе Я свободное действие 5 на этом же временом интервале заменяется на

В выражениях (19, 20), сохранилась зависимость от N. Однако следует отметить, что и на нетривиальном интервале времен /2 < / < нормировочный множитель может быть упрощен путем замены (20) на

учитывая запаздывающий характер пропагатора < фф' > и традиционное доопределение 0(0) = 0 в теории возмущений в стохастических моделях (подробнее см. в [12]).

Чтобы упростить зависимость от N действия (19), введем новую временную переменную Т = (/ N. Заметим, что безразмерными переменными рассматриваемой задачи являются уТ , ЦТ, поэтому введение новых переменных

не изменяет результирующих выражений. При этом зависимость от N приобрели границы интервалов /2 —> Ы12. Полагая без ограничения общности

\ > 0, при больших N , М2 —> -оо 5 можно ограничиться интервалом /2 < / < /,

при вычислении флуктуациоиного интеграла.

Чтобы устранить зависимость от Л1’, в члене уУ(Д,)ч(§у)2 /2 в квадратичной части действия, сделаем замену функциональных переменных

Отбрасывая теперь члены, содержащие малость по 1 / N, получим действие флук-туационного интеграла (19) для интервала /2 </<^ в виде

зависимость от N сохранилась лишь в положении границ области.

Отметим, что в (23) сохранился нелинейный член ~8ф'8убф, и что члены действия (11) 1п ф(/,), 1пф'(/2) также дают конечные вклады в вариации произвольных порядков. Таким образом, мы столкнулись с необычной, с точки зрения методов асимптотического анализа, ситуацией, когда старшие вариации действия не содержат малости по 1 / N и должны быть учтены во флуктуационном интеграле. Однако флуктуационный

й = <р'(Э,+у)<р+±(Д,)»!.

(20)

^=ф'о,+у(1-в(/, -о»ф+|даг'мг.

(21)

Дело в том, что детерминант

(22)

6у —> 8у / у[Й.

(23)

интеграл с действием несложно вычислить точно1, он оказывается константой по времени и определяет лишь независящую от N амплитуду асимптотики высоких порядков разложений. Тем самым мы показали, что окончательное выражение для асимпто-титики N-oro порядка разложения функции отклика модели, полученное путем ин-стантоиного вычисления, дается выражением

— ( / 1 ^

G(U) (/, - /2) ~ Q(T)(DvT)2 N~ 2 eNne^T 1 + О — ,

которое сошасуется с результатом, полученным путем разложения точного решения (4).

Точное вычисление нетривиального флуктуацио иного интеграла в рассматриваемой модели, возможно, определяется ее простотой (наличием точного решения). Обсудим, что может иметь место на данном этапе исследований более сложных физических моделей. Перенеся зависимость от N на времена рассматриваемой функции отклика, мы встали перед необходимостью исследовать поведение флуктуацио иного интеграла на больших временах. Известно, что заключение об асимптотиках больших времен стохастических теорий может быть получено меодами ренормализационной группы, что мы и предполагаем использовать, применяя данный подход в иных динамических моделях. Отметим, что ренормгрупповой подход обычно дает степенные инфракрасные асимпотики в динамических моделях статистической физики, что позволяет надеяться на получение предложенным методом главных порядков асимптотик высоких порядков разложений без точных вычислений флуктуационных интегралов. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 05-02-17524.

Summary

KremnevI.S., NalimovM.Yu., Sergeev V.A. Instanton for the simple dynamic model: the broken stationary solutions.

Instanton approach based on the broken stationary solutions consideration was developed for the large-order asymptotes investigations in the MSR description of stohastic models. The example of the exact solvable (0+l)-dimensional model was considered. The applicability of the approach to the stohastic model of the developed turbulence was stated.

Литература

1. Липатов Л.Н. //Журн. экспер. и теор. физики. 1977. Т. 72. Вып. 2. С. 411-427. 2. Zinn-JustinJ. //Quantum Field Theoiy and Critical Phenomena. Oxford, 1989. 3. Honkonen J., Komaro-vaM. V., NalimovM. Yu. II J. Phys. A: Math. Gen. 39. 2006. P. 7815-7824, 4. Makhankov KG. IIPhys. Lett. 1977. Vol. 61 A. P. 431-432. 5. ChertkovM.il Phys. Rev. 1997. Vol. 55 E. P. 2722-2736. 6. AndrecmovA. Yu., KomarovaM.V., NalimovM. Yu. III. Phys. A: Math. Gen. 39. 2006. P. 7801-7813. 7. Долганов P. А., Логинов H. А., Налимов М.Ю. II Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2002. Вып. 3. С. 97-102. 8. Honkonen J., KotnarovaM. V, NalimovM. Yu. И Nucl. Phys. 2005. В 707. P. 493-508. 9. Honkonen J., KomarovaM. V, NalimovM.Yu. //Nucl. Phys. 2005. B714. P. 292-306. 10. Martin P. C., SiggiaE.D., Rose H. A. II Phys. Rev. 1973. Vol. 8 A. N 1. P. 423-437. 11. Долга-новР.А., Налимов М.Ю. И Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2001. Вып. 3. С. 17-22. 12. Васильев А. Н. //Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998.

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2006 г.

1 Для этого проще всего представить все вклады от разложения 1 п ф(, 1пф'(/2) в виДе

1п(1 + 8<р(Л^)) - 5ф(/л;) ■+ 1п( 1 + 8<р'(Л//2)) - 5ф'( ), затем (аналогично точному решению задачи ) вычислить

функциональный интеграл по полям 8ф', 5ф, и затем вычислить интеграл по .