CC BY
21
УДК 530.145+535.33
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПУТЯМ ГРУППЫ Би(2) В РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ
В. П. Карасев
В рамках техники интегралов по путям группы 817(2) получены общие выражения для определения эволюционного оператора и энергетического спектра нелинейных моделей квантовой оптики, допускающих формулировку в терминах полиномиальных алгебр Ли 2). Показана ключевая роль когерентных состояний группы 311(2) в решении этих задач.
Недавно было показано [1, 2], что широкий класс нелинейных моделей квантовой оптики, включая модели многофотонного рассеяния и точечную модель Дике, допускает переформулировку в терминах полиномиальных алгебр Ли 2) с генераторами Уа=0,±, удовлетворяющими коммутационным соотношениям
[Ус, У±] = ±У±, [VI, У+] = <р(Уо) = фт+1(Уо + 1) - 0т+1(Уо), [Уа,грт+!(Ло)] = 0, -фт+1(В^) = У+У--фт+1(Уо) = 0, (1а)
где определяющий все свойства алгебры структурный полином
т+1
Фт+М) = До П (у0 + ЧШ)), гп > 2, [Уа, Д,] = о (16)
1=1
зависит как от весового оператора У0, так и от (операторных) интегралов движения Л,-, г = 1,... (Л0 - числовая константа).
При этом гамильтонианы Н моделей выражаются в форме
Н = й[С({ Я,-}) + д Ко + дУ+ + д'У-1 (2а)
где операторные константы С({}) и числовые коэффициенты Д, д определяются из исходных формулировок моделей с помощью (^-инвариантного полиномиального отображения Иордана [1, 2]. Кроме того, имеет место разбиение [1]
ЦН) £ ОД), !([/,=0,1,..]) = врапШ, /) = ЛГУ; [Ц)У{\[/,]>} (2Ь)
гильбертовых пространств Ь(Н) квантовых состояний моделей в прямую сумму 2)-инвариантных подпространств Ь([/,]) размерности [/,]), описывающих специфические кластерные "домены", нумеруемые интегралами движения /,. При этом фиксированные для каждого £([/,]) "псевдовакуумные" векторы |[/,-]) 6 Ь(Н) удовлетворяют условиям
= У_|[/,];/> = 0, ЭД;/) = /0|[/,];/}, г1>т+1(10) = О, (2с)
аЛГ(/; [/¿]) = [(^т+1(/о + /))(/)]"1/2 = [П.Сг ^т-н('о + 0]_1/2 ~ нормировочные константы.
Соотношения (2) задают бггр(;(2)-кластерную формулировку исходных моделей, которая в формально-спектроскопическом плане представляет "деформированный" аналог полуклассической версии известной точечной модели Дике [3] (с заменой алгебры зи(2) на 2)). Она полностью определяет динамику исходных моделей, поскольку гамильтониан (2а) и оператор временной эволюции {/я(0 = ехр(—ИИ/Н) зависят только от переменных Уа и имеют в ортонормированном базисе | [/,-]; /) блочно-диагональную форму; так, например, имеем
мо= Е и[;:),тьътнп о)
[Г,]./,/'
Поэтому для расчета динамики (А(£)) = произвольных физических
величин А с оператором плотности начального квантового состояния р необходимо нахождение с помощью соотношений (1) явных выражений для коэффициентов в (3).
Точные методы решения этой задачи были рассмотрены в работах [1, 2, 4]; однако они не приводят к простым замкнутым выражениям для всех искомых величин, что затрудняет анализ физических проблем и выявление новых эффектов [2]. В то же время известно, что метод обобщенных когерентных состояний (КС) групп и алгебр Ли [5] и связанные с ними техники "интегралов по путям" [6] поставляют
мощные средства решения спектральных и эволюционных задач в различных областях физики. Заметим, однако, что непосредственное применение этих техник к мо делям (2) затруднительно, поскольку алгебрам 2) не соответствуют какие-либо конечномерные группы Ли (а только псевдогруппы, для которых нет "конечных" фор мул Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа, которые лежат в основе эффективного применения групповых КС) [4]. Тем не менее, сходство формул (1) с определяющими соотношениями [У0,У±] = ±У±, У+] = —2Уо для генераторов Уа обычной алгебры 2) позволило развить основанные на использовании КС группы 5£/(2) в качестве пробных функций вариационные техники и получить замкнутые приближенные выражения для £///(<) [2].
Их нахождение базируется на альтернативной к (2а) зи(2)-кластерной форме
Я = Н({Уа}) = Н[АУо+У+д(Уо)+д+(Уо)У-+С], д(У0) = ду/ф{Уо), С = С+Д0 + /о) (4)
гамильтонианов (2а), получаемой на с?([/,])-мерных пространствах £([/г]) с помощью преобразований
Уо = Уо- 1о -з, у+ = У+[<р(У0))-1/2, Фт(Уо) = У- = (У+)\ (5)
где ф2(У0) = (] + У0)(] + 1 - Г0), 3 = ЛИ) = №]) - Ч/2 = я/2 - значения кластер ного квазиспина, определяющего "радиусы" кластерных сфер Блоха 52(^; п) и старшие веса неприводимых представлений зи(2), реализуемых через отображения (5) на £([/,]). Соотношения (4) и (2Ь) (при соответствующем переопределении |[/г];/) в терминах Уа) задают йи(2)-кластерную формулировку моделей (2), представляющую в спектроскопическом плане своеобразный нелинейный аналог точечной модели Дике.
Помимо вариационных схем [2], эта формулировка допускает для решения спектральных и эволюционных задач применение техники интегралов по путям группы 5С/(2) [6], базирующейся на использовании КС группы 5£/(2) спинового типа [5, 6, 2]. которые с учетом разложения (2Ь) задаются на Ь(Н) в виде
|£(п); [/,]) = \в, ф- [/,]) = 5у(п)|[/,]), 5у(п) = ехр[£(п)У+ - £(п)'Г_], £(п) = (6)
соответствующем расслоению Ь(Н) над единичной сферой Блоха 52(1; п) = 5£/(2)/[/(1) и задающем "кластерно-квазиклассическое" описание состояний в пределах каждого
подпространства КС (6) образуют на Ь(Н) сверхполные системы состояний с
полудискретной версией
1= Е |['.-];/><Ш1 = £ / ^'(п)\(штшь)\ (7)
Ш
"разложения единицы /", где ¿/х-'(п) = (47г)~г(2^ + I) ь'т 6<1в(1ф, ] — .;([/,■]) [2].
С учетом блочно-диагональной структуры гамильтонианов (2а), (4) и "разложения единицы" (7), КС (6) позволяют применить технику интегралов по путям 5£/(2) [6] для вычисления пропагатора (Ф/|£/н(г)|Ф,) с произвольными начальным |Ф:) и конечным |Ф/) состояниями, а также для нахождения спектра гамильтонианов (4). Действительно, используя (7), находим
<ф,|£М*)|ф.) = Е /^(п,) /^(п/)(ф/|0; ['.]><£; №)%](£/> <16, о), («) е.]
где согласно [6] для 0) = (£/> (*)!&) М) имеем выражение
(2; + 1) ¿хАу
%](£/,' 16.0) = / ехр [1%]] П^Ш), ¿¿{г) =
%] =
1]К г г* — г* г
Я
(И2 + 1)' в
х + гу = 1ап-е ,
¿4
(9а)
(96)
2 (¡жР + 1) 41
а матричные элементы = (£/; [/,]|Я|&; [/,]) в (9Ь) задаются соотношениями [2]
2(|г|» +1) -т(М2 +1);§ -1 - 1У-лх
к2(Иа + 1)/'
(10)
При этом второе равенство (10) соответствует вычислению Я^г,**) в приближении "кластерного среднего поля", определяемого соотношениями [2, 8]
туа})) = (|Я({ул)1) = я({(|га|)}).
(п)
Спектр гамильтониана (4) в формализме интеграла по путям определяется [6] из нахождения полюсов функции Грина
гоо /¡ЕТ\
<%](£) = ¿Уо ¿Гехр(—]Гг[,]
ехр
-ШТ\
н
= Тг[ц
[Е - Н\
где Тг^^Д] = ]£/(&]; /|Д|[/,]; /). Вычисляя след эволюционного оператора V#(/) из (3) на Ь([1{]) в базисе КС (6) и учитывая (9), получим
%](£) = * 1°° ¿Техр / <1ц>{г0) I ехр П ^(0), (12)
где все пути соответствуют совпадающим начальным и конечным точкам
Таким образом, в формализме интегралов по путям решение как эволюционной, так и спектральной задач сводится к нахождению определяемой формулами (9Ь), (10) функ ции действия 5 и последующему вычислению интегралов (9а), (12). Точные решения этих задач в общей форме затруднительны в силу существенной нелинейности выражений (10), но они известны в "классическом пределе" [6].
Так, "классический предел" решения эволюционной задачи находится из решения аналогов "классических" канонических уравнений движения в комплексной форме (ср.
И):
¡4 = <1*1!+=-(И2+(13)
где для Н[;,](2, г") используется приближение (11) "кластерного среднего поля". Уравнения (13) соответствуют гармоническому приближению [2] для эволюционного оператора в вариационном методе Хартри-Фока с зависимостью от времени [7] и решаются в общем случае в терминах (гипер)эллиптических функций [2].
"Классическое" решение спектральной задачи определяется нахождением полюсов (задаваемой классическим действием в (12)) "классической" функции Грина
СЙ,да*Е'ехр гЩ^- и?{2о)ос£ехр р-0 I \ ро
1 — ехр
(14 а)
где Х¥щ(Е) = 5^(Т(Е)) + Е(Т(Е)), а период Т(Е) определяется из условия экстремума
дб^/дт + е = о н[ц{г, г*) = е.
Это приводит к правилам квантования Бора-Зоммерфельда
(146)
для периодических орбит (р • о) на сферах Блоха 82(]\ п). Заметим, однако, что в отличие от базирующихся на (13) квазиклассических решениях эволюционной задачи (8) (10), рецепт вычисления квазиклассических уровней энергии с помощью формул (14) -(15) значительно сложней по сравнению с аналогичными вычислениями в рамках вариационной схемы, основанной на минимизации функционала "энергетических ошибок"; кроме того, последняя позволила выявить двоякопериодическую динамику "кластерных" величин (Ф¿|17л(0^н(01*.-) ПРИ 1Ф') е ВД) ДО-
Полученные таким образом "классические" решения могут трактоваться как ведущие члены (низшего порядка) в так называемых 1/]У-разложениях [8] с большим параметром N = с/([/,]) = 5 + 1. Имея, однако, в виду трудоемкость вычисления квантовых поправок в рамках таких разложений [б], можно развивать и другие схемы решения рассмотренных выше задач в рамках техники интегралов по путям, но с использованием альтернативных к (6) типов КС.
В частности, принимая во внимание линейность выражений (2а) по генераторам 5ирй(2), можно использовать для этой цели КС 2), определяемые как "собственные состояния" оператора У_ [9]:
I»; И) = £ А/ООУ/М, К-1«; М = «1«; ['.])• (16«)
/=О
Очевидно, что решения уравнений (16а) могут быть найдены с пара-грассмановыми (но не с обычными с-числовыми г) "собственными значениями" г = гв : в3+1 = 0, Тгвв+1 в] = 5 + 1— /, 5 = </([/,■]) — 1 [Ю] и имеют следующий вид:
Отметим, что для КС (16) может быть определен аналог "разложения единицы" (7) (ср. [9]). Поэтому главная задача заключается в конструировании с их помощью аналогов выражений (9), (12). Ее решение можно искать путем соответствующих модификаций вычислительных процедур [11] для КС типа (16), но с обычными грассмановыми параметрами.
Автор благодарит Г. Чадзитаскоса, Л. А. Шелепина и В. С. Ярунина за обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] К а р а с е в В. П. ТМФ, 95, 3 (1993); Karassiov V. P. J. Phys. А, 27, 153 (1994).
[2] К а г a s s i о V V. P. Phys. Lett. А, 238, 19 (1998); J. Rus. Laser Res., 20, 239 (1999).
[3] С h u ш а к о v S. М. and Kozierowski M. Quantum Semiclass. Opt., 8, 775 (1996).
[4] Karassiov V. P. Rep. Math. Phys., 40:2, 235 (1997); Czech. J. Phys., 48, 1381 (1998).
[5] П e p e л о м о в A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М., Наука, 1987.
[6] I п о m a t a A., Kuratsuji Н., and Gerry С. С. Path Integrals and Coherent States of SU(2) and SU(1, 1), World Scientific, Singapore (1992).
[7] N e g e 1 e J. M. Rev. Mod. Phys., 54, 913 (1982).
[8] В e r e z i n F. A. Comm. Math. Phys., 63, 131 (1978); Y a f f e L. G. Rev. Mod. Phys., 54, 407 (1982); С h a t t e r j e e A. Phys. Rep., 186, 249 (1990).
[9] С h a d z i t a s k о s G. and О d z i j e w i с z A. Lett. Math. Phys., 43, 199 (1998). [10] F i 1 i p p о v A., I s a e v A., and К u r d i k о v A. Mod. Phys. Lett., A7, 2129
(1992).
[И] К о с h e t о v E., Y a r u n i n V., and Z h u r a v 1 e v M. Physica, С 296, 298 (1998).
Поступила в редакцию 29 декабря 1999 г.
