Эффективный гамильтониан атомно-фотонного кластера в резонансном когерентном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 152, кн. 3 Физико-математические пауки

2010

УДК 535.2

ЭФФЕКТИВНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН АТОМНО-ФОТОННОГО КЛАСТЕРА В РЕЗОНАНСНОМ КОГЕРЕНТНОМ ПОЛЕ

А.М. Башаров

Аннотация

Получены эффективные гамильтониан, оператор днполыюго момента и уравнения Блоха для описания когерентных переходных явлений, вызванных резонансным взаимодействием импульса классической электромагнитной волны с атомпо-фотоппым кластером. локализованном в микрорезопаторе. В качестве демонстрации применения развитой теории рассмотрена оптическая путация в искусственной среде одинаковых атомпо-фотоппых кластеров.

Ключевые слова: атомпо-фотоппый кластер, полиномиальная алгебра, оператор Казимира, микрорезопатор, уравнения Лицдблада, модель Тависа Каммингса.

Введение

В работе [1] рассмотрено спонтанное излучение атомов, локализованных в одномодовом резонаторе, и показано, что в случае комбинационного резонанса атомов с полем микрорезонаторной моды и внешним квантованным широкополосным электромагнитным полем (термостатом) можно говорить о едином образовании атомно-фотонном кластере. Кинетическое уравнение, описывающее излучение атомно-фотонного кластера, имеет стандартный вид Линдблада. в котором образующие алгебры угловых моментов, возникающие в случае описания спонтанного излучения обычных двухуровневых атомов, заменены на образующие полиномиальной алгебры третьего порядка. На состояниях атомно-фотонного кластера реализуются неприводимые представления полиномиальной алгебры третьего порядка, а ее коммутационные соотношения и операторы Казимира определяют своеобразие спонтанного излучения атомно-фотонного кластера.

В настоящей статье рассматривается описание атомов и фотонов в микрорезонаторе в поле резонансной когерентной волны в условиях комбинационного резонанса. аналогичного рассмотренному в работе [1] для квантованного широкополосного электромагнитного поля. Показано, что эффективные гамильтониан и ди-польный момент атомов и фотонов микрорезонатора в поле когерентной волны также выражаются через образующие той же самой полиномиальной алгебры третьего порядка, что и в работе [1]. Тем самым доказано, что и в задачах нелинейной оптики, как и в случае спонтанного распада, атомы и фотоны микрорезонатора в условиях комбинационного резонанса с участием кванта микрорезонаторной моды и внешней электромагнитной волны выступают как единое образование атомнофотонный кластер, а возникающая полиномиальная алгебра третьего порядка является алгеброй динамической симметрии задач с участием атомно-фотонного кластера при указанных здесь и в работе [1] резонансных условиях. Показано, что в определенной области параметров атома эффективные гамильтониан, дипольный момент н кинетические уравнения атомно-фотонного кластера в поле когерентной

волны в условиях комбинационного резонанса получаются из аналогичных величин для обычного двухуровнего атома в когерентном поле при однофотонном резонансе путем замены образующих алгебры углового момента на образующие полиномиальной алгебры (как и в случае уравнения Линдблада для атомно-фотонного кластера [1]).

Понятие полиномиальной алгебры введено в работах В.П. Карасева [2. 3] и очень грубо полиномиальные алгебры можно рассматривать как бесконечномерное обобщение алгебры осцилляторов и алгебры углового момента, адекватное для описания кластерных состояний из спинов и бозонов [2 4]. Настоящая работа и [1] демонстрируют это утверждение для нового класса задач нелинейной и квантовой оптики.

1. Постановка задачи

Пусть имеется одмодовый микрорезонатор, в котором содержатся:

1. Одинаковые неподвижные частицы (атомы, молекулы, квантовые точки и т. п.). описываемые гамильтонианом

Н« = £ Е|Е)^{Еэ|(<), £ |Е)^(Ез|« = 1«, <Е 1^Ек)^ = 5эк,

3 3

так что гамильтониан всей атомной подсистемы является прямой суммой гамильтонианов отдельных атомов:

Na

На =Е Н«.

1=1

Верхний индекс у векторов состояний и операторов отмечает пространство состояний г-го атома.

2. Фотоны микрорезонаторной моды частоты шс, характеризуемые операторами рождения с + и уиичтожепия с. Потерями па зеркалах, наличием других мод пренебрегаем. Гамильтониан фотонной подсистемы микрорезонатора таков:

Н = ЬшсМ,

где [М, с] = —с, [Ж, с+ ] = с+, [с, с+] = 1, N = с+ с.

Пусть с атомно-фотонной системой, локализованной в микрорезонаторе, элек-тродипольиым образом взаимодействует внешнее классическое электромагнитное поле с напряженностью электрического ПОЛЯ

Е = Ее^-^ +к.с

с несущей частотой V, волновым вектором К и медленно меняющейся по сравнению с ег(к г-"г) амплитудой Е. Операторы взаимодействия атомов с когерентным электромагнитным полем н фотонами микрорезонаторной моды представлены обычными выражениями (д - константа связи, йкз _ матричный элемент оператора дипольного момента атома й)

Уоь = —Е ^ йкз |Ек)(<) <Ез 1^, Ус = д(с+ + с) ^ йу Е)^ <Ез Iе0 •

г,к3 г,к3

Рассматриваемые электромагнитные поля находятся в условиях комбинационного резонанса с атомным переходом Е1 ^ Е0:

(Е1 — Е0)/Н = шо « V — Шс,

(1)

причем пн микрорезонаторная мода, ни внешние электромагнитные поля, не находятся в резонансе с каким-либо оптически разрешенным переходом атома с учас-| Ео ) | Е1 )

с участием внешних полей, микрорезонаторной моды и рассмотренных энергетиче-

| Ео ) | Е1 )

называть резонансными они находятся в комбинационном резонансе с рассматриваемыми полями, так что переход Е1 ^ Ео является оптически запрещенным (^10 =0). Тогда гамильтониан рассматриваемой системы состоит из гамильтониана ансамбля изолированных атомов На , гамильтониана локализованной фотонной

Нс

Ус У

Н = На + Нс + Ус + УсоЬ. (2)

Вектор состояния всей системы |Ф) или ее матрица илотности р удовлетворяют обычным квантовомеханическим уравнениям

д д гЙ-|Ф) = Я|Ф), гП-р=[Н,р] (3)

с гамильтонианом (2).

Далее необходимо унитарно преобразовать вектор состояния системы |Ф) и гамильтониан (2) согласно [5], чтобы получить эффективный гамильтониан системы и уравнения Блоха, замкнутые относительно резонансных уровней. Эти преобразования осуществляются стандартным образом и выражаются уравнениями:

|Ф)=£/|Ф), р=ири+, Я = ини+ -Ш^и+. (4)

Эффективный гамильтониан определяет эволюцию преобразованного вектора состояния (или матрицы плотности) атомов и фотонов микрорезонатора

г^|Ф>=Я|Ф>, гН^р=[Н,р\, (5)

и, далее, поляризацию атомов микрорезонатора Р

Р = Ма <Ф|й|Ф) = Ма Тг (рй) = Ма <Ф |Б|Ф) = Ма Тг(рБ), где Б = и йи + - эффективный оператор дипольпого момента атомов микрорезо-

Ма

системы микрорезонатора считается нормированной Тг (р) = Тг (р) = 1.

2. Эффективные гамильтониан и оператор дипольного момента

и

и = е-^, 5+ =

то преобразованный гамильтониан Н можно разложить в ряд по 5, используя

формулу Бейкера Хаусдорфа:

д 1 д

Я = - "Я ' - гйе-<в—е<в = Я - г [5, Я] - -[5, [5, Я]]------(6)

Далее можно представить оператор Б и преобразованный гамильтониан Н в виде

рядов по константам взаимодействия

Б = Б(10) + Б(01) + Б(20) + • • • , Н = Н(00) + Н(10) + Н(01) + Н(11) + Н(20) + • • • (7)

Здесь и далее через Б(пт) и Н(пт) обозначены слагаемые, имеющие п-й порядок по коистаите взаимодействия атомов с микрорезонаторной модой (левый верхний индекс) и ш-й порядок по взаимодействию с классическим когерентным полем (правый верхний индекс). В учете резонансного взаимодействия с классическим когерентным полем н состоит главное отличие разложения (7) и последующих от аналогичных в работе [1]. Другое отличие состоит в том, что ранее использовалась двухуровневая модель атома, а в настоящей работе учитываются все атомные уровни. Подставляя (7) в разложение (6) и приравнивая выражения одного порядка, получаем уравнения, совпадающие по виду с уравнениями (10) (15) работы [1], в которых Нг = 0 и Уг = У0ь- Полагая Н(01) = 0 и Н(10) = 0, получаем следующие выражения:

<у(1°) = -гдс^ \ \Ек)^{Е^+э.с.,

Н(ш3к + Шс) еЛ(кг-иЬ) С*Л—г(Кг—иЬ)

= -‘Еф------------> + К 4. > №,1ВД(д(Д,1(д + ^.

Кшкз — v) Кшкз + v)

где шкз = (Ек — Ез)/П = —ш3-к. По формулам

Н(00) = На + Нс, Н(11) = — (г/2)[Б(01), Ус]' — (г/2)[Б(10), УсоЬ]',

Н(20) = — (г/2)[Б(10), Ус]', Н(02) = — (г/2)[Б(01), УсоЬ]', определяются основные слагаемые эффективного гамильтониана:

н = Н(00) + Н(11) + Н(20) + Н(02) • (8)

Штрих у коммутаторов означает отсутствие слагаемых, имеющих в представлении взаимодействия быстро осциллирующие множители: диагональные матричные Н

Н

временная часть которых имеет вид: |Е1) <Е01 с+ ехр(—ш£) или |Е0) <Е11 с ехр(г^). Несложные, но громоздкие вычисления приводят к выражениям

Н(11) = дс+ ^ |Е1)<Е0|(")Ее***-1'*П10(— Шс) +Э.С

г

Н(02) = |Е|2 ^Пк(V)|Ек)<Ек|(г),

г,к

Нт =д^ \Ек){Ек\М ^ . +ГС+С]Р \Ек) (Ек\^Пк(и>с),

3к н(Шкз— Шс) хг

где введены параметры [5]

= 1:1—

п \Шкк' + V Шкк' — V

к'

п„„,м = 2 (—— + = -1С,(-.<).

к п \Шкп + V Шкт V /

В силу условия резонанса (1) для резонансных атомных энергетических уровней |Е0) и |Е1) справедливы соотношения П10^) = П10(— шс) .

Отметим, что оператор Н(11) описывает резонансные переходы в системе локализованных атомов н фотонов под действием внешнего когерентного поля напряженности Е = £ег( к - -иҐ) + к.с. Оператор Н(02) отвечает сдвигу энергетических уровней в силу высокочастотного эффекта Штарка во внешнем классическом когерентном электромагнитном поле. Этот же эффект в поле локализованной фотонной моды описывают слагаемые Н(20), содержащие параметр Пк. Слагаемые в операторе Н(20), те содержащие параметры Пк, соответствуют лэмбовскому сдвигу энергетических уровней.

Преобразованные уравнение Шредингера и уравнение для матрицы плотности (5) с эффективным гамильтонианом (8) для резонансных атомных энергетических уровней |Е0) и |Е1) имеют замкнутую форму. Это позволяет для рассматриваемой задачи записать эффективный гамильтониан, отвечающий резонансному условию (1). в виде

Н(е<ї) = Нс1 + и% + Уьсоь (9)

где Нсі = Н'а + Н'с + Н(а) - гамильтониан локализованного в микрорезонаторе кластера из атомов и фотонов, Уі-соЬ- оператор взаимодействия атомно-фотонного кластера с классическим когерентным электромагнитным полем, Н^ оператор

штарковского сдвига уровней атомно-фотонного кластера.

Гамильтониан Нс\ локализованного в микрорезонаторе кластера из атомов и фотонов определяется операторами:

гамильтонианом «изолированных» атомов (диагонального вида)

Н'а = Йш0 Й3

| Е0 ) | Е1 )

І Иц |2______Иод|2 у

^ Л2(Шу - Шс) П2(Ш0] - Ш)

гамильтонианом локализованных фотонов (диагонального вида)

Н' = Пш'сN

с частотой локализованной моды

+ д2(П0(шс) + п1(ш с)/2;

оператором штарковского взаимодействия фотонной и атомной подсистем атомно-фотонного кластера (диагонального вида)

Н(а) = Ш(а)NRз, П(^ = д2(П1(шс) - П0(ш)).

Взаимодействие атомно-фотонного кластера с внешним когерентным полем представляется операторами:

Уі-соь = gc+R+Eei(Kf-vt)Пю(-Шс)+э.сЯ?,* = |£|2(П1(^) - Ц,М^з.

Наконец введены стандартные образующие ви(2)-алгебры, описывающие резонансные переходы в атомной подсистеме

= | X) І£7і><£?!|(<)-1 X) |£70><£701С<), Д+ = ]Г|£і><£о|(і), Д- = ]Г |Я0><Яі|(і)

гг г г

с коммутационными соотношениями |Д+, R-] = 2Rз, |Дз, R±] = ±R± .

Н

двух различных алгебр: алгебры осцилляторов (или Гейзенберга-Вейля) - с, с+ и N и алгебры углового момента - Д_, Д+ и Д3. Это результат использованной стандартной схемы квантования и для решения задачи это неудобно. Следуя [1 4]. выразим гамильтониан через новые операторы, которые позволят короче и нагляднее представить исходный гамильтониан. Вид операторов УьСоЬ и Н'а + Н' подсказывает, что удобно ввести новые операторы Х0, Х± по формулам:

Х_ = сД_, Х+ = с+Д+, Х0 = (Дз + N )/2. (10)

При этом операторы Х_, Х+ и Х0 оказываются образующими полиномиальной алгебры третьего порядка с коммутационными соотношениями

[Х0,Х±]= ±Х±, [Х_,Х+]= Рп(Х0 + 1) — Рп(Х0) (И)

н характеристическим полиномом

п

Х+Х_ = Рп(Х0)= с^П (Х0 — <й) (12)

г=1

третьего порядка (п = 3) с параметрами

с0 = —1, ?1 = (г — Х )/2, ^2 = (Х — 3г )/2, 93 = (Х + г )/2 + 1. (13)

Операторы

Х = N — Д3 + г, Д2 = Д+Д_ + Д| — Д3 = Д_Д+ + Д| + Д3

являются операторами Казимира рассматриваемой полиномиальной алгебры, при-

Х

Дз г(г + 1)

альную алгебру полиномиальной алгеброй атомно-фотонного кластера, поскольку образующие этой полиномиальной алгебры и ее операторы Казимира полностью определяют эффективный гамильтониан атомно-фотонного кластера:

Нс1 = П(ш0 + ш' )Х0 + П(ш0 — ш' )(г — Х )/2 + Ш(а) (Х02 — (г — Х )2/4),

Уьсоь = дХ+£ег(к__"Ь)Пю(—шс) + э.с

Н^ = |£|2 (П1 (V) — П0 (V ))(Х0 — Х/2 + г/2).

В рассматриваемом случае атомно-фотонного кластера полиномиальная алгебра совпала с полиномиальной алгеброй, возникающей в задаче Тависа Каммингса [6], хотя в модели Тависа Каммингса реализуется одноквантовый резонанс локализованной фотонной моды с атомным переходом, тогда как у нас выполнено условие двухквантового комбинационного резонанса (1). Кроме того, при учете взаимодействия атомов и/или фотонов микрорезонатора с любыми внешними полями в модели Тависа Каммингса гамильтониан задачи нельзя выразить только через образующие полиномиальной алгебры.

Для вычисления поляризации среды воспользуемся формулой Бейкера Хаус-дорфа для оператора эффективного диполыгого момента и ограничимся первым порядком разложения по константам связи:

Б « £ |Ек)<Ез |(г) — г ^(Б(01) + Б(10)Нз ШЕ |(г) +

г,кз г,кз

+ г £ |Ек )<Ез |(г)(Б(01) + Б(10)). (14)

г,кз

Нерезонансная поляризация среды определяется слагаемыми

В « —* ^ £(01)43 |Е)(£,■ |(г) + * ^ ^ ІЕк){Еі |(г)£(10),

ъ,к,з і,к,з

РпОПГС8 = 4^х(1),£, х(1)' = Ъ(р ]Г щ(ї/)|£де*|«).

і,к=0,1

Выражение для линейной восприимчивости х(1) (штрих означает отсутствие слагаемых, определяемых матричными элементами /э с участием резонансных уровней

| Е0 ) | Е1 )

N'

модействующих между собой атомов: х*-1) = —-51 Тг ( ^ р£^?П/с (г^)) ({^кк диа-

к=0,1

тональные матричные элементы одноатомной матрицы плотности [5], Nla - число

| Е0 ) | Е1 )

путаны как между собой, так и с фотонной подсистемой.

Поляризация атомно-фотонного кластера определяется эффективным оператором дипольного момента кластера (14) с операторами £(01), £(10) и проекци-

| Е0 ) | Е1 )

пакета с несущей частотой V в условиях (1) поляризация атомно-фотонного кластера наводится как на частоте внешнего поля V, так и на комбинационных частотах 2^ и V ± ^0. Появляется также квазистатическая поляризация. Для исследования класса когерентных переходных эффектов достаточно ограничиться рассмотрением поляризации атомно-фотонного кластера на частоте внешнего поля РС] (V). Эта поляризация дается выражением

РсіН = \(К - Ма) [П0(г/) + Пг{и)Е + (ПоМ - ЩМ] Ъ (рП3)Е + Ъ (ДД,),

Ді = -^П01(^С)Х_ - зПю(-^с)Х+. (15)

Третьим слагаемым в квадратных скобках будем пренебрегать, полагая величину (Щ^) — П0^)) малой:

|Пю(-ис)| » |П1М — Пo(v)|. (16)

Такая ситуация возможна при наличии в атоме квазирезонансного уровня |Ед). такого, что дипольный переход Еч ^ Е1 «сильнее» перехода Еч ^ Е0, то есть ^1д | ^ ^0д |. Тогда можно ожидать, что будут справедливы неравенства | П1 ( ^с)| ^ |Пю(—^с)| ^ |П0(V)| в силу соотношения между дипольными моментами и |П10(—ше)| ^ |П1 (V)| в силу отсутствия соответствующего квазирезонансного уровня. Подчеркнем, что при учете этого слагаемого поляризация атомно-

фотонного кластера по-прежнему выражается через образующие полиномиальной алгебры атомно-фотонного кластера, поскольку Д3 = Х0 — (г — X)/2 па неприводимом представлении.

Окончательно, переопределяя РПопге8 и Реї (V), имеем следующее выражение для поляризации Р(V) системы на частоте V в поле классической электромагнитной волны Е = Еег(кг-иі) +к.с.:

Р (V) = РпопгезМ + РС1 (V), (17)

Р„о„гевМ = 4пх(1)Е, Рс](V) = Тг (рДі).

Линейную восприимчивость

Х(1) = -^Тг (р ]Г Пк{^)\Ек){Ек\^) + -Л^а)(П0(г/) -І-П^г/))

г,к=0,1

будем рассматривать как параметр теории.

3. Пример применения развитой теории. Оптическая нутация

Пусть полупространство г > 0 заполнено одинаковыми микрорезонаторами без фотонов и одним и тем же количеством атомов внутри каждого. На полупространство в направлении оси г подается импульс когерентного классического электромагнитного поля частоты V, которая удовлетворяет условию резонанса (1). В объеме порядка длины волны помещается достаточное количество атомно-фотонных кластеров и их плотность равна ис\. Считаем, что амплитуда напряженности электромагнитной волны имеет прямоугольную форму:

£ = 0, і < 0, £ = а, і > 0,

а ее значение достаточной, чтобы пренебречь спонтанным распадом атомно-фотонного кластера. Поэтому динамика атомно-фотонного кластера в поле классической электромагнитной волны описывается уравнением Шредннгера:

Л^|Ф) = (Ян + Я| + Уь™ь)|Ф>.

Воспользуемся неприводимым представлением для образующих полиномиальной алгебры в случае соотношения для операторов Казимира X > 2г, N = 2г (см. [1], формула (28)). Для простоты и определенности полагаем, что в начальный момент времени і = 0 состояние атомно-фотонного кластера описывается собственным вектором | — г) оператора Д3 (г = г). Тогда для амплитуд вероятности Сш, |Ф} =

Г

= 5^ Ст |т), имеем уравнения

ш= —г

д г

гП^Ст = Н(Ян + я| + Кч-.-оь) X С'п\т'),

ш' = —Г

в которых удобно перейти к медленно меняющимся переменным Ст = Спг ехр(—гг/т# — ш'с(Х — г)# + іткг).

Тогда получим

4ст = І25т€т -Ш(8'}ш2Ст -оі

- І Ст_іЛ(т|Х+ |т - І) - і Ст+ \А* (т|Х_ |т + 1), (18)

где использованы обозначения для перенормированной отстройки 5 от резонанса 25 = V — (^о + )

— П^)(Х — г) и частоты Раби Л = даП10( — )Н 1.

Поляризация среды атомно-фотонных кластеров определяется выражением

Г

Р = «СІ ^2 5Поі(ш

С ) Сш Сш+1

(т|Х-|т +1} +

Ш= —Г

Г

+ Пс1 $3 ^Піо(—^с) С^ Сш—і(т|Х+|т — 1),

ш= —Г

или в медленных амплитудах

Г

Р = — ехр(гк'Г — Ы)п,.\ ^ дИ0і{ис) С*т Ст+і(т\Х-\т + 1} + к.с. =

Ш= —Г

= Р ехр(гкт^ — ші) + к.с. (19)

Рис. 1. Оптическая путацпя па атомпо-фотошюм кластере: поведение трехуровневых атомов в отсутствие расстройки и штарковского сдвига: время (по оси абсцисс) задано в относительных единицах

Медленно меняющаяся амплитуда є электрического поля сигнала отклика в некоторой точке г среды представляется формулой [5]

є = 2п ікгР.

причем интенсивность суммарного сигнала, усредненная по периоду быстрых колебаний. определяется [5]

Основным отличием оптической нутации на ансамбле атомно-фотонных кластеров от оптической нутации в среде двухуровневых атомов является наличие модуляции оптической нутации. Модуляция различна для кластеров с разными значениями г и X операторов Казимира. К тому же она дополнительно зависит как от перенормированной отстройки 3, так и от параметра штарковского взаимодействия П^*). На рис. 1 представлен график отнормированной вещественной є

ложено, что атомно-фотонные кластеры среды имеют по три атома и 3 = П(й4) = 0. Напомним, что нутационные колебания в случае двухуровневых атомов в аналогичных условиях представляются синусоидальной функцией [5].

Заключение

Продемонстрированное в предыдущем разделе различие одного из основных когерентных переходных процессов оптической нутации в случаях атомнофотонного кластера (в отсутствие штарковского взаимодействия между фотонной и атомной подсистемами) и обычных двухуровневых атомов обусловлено лишь разницей в коммутационных соотношениях для образующих полиномиальной алгебры (11) и алгебры вм(2). Если в гамильтониане атомно-фотонного кластера (9), уравнениях Блоха (18), поляризации среды (19) произвести при П^1;) = 0 замены

Хо ^ Дз, Х± ^ Д±,

то получим гамильтониан, уравнения Блоха и поляризацию обычных двухуровневых атомов в резонансном когерентном поле, причем находящихся в условиях однофотонного резонанса, тогда как атомы атомно-фотонного кластера находятся при комбинационном (двухквантовом) резонансе. Такое замечательное совпадение получается лишь при определенных параметрах (16) и П(Э1;) = 0. В общем случае динамика атомно-фотонного кластера также полностью определяется полиномиальной алгеброй атомно-фотонного кластера, но такой аналогии с двухуровневыми атомами нет. Развитый в статье математический аппарат ие только обосновывает

введение атомно-фотонного кластера как элементарного излучателя, но и дает адекватную основу для анализа самых различных эффектов нелинейной оптика с участием атомно-фотонных кластеров. При этом вследствие специфики коммутационных соотношений полиномиальной алгебры в теории взаимодействия атомнофотонного кластера с резонансными электромагнитными полями появляется до-

X

намика атомно-фотонного кластера во внешнем резонансном когерентном электромагнитном поле характеризуется большим разнообразием.

Автор выражает благодарность профессору В.В. Самарцеву за приглашение прочитать лекцию на XIII Международной молодежной научной школе «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», часть которой легла в основу настоящей статьи.

Summary

A.M. Basharov. Effective Hamiltonian of At.om-Pliot.on Cluster in a Resonant. Coherent. Field.

Tlie effective Hamiltonian, dipole moment, operator and Bloch equations have been obtained for describing coherent, transients produced by the resonant, interaction of classical electromagnetic wave with atoms and photons localized in microcavit.y. Optical nutation in an artificial medium of identical at.om-pliot.on clusters has been considered as an example of application of the developed theory.

Key words: at.om-pliot.on cluster, polynomial algebra, Casimir operator, microcavit.y, Lindblad equations, Tavis Cummings model.

Литература

1. Башаров A.M. Уравнения Липдблада в образующих полиномиальной алгебры для описания излучения атомпо-фотошюго кластера // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-мат. пауки. 2009. Т. 151, кп. 1. С. 33 42.

2. Карасев В.П. Полиномиальные деформации алгебры Ли sl('2) в задачах квантовой оптики // Теор. и матем. физика. 1993. Т. 95, Л'! 1. С. 3 19.

3. Karassiuv V.P. G-invariant. polynomial extensions of Lie algebras in quantum many-body physics // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27, No 1. P. 153 165.

4. Башаров A.M. Теория сверхизлучеїшя в резонаторе как пример применения полиномиальных алгебр // XII Междупар. молод, пауч. шк. «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия»: Сб. ст. Казань: Казап. гос. уп-т, 2009. В. 12. С. 34-42.

5. Maimistov A.I., Basharov A.M. Nonlinear optical waves. Dordrecht.: Kluwer Academic, 1999. XIII-650 p.

6. Vadeiko I.P., Miroshnichenko G.P., Rybin A.V., Timonen J. An algebraic approach to the Tavis Cummings problem // Phys. Rev. A. 2003. V. 67, No 5. P. 053808-1 053808-12.

Поступила в редакцию 18.01.10

Башаров Асхат Масхудович кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник лаборатории нелинейной оптики РНЦ «Курчатовский институт», г. Москва.

Е-шаП: bash.aroveym.ail.сот