CC BY
3INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
КВАЗИЧИЗЩЛИ ТЕМПЕРАТУРАВИЙ ЖАРАЁНЛАРНИ САМАРАЛИ ЕЧИШ
МЕТОДИ ТоFаймуродов Х.Э
Термиз давлат университети "Амалий математика (сохдлар буйича)" мутахассислиги
магистранти https://doi. org/10.5281/zenodo. 7371465
Аннотация. Купгина реал физик жараёнларини тавсифлашда чизицли булмаган уусусий уосилали дифференциал тенгламалар уосил булади. Чизицсиз тенгламаларнинг умумий хоссалари ва уларни ечиш методларини тадциц этиш уисоблаш технологиялари соуасидаги долзарб йуналиши уисобланади. Бундай тенгламаларни ечиш ва тадциц этишга царатилган цизицарли тадцицотлар ва купгина самарали методлар мавжудлигига царамасдан, амалий математиканинг ушбу соуаси чизицли тенгламалар назариясидаги каби етарлича назарий асосларга эга эмас.
Калит сузлар: ошкормас схема, ошкормас итерация схемаси, итерациялар сони, арифметик амаллар сони, тур цатламлари сони, тур цадамлари, чизицли ва чизицлимас айирмали схема, иссицлик утказувчанлик коэффициенти, квазичизицли тенглама, бошлангич ва чегаравий шартлар.
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОГО РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Аннотация. При описании многих реальных физических процессов формируются нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными. Исследование общих свойств нелинейных уравнений и методов их решения является актуальным направлением в области вычислительных технологий. Хотя существуют интересные исследования и много эффективных методов решения и исследования таких уравнений, эта область прикладной математики не имеет достаточной теоретической базы, как в теории линейных уравнений.
Ключевые слова: неявная схема, неявная итерационная схема, количество итераций, количество арифметических операций, количество слоев сетки, шаги сетки, линейная и нелинейная дифференциальная схема, коэффициент теплопередачи, квазилинейное уравнение, начальные и граничные условия.
METHOD FOR EFFICIENT SOLUTION OF QUASI-LINEAR TEMPERATURE
PROCESSES
Abstract. When describing many real physical processes, nonlinear differential equations with partial derivatives are formed. The study of the general properties of nonlinear equations and methods for their solution is an important direction in the field of computing technologies. Although there are interesting studies and many effective methods for solving and investigating such equations, this area of applied mathematics does not have a sufficient theoretical basis, as in the theory of linear equations.
Keywords: implicit scheme, implicit iterative scheme, number of iterations, number of arithmetic operations, number of grid layers, grid steps, linear and nonlinear differential scheme, heat transfer coefficient, quasilinear equation, initial and boundary conditions.
I. Кириш.
Чизикли булмаган ва квазичизикли хусусий х,осилали тенгламаларни ечишга мулжалланган самарали х,исоблаш методларини яратиш, х,исоблаш технологиялари йуналишидаги долзарб масалалардан х,исобланади. Квазичизикли иссиклик утказувчанлик тенгламасини иссиклик утказувчанлик коэффициенти температурасининг чизикли, квадратик ва кубик функциялари куринишида булганда айирмали итерация схемаларини куллаб ечиш мух,им ахдмиятга эга. Худди шунингдек, кулланилаётган методларнинг самарадорлигини арифметик амаллар сони буйича асослаш, методларнинг чизикли булмаган параметрга боглик равишда арифметик амаллар сони буйича тадкик этиш кузда тутилади.
II. Масаланинг куйилиши
Чизикли булмаган коэффициентга эга булган иссиклик утказувчанлик тенгламаси учун куйидаги чегаравий масалани карайлик
бу ерда к (и) = к0и - иссиклик утказувчанлик коэффициенти температуранинг чизикли булмаган функцияси булсин, с > 1. Ш.Ечиш методи
Дифференциал масала (1)-(3) каралаётган узлуксиз
Айирмали сокт турда дифференциал масалага мос куйидаги айирмали масалаларни куямиз
— = —(к(и)—) + ) (и) ог ох ох
и (х,0) = и0 (х) , 0 < х < 1,
и(0,г) = (г), и(1,г) = ц2(г), 0 < г < т,
(1)
(2) (3)
п = {0 < х < 1, 0 < г < т}
А ДА А А
А
А
У°г = и 0( х- X у0+1 = А(г,+1), УГ = М2 (г ,+1),
0 < г < N, (4)
0 < ] < м.
Схема б):
БС12МС2 АМТ> ШЖОУАТЮЖ
ШТЕКМАТЮКАЬ ЗСШетШС ГОиККАЬ УОЬиМЕ 1 К8иЕ 8 иШ-2022: 8.2 | КБК: 2181-3337
Уг! = 1 т И
л л
а+1( У )
Уг+1 - Уг
И
аг ( У )
Уг - У
г-1
И
+ /(Уг )
У0 = и0(Хг )
У0+1 = М(',+:)
уТ =м2(^+:)
о < г < N, 'о < ] < м,
о < г < N, о < ] < м.
(5)
Бу айирмали масалаларни ечиш учун прогонка методига олиб келамиз.
л т
лл
аЛ у)
У
г+ Уг а (у) -Уг Уг-1
И
И
' Уг + /(Уг )т;
л т л т л т л т л
Уг - аг+1 (У) У г+1 + Ъ+1 (У) Уг + ^ (У) Уг - ^ (У) Уг-1 = Уг + т (Уг ); т л т л т л
а. (У) У г-1 + (1 + -^(аМ(У) + (У)) Уг аг+1( У) Уг+1 = Уг + т/ (Уг );
Энди (-1) га купайтирамиз ва куйидагига эга буламиз т л т л т л
77 а, (У) У г-1 - (1 + 77 (аг+1 (У) + а (У)) Уг + 77 °г+1 (У) Уг+1 = -(Уг + т (Уг
ИИ И
л
Схема а) ва б) да у. = у1++ , у. = у1. хдмда а.(3) = а(&. х,3.) коэффициентлар куйидаги формулалардан бирортаси билан х,исобланиши мумкин:
а (3) = 0,5[к(3) + к(3)], а (3) = к
3, +3
2
Л а (3) = 2к(3)к(3) Л ) к(3-,)+к(3)
Температуравий тулкинни х,исоблаш аниклиги коэффициентлар а. (3) нинг кандай йул билан х,исобланишидан кучли боглик булади.
Схемалар а) ва б) ни назарий жихдтдан таккослаш [1] да амалга оширилган, хдмда схема б) чизикли булмаганлиги сабабли, уни ечиш учун куйидаги итерация жараёнидан фойдаланиш максадга мувофик эканлиги таъкидланган
(■*+!
= 1 т И
(*+1) (*+1) (*) у
ам(У)~
(*+1) (*+1)
У ) У - У
м 7 г а (у) г г-1
И
уг = и0(Хг )■-
И
(*)
о < г < N, +/(Уг), о < * < 3 ,
о < 1 < м, о < г < N,
(6)
"о V г -
(*+1) (*+1)
Уо = М (^1+1 ), УN = М 1+1 ), о < 1 < М.
Ушбу схема у га нисбатан чизикли куринишда булади.
Дастлаб караганда, схема а) итерация талаб килмаганлиги сабабли ундан фойдаланиш, итерация талаб киладиган схема б) дан фойдаланганга караганда афзалдек туюлади. Аммо, амалий ^исоблашлар схема б) нинг самарали эканлигини курсатади.
л
л
л
л
л
л
л
л
Шу сабабли, иссиклик утказувчанлик коэффициенти температуранинг чизикли булмаган функцияси булган холда, яъни к (и) = к0и , с = 1 булган холда а) ва б) схемаларнинг самарадорлигини хисоблаш эксприменти нуктаи - назаридан таккослаш мухим амалий ахамиятга эга. Муаллифларга ушбу йуналишда бажарилган бирор - бир тадкикот ишлари маълум эмас.
Маълумки, ихтиёрий сонли методларнинг самарадорлигини бахолашда асосий курсаткич сифатида арифметик амаллар сони каралади. Ушбу маколада а) ва б) схемаларнинг самарадорлиги иссиклик утказувчанлик коэффициенти
к (и) = к0и , с = 1. куринишда булганда арифметик амаллар сони буйича таккосланади, хамда схема б) нинг ута самарали метод эканлиги курсатилади.
Утказилган хисоблаш эксприменти натижаси параметр с = 1 нинг схема а) буйича маълум аникликка эришиши учун вакт буйича жуда кичик т кадам танлаш зарурлигини, бу эса уз навбатида арифметик амаллар сонининг кескин ортиб кетишига олиб келишини курсатади. Схема б) буйича маълум аникликни таъминлаш учун вакт буйича хар бир катлам оралигида атиги учта итерация бажариш кифоя эканлиги намойиш этилган, натижада арифметик амаллар сони сезиларли даражада камайишига эришиш мумкинлиги курсатилган.
Таъкидлаш лозимки, айирмали схемалар (4) ва (6) прогонка методи билан ечилади. Маълумки прогонка методини битта катламда бажариш учун 8N арифметик амал сарфланади, бу ерда N турнинг тугунлари сони.
Схема а) ни амалга ошириш учун зарур булган арифметик амаллар сони ^ = 8N * N1 га, ушбу амаллар сони айирмали схема б) учун = 8N * 1Т * N2 га тенг
булади, бунда 8N прогонка методини амаллар сони, N1 ва N2 лар мос равишда а) ва
б) схемалардаги вакт буйича катламлар сони, 1Т эса схема б) да битта катламда амалга оширилиши лозим булган итерациялар сонидан иборат. IV Х,исоблаш натижалари Дифференциал масала (1)-(3) каралаётган
Хисоблаш эксприменти олиб бориш учун масала параметрларини куйидагича танлаймиз :
с = 1 булган холни, яъни к (и) = к0и - иссиклик утказувчанлик коэффициенти температуранинг чизикли функцияси булган холни караймиз. Турнинг кадамлари учун к = 0.02 ва а) схема учун т = 0.02 хамда б) схема учун Т = 0.05 кийматлар танланган булсин. Схема а) ва б) оркали хисоблаш эксприменти утказилган ва олинган натижалар 1 -расмда келтирилган. с = 1 булган холда тур кадамлари юкоридагидек танланганда а) схема учун тур катламлари сони N1=30, б) схема учун эса N2=12 тадан иборат булади.
п = {0 < х < 1, 0 < г < т}
N = 50, М = 6, Т = 0.6, к (и) = к0ис, с = 1
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
1-расм. Схемалар буйича олинган кийматларнинг график куринишида таккосланиши, бунда схема а) узлукли чизик, схема б) нуктали узлукли чизик.
Хисоблаш экспременти утказиш натижасида олинган 1 -расмдан куринадики, а) ва б) схемалар буйича олинган натижалар бироз фаркланади. Схема а) нинг аниклигини ошириш учун вакт буйича тур кадамини кичрайтирамиз, схема б) ни уз холатида колдирамиз, яъни схема а) да (т = 0.002, N1 = 300) ва схема б) да (т = 0.02, N1 = 30) булганда тур тугунларида хисоблаш натижалари 2-расмда келтирилган.
2-расм. Схема а) узлукли чизик, схема б) нуктали узлукли чизик.
Хисоблаш эксприменти натижалари курсатадики, С = 1 булган холда схема б) буйича олинган натижаларга якин кийматларни олиш учун схема а) да вакт буйича тур кадамини 10 марта кичрайтиришга тугри келади. Бу холда схема а) да арифметик амаллар сони Q1=120 000 га, схема б) да эса Q2=36 000 га тенг.
V. Хулоса
1. Квазичизикли иссиклик утказувчанлик тенгламасида иссиклик утказувчанлик коэффициенти температуранинг чизикли булмаган функцияси куринишида булгандаги сонли ечимлари ошкормас ва ошкормас итерация схемалари билан аникланди.
2. Ошкормас ва ошкормас итерация схемалари арифметик амаллар сони буйича таккосланди, арифметик амаллар сонини хисоблаш формулалари чикарилди.
3. ^уйилган дифференциал масалани ечишда ошкормас итерация схемасининг ута самарали эканлиги курсатилди.
REFERENCES
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики — М.: Наука, 1978. 591 с.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики — М.: Наука, 1976. 528 с.
3. Самарский А. А. Теория разностных схем — М.: Наука, 1977. 656 с.
4. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем — М.: Наука, 1971. 553 с.
5. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем — М.: Наука, 1973. 415 с.
6. Самарский А. А., Николаев В. С. Методы решения сеточных уравнений — М.: Наука, 1978. 589 с.
7. Нармурадов Ч. Б. Математическое моделирование гидродинамических задач для двухфазных плоскопараллельных течений //Математическое моделирование. - 2007. -Т. 19. - №. 6. - С. 53-60.
8. Normurodov C., Toyirov A., Yuldashev S. Numerical modeling of a wave in a nonlinear medium with dissipation //AIP Conference Proceedings. - AIP Publishing LLC, 2022. - Т. 2637. - №. 1. - С. 040005.
9. Normurodov C. et al. Numerical simulation of the inverse problem for the vortex-current equation //AIP Conference Proceedings. - AIP Publishing LLC, 2022. - Т. 2637. - №. 1. -С.040018.
10. Normurodov C. B., Toyirov A. X., Yuldashev S. M. Numerical modeling of nonlinear wave systems by the spectral-grid method //International Scientific Journal Theoretical & Applied Science, Philadelphia, USA. - 2020. - Т. 83. - №. 3. - С. 43-54.
11. Narmuradov C. B. et al. MATHEMATICAL MODELING OF MOVEMENT OF A VISCOUS INCOMPRESSIBLE LIQUID BY THE SPECTRAL-GRID METHOD //Theoretical & Applied Science. - 2020. - №. 4. - С. 252-260.
12. Begaliyevich N. C., Khasanovich T. A. Spectral-grid method for solving evolution problems with high gradients //EPRA International Journal of Multidisciplinary Research (IJMR). - Т. 67.
13. Нармурадов Ч. Б., Тойиров А. Х. Математическое моделирование нелинейных волновых систем //Проблемы вычислительной и прикладной математики. - 2018. - №. 1. - С. 21-31.
14. BEGALIYEVICH N. C. et al. Mathematical Modeling of the Hydrodynamic Stability Problem by the Spectral-grid Method //International Journal of Innovations in Engineering Research and Technology. - Т. 7. - №. 11. - С. 20-26.
15. Toyirov A. K., Yuldashev S. M., Abdullayev B. P. Numerical modeling the equations of heat conductivity and burgers by the spectral-grid method //НАУКА 2020. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА. - 2020. - С. 30-31.
16. Нармурадов Ч. Б., Гуломкодиров К. А. Математическое моделирование уравнений Навье-Стокса в системе вихря и функции тока //Проблемы вычислительной и прикладной математики. - 2017. - №. 3. - С. 29-32.
17. Нармурадов Ч. Б., Холияров Э. Ч., Гуломкодиров К. А. Численное моделирование обратной задачи релаксационной фильтрации однородной жидкости в пористой среде //Проблемы вычислительной и прикладной математики. - 2017. - №. 2. - С. 12-19.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
18. Abdirasulovna Z. S., Majidovna N. M. Evaluation of Errors in Numerical Solution of Problems //CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES. - 2021. - T. 2. - №. 9. - C. 45-47.
19. Abdirasulovna Z. S. Conducting a Computational Experiment using Test Functions //CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES. - 2021. - T. 2. - №. 9. - C. 51-53.
20. Shavkatovna D. Z. Solving Cauchy Problems Using Euler Methods Using the C# Programming Language and Method Mapping //International Journal of Innovative Analyses and Emerging Technology. - 2021. - T. 1. - №. 4. - C. 74-77.
